初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册2.3 平行线的性质）
一、单选题
1．（2022七下·五常期末）如图．直线，∠1＝70°，那么∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．（2022七下·石景山期末）如图，ABCD，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022七下·西安期末）如图，直线a∥b，则下列说法正确的是（ ）
A．∠1与∠6互补 B．∠2与∠8互补
C．∠2与∠6互余 D．∠1与∠5相等
4．（2022七下·临西期末）如图，直线，直线c与a，b分别交于A，B两点，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．130° C．140° D．150°
5．（2022七下·梧州期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．对顶角相等
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
6．（2022七下·自贡期末）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a，b中的直线b上，如果∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．48° D．45°
7．（2022七下·容县期末）如图，直线，直线与直线，分别交于点、，射线直线，则图中与互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022七下·相城期末）如图，直线，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，若，则的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
9．如图，已知A1B∥AnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于（ ）
A．180°n B．(n＋1)·180°
C．(n－1)·180° D．(n－2)·180°
10．（2022七下·剑阁期末）如图，已知，平分，且，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022七下·南充期末）如图，已知直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是 °．
12．（2022七下·湘桥期末）如图，直线，Rt中，，，则 ．
13．（2022七下·承德期末）a、b、c是直线，且a∥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 ．
14．（2022七下·双城期末）如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是 ．
15．（2022七下·前进期末）∠α与∠β的两边分别平行，且∠α比∠β大30°，则∠α= ．
16．（2022七下·寻乌期末）如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1=∠2，∠2+∠4=120°，则∠3= °．
17．（2022七下·淮阴期末）如图，CB平分，则的度数为 ．
18．（2017七下·濮阳期中）如图，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E，F，EG平分∠AEF，EG⊥FG于点G，若∠BEM=60°，则∠CFG= ．
19．（2022七下·石景山期末）如图，ABCD，直线交于点O，过O作，交于点G，，则 °．
20．（2022七下·新余期末）已知，，若的一边EF∥BC，则另一边DE与直线AB相交于点P，且点E不在直线AB上，则的度数为 ．
三、解答题
21．（2020七下·门头沟期末）如图，点 P 是∠ ABC 内一点.
（1）过点 P 画 BC 的垂线，垂足为点 D；
（2）过点 P 画 BC 的平行线交 AB 于点 E；
（3）如果∠ B = 40°，那么∠ PEB = °
22．（2022七下·辛集期末）如图，点P为∠AOB的角平分线OC上的一点，过点P作PM∥OB交OA于点M，过点P作PN⊥OB于点N．当∠AOB＝60°时，求∠OPN的度数．
解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB＝ ▲ °（ ）（填推理的依据）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN＝∠PNB＝90°，
∠POB＝ ▲ （ ）（填推理的依据）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB＝60°，
∴∠POB＝∠AOB＝30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO＝ ▲ °．
∵∠MPO+∠OPN＝∠MPN，
∴∠OPN＝ ▲ °．
23．（2022七下·惠东期末）如图，已知：，，你能确定图中与的数量关系吗？请写出你的结论并进行证明．
24．（2022七下·任丘期末）如图所示，在△ABC中，E，G分别是BC，AC上的点，D，F是AB上的点，已知EF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，∠1＝∠2， 试判断∠AGD和∠ACB是否相等，为什么？
25．（2022七下·巴彦期末）如图1，已知AB//CD，点G在上，点H在上，连接、，，．
（1）求证：AB//EF；
（2）如图2，若，延长交的延长线于点M，请直接写出图2中所有与互余的角．
26．（2022七下·惠东期末）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出符合题意图形，并解答）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠DCE+∠BCD=180°，∠DCE=130°，
∴∠BCD=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=50°，
