第11章数的开方全章导学案
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第十一章 “数的开方”导学计划
备课人：秦莉 学校： 石岭镇金带铺初级中学
一、课标要求
1、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
2、 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某 些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
4、 能用有理数估计一个无理数的大致范围。［参见例2］
5、 了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问 题的要求对结果取近似值。
二、本章总体导学目标：
1、知识与技能：
（1）理解平方根、算术平方根、立方根的概念；认识平方根与开平方、立方与开立方间的关系；会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根。并会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。
（2）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
（3）能估计某些无理数的大小，会进行简单的实数运算。
2、过程与方法：讲授法、练习法、自主探索法、讲练结合法、测评法。
3、情感态度与价值观：让学生经历又一次数系扩张的过程，进一步体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系；培养学生的数感与估算能力。
三、本章教材特点：
1.注重将新知识与旧知识进行联系与类比。
2.注重让学生主动参与探索，给学生留有思考和操作的余地。
3.注重现代信息技术的利用。
四、本章总课时安排：本章教学时间大约需要7课时，分配如下：
1.12.1平方根与立方根（3课时）
2.12.2实数与数轴（2课时）
3.复习与测试（2课时）
五、本章知识框架 开平方。互逆运算。平方
平方根 概念及表示
性质
算术平方根。用科学计算器求算术平方根
开立方。互逆运算。立方
立方根 概念及表示
性质
用科学计算器求立方根
分类
无理数。实数 与数轴上点的关系
运算
比较大小
课题： 11.1平方根与立方根（1）
总第1课时
课标要求：了解平方根的概念。
导学目标：
1、知识与技能：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某
些数的平方根。
2、过程与方法：讲授法、练习法。
3、情感态度与价值观：体验数学来源于生活实际。解决生活中的实际问题。
导学核心点：
1.导学重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。
2.导学难点：平方根的意义和性质。
3.导学关键：用根号表示非负数的平方根。
4.导学用具：教师：三角板、小黑板
导学过程：
一、情境导入问题1、要剪出一块面积为25cm 的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题2、已知圆的面积是16πcm ，求圆的半径长。要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、导学探究（一）自学提纲1、你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？2、看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？3、25的平方根只有5吗？为什么？4、会求100的平方根吗？试一试5、－4有平方根吗？为什么？6、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？8、什么叫开平方？（二）能力、知识、提高同学们展示自学结果，教师点拔1.情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。2.概括：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。如∵52=25 ∴5是25的一个平方根 ∵（－52）=25 ∴（－5）是25的一个平方根 ∴5和（－5）都是25的平方根 故：25的平方根有两个：5和－53.根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。4.任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。5.0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。6.概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。7.求一个数a（a≥0）的平方根的运算，叫做开平方。三、知识应用求下列各数的平方根（1）49 （2）1.69 （3） （4）（－0.2） 方法：记住一个正数的平方根有两个即将下列各数开平方①1 ②0.09 ③（－） 方法：可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根四、课堂练习：说出下列各数的平方根①81 ②0.25 ③求未知数x的值①（3x） ＝16 ②（2x -1） =9方法：利用平方根的定义，即如果，那么是的平方根，记作：五、课堂小结：什么叫做平方根？一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？平方和开平方运算有什么区别和联系？区别：（1）平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂。而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底。（2）平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的，在开平方运算中，开方的数的结果不一定是唯一的。 联系：二者互为逆运算。六、作业布置1、P第1题2、选做题：已知：x是49的平方根，y是1的平方根，求下列各式的值。 （1）2x+1 （2）(x+y) 板书设计 课题： 平方根与立方根（1）1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思本节亮点：待改进处：
