2022-2023学年初数北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 全章测试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八下·顺德期末）若等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ）
A．40° B．70° C．80° D．100°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为 ＝70°．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，可以求出底角的度数。
2．（2021八下·红塔期末）等腰三角形的两边长分别为6和14，则这个等腰三角形的底边长是（ ）
A．6 B．6或14 C．14 D．34
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、14，不能组成三角形，
②6是底边时，三角形的三边分别为6、14、14，能组成三角形，
∴三角形的底边长为6，
故答案为：A．
【分析】分两种情况，再结合三角形三边的关系及等腰三角形的性质求解即可。
3．（2021八下·北镇市期中）如图，在中，，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝CD＝
BC＝4，
∵AD＝3，BD＝4，AD⊥BC，
∴AB＝
＝5，
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得BD＝CD＝
BC＝4，再利用勾股定理求出AB的长即可。
4．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一组锐角对应相等 B．两组锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；
D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；直角三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．
5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A中∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，
同理，B，C均为直角三角形，
D选项中∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，
故选：D．
【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
6．如图，已知在△ABC中，∠C = 90°，AD = AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B = 28°，则∠AEC =（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据∠C=90°AD=AC，求证△CAE≌△DAE，∠CAE=∠DAE=∠CAB，再由∠C=90°，∠B=28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．
【解答】∵在△ABC中，∠C=90°，
AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，
∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE=∠DAE=∠CAB，
∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，
∴∠CAB=90°-28°=62°，
∵∠AEC=90°- ∠CAB=90°-31°=59°．
故选B．
7．（2021八下·达州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交AC 平点D，AE∥BD 交CB 的延长线于点E。若∠E=35°，则∠BAC 的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBD=35°×2=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-70×2=40°，
故答案为：A.
【分析】由平行线的性质求出∠CBD，再根据角平分线的定义求出∠ABC，然后利用等腰三角形的性质求出∠C，最后利用三角形内角和定理即可求出结果.
8．（2021八下·罗湖期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故答案为：B．
【分析】先根据垂直平分线的性质得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的性质得到∠ACB＝2∠ACD＝100°，最后利用三角形的内角和计算即可。
9．（2020八下·江夏月考）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∠CAB的平分线交BC于点D，则BD的长度为（ ）
A． cm B．2cm C． cm D．3cm
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】如图，过点D作 于点E
，AD平分 ，
在 和 中，
设 ，则
在 中， ，即
解得
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），过点D作 于点E，由角平分线的性质可得 ，再根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得.
10．（2020八下·济南期中）如图，在 中， ， ，D为BC的中点， ，垂足为 过点B作 交DE的延长线于点F，连接CF， 现有如下结论：
平分 ； ； ； ； ．其中正确的结论有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解： 不符合题意 ，
是 的中线，如果是角平分线，则 ，显然与已知矛盾，故不符合题意．
符合题意 易证 是等腰直角三角形，故BF ．
符合题意 ， ， ，
≌ ，
，
，
，
．
符合题意 在 中， ，易证 ．
符合题意 ≌ ，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和平行线的性质对每个结论一一判断即可作答。
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2021八下·云浮期末）面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为 ．
【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，
则 ，BD＝CD，
即 ，
∴BC＝16，
∴BD＝ BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
故答案为：10．
【分析】先求出BC＝16，再求出BD=8，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．（2021八下·城阳期末）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB的中点，连接CD，∠ACB = 46°，则∠A= °．
【答案】67
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B ，
∵∠ACB = 46°，
∴∠A= （180°-∠ACB）=67°；
故答案为：67．
【分析】由等腰三角形的性质可得C D垂直A B，角A C D等于23度，进而可求解。
13．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是
【答案】AC=DE
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：AC=DE，
理由是：∵AB⊥DC，
∴∠ABC=∠DBE=90°，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，
∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．
故答案为：AC=DE．
【分析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．
14．（2017八下·潍坊开学考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= 度．
【答案】45
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD=AD，
即∠ABC=∠BAD=45°．
故答案为：45．
【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．
15．（2021八下·凌海期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，若，则 ．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AD，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=12，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°，又∠C=90°，
∴AC=
AD=6，
故答案为：6．
【分析】连接AD，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=12，∠ADC=∠DAB+∠B=30°，再利用含30°角的性质可得AC=
AD=6。
16．（2021八下·杭州开学考）如图，在等腰 中， 分别为 ， 边上的点，将边 沿 折叠，使点 落在 上的点 处.当点 与点 重合时， .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过C作CH⊥AB于H，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∵AC=BC，
∴AH=HB=3，
∴HD=AD-3,
∵CH===4 ,
∵CD2=CH2+HD2，
设AD=x,
∴x2=42+(x-3)2,
解得x=,
故答案为：.