故答案为：B．
【分析】先求出∠BCD=50°，再根据平行线的性质计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：A、∵a∥b，∴∠5=∠1，∵∠5=∠6，∴∠1=∠6，错误；
B、∵a∥b，∴∠2=∠7，∵∠7=∠8，∴∠2=∠8，错误；
C、∵a∥b，∴∠2=∠7，∵∠6+∠7=180°，∴∠2+∠6=180°，即∠2与∠6互补，错误；
D、A、∵a∥b，∴∠1=∠5，正确；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质，对顶角相等，以及邻补角定义，分别解答，即可判断.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图所示：
∵直线a//b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°．
∵∠2与∠3是邻补角，
∴∠2+∠3＝180°
∴∠2=130°．
故答案为B．
【分析】先求出∠1＝∠3＝50°，再求出∠2+∠3＝180°，最后计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项正确，不符合题意；
B、对顶角相等，故该选项正确，不符合题意；
C、 同旁内角互补，两直线平行，故该选项正确，不符合题意；
D、 两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，故该选项不正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质可判断A、D；根据对顶角的性质可判断B；根据平行线的判定定理可判断C.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1=42°，
∴∠3=∠1=42°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=48°．
故答案为：C．
【分析】由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）得∠3=∠1=42°，由题意得∠4=90°，再结合平角即可求出∠2=48°.
7．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2=∠4，∠3=∠5，
∵∠2=∠3，
∴∠2=∠4=∠3=∠5，
∵DF⊥直线c，
∴∠CDF=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+∠4=∠1+∠5=90°，
∴图中与∠1互余的角有∠2、∠4、∠3、∠5一共4个.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质可证得∠2=∠4，∠3=∠5，利用对顶角相等可推出∠2=∠4=∠3=∠5；再利用垂直的定义可推出∠1+∠2=90°，由此可得到与∠1互余的角的个数.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=35°，
∴∠3=180°-90°-∠1=55°，
∵直线a∥b，
∴∠2=∠3=55°，
故答案为：C．
【分析】根据平角的定义列式求出∠3的度数，再根据两直线平行，同位角相等，求出∠2的度数，即可解答.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……
∵A1B∥AnC，
∴A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，
∴∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….
∴∠A1＋∠A1A2A3＋…＋∠An－1AnC＝(n－1)·180°.
故答案为：C.
【分析】过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……根据平行的传递性得A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，再由平行线的性质得∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….将所有式子相加即可得证.
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，延长DE交AB的延长线于点H，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠H，
∵BF∥DE，
∴∠ABF=∠H，
∴∠D＝∠ABF，
又∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF，
∴∠ABE＝2∠D．
故答案为：B.
【分析】如图所示，延长DE交AB的延长线于点H，由平行线性质推出∠D＝∠ABF，再由角平分线定义可得∠ABE＝2∠ABF，进而得∠ABE＝2∠D.
11．【答案】60
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠2=60°.
故答案为：60.
【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠2，据此解答.
12．【答案】70°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵，
∴
∵，
∴
故答案为：70°．
【分析】先求出，再根据平行线的性质即可求解.
13．【答案】互相垂直
【知识点】平行线的判定与性质；平面中直线位置关系
【解析】【解答】且a∥b，b⊥c，a⊥c.
故答案为互相垂直.
【分析】利用平面内直线的位置关系及平行线的性质可得答案。
14．【答案】z+y=x
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示，延长AB交DE于H，
∵AB∥EG，
∴∠AHE=∠HEG
∵BC∥DE，
∴∠AHE=∠ABC=x
∴∠HEG=∠ABC=x
∵CD∥EF，
∴∠DEF=∠D=z
∵∠DEF+∠FEG=∠HEG
∴z+y=x
故答案为：z+y=x．
【分析】延长AB交DE于H，根据平行线的性质可推出∠HEG=∠AHE=∠ABC=x，∠DEF=∠D=z，根据∠DEF+∠FEG=∠HEG即可求解.