课题： 11.1 平方根与立方根（2）
总第2课时
课标要求：了解算术平方根的概念。
导学目标：
1、知识与技能：引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根概念的意义和平方根的表示方法基础上，讨论算术平方根的概念及其表示方法。会用计算器求一个非负数的算术平方根。
2、过程与方法：类比法，讲授法
3、情感态度与价值观：能用算术平方根的双重非负性和非负数的性质解决相关数学问题。
导学核心点：
1.导学重点：了解数的算术平方根的概念，会用“”表示一个数的平方根和算术平方根。
2.导学难点：难点：对的理解。特别是a的取值的理解。
3.导学关键：能区分平方根与算术平方根。
4.导学用具：教师：计算器、小黑板 学生：计算器
导学过程：
一、创设情境导入1、在（－5） ，－5 ，5 中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？2、说出平方根的概念和性质。3、0.49的平方根怎样用符号表示呢？又有新的命名吗？带着这些问题，走进我们今天的课堂。二、导学探究（一）自学提纲1、9的平方根是 ，9的正的平方根是 ，＝3表示的意义是什么？2、什么样的数存在平方根？什么样的平方根是这个数的算术平方根？分别用什么符号表示？3、“”存在的条件是什么？ “”的结果是正数、0、还是负数？4、＝0正确吗？5、有意义吗？呢？呢？6、－的意义是什么？它等于什么（二）能力、知识、提高同学们展示自学结果，教师点拔1、概括：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记为，读作“a的算术平方根”。另一个平方根是它的相反数，即－。因此正数a的平方根可以记作±，a称为被开方数。注意：（1）这里的不仅表示开平方运算，而且表示正的平方根。（2）这里“”中有双“正”值，即被开方数为正，结果的值为正。 2、0的平方根也叫0的算术平方根，因此0的算术平方根是0。即＝0。从以上可知：当a是正数或0时，表示a的算术平方根，其结果为非负数。3、总有意义，也总有意义，但存在有条件限制，即－a≥0，∴a≤0三、知识应用1、求100的算术平方根2、求下列各数的平方根和算术平方根 （1）36 （2）2.89 （3）3、求下列各式的值表示(1) (2)±方法：表示a 的算术平方根，-表示a的负的平方根±表示 a的平方根。 4、用计算器求下列各数的算术平方根（看第4页的按键顺序）(1)529 (2)1225 (3)44.81四、课堂练习1、下列各式中叫些有意义？哪些无意义？(1) - (2) (3) (4)2、求下列各数的平方根和算术平方根 (1)121 (2)0.25 (3)400 (4) 3、求下列各式的值，并说明它们各表示的意义 (1) (2)- (3)± (4)4、用计算器计算(1) (2) (3)（精确到0.01）五、课堂小结 (1)如何表示一个正数的平方根？举例说明(2)什么叫做算术平方根？(3)式子中的x应满足什么条件？六、作业布置 1、P 3（1） 4 2、选做题：（1）若某数的平方根为2a+3和a-15，求这个数。 （2）若+=0，求（x-y）板书设计 课题： 平方根与立方根（2）1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思 本节亮点：待改进处：
课题： 11.1平方根与立方根（3）
总第3课时
课标要求：了解立方根的概念，开方与乘方互为逆运算。
导学目标：
1、知识与技能：
（1）了解立方根和开立方的概念。
（2）会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算。
（3）会用计算器求一个数的立方根。
2、过程与方法：类比分析法
3、情感、态度与价值观：培养学生用类比思想方法解决求立方根的运算问题。
导学核心点：
1.导学重点：立方根的概念和性质
2.导学难点：会求一个数的立方根
3.导学关键：用根号表示数的立方根。
4.导学用具：教师：计算器、小黑板 学生：计算器
导学过程
一、情境导入问题：现有一只体积为216cm 正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？二、导学探究（一）自学提纲 1、类比平方根的概念，这个实际问题，能抽象出什么数学概念？在数学上提出怎样的计算问题？2、2的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是8？3、－3的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是－27？4、27的立方根是什么？－27的立方根呢？0的立方根呢？5、类比平方根的性质，你能总结出立方根的性质吗？6、什么叫开立方？开立方与 是互逆运算。求一个数的立方根可以通过 运算来求。7、一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？（二）能力、知识、提高同学们展示自学结果，教师点拔1、概括：如果一个数的立方根a，那么这个数叫做a的立方根，记作，读作“三次根号a”a称为被开方数，3称根指数。