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17.1变量与函数 ( 21世纪教育网版权所有 )（2）
学习目标：
掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围。1世纪教育网
2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值。
3.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。
2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法。
重点难点：自变量取值范围
学习方法：自主探究，合作学习1世纪教育网、
学习过程：
一、问题引入
问题1 填写如图所示的加法表 ( 21世纪教育网版权所有 )，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么 如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．
解 如图能发现涂黑的格子成一条直线．1世纪教育网
函数关系式：y＝10－x．
问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．
解 y与x的函数关系式：y＝180－2x．
问题3 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．1世纪教育网
解 y与x的函数关系式：．
二、探究归纳
思考 (1)在上面问题中所出现的各 ( 21世纪教育网版权所有 )个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．
(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？
分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．
问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°．1世纪教育网
问题3，开始时A点与M点重合，MA长度为0cm，随着△ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长，最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm．
解 (1)问题1，自变量x的取值范围 ( 21世纪教育网版权所有 )是：1≤x≤9；
问题2，自变量x的取值范围是：0＜x＜90；
问题3，自变量x的取值范围是：0≤x≤10．
当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4．
上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：1世纪教育网
s＝60t， S＝πR2．
在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0．
对于函数 y＝x(30－x)，当自变量x＝5时，对应的函数y的值是y＝5×(30－5)＝5×25＝125．125叫做这个函数当x＝5时的函数值．1世纪教育网
三、实践应用
例1 求下列函数中自变量x的取值范围 ( 21世纪教育网版权所有 )：
(1) y＝3x－1； (2) y＝2x2＋7；(3)； (4)．
分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2)中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在(3)中，x＝－2时，没有意义；在(4)中，x＜2时，没有意义．
解 (1)x取值范围是任意实数；1世纪教育网
(2)x取值范围是任意实数；
(3)x的取值范围是x≠－2；
(4)x的取值范围是x≥2．
归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式．
例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围 ( 1世纪教育网版权所有 )：
(1)某市民用电费标准为每度0。50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；
(2)已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；
(3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式．
解 (1) y＝0。50x，x可取任意正数；
(2)，x可取任意正数；1世纪教育网
(3)S＝100π－πr2，r的取值范围是0＜r＜10．
例3 在上面的问题(3)中，当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少
解 设重叠部分面积 ( 1世纪教育网版权所有 )为y cm2，MA长为x cm， y与x之间的函数关系式为
当x＝1时，1世纪教育网
所以当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是cm2．
例4 求下列函数当x = 2时的函数值：
(1)y = 2x-5 ； (2)y =－3x2 ；
(3)； (4)．
分析 函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值．
解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1；
(2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；
(3)当x = 2时，y == 2； 1世纪教育网
(4)当x = 2时，y == 0．
四、交流反思 ( 1世纪教育网版权所有 )
1.求函数自变量取值范围的两个依据：
(1)要使函数的解析式有意义．
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．
(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．1世纪教育网
五、课后作业
1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式；
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0。60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；
(3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积．1世纪教育网
2.求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝－2x－5x2； (3) y＝x(x＋3)；
(3)； (4)．
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如果在一个变化过程中，有两个变量，如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
函数关系的三种表示方法
解析法、列表法、图象法
一种量，它的取值始终保持不变，称之为常量
复习回顾
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1.填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么
如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向的加数用y表示,试写出y与x的函数关系式．
探索新知
我们发现,横向的加数与纵向的加数之和为10,即x+y=10,通过这个关于x,y的二元一次方程,可以求出y与x之间的函数关系式：
这里的x是否可以取全体实数 它的范围是什么呢
y=10－x
(01
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＋
2.试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．
根据等腰三角形两个底角相等的性质，以及三角形内角和为180度，可以得到关于x,y的二元一次方程：2x+y=180
分析：
利用变量之间的关系列出方程,再把方程变形,从而求出两个变量之间的函数关系.
方程变形为：
y=180－2x
(0x
y
A
M
y= x
1
2
(0 ≤ x≤10 )
A
B
C
P
Q
M
N
3.如图,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycm 与MA长度xcm之间的函数关系式.
(1)对于一些简单问题的函数解析式，往往可以通过利用已有的公式列出.
(2)一些实际问题的函数解析式
例如:底边一定,三角形的面积随高的变化而变化.
先找出自变量x与函数y之间的等量关系
列出关于x, y的二元一次方程
然后用x表示y
最后还要考虑数量的实际意义
自变量的取值范围
y=10－x
(0y=180－2x
(0(0 ≤ x≤10 )
y= x
1
2
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做函数自变量的取值范围.
新知应用
例 在上面试一试的问题（3）中，当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少
解：设重叠部分面积为ycm ,MA长为x cm,容易求出y与x之间的函数关系式为
y= x
1
2
(0 ≤ x≤10 )
当x＝1时，
y= ×1
1
2
1
2
＝
y=
1
2
叫做当x＝1时的函数值.
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）（2）中x取任意实数，都有意义
（3）中，x≠－2时，原式有意义．
（4）中x≥-2时，原式有意义．
解：
（1） y＝3x－1； （2） y＝2x2＋7；
（3） y= ； （4） y＝ ；
1
x+2
√x+2
例题解析
1.求下列函数中自变量x的取值范围
（1）（2）中x取任意实数，都有意义
（3）中，x≠－2时，原式有意义．
（4）中x≥-3时，原式有意义．
解：
（1）y= ；（2）y=x2-x-2；
（3）y= ；（4）y=
5x+3
3
4x+5
x+2
√x+3
跟踪练习
例 在上面试一试的问题（3）中，当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少
解 ：设重叠部分面积为y cm2，MA长为x cm
y与x之间的函数关系式为
y=
当x＝1时，y=
MA＝1 cm时，重叠部分的面积是 cm2
学以致用
（1）试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．
y=1800-2x
随堂练习
（2）一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s=10t+2t2.假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？
解：t=8时，代入s=10t+2t2，得s=208
答：坡长为208米。
3.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：
y＝(x+1)(x－2)；(2)y＝2x2－3x＋2；
(3)
．
解：（1）x=2,y=0;x=-3,y=10
解：（2）x=2,y=4;x=-3,y=29
解：（3）x=2,y=4;x=-3,y=1/4
y=
x+2
x-1
随堂练习
1、函数自变量的取值范围:
2 、求自变量取值范围的方法：
根据使函数表示的实际问题有意义的条件,以及使函数解析式中的数学式子有意义的条件,列出不等式或不等式组,求出它或它们的解集,即为自变量的取值范围.
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做函数自变量的取值范围.
知识小结
1.求函数自变量取值范围的两个依据：
(1)要使函数的解析式有意义．
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．
(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．
课堂小结