15．【答案】105°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，∠α与∠β的两边分别平行，
此时，，
∴，
∵，
解得：∠α=105°，∠β=75°．
故答案为：105°
【分析】根据平行线的性质可得，，再结合，求出∠α=105°，∠β=75°即可。
16．【答案】40
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵EG是∠AEF的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠2+∠4=120°，
∴2∠3+∠3=120°，
∴∠3=40°，
故答案为：40．
【分析】先利用平行线的性质和角平分线的定义求出，再结合∠2+∠4=120°，可得2∠3+∠3=120°，再求出∠3=40°即可。
17．【答案】30°
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ABCD，
∴∠DCE=∠AEC=60°，
∵CB平分，
∴∠BCD=∠DCE=30°，
∵ABCD，
∴∠B=∠BCD=30°.
故答案为：30°.
【分析】由平行线的性质可得∠B=∠BCD，∠DCE=∠AEC=60°，根据角平分线的概念可得∠BCD=∠DCE=30°，据此解答.
18．【答案】60°
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF=∠BEM=60°，
∴∠CFE=120°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠GEF= ∠AEF=30°，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF=90°，
∴∠GFE=90°﹣∠GEF=60°，
∴∠CFG=∠CEF﹣∠GFE=60°．
故答案为：60°．
【分析】首先由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠CFE的度数，又由内角和定理，求得∠GFE的度数，则可求得∠CFG的度数．
19．【答案】48
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=42°，
∴∠EGO=∠1=42°，
∵OG⊥EF，
∴∠EOG=90°，
∴∠2+∠EGO=90°，
∴∠2=90°-42°=48°．
故答案为：48．
【分析】根据平行线的性质求出∠EGO=∠1=42°，再求出∠EOG=90°，最后计算求解即可。
20．【答案】10°或110°或70°或170°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之外时，如图1：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC，
又∠ABC=60°，
∴∠1=60°，
又∠1=∠DEF+∠EPB，∠DEF=50°，
∴∠EPB=10°，
又∠EPB=∠APD，
∴∠APD=10°；
若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之间时，如图2：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC=60°，
又∠APD=∠DEF+∠1，∠DEF=50°，
∴∠APD=110°；
如图3，设DE交BC于T，
∵EF∥BC，
∴∠PTB=∠FED=50°，
∴∠APD=∠BPT=180°-∠B-∠PTB=180°-60°-50°=70°，
如图4，设AB交EF于点H，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠ABC=60°，
∵∠AHE=∠APE+∠DEF，∠DEF=50°，
∴∠APE=10°，
∴∠APD=180°-∠APE=170°，
综上所述，∠APD的度数为10°或110°或70°或170°．
故答案为10°或110°或70°或170°
【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。
21．【答案】（1）解：如图，直线PD即为所求；
（2）解：如图，直线PE即为所求；
（3）140
【知识点】平行线的性质；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【解答】解：（3）因为PE∥BC，
所以∠PEB＋∠B＝180°（两条直线平行，同旁内角互补），
所以∠PEB＝180° 40°＝140°．
故答案为：140．
【分析】（1）根据垂线的定义即可过点P画BC的垂线，垂足为点D；（2）根据平行线的定义即可过点P画BC的平行线交AB于点E；（3）根据平行线的性质和∠B＝40°，即可求出∠PEB的度数．
22．【答案】解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB=90°（垂直的定义）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN=∠PNB=90°，
∠POB=∠MPO（两直线平行，内错角相等）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB=60°，
∴∠POB=∠AOB=30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO=30°．
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN，
∴∠OPN=60°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠POB＝∠AOB＝30° ，利用平行线的性质可得∠MPN=∠PNB=90°，∠POB=∠MPO，再角的运算求解即可。
23．【答案】解：∠1＋∠2＝180°；
证明：∵∠A＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BHC，
∵∠B＝∠D，
∴∠BHC＝∠D，
∴BH∥ED，
∴∠1＋∠2＝180°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质计算求解即可。
24．【答案】解：∠AGD＝∠ACB.