2、立方根的性质：正数有一个立方根，是正数 负数有一个立方根，是负数 0有一个立方根，是03、平立根与立方根的区别和联系（1）联系：①0的平方根、立方根都是0②平方根、立方根都是开方的结果。（2）区别：①定义不同 ②个数不同③表示方法不同，正数a的平方根为±，a的立方根表示为④被开方数的取值范围不同三、知识应用1、求下列各数的立方根（1） （2）－125 （3）－0.0082、用计算器求下列各数的立方根（看P的按键顺序）（1）1331 （2）－343 （3）9.2633、求下列各式的值（1） （2） （3）（） 方法：（1）立方与开立方互为逆算，所以可以用立方运算求一个数的立方根；（2）立方根是开立方的结果，是一个数。四、课堂练习1、求下列各数的立方根（1）512 （2）－0.008 （3）－2、用计算器计算（1） （2） （3）（精确到0.01）3、判断正误（1）－4没有立方根 （2）1的立方根是±1（3）－5的立方根是－ （4）64的算术平方根是8五、课堂小结：1、立方根的定义、性质 2、完成下表 六、作业布置：1、P 2 3（2）2、立方根等于本身的数有 平方根等于本身的数有 －的立方根是 3、x为何值时，＋有意义？ X为何值时，＋有意义？板书设计 课题： 平方根与立方根（3）1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思 本节亮点：待改进处：
课题： 11.2（1） 实数与数轴(1)
总第 4 课时
课标要求： 了解无理数和实数的概念。
教学目标：
1、知识与技能 ：
（1）了解无理数、实数的概念和实数的分类。
（2）知道实数与数轴上的点一一对应。
2、过程与方法：探究法、分析法。
3、情感、态度与价值观：数的范围扩大了，原来在有理数范围内不能进行的一些运算在实数范围内可以进行了。
导学核心点：
1.导学重点：了解无理数、实数的概念和实数的分类。
2.导学难点：正确理解无理数的意义。
3.导学关键：了解实数与数轴上的点之间的对应关系。
4.导学用具：直尺、计算器。
导学过程：
一、情境导入小学的时候，我们就认识一个非常特殊的数，圆周率π，它约等于3.14，你还能说出它后面的数字吗？比比看谁记得多。它是一个怎样的数？二、导学探究（一）自学提纲1、看书P8-P9完成有理数的分类。2、把下列分数化成小数， =___，=___，=___。你再任意举三个分数化成小数，可以发现任何一个分数写成小数形式，必须是___小数或___小数。3、、π 是分数吗？为什么？4、什么是无理数？实数？5、你能完成p9中的“试一试”吗？6、如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴能被添满吗？如果将所有的实数都标到数轴上，那么数轴能被添满吗？ 实数与数轴上的点是一一对应吗？（二）能力，知识提高 展示与指导1、通过让学生们回答上面的问题，知道分数都可化为有限小数或无限不循环小数，而π、是无限不循环小数，故不是分数。2、在此基础上总结出无理数概念。3、实数概念。4、实数的分类。 整数 有理数实数 分数 无理数5、实数与数轴上的点的关系。三．知识应用1、把下列各数分别填入相应的数集里。-π，-，，，0.324371, 0.5, -, , 4, -,,0.8080080008… 实数集﹛ …﹜无理数集﹛ …﹜有理数集﹛ …﹜分数集﹛ …﹜负无理数集﹛ …﹜2、下列各说法正确吗？请说明理由。⑴3.14是无理数； ⑵无限小数都是无理数； ⑶无理数都是无限小数； ⑷带根号的数都是无理数；⑸无理数都是开方开不尽的数； ⑹不循环小数都是无理数。以上由学生回答，教师适时补充的方式，引导学生。方法：无理数的几种常见类型：①开方开不尽的数；②π或化科后含π的数；③定义本身的形式四、课堂练习判断下列说法是否正确，并说明理由。1、有理数与数轴上的点是一 一 对应。2、无理数与数轴上的点是一 一对应。3、有理数包括整数和小数。五、课堂小结：1、无理数、实数的区别。2、有理数、实数的区别。3、实数与数轴的点是一 一 对应的关系。 六．作业布置 完成下列作业1．在下列数：－0.5，，21，，，，，0，中 有理数有：_______________；正数有：_______________； 无理数有：_______________；负数有：_______________．2．在数轴上作出的对应点，如何作出的对应点呢？板书设计 课题： 实数与数轴（1）1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思 本节亮点：待改进处：
课题： 11.2实数与数轴（2）
总第 5 课时
课标要求：掌握用有理数估计一个无理数的范围。
导学目标:1、知识与技能：
（1）了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则以及运算律在实数范围内仍然适用．
（2）能利用运算法则进行简单四则运算．
2.过程与方法：类比、综合法
3.情感、态度与价值观：在解决问题时要会用分类讨论思想、数形结合思想。
导学核心点：
1.导学重点：
了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。利用运算法则进行简单四则运算
2.导学难点：
熟练的运用法则进行四则运算。
3.导学关键：掌握简单的四则运算的方法。
4.导学方法：类别学习法。
导学过程：
情境导入：前面学过的相反数，绝对值等概念以及运算律法则都是在有理数的范围内，现在数的范围扩充到实数。这些仍然适用吗？导学探究（一）预习提纲：用字母来表示有理数的乘法交换律，乘法的结合律，乘法的分配律。用字母表示有理数的加法交换律和结合律有理数a的相反数是 ，有理数a的倒数是 ，有理数a的绝对值是 上述问题在实数范围内仍然成立吗？请你完成课本10页例1，例2（二）展示指导经过探究知道，有理数的相反数和绝对值等概念，大小比较，运算法则，运算律对实数也同样适用.实数的大小比较和运算通常可取实数的近似值来运算。师生共同完成例1，例2.知识应用。1.︱-2︱= 2.的相反数是 3.比较大小;(1)3与2； （2）-2与-34.计算（1）（+1）（2）（+1）（-1）方法： 课堂练习：课本13页练习：2，3题课堂小结：实数的倒数为 0 六、作业布置： 1.课本13页习题：1，2题板书设计课题： 实数与数轴（2）1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思 本节亮点：待改进处：