【分析】过C作CH⊥AB于H，由垂直平分线的性质得CD=AD，然后由等腰三角形的性质结合勾股定理求出CH的长，设AD=x，在Rt△CHD中利用勾股定理列式求出AD即可.
17．（2020八下·凤县期中）已知如图，在 中， ，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则 的周长等于 .
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：因为AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，所以AD=DB，AE=CE.△ADE的周长为AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8.
故答案为8.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可知AD=BD，AE=EC，由此可得到△ADE的周长等于BC的长.
18．（2021八下·沈河期末）如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为 cm．
【答案】13
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠MAC，
∵CE⊥AD，CM⊥AB，
∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，
在Rt△AEC和Rt△AMC中，
AC=AC，CE=CM，
∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），
∴AE＝AM＝4cm，
∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠MBC，
在△EDC和△MBC中，
，
∴△EDC≌△MBC（AAS），
∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，
∴四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC＝8＋5＝13（cm），
故答案为：13．
【分析】如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，由角平分线的性质可得∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，证明Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），可得AE＝AM＝4cm，再根据AAS证明△EDC≌△MBC，可得ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，根据四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC，即可求解.
19．（2019八下·新田期中）如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上，AD=5，BE=4，则AB的长为 .
【答案】9
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过C点作CF⊥AB于F
∴∠AFC=∠BFC=90°，(垂直的定义)
∵AC平分∠DAB，
∴CF=CD.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)
∴Rt△ACF≌Rt△ACD(HL)
∴AF=AD.同理可证BF=BE .
∵AB=AF+BF，.
∴AB=AD+BE=5+4=9
【分析】过C点作CF⊥AB于F，利用角平分线的性质和三角形全等的判定与性质即可解答
20．（2022八下·胶州期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是边BC的中点，直线MN是AB的垂直平分线，点E是MN上的一个动点，则△BDE周长的最小值是 ．
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，AE，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE≥BD+AD，
当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，
∵AB=AC=10，BC=12，即BD=6，
∴AD=8，
∴△BDE的周长最小值为BD+AD=6+8=14，
∴△BDE的周长最小值为14，
故答案为：14．
【分析】连接AD，AE，由MN是AB的垂直平分线可得AE=BE，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可得△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE，由于BD时定值，可知当DE+AE最小时，△BDE的周长最小，当A、E、D三点共线时，DE+AE最小且等于AD的长，利用勾股定理求出AD的长，继而得解.
三、解答题（共6题，共60分）
21．利用尺规作图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（ 保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法．）
【答案】解：如图，点P为所作．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先作出∠AOB的平分线和CD的中垂线，两线的交点即为所作的点P．
22．（2021八下·达州期中）如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E，DF ⊥AC于F，且BD =CD.求证：BE =CF.
【答案】证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E，DF ⊥AC于F，
∴DE=DF，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（HL），
∴BE=CF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由角平分线的性质可得DE=DF，然后利用直角三角形的斜边直角边定理证明△BED≌△CFD，即可解决问题.
23．（2021八下·达州期中）如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，AB、AC 的垂直平分线分别与BC 交于 D、E，求∠EAD 的度数。
【答案】解：∵ AB，AC的垂直平分线MD和EN分别与BC交于D，E
∴ DA=DB，AE=CE，
∴∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，
∴∠BAD+∠EAC=∠ABD+∠ECA=180°-∠BAC=100°，
又∵∠BAD+∠EAC=∠ BAE+∠EAD+∠DAC+∠EAD=∠BAC+∠EAD=80°+∠EAD=100°，
∴∠EAD=100°-80°=20°，
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，结合∠BAC =80°推出180°-∠BAC=100°，然后根据角的和差关系得出80°+∠EAD=100°，即可求出∠EAD的度数.
24．（2021八下·莲湖期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC边的垂直平分线PE相交于点P，过点P作AB，AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：BM＝CN．
【答案】解：连接PC，PB，
∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PM=PN，∠BMP=∠PNC=90°
∵PE垂直平分BC，
∴BP=CP
在Rt△BPM和Rt△CPN中
∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）
∴BM=CN
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接PC，PB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得PM=PN，利用线段垂直平分线的性质可证得BP=CP；再利用HL证明Rt△BPM≌Rt△CPN，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
25．（2021八下·高州期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：
（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
【答案】（1）解：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF=∠BCA，
∴∠CAF=∠BAC，即AC平分∠EAF
（2）解：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA=∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF=∠EAC，
∴∠FAD=∠E．
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BAC=∠BCA， 再求出 ∠CAF=∠BCA， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠DAC=∠DCA，再求出∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF， 最后证明求解即可。
26．（2022八下·道县月考）如图，Rt△ABC，AC⊥CB，AC=15，AB=25，点D为斜边上动点.