理由如下：
因为EF⊥AB，CD⊥AB(已知)，所以∠EFB＝∠CDB＝90°(垂直的定义)，
所以EF∥CD(同位角相等，两直线平行)，所以∠1＝∠ECD(两直线平行，同位角相等)．又因为∠1＝∠2(已知)，所以∠ECD＝∠2(等量代换)，所以GD∥CB(内错角相等，两直线平行)，所以∠AGD＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
25．【答案】（1）证明：∵AB//CD，∴∠AGC=∠GCD，∵CG⊥CH，∴∠GCD+∠DCH=90°，∵∠CHE+∠CGA=90°，∴∠DCH=∠CHE，∴CD//EF．
（2）解：与∠AGC互余的角有∠ACG，∠DCH，∠M，∠CHE．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：(2)∵∠BAE=90°，
∴∠ACG是∠AGC的余角，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=90°，∠M=∠DCH，
∵CG⊥CH，
∴∠ACG=∠DCH，
∵AB∥EF，
∴∠M=∠CHE，
∴与∠AGC互余的角有∠ACG，∠DCH，∠M，∠CHE．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠AGC=∠GCD，由垂直的定义可得∠GCD+∠DCH=90° ，结合 ∠CHE+∠CGA=90° ，根据余角的性质可得∠DCH=∠CHE，根据平行线的判定即证；
（2）根据余角的定义进行求解即可.
26．【答案】（1）解：平行．
如图①．
∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．
又∵∠B=∠D=120°，∴∠D+∠A=180°，∴AB∥CD；
（2）解：如图②．
∵AD∥BC，∠B=∠D=120°，∴∠DAB=60°．
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，∴∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE，
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°；
（3）解：①如图3，当点E在线段CD上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：3；
②如图4，当点E在DC的延长线上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：1．
综上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）先求出 ∠DAB=60°，再求出∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE， 最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质求解即可。
1 / 1初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册2.3 平行线的性质）
一、单选题
1．（2022七下·五常期末）如图．直线，∠1＝70°，那么∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质计算求解即可。
2．（2022七下·石景山期末）如图，ABCD，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠DCE+∠BCD=180°，∠DCE=130°，
∴∠BCD=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=50°，
故答案为：B．
【分析】先求出∠BCD=50°，再根据平行线的性质计算求解即可。
3．（2022七下·西安期末）如图，直线a∥b，则下列说法正确的是（ ）
A．∠1与∠6互补 B．∠2与∠8互补
C．∠2与∠6互余 D．∠1与∠5相等
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：A、∵a∥b，∴∠5=∠1，∵∠5=∠6，∴∠1=∠6，错误；
B、∵a∥b，∴∠2=∠7，∵∠7=∠8，∴∠2=∠8，错误；
C、∵a∥b，∴∠2=∠7，∵∠6+∠7=180°，∴∠2+∠6=180°，即∠2与∠6互补，错误；
D、A、∵a∥b，∴∠1=∠5，正确；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质，对顶角相等，以及邻补角定义，分别解答，即可判断.
4．（2022七下·临西期末）如图，直线，直线c与a，b分别交于A，B两点，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．130° C．140° D．150°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图所示：
∵直线a//b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°．
∵∠2与∠3是邻补角，
∴∠2+∠3＝180°
∴∠2=130°．
故答案为B．
【分析】先求出∠1＝∠3＝50°，再求出∠2+∠3＝180°，最后计算求解即可。
5．（2022七下·梧州期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．对顶角相等
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项正确，不符合题意；
B、对顶角相等，故该选项正确，不符合题意；
C、 同旁内角互补，两直线平行，故该选项正确，不符合题意；
D、 两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，故该选项不正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质可判断A、D；根据对顶角的性质可判断B；根据平行线的判定定理可判断C.