课题： 《数的开方》 复习
总第 6 课时
课标要求：能用数形结合思想.类别学习方法，解决相关的数学问题。
导学目标：通过复习让学生对本章的知识有一个系统的了解和掌握。
导学核心点：
导学重点与难点：经历本章知识结构图的认识过程，体会数学知识的前后连贯性，体验综合应用学过的知识解决问题的方法。
导学过程：
一、复习旧知：1、看书本14页本章知识结构图，并完成下列填空。2、若x2=a则 是 的平方根，a的平方根记作 ，a的算术平方根记作 3、正数有 个平方根，它们的关系是 ，负数有平方根吗？若没有说明原因。0的平方根为---------。 -------叫开平方，它与-------互为逆运算。4、若x=a 则--------是-------的立方根，记作---------。正数的立方根是-------数负数的立方根是-------数0的立方根是-------数5、--------叫开立方，开立方与--------互为逆运算。6、-------是无理数。-------和------统称为实数，实数与数轴上的点是---------关系。二、知识应用：1、填空：（1）的平方根是-------，的算术平方根是--------（2）------的平方等于 ，- 的立方根是-------（3）平方根等于本身的数-------立方根等于本身的数-------算术平方根等于本身的数-------（4）若︳x ︳= ，则 x= -------- - 的相反数是--------，的绝对值是--------。2、将下列各数按从小到大的顺序排列:,-,︳1-︳,1+3、一个立方体的体积为285cm，求这个立方体的表面积。（保留三个有效数字）三、课堂小结：弄清相关结识体系，运用相应知识点解决实际问题。四、课堂作业：课本25页1、2题补充题，已知(2x)=16, y是(-5)的正的平方根的正的平方根，求代数式+的值.板书设计课题： 数的开方1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思 本节亮点：待改进处：
附：第十一章 《数的开方》单元检测题
总第 7 课时
（时间45分钟，分值100分）
一、选择题（每题3分，共30分）1、下列说法不正确的是（ ）A如果一个数有两个平方根，那么它的平方根的和为0B如果一个数只有一个平方根，那么它的平方根是0C任何数的绝对值都有平方根D任何数的绝对值的相反数都没有平方根2、一个实数与它倒数之和是2，则它的平方根是（ ）A 2 B ±2 C 1 D ±13、下列各数中没有平方根的是（ ）A-22 B 0 C D（-4）24、的算术平方根是（ ）A B - C D ±5、若a2=(-5)2 b3=(-5)3 ,则a + b的值为（ ）A 0 B ±10 C 0或10 D 0或-106、如果一个数的平方根是a+3及15，那么a是（ ）A 12 B 18 C-12 D -18 7、如果一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是（ ）A 0 B ±1 C 0和1 D 0或±18、使式子有意义的实数x的取值范围是（ ）A x≥0 B x>- C x ≥- D x ≥- 9、在3，0，，，，0.3，0.303003…（每相邻两个3之间依次多一个0），中，无理数有（ ）个A 0 B 1 C 2 D 310、与数轴上的点一一对应的是（ ）A 有理数 B 整数 C 无理数 D 实数二、填空题（每题2分，共30分）1.若x2=9,则x=_________2.25的算术平方根是____________3.如果正数x的平方根为a+2与3a-6,那么x=________4.若m的平方根是±4，2n的平方根是±5，则m+2n=__________5.若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________6.一个负数a的倒数等于它本身，则=___________7. 的相反数是_________8.当b=-1时， =________9.数轴上到原点的距离等于的数是________10.若无理数a满足不等式1＜a＜4,请你写出两个你熟悉的无理数_ ___11.计算 12.比较大小：-______-213.若实数a、b满足(a+b-2)2+,则a-b=______14.当m=-3时， 15.已知与互为相反数，则xy=_______三、解答题（共40分）1.求出下列各式中x的值。（每题5分，共20分）（1）169x2=100 (2)x2-289=0(3) 27(x-1)3=8 (4)3x3+24=02.若m、n是实数，且, 求m、n的值（4分）3.已知求的值（6分）4.先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题。（10分）（1）已知a、b是有理数，并且满足不等式5-=2b+，求a、b的值。解：因为5-=2b+即5-=(2b-a)+所以 2b-a=5 -a=解得: a=- b=（2）设x、y是有理数，并且满足x2+2y+y=17-4，求x+y的值。参考答案一、选择题：1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6. D 7. A 8.D 9.D 10.D二、填空题：1、±3 2、 5 3、 9 4、41 5、 0或16、 1 7、 3 8、 2 9、± 10、,11、0 12、＜ 13、 14、 0 15、-6三、解答题1、（1）x=± (2)x=±17 (3)x= (4)x=22、m=-3 n=23、04、由得 解得 或 所以x+y=5－4或x+y=－5－4故x+y=1或x+y=－9【测后小结】
