3.6.2 圆的切线判定和三角形的内切圆 课件（共30张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.6.2 圆的切线判定和三角形的内切圆 课件（共30张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-15 13:18:53 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
3.6.2 圆的切线判定和三角形的内切圆
北师大版 九年级 下册
教学目标
教学目标:1.理解并掌握切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定
解决有关的证明和计算.
2.了解三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活应用.
教学重点:1.探索圆的切线的判定方法，并能运用．
2.作三角形内切圆的方法．
教学难点：探索圆的切线的判定方法．
新知讲解
情境引入
当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴是顺着伞的什么方向飞出去的？
砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的
均沿着圆的切线的方向飞出．
B
●O
A
┓
d
α
┏
d
α
d
┓
l
思考：如图，AB是☉0的直径，直线l经过点A,AB与AC的夹角为∠α
(1)观察直线l转动，点O到l的距离d如何变化 直线l与☉O的位置关系如何变化
(2)当∠α等于多少度时，点0到l的距离d等于半径r 此时，直线l与☉0有怎样的位置关系 为什么
C
D
α
合作学习
（1）随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变
化？直线l 与⊙O的位置关系如何变化？
∠α 越小，点O到 l 的距离d越小；
∠α=90°时，直线 l 与⊙O相切;
∠α＜90°时，直线 l 与⊙O相交.
（2）当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等
于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
∠α=90°时，点O到l的距离d等于半径 r；
此时，直线l与⊙O相切.
由此可得到一个结论：
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
提炼概念
Ｏ
A
B
C
经过半径的外端
并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线。
切线的判定定理：
OA为⊙O半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O切线
判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
议一议： 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
要使剪得圆的面积最大，这个圆应该与三角形的各边都相切.
典例精讲
例2 如图 3-28，在 △ABC 中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切.
图 3-28
图 3-29
解：1．作 ∠B，∠C的平分线 BE 和 CF，交点为 I（如图3-29）．
2．过 I 作 ID⊥BC，垂足为 D．
3．以 I 为圆心、以 ID 为半径作 ⊙I．
⊙I 就是所求的圆．
你能说说这种作法的道理吗？
由例 2 的作图过程可知，BE 和 CF 只有一个
交点 I，并且 I 到△ABC 三边的距离相等，因此
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle of triangle），
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）．
归纳概念
图形 ⊙O 的名称 △ABC 的名称 圆心O 的确定 “心”的性质 “心”的位置
△ABC的内切圆 ⊙O 的外切三角形 三角形三条角平分线的交点 到三角形的三条边的距离相等 一定在三角形内部
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
课堂练习
1、下列命题中正确的是( )
A. 与圆有公共点的直线是圆的切线
B. 经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的直径
C. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
D
2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
A
3.如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆.三角形的内心是否都在三角形内部？
解：图略．三角形的内心都在三角形的内部．
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
4.△ABC中，☉O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠BOC的度数．
A
B
C
O
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
∵☉O是△ABC的内切圆
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
即∠ OBC= ∠ABC ∠OCB= ∠ACB
∴∠ BOC=180°－(∠ OBC+∠OCB)
=180°－ ( ∠ABC +∠ACB)
=180°－ ×110°
= 125°.
A
B
C
O
·
B
D
E
F
O
C
A
5.如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S.
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
＝ AB·OD＋ BC·OE＋ AC·OF
＝ l·r
6.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若∠CDE=∠DAC，AC=12．
(1)求⊙O半径；
(2)求证：DE为⊙O的切线．
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AB=AC=12，
∴⊙O半径为6；
(2)证明：连接OD，
∵∠CDE=∠DAC，
∴∠CDE+∠C=∠DAC+∠C，
∴∠AED=∠ADB，
由(1)知∠ADB=90°，
∴∠AED=90°，
∵DC=BD，OA=OB
∴OD//AC．
∴∠ODF=∠AED=90°，
∴半径OD⊥EF．
∴DE为⊙O的切线．
如果用小圆代表
你们学到的知识，
用大圆代表我学到
的知识，那么大圆
的面积是多一点，但
两圆之外的空白都
是我们的无知面．圆越
大其圆周接触的无知面就多．
——古希腊 芝诺
课堂总结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
三角形内切圆
有关概念
内心概念及性质
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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3.6.2 圆的切线判定和三角形的内切圆
北师大版 九年级 下册
教学目标
教学目标:1.理解并掌握切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定
解决有关的证明和计算.