6．（2022七下·自贡期末）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a，b中的直线b上，如果∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．48° D．45°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1=42°，
∴∠3=∠1=42°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=48°．
故答案为：C．
【分析】由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）得∠3=∠1=42°，由题意得∠4=90°，再结合平角即可求出∠2=48°.
7．（2022七下·容县期末）如图，直线，直线与直线，分别交于点、，射线直线，则图中与互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2=∠4，∠3=∠5，
∵∠2=∠3，
∴∠2=∠4=∠3=∠5，
∵DF⊥直线c，
∴∠CDF=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+∠4=∠1+∠5=90°，
∴图中与∠1互余的角有∠2、∠4、∠3、∠5一共4个.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质可证得∠2=∠4，∠3=∠5，利用对顶角相等可推出∠2=∠4=∠3=∠5；再利用垂直的定义可推出∠1+∠2=90°，由此可得到与∠1互余的角的个数.
8．（2022七下·相城期末）如图，直线，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，若，则的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=35°，
∴∠3=180°-90°-∠1=55°，
∵直线a∥b，
∴∠2=∠3=55°，
故答案为：C．
【分析】根据平角的定义列式求出∠3的度数，再根据两直线平行，同位角相等，求出∠2的度数，即可解答.
9．如图，已知A1B∥AnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于（ ）
A．180°n B．(n＋1)·180°
C．(n－1)·180° D．(n－2)·180°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……
∵A1B∥AnC，
∴A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，
∴∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….
∴∠A1＋∠A1A2A3＋…＋∠An－1AnC＝(n－1)·180°.
故答案为：C.
【分析】过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……根据平行的传递性得A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，再由平行线的性质得∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….将所有式子相加即可得证.
10．（2022七下·剑阁期末）如图，已知，平分，且，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，延长DE交AB的延长线于点H，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠H，
∵BF∥DE，
∴∠ABF=∠H，
∴∠D＝∠ABF，
又∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF，
∴∠ABE＝2∠D．
故答案为：B.
【分析】如图所示，延长DE交AB的延长线于点H，由平行线性质推出∠D＝∠ABF，再由角平分线定义可得∠ABE＝2∠ABF，进而得∠ABE＝2∠D.
二、填空题
11．（2022七下·南充期末）如图，已知直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是 °．
【答案】60
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠2=60°.
故答案为：60.
【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠2，据此解答.
12．（2022七下·湘桥期末）如图，直线，Rt中，，，则 ．
【答案】70°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵，
∴
∵，
∴
故答案为：70°．
【分析】先求出，再根据平行线的性质即可求解.
13．（2022七下·承德期末）a、b、c是直线，且a∥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 ．
【答案】互相垂直
【知识点】平行线的判定与性质；平面中直线位置关系
【解析】【解答】且a∥b，b⊥c，a⊥c.
故答案为互相垂直.
【分析】利用平面内直线的位置关系及平行线的性质可得答案。
14．（2022七下·双城期末）如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是 ．
【答案】z+y=x
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示，延长AB交DE于H，
∵AB∥EG，
∴∠AHE=∠HEG
∵BC∥DE，
∴∠AHE=∠ABC=x
∴∠HEG=∠ABC=x
∵CD∥EF，
∴∠DEF=∠D=z
∵∠DEF+∠FEG=∠HEG
∴z+y=x
故答案为：z+y=x．
【分析】延长AB交DE于H，根据平行线的性质可推出∠HEG=∠AHE=∠ABC=x，∠DEF=∠D=z，根据∠DEF+∠FEG=∠HEG即可求解.