数的开方
备课人：秦莉 学校： 石岭镇金带铺初级中学
一、课标要求
1、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
2、 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某 些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
4、 能用有理数估计一个无理数的大致范围。［参见例2］
5、 了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问 题的要求对结果取近似值。
二、本章总体导学目标：
1、知识与技能：
（1）理解平方根、算术平方根、立方根的概念；认识平方根与开平方、立方与开立方间的关系；会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根。并会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。
（2）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
（3）能估计某些无理数的大小，会进行简单的实数运算。
2、过程与方法：讲授法、练习法、自主探索法、讲练结合法、测评法。
3、情感态度与价值观：让学生经历又一次数系扩张的过程，进一步体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系；培养学生的数感与估算能力。
三、本章教材特点：
1.注重将新知识与旧知识进行联系与类比。
2.注重让学生主动参与探索，给学生留有思考和操作的余地。
3.注重现代信息技术的利用。
四、本章总课时安排：本章教学时间大约需要7课时，分配如下：
1.12.1平方根与立方根（3课时）
2.12.2实数与数轴（2课时）
3.复习与测试（2课时）
五、本章知识框架 开平方。互逆运算。平方
平方根 概念及表示
性质
算术平方根。用科学计算器求算术平方根
开立方。互逆运算。立方
立方根 概念及表示
性质
用科学计算器求立方根
分类
无理数。实数 与数轴上点的关系
运算
比较大小
课题： 11.1平方根与立方根（1）
总第1课时
课标要求：了解平方根的概念。
导学目标：
1、知识与技能：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某
些数的平方根。
2、过程与方法：讲授法、练习法。
3、情感态度与价值观：体验数学来源于生活实际。解决生活中的实际问题。
导学核心点：
1.导学重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。
2.导学难点：平方根的意义和性质。
3.导学关键：用根号表示非负数的平方根。
4.导学用具：教师：三角板、小黑板
导学过程：
一、情境导入问题1、要剪出一块面积为25cm 的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题2、已知圆的面积是16πcm ，求圆的半径长。要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、导学探究（一）自学提纲1、你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？2、看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？3、25的平方根只有5吗？为什么？4、会求100的平方根吗？试一试5、－4有平方根吗？为什么？6、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？8、什么叫开平方？（二）能力、知识、提高同学们展示自学结果，教师点拔1.情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。2.概括：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。如∵52=25 ∴5是25的一个平方根 ∵（－52）=25 ∴（－5）是25的一个平方根 ∴5和（－5）都是25的平方根 故：25的平方根有两个：5和－53.根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。4.任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。5.0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。6.概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。7.求一个数a（a≥0）的平方根的运算，叫做开平方。三、知识应用求下列各数的平方根（1）49 （2）1.69 （3） （4）（－0.2） 方法：记住一个正数的平方根有两个即将下列各数开平方①1 ②0.09 ③（－） 方法：可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根四、课堂练习：说出下列各数的平方根①81 ②0.25 ③求未知数x的值①（3x） ＝16 ②（2x -1） =9方法：利用平方根的定义，即如果，那么是的平方根，记作：五、课堂小结：什么叫做平方根？一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？平方和开平方运算有什么区别和联系？区别：（1）平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂。而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底。（2）平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的，在开平方运算中，开方的数的结果不一定是唯一的。 联系：二者互为逆运算。六、作业布置1、P第1题2、选做题：已知：x是49的平方根，y是1的平方根，求下列各式的值。 （1）2x+1 （2）(x+y) 板书设计 课题： 平方根与立方根（1）1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思本节亮点：待改进处：
