10.2.2 等边三角形与反证法同步练习（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
2 等腰三角形
第2课时 等边三角形与反证法 (1)
夯基础
1.如图,直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b 上,∠2=40°,则∠1的度数为 ( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
2.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设( )
A.三个外角都为钝角 B.三个外角中两个为钝角
C.三个内角都为钝角 D.三个外角中只有一个或没有钝角
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=4,∠B=30°,点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )
A.1 .8 B.2.2 C.3.5 D.3.8
4.下列关于等边三角形的描述不正确的是( )
A.是轴对称图形
B.对称轴的交点是其重心
C.等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值
D.绕重心顺时针至少旋转60°能与自身重合
5.如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= .
6.如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点.分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是 .
7.如图,点P,M,N分别在等边△ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N,且BP=CM=AN.
求证：△PMN是等边三角形.
练能力
1.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,则下列关系式正确的为 ( )
A.BD=CD B.BD=2CD C.BD=3CD D.BD=4CD
2.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是 ( )
A.80° B.100° C.120° D.140°
3.如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 ( )
B.3 D.2
4.反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”.用反证法证明：“已知在△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°”时,第一步应假设 .
5.如图，木工师傅从边长为90cm的等边三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为 cm.
6.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD的长是 .
7.在△ABC中,AB=AC=10cm,BD是高,且∠ABD=30°,则CD= .
8.知等边三角形一边上的高为 ,则它的边长为 .
9.等边三角形ABC中,D是边BC上的一点,BD=2CD,以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.若CE=2,则等边三角形ABC的边长为 .
10.如图,△ABC是等边三角形,D,E在直线BC上,DB=EC.求证:∠D=∠E.
11.如图:△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延长线上,且BE=AF=CD.
求证:△DEF是等边三角形.
参考答案
夯基础
1.A 2.D 3.A 4.D 5.15° 6.6
7.证明：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.
又∵MP⊥AB,MN⊥BC,PN⊥AC,∴∠BPM=∠ANP=∠NMC=90°.
在△APN和△BMP和△NCM中,∠A=∠B=∠C,BP=CM=AN,∠BPM=∠ANP=∠NMC,
∴△APN≌△BMP≌△CNM.∴PN=PM=MN.∴△PMN是等边三角形.
练能力
1.B 2.B
3.C 解析:过C作CF⊥AB交AD于E,如图,则此时,CE+EF的值最小,且CE+EF的最小值=CF,
∵△ABC为等边三角形,边长为6，
∴CE+EF的最小值为
故选:C.
4.∠B≥90° 5.30 6.2 7.5cm或15cm 8.4
9.3或 解析：如图，E点在AD的右边.
∵△ADE与△ABC都是等边三角形,∴AC=AB,AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°,
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD.即∠CAE=∠BAD.
在△CAE和△BAD中, ∴△CAE≌△BAD(SAS)
∴CE=BD=2,
∵BD=2CD,∴CD=1,∴BC=BD+CD=2+1=3,
∴等边三角形ABC的边长为3；
如图，E点在AD的左边.
同上,△BAE≌△CAD(SAS),∴BE=CD,∠ABE=∠ACD=60°,
∴∠EBD=120°,过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F,则∠EBF=60°,
∵BD=2CD,
在Rt△EFC中,CE=2,∴EF +CF =CE =4,
或 (舍去),
∴等边三角形ABC的边长为
故答案为：3或
10.证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACE,
在△ADB和△AEC中, ∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴∠D=∠E.
11.证明：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC.
又∵BE=AF=CD,∴AB+BE=BC+CD=AC+AF,即AE=BD=CF.
在△AFE和△BED和△CDF中, ∴△AFE≌△BED≌△CDF(SAS).
∴EF=DE=DF.∴△DEF是等边三角形.
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