15．（2022七下·前进期末）∠α与∠β的两边分别平行，且∠α比∠β大30°，则∠α= ．
【答案】105°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，∠α与∠β的两边分别平行，
此时，，
∴，
∵，
解得：∠α=105°，∠β=75°．
故答案为：105°
【分析】根据平行线的性质可得，，再结合，求出∠α=105°，∠β=75°即可。
16．（2022七下·寻乌期末）如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1=∠2，∠2+∠4=120°，则∠3= °．
【答案】40
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵EG是∠AEF的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠2+∠4=120°，
∴2∠3+∠3=120°，
∴∠3=40°，
故答案为：40．
【分析】先利用平行线的性质和角平分线的定义求出，再结合∠2+∠4=120°，可得2∠3+∠3=120°，再求出∠3=40°即可。
17．（2022七下·淮阴期末）如图，CB平分，则的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ABCD，
∴∠DCE=∠AEC=60°，
∵CB平分，
∴∠BCD=∠DCE=30°，
∵ABCD，
∴∠B=∠BCD=30°.
故答案为：30°.
【分析】由平行线的性质可得∠B=∠BCD，∠DCE=∠AEC=60°，根据角平分线的概念可得∠BCD=∠DCE=30°，据此解答.
18．（2017七下·濮阳期中）如图，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E，F，EG平分∠AEF，EG⊥FG于点G，若∠BEM=60°，则∠CFG= ．
【答案】60°
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF=∠BEM=60°，
∴∠CFE=120°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠GEF= ∠AEF=30°，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF=90°，
∴∠GFE=90°﹣∠GEF=60°，
∴∠CFG=∠CEF﹣∠GFE=60°．
故答案为：60°．
【分析】首先由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠CFE的度数，又由内角和定理，求得∠GFE的度数，则可求得∠CFG的度数．
19．（2022七下·石景山期末）如图，ABCD，直线交于点O，过O作，交于点G，，则 °．
【答案】48
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=42°，
∴∠EGO=∠1=42°，
∵OG⊥EF，
∴∠EOG=90°，
∴∠2+∠EGO=90°，
∴∠2=90°-42°=48°．
故答案为：48．
【分析】根据平行线的性质求出∠EGO=∠1=42°，再求出∠EOG=90°，最后计算求解即可。
20．（2022七下·新余期末）已知，，若的一边EF∥BC，则另一边DE与直线AB相交于点P，且点E不在直线AB上，则的度数为 ．
【答案】10°或110°或70°或170°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之外时，如图1：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC，
又∠ABC=60°，
∴∠1=60°，
又∠1=∠DEF+∠EPB，∠DEF=50°，
∴∠EPB=10°，
又∠EPB=∠APD，
∴∠APD=10°；
若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之间时，如图2：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC=60°，
又∠APD=∠DEF+∠1，∠DEF=50°，
∴∠APD=110°；
如图3，设DE交BC于T，
∵EF∥BC，
∴∠PTB=∠FED=50°，
∴∠APD=∠BPT=180°-∠B-∠PTB=180°-60°-50°=70°，
如图4，设AB交EF于点H，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠ABC=60°，
∵∠AHE=∠APE+∠DEF，∠DEF=50°，
∴∠APE=10°，
∴∠APD=180°-∠APE=170°，
综上所述，∠APD的度数为10°或110°或70°或170°．
故答案为10°或110°或70°或170°
【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。
三、解答题
21．（2020七下·门头沟期末）如图，点 P 是∠ ABC 内一点.