课题： 11.1 平方根与立方根（2）
总第2课时
课标要求：了解算术平方根的概念。
导学目标：
1、知识与技能：引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根概念的意义和平方根的表示方法基础上，讨论算术平方根的概念及其表示方法。会用计算器求一个非负数的算术平方根。
2、过程与方法：类比法，讲授法
3、情感态度与价值观：能用算术平方根的双重非负性和非负数的性质解决相关数学问题。
导学核心点：
1.导学重点：了解数的算术平方根的概念，会用“”表示一个数的平方根和算术平方根。
2.导学难点：难点：对的理解。特别是a的取值的理解。
3.导学关键：能区分平方根与算术平方根。
4.导学用具：教师：计算器、小黑板 学生：计算器
导学过程：
一、创设情境导入1、在（－5） ，－5 ，5 中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？2、说出平方根的概念和性质。3、0.49的平方根怎样用符号表示呢？又有新的命名吗？带着这些问题，走进我们今天的课堂。二、导学探究（一）自学提纲1、9的平方根是 ，9的正的平方根是 ，＝3表示的意义是什么？2、什么样的数存在平方根？什么样的平方根是这个数的算术平方根？分别用什么符号表示？3、“”存在的条件是什么？ “”的结果是正数、0、还是负数？4、＝0正确吗？5、有意义吗？呢？呢？6、－的意义是什么？它等于什么（二）能力、知识、提高同学们展示自学结果，教师点拔1、概括：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记为，读作“a的算术平方根”。另一个平方根是它的相反数，即－。因此正数a的平方根可以记作±，a称为被开方数。注意：（1）这里的不仅表示开平方运算，而且表示正的平方根。（2）这里“”中有双“正”值，即被开方数为正，结果的值为正。 2、0的平方根也叫0的算术平方根，因此0的算术平方根是0。即＝0。从以上可知：当a是正数或0时，表示a的算术平方根，其结果为非负数。3、总有意义，也总有意义，但存在有条件限制，即－a≥0，∴a≤0三、知识应用1、求100的算术平方根2、求下列各数的平方根和算术平方根 （1）36 （2）2.89 （3）3、求下列各式的值表示(1) (2)±方法：表示a 的算术平方根，-表示a的负的平方根±表示 a的平方根。 4、用计算器求下列各数的算术平方根（看第4页的按键顺序）(1)529 (2)1225 (3)44.81四、课堂练习1、下列各式中叫些有意义？哪些无意义？(1) - (2) (3) (4)2、求下列各数的平方根和算术平方根 (1)121 (2)0.25 (3)400 (4) 3、求下列各式的值，并说明它们各表示的意义 (1) (2)- (3)± (4)4、用计算器计算(1) (2) (3)（精确到0.01）五、课堂小结 (1)如何表示一个正数的平方根？举例说明(2)什么叫做算术平方根？(3)式子中的x应满足什么条件？六、作业布置 1、P 3（1） 4 2、选做题：（1）若某数的平方根为2a+3和a-15，求这个数。 （2）若+=0，求（x-y）板书设计 课题： 平方根与立方根（2）1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思 本节亮点：待改进处：
课题： 11.1平方根与立方根（3）
总第3课时
课标要求：了解立方根的概念，开方与乘方互为逆运算。
导学目标：
1、知识与技能：
（1）了解立方根和开立方的概念。
（2）会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算。
（3）会用计算器求一个数的立方根。
2、过程与方法：类比分析法
3、情感、态度与价值观：培养学生用类比思想方法解决求立方根的运算问题。
导学核心点：
1.导学重点：立方根的概念和性质
2.导学难点：会求一个数的立方根
3.导学关键：用根号表示数的立方根。
4.导学用具：教师：计算器、小黑板 学生：计算器
导学过程
一、情境导入问题：现有一只体积为216cm 正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？二、导学探究（一）自学提纲 1、类比平方根的概念，这个实际问题，能抽象出什么数学概念？在数学上提出怎样的计算问题？2、2的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是8？3、－3的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是－27？4、27的立方根是什么？－27的立方根呢？0的立方根呢？5、类比平方根的性质，你能总结出立方根的性质吗？6、什么叫开立方？开立方与 是互逆运算。求一个数的立方根可以通过 运算来求。7、一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？（二）能力、知识、提高同学们展示自学结果，教师点拔1、概括：如果一个数的立方根a，那么这个数叫做a的立方根，记作，读作“三次根号a”a称为被开方数，3称根指数。2、立方根的性质：正数有一个立方根，是正数 负数有一个立方根，是负数 0有一个立方根，是03、平立根与立方根的区别和联系（1）联系：①0的平方根、立方根都是0②平方根、立方根都是开方的结果。