河南省南阳市第一中学2014届高三第十次周考数学（文）试题

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南阳市第一中学2014届高三第十次周考数学文试题
2014年2月8日
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设全集，且，则满足条件的集合的个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．设（是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
3．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
附：
做不到“光盘” 能做到“光盘”
男 45 10
女 30 15
P(k) 0.10 0.05 0.025
k 2.706 3.841 5.024
参照附表，得到的正确结论是 （ ）
A．在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
B．在犯错误的概率不超过l％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
C．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
4．已知直线与圆相切，且与直线：平行，则直线的方程是 ( )
A．3x＋4y－1＝0 B．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0
C．3x＋4y＋9＝0 D．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0
5．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．直角三角形 B．不含角的等腰三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
6．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 （ ）
A． B． C． D．
7．已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为（ ）.
A． B． C． D．
8．已知函数，对任意的实数都有，且，则（ ）
A． B．
C． D．
9．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为）， 则该棱锥
的体积是（ ）
A．4 B．8 C． D．
10．定义在R上的可导函数，且图像连续，当时， ,则函数的零点的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．0 D．0或2
11．设是等比数列，，公比，为的前n项和，为数列的前n项和，若.记
,设为数列{}的最大项，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D． 6
12．函数和函数，若存在使得成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
2、填空题（每题5分，共20分）
13．已知点、、、，则向量在方向上的投影为
14．以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 .
15．已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D内有无穷多个点（x,y）可使目标函数取得最小值，则m= .
16．如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是_______________.
三、解答题（本大题共7题，共70分）
17．（本小题满分12分）
如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1百米．
(1)求△CDE的面积； (2)求A，B之间的距离的平方．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
PD⊥底面ABCD，M，N分别为PA，BC的中点，
且PD＝AD＝2。
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求三棱锥P－ABC的体积。
19．（本小题满分12分）
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段［90,100），［100,110），…，,140,150）后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在［120,130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为［110,130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段［120,130）内的概率。
20．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆的焦点分别为，双曲线，设为双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(Ⅰ)设直线、的斜率分别为、，求：的值；
(Ⅱ)是否存在常数，使得恒成立？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数，（为常数，为自然对数的底）．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若在时取得极小值，试确定的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（为确定的常数）相切，并说明理由．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(Ⅱ)求曲线上的点到直线的最大距离.
23．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲
若不等式对满足的一切正实数
恒成立，求实数的取值范围.
周考10文数答案
1-12 DACBA CBBCC BD
13、 14、 15、1 16、
20、（Ⅰ）设， 则
因为点P在双曲线上，所以
因此，即
（Ⅱ）由于PF1的方程为，将其代入椭圆方程得
由韦达定理得
所以
同理可得 则
又
所以
故
因此，存在，使恒成立。
21、解：（Ⅰ）当时，．．
所以．
（Ⅱ）
．
令，得或．
1）当，即时， 恒成立，
此时在区间上单调递减，没有极小值；
2）当，即时， 若，则．若，则．
是函数的极小值点．
3）当，即时，若，则．若，则．
此时是函数的极大值点．
综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当，且时，，
因此是的极大值点，极大值为．
所以． ．
令．
则恒成立，即在区间上是增函数．
所以当时，，即恒有．
又直线的斜率为，
所以曲线不能与直线相切．
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