2.了解三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活应用.
教学重点:1.探索圆的切线的判定方法，并能运用．
2.作三角形内切圆的方法．
教学难点：探索圆的切线的判定方法．
新知讲解
情境引入
当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴是顺着伞的什么方向飞出去的？
砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的
均沿着圆的切线的方向飞出．
B
●O
A
┓
d
α
┏
d
α
d
┓
l
思考：如图，AB是☉0的直径，直线l经过点A,AB与AC的夹角为∠α
(1)观察直线l转动，点O到l的距离d如何变化 直线l与☉O的位置关系如何变化
(2)当∠α等于多少度时，点0到l的距离d等于半径r 此时，直线l与☉0有怎样的位置关系 为什么
C
D
α
合作学习
（1）随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变
化？直线l 与⊙O的位置关系如何变化？
∠α 越小，点O到 l 的距离d越小；
∠α=90°时，直线 l 与⊙O相切;
∠α＜90°时，直线 l 与⊙O相交.
（2）当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等
于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
∠α=90°时，点O到l的距离d等于半径 r；
此时，直线l与⊙O相切.
由此可得到一个结论：
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
提炼概念
Ｏ
A
B
C
经过半径的外端
并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线。
切线的判定定理：
OA为⊙O半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O切线
判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
议一议： 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
要使剪得圆的面积最大，这个圆应该与三角形的各边都相切.
典例精讲
例2 如图 3-28，在 △ABC 中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切.
图 3-28
图 3-29
解：1．作 ∠B，∠C的平分线 BE 和 CF，交点为 I（如图3-29）．
2．过 I 作 ID⊥BC，垂足为 D．
3．以 I 为圆心、以 ID 为半径作 ⊙I．
⊙I 就是所求的圆．
你能说说这种作法的道理吗？
由例 2 的作图过程可知，BE 和 CF 只有一个
交点 I，并且 I 到△ABC 三边的距离相等，因此
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle of triangle），
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）．
归纳概念
图形 ⊙O 的名称 △ABC 的名称 圆心O 的确定 “心”的性质 “心”的位置
△ABC的内切圆 ⊙O 的外切三角形 三角形三条角平分线的交点 到三角形的三条边的距离相等 一定在三角形内部
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
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O
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d
课堂练习
1、下列命题中正确的是( )
A. 与圆有公共点的直线是圆的切线
B. 经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的直径
C. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
D
2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
A
3.如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆.三角形的内心是否都在三角形内部？
解：图略．三角形的内心都在三角形的内部．
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
4.△ABC中，☉O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠BOC的度数．
A
B
C
O
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
∵☉O是△ABC的内切圆
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
即∠ OBC= ∠ABC ∠OCB= ∠ACB
∴∠ BOC=180°－(∠ OBC+∠OCB)
=180°－ ( ∠ABC +∠ACB)
=180°－ ×110°
= 125°.
A
B
C
O
·
B
D
E
F
O
C
A
5.如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S.
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
＝ AB·OD＋ BC·OE＋ AC·OF
＝ l·r
6.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若∠CDE=∠DAC，AC=12．
(1)求⊙O半径；
(2)求证：DE为⊙O的切线．
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AB=AC=12，
∴⊙O半径为6；
(2)证明：连接OD，
∵∠CDE=∠DAC，
∴∠CDE+∠C=∠DAC+∠C，
∴∠AED=∠ADB，
由(1)知∠ADB=90°，
∴∠AED=90°，
∵DC=BD，OA=OB
∴OD//AC．
∴∠ODF=∠AED=90°，
∴半径OD⊥EF．
∴DE为⊙O的切线．
如果用小圆代表
你们学到的知识，
用大圆代表我学到
的知识，那么大圆
的面积是多一点，但
两圆之外的空白都
是我们的无知面．圆越
大其圆周接触的无知面就多．
——古希腊 芝诺
课堂总结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
三角形内切圆
有关概念
内心概念及性质
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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