（2）区别：①定义不同 ②个数不同③表示方法不同，正数a的平方根为±，a的立方根表示为④被开方数的取值范围不同三、知识应用1、求下列各数的立方根（1） （2）－125 （3）－0.0082、用计算器求下列各数的立方根（看P的按键顺序）（1）1331 （2）－343 （3）9.2633、求下列各式的值（1） （2） （3）（） 方法：（1）立方与开立方互为逆算，所以可以用立方运算求一个数的立方根；（2）立方根是开立方的结果，是一个数。四、课堂练习1、求下列各数的立方根（1）512 （2）－0.008 （3）－2、用计算器计算（1） （2） （3）（精确到0.01）3、判断正误（1）－4没有立方根 （2）1的立方根是±1（3）－5的立方根是－ （4）64的算术平方根是8五、课堂小结：1、立方根的定义、性质 2、完成下表 六、作业布置：1、P 2 3（2）2、立方根等于本身的数有 平方根等于本身的数有 －的立方根是 3、x为何值时，＋有意义？ X为何值时，＋有意义？板书设计 课题： 平方根与立方根（3）1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思 本节亮点：待改进处：
课题： 11.2（1） 实数与数轴(1)
总第 4 课时
课标要求： 了解无理数和实数的概念。
教学目标：
1、知识与技能 ：
（1）了解无理数、实数的概念和实数的分类。
（2）知道实数与数轴上的点一一对应。
2、过程与方法：探究法、分析法。
3、情感、态度与价值观：数的范围扩大了，原来在有理数范围内不能进行的一些运算在实数范围内可以进行了。
导学核心点：
1.导学重点：了解无理数、实数的概念和实数的分类。
2.导学难点：正确理解无理数的意义。
3.导学关键：了解实数与数轴上的点之间的对应关系。
4.导学用具：直尺、计算器。
导学过程：
一、情境导入小学的时候，我们就认识一个非常特殊的数，圆周率π，它约等于3.14，你还能说出它后面的数字吗？比比看谁记得多。它是一个怎样的数？二、导学探究（一）自学提纲1、看书P8-P9完成有理数的分类。2、把下列分数化成小数， =___，=___，=___。你再任意举三个分数化成小数，可以发现任何一个分数写成小数形式，必须是___小数或___小数。3、、π 是分数吗？为什么？4、什么是无理数？实数？5、你能完成p9中的“试一试”吗？6、如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴能被添满吗？如果将所有的实数都标到数轴上，那么数轴能被添满吗？ 实数与数轴上的点是一一对应吗？（二）能力，知识提高 展示与指导1、通过让学生们回答上面的问题，知道分数都可化为有限小数或无限不循环小数，而π、是无限不循环小数，故不是分数。2、在此基础上总结出无理数概念。3、实数概念。4、实数的分类。 整数 有理数实数 分数 无理数5、实数与数轴上的点的关系。三．知识应用1、把下列各数分别填入相应的数集里。-π，-，，，0.324371, 0.5, -, , 4, -,,0.8080080008… 实数集﹛ …﹜无理数集﹛ …﹜有理数集﹛ …﹜分数集﹛ …﹜负无理数集﹛ …﹜2、下列各说法正确吗？请说明理由。⑴3.14是无理数； ⑵无限小数都是无理数； ⑶无理数都是无限小数； ⑷带根号的数都是无理数；⑸无理数都是开方开不尽的数； ⑹不循环小数都是无理数。以上由学生回答，教师适时补充的方式，引导学生。方法：无理数的几种常见类型：①开方开不尽的数；②π或化科后含π的数；③定义本身的形式四、课堂练习判断下列说法是否正确，并说明理由。1、有理数与数轴上的点是一 一 对应。2、无理数与数轴上的点是一 一对应。3、有理数包括整数和小数。五、课堂小结：1、无理数、实数的区别。2、有理数、实数的区别。3、实数与数轴的点是一 一 对应的关系。 六．作业布置 完成下列作业1．在下列数：－0.5，，21，，，，，0，中 有理数有：_______________；正数有：_______________； 无理数有：_______________；负数有：_______________．2．在数轴上作出的对应点，如何作出的对应点呢？板书设计 课题： 实数与数轴（1）1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思 本节亮点：待改进处：
课题： 11.2实数与数轴（2）
总第 5 课时
课标要求：掌握用有理数估计一个无理数的范围。
导学目标:1、知识与技能：
（1）了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则以及运算律在实数范围内仍然适用．
（2）能利用运算法则进行简单四则运算．
2.过程与方法：类比、综合法
3.情感、态度与价值观：在解决问题时要会用分类讨论思想、数形结合思想。
导学核心点：
1.导学重点：
了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。利用运算法则进行简单四则运算
2.导学难点：
熟练的运用法则进行四则运算。
3.导学关键：掌握简单的四则运算的方法。
4.导学方法：类别学习法。
导学过程：
情境导入：前面学过的相反数，绝对值等概念以及运算律法则都是在有理数的范围内，现在数的范围扩充到实数。这些仍然适用吗？导学探究（一）预习提纲：用字母来表示有理数的乘法交换律，乘法的结合律，乘法的分配律。用字母表示有理数的加法交换律和结合律有理数a的相反数是 ，有理数a的倒数是 ，有理数a的绝对值是 上述问题在实数范围内仍然成立吗？请你完成课本10页例1，例2（二）展示指导经过探究知道，有理数的相反数和绝对值等概念，大小比较，运算法则，运算律对实数也同样适用.实数的大小比较和运算通常可取实数的近似值来运算。师生共同完成例1，例2.知识应用。1.︱-2︱= 2.的相反数是 3.比较大小;(1)3与2； （2）-2与-34.计算（1）（+1）（2）（+1）（-1）方法： 课堂练习：课本13页练习：2，3题课堂小结：实数的倒数为 0 六、作业布置： 1.课本13页习题：1，2题板书设计课题： 实数与数轴（2）1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思 本节亮点：待改进处：