（1）如图，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；
（2）如图，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD.
【答案】（1）解：∵AC⊥CB，AC=15，AB=25
∴BC=20
∵AE平分∠CAB
∴∠EAC=∠EAD
∵AC⊥CB， DE⊥AB
∴∠EDA=∠ECA=90°
∵AE=AE
∴△ACE≌△AED
∴CE=DE，AC=AD=15
设CE=x，则BE=20-x，BD=25-15=10
在Rt△BED中
∴
∴x=7.5
∴CE=7.5
（2）解： ①当AD=AC时，△ACD为等腰三角形
∵AC=15∴AD=AC=15
②当CD=AD时，△ACD为等腰三角形
∵CD=AD
∴∠DCA=∠CAD
∵∠CAB+∠B=90°
∠DCA+∠BCD=90°
∴∠B=∠BCD
∴BD=CD
∴CD=BD=DA=12.5
③当CD=AC时，△ACD为等腰三角形
如图，作CH⊥BA于点H，
则
∵AC=15，BC=20，AB=25
∴CH=12
在Rt△ACH中，易求AH=9
∵CD=AC ， CH⊥BA
∴AD=2AH=18
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）首先用勾股定理算出BD，利用角平分线的定义可证得∠EAC=∠EAD，利用垂直的定义得∠EDA=∠ECA，利用AAS证明△ACE≌△AED，利用全等三角形的性质可证得CE=DE，AD=AC，设CE=x，可表示出BE，BD的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到CE的长；
（2）根据△ACD是等腰三角形，分情况讨论：当AD=AC时，可求出AD的长；当CD=AD时，利用余角的性质可证得∠B=∠BCD，利用等角对等边可证得BD=CD=AD，即可求出AD的长；当CD=AC时，作CH⊥BA于点H，利用三角形的面积可求出CH的长，同时可求出AH的长，利用等腰三角形的性质可求出AD的长.
1 / 12022-2023学年初数北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 全章测试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八下·顺德期末）若等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ）
A．40° B．70° C．80° D．100°
2．（2021八下·红塔期末）等腰三角形的两边长分别为6和14，则这个等腰三角形的底边长是（ ）
A．6 B．6或14 C．14 D．34
3．（2021八下·北镇市期中）如图，在中，，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一组锐角对应相等 B．两组锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
6．如图，已知在△ABC中，∠C = 90°，AD = AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B = 28°，则∠AEC =（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
7．（2021八下·达州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交AC 平点D，AE∥BD 交CB 的延长线于点E。若∠E=35°，则∠BAC 的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
8．（2021八下·罗湖期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
9．（2020八下·江夏月考）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∠CAB的平分线交BC于点D，则BD的长度为（ ）
A． cm B．2cm C． cm D．3cm
10．（2020八下·济南期中）如图，在 中， ， ，D为BC的中点， ，垂足为 过点B作 交DE的延长线于点F，连接CF， 现有如下结论：
平分 ； ； ； ； ．其中正确的结论有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2021八下·云浮期末）面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为 ．
12．（2021八下·城阳期末）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB的中点，连接CD，∠ACB = 46°，则∠A= °．
13．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是
14．（2017八下·潍坊开学考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= 度．
15．（2021八下·凌海期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，若，则 ．
16．（2021八下·杭州开学考）如图，在等腰 中， 分别为 ， 边上的点，将边 沿 折叠，使点 落在 上的点 处.当点 与点 重合时， .
17．（2020八下·凤县期中）已知如图，在 中， ，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则 的周长等于 .
18．（2021八下·沈河期末）如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为 cm．
19．（2019八下·新田期中）如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上，AD=5，BE=4，则AB的长为 .
20．（2022八下·胶州期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是边BC的中点，直线MN是AB的垂直平分线，点E是MN上的一个动点，则△BDE周长的最小值是 ．
三、解答题（共6题，共60分）
21．利用尺规作图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（ 保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法．）
22．（2021八下·达州期中）如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E，DF ⊥AC于F，且BD =CD.求证：BE =CF.