（1）过点 P 画 BC 的垂线，垂足为点 D；
（2）过点 P 画 BC 的平行线交 AB 于点 E；
（3）如果∠ B = 40°，那么∠ PEB = °
【答案】（1）解：如图，直线PD即为所求；
（2）解：如图，直线PE即为所求；
（3）140
【知识点】平行线的性质；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【解答】解：（3）因为PE∥BC，
所以∠PEB＋∠B＝180°（两条直线平行，同旁内角互补），
所以∠PEB＝180° 40°＝140°．
故答案为：140．
【分析】（1）根据垂线的定义即可过点P画BC的垂线，垂足为点D；（2）根据平行线的定义即可过点P画BC的平行线交AB于点E；（3）根据平行线的性质和∠B＝40°，即可求出∠PEB的度数．
22．（2022七下·辛集期末）如图，点P为∠AOB的角平分线OC上的一点，过点P作PM∥OB交OA于点M，过点P作PN⊥OB于点N．当∠AOB＝60°时，求∠OPN的度数．
解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB＝ ▲ °（ ）（填推理的依据）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN＝∠PNB＝90°，
∠POB＝ ▲ （ ）（填推理的依据）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB＝60°，
∴∠POB＝∠AOB＝30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO＝ ▲ °．
∵∠MPO+∠OPN＝∠MPN，
∴∠OPN＝ ▲ °．
【答案】解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB=90°（垂直的定义）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN=∠PNB=90°，
∠POB=∠MPO（两直线平行，内错角相等）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB=60°，
∴∠POB=∠AOB=30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO=30°．
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN，
∴∠OPN=60°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠POB＝∠AOB＝30° ，利用平行线的性质可得∠MPN=∠PNB=90°，∠POB=∠MPO，再角的运算求解即可。
23．（2022七下·惠东期末）如图，已知：，，你能确定图中与的数量关系吗？请写出你的结论并进行证明．
【答案】解：∠1＋∠2＝180°；
证明：∵∠A＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BHC，
∵∠B＝∠D，
∴∠BHC＝∠D，
∴BH∥ED，
∴∠1＋∠2＝180°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质计算求解即可。
24．（2022七下·任丘期末）如图所示，在△ABC中，E，G分别是BC，AC上的点，D，F是AB上的点，已知EF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，∠1＝∠2， 试判断∠AGD和∠ACB是否相等，为什么？
【答案】解：∠AGD＝∠ACB.
理由如下：
因为EF⊥AB，CD⊥AB(已知)，所以∠EFB＝∠CDB＝90°(垂直的定义)，
所以EF∥CD(同位角相等，两直线平行)，所以∠1＝∠ECD(两直线平行，同位角相等)．又因为∠1＝∠2(已知)，所以∠ECD＝∠2(等量代换)，所以GD∥CB(内错角相等，两直线平行)，所以∠AGD＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
25．（2022七下·巴彦期末）如图1，已知AB//CD，点G在上，点H在上，连接、，，．
（1）求证：AB//EF；
（2）如图2，若，延长交的延长线于点M，请直接写出图2中所有与互余的角．
【答案】（1）证明：∵AB//CD，∴∠AGC=∠GCD，∵CG⊥CH，∴∠GCD+∠DCH=90°，∵∠CHE+∠CGA=90°，∴∠DCH=∠CHE，∴CD//EF．
（2）解：与∠AGC互余的角有∠ACG，∠DCH，∠M，∠CHE．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：(2)∵∠BAE=90°，
∴∠ACG是∠AGC的余角，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=90°，∠M=∠DCH，
∵CG⊥CH，
∴∠ACG=∠DCH，
∵AB∥EF，
∴∠M=∠CHE，
∴与∠AGC互余的角有∠ACG，∠DCH，∠M，∠CHE．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠AGC=∠GCD，由垂直的定义可得∠GCD+∠DCH=90° ，结合 ∠CHE+∠CGA=90° ，根据余角的性质可得∠DCH=∠CHE，根据平行线的判定即证；
（2）根据余角的定义进行求解即可.
26．（2022七下·惠东期末）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出符合题意图形，并解答）．
【答案】（1）解：平行．
如图①．
∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．
又∵∠B=∠D=120°，∴∠D+∠A=180°，∴AB∥CD；
（2）解：如图②．
∵AD∥BC，∠B=∠D=120°，∴∠DAB=60°．
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，∴∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE，
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°；
（3）解：①如图3，当点E在线段CD上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：3；
②如图4，当点E在DC的延长线上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：1．
综上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）先求出 ∠DAB=60°，再求出∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE， 最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质求解即可。
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