课题： 《数的开方》 复习
总第 6 课时
课标要求：能用数形结合思想.类别学习方法，解决相关的数学问题。
导学目标：通过复习让学生对本章的知识有一个系统的了解和掌握。
导学核心点：
导学重点与难点：经历本章知识结构图的认识过程，体会数学知识的前后连贯性，体验综合应用学过的知识解决问题的方法。
导学过程：
一、复习旧知：1、看书本14页本章知识结构图，并完成下列填空。2、若x2=a则 是 的平方根，a的平方根记作 ，a的算术平方根记作 3、正数有 个平方根，它们的关系是 ，负数有平方根吗？若没有说明原因。0的平方根为---------。 -------叫开平方，它与-------互为逆运算。4、若x=a 则--------是-------的立方根，记作---------。正数的立方根是-------数负数的立方根是-------数0的立方根是-------数5、--------叫开立方，开立方与--------互为逆运算。6、-------是无理数。-------和------统称为实数，实数与数轴上的点是---------关系。二、知识应用：1、填空：（1）的平方根是-------，的算术平方根是--------（2）------的平方等于 ，- 的立方根是-------（3）平方根等于本身的数-------立方根等于本身的数-------算术平方根等于本身的数-------（4）若︳x ︳= ，则 x= -------- - 的相反数是--------，的绝对值是--------。2、将下列各数按从小到大的顺序排列:,-,︳1-︳,1+3、一个立方体的体积为285cm，求这个立方体的表面积。（保留三个有效数字）三、课堂小结：弄清相关结识体系，运用相应知识点解决实际问题。四、课堂作业：课本25页1、2题补充题，已知(2x)=16, y是(-5)的正的平方根的正的平方根，求代数式+的值.板书设计课题： 数的开方1、情境导入2、导学探究3、知识应用4、课堂练习5、课堂小结6、作业布置导学反思 本节亮点：待改进处：
附：第十一章 《数的开方》单元检测题
总第 7 课时
（时间45分钟，分值100分）
一、选择题（每题3分，共30分）1、下列说法不正确的是（ ）A如果一个数有两个平方根，那么它的平方根的和为0B如果一个数只有一个平方根，那么它的平方根是0C任何数的绝对值都有平方根D任何数的绝对值的相反数都没有平方根2、一个实数与它倒数之和是2，则它的平方根是（ ）A 2 B ±2 C 1 D ±13、下列各数中没有平方根的是（ ）A-22 B 0 C D（-4）24、的算术平方根是（ ）A B - C D ±5、若a2=(-5)2 b3=(-5)3 ,则a + b的值为（ ）A 0 B ±10 C 0或10 D 0或-106、如果一个数的平方根是a+3及15，那么a是（ ）A 12 B 18 C-12 D -18 7、如果一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是（ ）A 0 B ±1 C 0和1 D 0或±18、使式子有意义的实数x的取值范围是（ ）A x≥0 B x>- C x ≥- D x ≥- 9、在3，0，，，，0.3，0.303003…（每相邻两个3之间依次多一个0），中，无理数有（ ）个A 0 B 1 C 2 D 310、与数轴上的点一一对应的是（ ）A 有理数 B 整数 C 无理数 D 实数二、填空题（每题2分，共30分）1.若x2=9,则x=_________2.25的算术平方根是____________3.如果正数x的平方根为a+2与3a-6,那么x=________4.若m的平方根是±4，2n的平方根是±5，则m+2n=__________5.若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________6.一个负数a的倒数等于它本身，则=___________7. 的相反数是_________8.当b=-1时， =________9.数轴上到原点的距离等于的数是________10.若无理数a满足不等式1＜a＜4,请你写出两个你熟悉的无理数_ ___11.计算 12.比较大小：-______-213.若实数a、b满足(a+b-2)2+,则a-b=______14.当m=-3时， 15.已知与互为相反数，则xy=_______三、解答题（共40分）1.求出下列各式中x的值。（每题5分，共20分）（1）169x2=100 (2)x2-289=0(3) 27(x-1)3=8 (4)3x3+24=02.若m、n是实数，且, 求m、n的值（4分）3.已知求的值（6分）4.先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题。（10分）（1）已知a、b是有理数，并且满足不等式5-=2b+，求a、b的值。解：因为5-=2b+即5-=(2b-a)+所以 2b-a=5 -a=解得: a=- b=（2）设x、y是有理数，并且满足x2+2y+y=17-4，求x+y的值。参考答案一、选择题：1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6. D 7. A 8.D 9.D 10.D二、填空题：1、±3 2、 5 3、 9 4、41 5、 0或16、 1 7、 3 8、 2 9、± 10、,11、0 12、＜ 13、 14、 0 15、-6三、解答题1、（1）x=± (2)x=±17 (3)x= (4)x=22、m=-3 n=23、04、由得 解得 或 所以x+y=5－4或x+y=－5－4故x+y=1或x+y=－9【测后小结】
数的开方