23．（2021八下·达州期中）如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，AB、AC 的垂直平分线分别与BC 交于 D、E，求∠EAD 的度数。
24．（2021八下·莲湖期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC边的垂直平分线PE相交于点P，过点P作AB，AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：BM＝CN．
25．（2021八下·高州期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：
（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
26．（2022八下·道县月考）如图，Rt△ABC，AC⊥CB，AC=15，AB=25，点D为斜边上动点.
（1）如图，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；
（2）如图，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为 ＝70°．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，可以求出底角的度数。
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、14，不能组成三角形，
②6是底边时，三角形的三边分别为6、14、14，能组成三角形，
∴三角形的底边长为6，
故答案为：A．
【分析】分两种情况，再结合三角形三边的关系及等腰三角形的性质求解即可。
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝CD＝
BC＝4，
∵AD＝3，BD＝4，AD⊥BC，
∴AB＝
＝5，
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得BD＝CD＝
BC＝4，再利用勾股定理求出AB的长即可。
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；
D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；直角三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A中∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，
同理，B，C均为直角三角形，
D选项中∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，
故选：D．
【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
6．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据∠C=90°AD=AC，求证△CAE≌△DAE，∠CAE=∠DAE=∠CAB，再由∠C=90°，∠B=28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．
【解答】∵在△ABC中，∠C=90°，
AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，
∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE=∠DAE=∠CAB，
∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，
∴∠CAB=90°-28°=62°，
∵∠AEC=90°- ∠CAB=90°-31°=59°．
故选B．
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBD=35°×2=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-70×2=40°，
故答案为：A.
【分析】由平行线的性质求出∠CBD，再根据角平分线的定义求出∠ABC，然后利用等腰三角形的性质求出∠C，最后利用三角形内角和定理即可求出结果.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故答案为：B．
【分析】先根据垂直平分线的性质得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的性质得到∠ACB＝2∠ACD＝100°，最后利用三角形的内角和计算即可。
9．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】如图，过点D作 于点E
，AD平分 ，
在 和 中，
设 ，则
在 中， ，即
解得
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），过点D作 于点E，由角平分线的性质可得 ，再根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得.
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解： 不符合题意 ，
是 的中线，如果是角平分线，则 ，显然与已知矛盾，故不符合题意．
符合题意 易证 是等腰直角三角形，故BF ．
符合题意 ， ， ，
≌ ，
，
，
，
．
符合题意 在 中， ，易证 ．
符合题意 ≌ ，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和平行线的性质对每个结论一一判断即可作答。
11．【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，
则 ，BD＝CD，
即 ，
∴BC＝16，
∴BD＝ BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
故答案为：10．
【分析】先求出BC＝16，再求出BD=8，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．【答案】67
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B ，
∵∠ACB = 46°，
∴∠A= （180°-∠ACB）=67°；
故答案为：67．
【分析】由等腰三角形的性质可得C D垂直A B，角A C D等于23度，进而可求解。
13．【答案】AC=DE
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：AC=DE，
理由是：∵AB⊥DC，
∴∠ABC=∠DBE=90°，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，
∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．
故答案为：AC=DE．
【分析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．
14．【答案】45
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD=AD，
即∠ABC=∠BAD=45°．
故答案为：45．
【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．
15．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AD，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=12，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°，又∠C=90°，
∴AC=
AD=6，
故答案为：6．
【分析】连接AD，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=12，∠ADC=∠DAB+∠B=30°，再利用含30°角的性质可得AC=
AD=6。
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过C作CH⊥AB于H，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∵AC=BC，
∴AH=HB=3，
∴HD=AD-3,
∵CH===4 ,
∵CD2=CH2+HD2，
设AD=x,
∴x2=42+(x-3)2,
解得x=,
故答案为：.
【分析】过C作CH⊥AB于H，由垂直平分线的性质得CD=AD，然后由等腰三角形的性质结合勾股定理求出CH的长，设AD=x，在Rt△CHD中利用勾股定理列式求出AD即可.
17．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：因为AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，所以AD=DB，AE=CE.△ADE的周长为AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8.
故答案为8.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可知AD=BD，AE=EC，由此可得到△ADE的周长等于BC的长.
18．【答案】13
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠MAC，
∵CE⊥AD，CM⊥AB，
∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，
在Rt△AEC和Rt△AMC中，
AC=AC，CE=CM，
∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），
∴AE＝AM＝4cm，
∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠MBC，
在△EDC和△MBC中，
，
∴△EDC≌△MBC（AAS），
∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，
∴四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC＝8＋5＝13（cm），
故答案为：13．
【分析】如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，由角平分线的性质可得∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，证明Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），可得AE＝AM＝4cm，再根据AAS证明△EDC≌△MBC，可得ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，根据四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC，即可求解.
19．【答案】9
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过C点作CF⊥AB于F
∴∠AFC=∠BFC=90°，(垂直的定义)
∵AC平分∠DAB，
∴CF=CD.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)
∴Rt△ACF≌Rt△ACD(HL)
∴AF=AD.同理可证BF=BE .
∵AB=AF+BF，.
∴AB=AD+BE=5+4=9
【分析】过C点作CF⊥AB于F，利用角平分线的性质和三角形全等的判定与性质即可解答
20．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，AE，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE≥BD+AD，
当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，
∵AB=AC=10，BC=12，即BD=6，
∴AD=8，
∴△BDE的周长最小值为BD+AD=6+8=14，
∴△BDE的周长最小值为14，
故答案为：14．
【分析】连接AD，AE，由MN是AB的垂直平分线可得AE=BE，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可得△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE，由于BD时定值，可知当DE+AE最小时，△BDE的周长最小，当A、E、D三点共线时，DE+AE最小且等于AD的长，利用勾股定理求出AD的长，继而得解.
21．【答案】解：如图，点P为所作．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先作出∠AOB的平分线和CD的中垂线，两线的交点即为所作的点P．
22．【答案】证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E，DF ⊥AC于F，
∴DE=DF，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（HL），
∴BE=CF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由角平分线的性质可得DE=DF，然后利用直角三角形的斜边直角边定理证明△BED≌△CFD，即可解决问题.
23．【答案】解：∵ AB，AC的垂直平分线MD和EN分别与BC交于D，E
∴ DA=DB，AE=CE，
∴∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，
∴∠BAD+∠EAC=∠ABD+∠ECA=180°-∠BAC=100°，
又∵∠BAD+∠EAC=∠ BAE+∠EAD+∠DAC+∠EAD=∠BAC+∠EAD=80°+∠EAD=100°，
∴∠EAD=100°-80°=20°，
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，结合∠BAC =80°推出180°-∠BAC=100°，然后根据角的和差关系得出80°+∠EAD=100°，即可求出∠EAD的度数.
24．【答案】解：连接PC，PB，
∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PM=PN，∠BMP=∠PNC=90°
∵PE垂直平分BC，
∴BP=CP
在Rt△BPM和Rt△CPN中
∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）
∴BM=CN
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接PC，PB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得PM=PN，利用线段垂直平分线的性质可证得BP=CP；再利用HL证明Rt△BPM≌Rt△CPN，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
25．【答案】（1）解：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF=∠BCA，
∴∠CAF=∠BAC，即AC平分∠EAF
（2）解：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA=∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF=∠EAC，
∴∠FAD=∠E．
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BAC=∠BCA， 再求出 ∠CAF=∠BCA， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠DAC=∠DCA，再求出∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF， 最后证明求解即可。
26．【答案】（1）解：∵AC⊥CB，AC=15，AB=25
∴BC=20
∵AE平分∠CAB
∴∠EAC=∠EAD
∵AC⊥CB， DE⊥AB
∴∠EDA=∠ECA=90°
∵AE=AE
∴△ACE≌△AED
∴CE=DE，AC=AD=15
设CE=x，则BE=20-x，BD=25-15=10
在Rt△BED中
∴
∴x=7.5
∴CE=7.5
（2）解： ①当AD=AC时，△ACD为等腰三角形
∵AC=15∴AD=AC=15
②当CD=AD时，△ACD为等腰三角形
∵CD=AD
∴∠DCA=∠CAD
∵∠CAB+∠B=90°
∠DCA+∠BCD=90°
∴∠B=∠BCD
∴BD=CD
∴CD=BD=DA=12.5
③当CD=AC时，△ACD为等腰三角形
如图，作CH⊥BA于点H，
则
∵AC=15，BC=20，AB=25
∴CH=12
在Rt△ACH中，易求AH=9
∵CD=AC ， CH⊥BA
∴AD=2AH=18
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）首先用勾股定理算出BD，利用角平分线的定义可证得∠EAC=∠EAD，利用垂直的定义得∠EDA=∠ECA，利用AAS证明△ACE≌△AED，利用全等三角形的性质可证得CE=DE，AD=AC，设CE=x，可表示出BE，BD的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到CE的长；
（2）根据△ACD是等腰三角形，分情况讨论：当AD=AC时，可求出AD的长；当CD=AD时，利用余角的性质可证得∠B=∠BCD，利用等角对等边可证得BD=CD=AD，即可求出AD的长；当CD=AC时，作CH⊥BA于点H，利用三角形的面积可求出CH的长，同时可求出AH的长，利用等腰三角形的性质可求出AD的长.
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