3.7切线长定理 教案
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3.7切线长定理 教学设计
课题 3.7切线长定理 单元 第3 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 理解切线长的概念，掌握切线长定理.利用切线长定理进行有关的计算；并在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想.
核心素养分析 通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法，通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力.
学习目标 1、理解切线长的概念和定理，学会判定圆的切线，并且求出切线的长；2、利用切线长定理证明与圆切线相关的几何题；3、掌握切线长定理与圆其他知识点的综合应用.
重点 切线长定理及应用.
难点 切线长定理及应用、初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 活动内容：过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆的切线，让学生明白过圆外一点画圆的切线能画出两条.观察思考，猜想验证 活动内容：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，A,B是切点这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆，按轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧等关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中讨论、指导.学生明白：过圆外一点画圆的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.知道切线是用线段的长来定义的，定义中的“线段”具有什么特征？① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.我们组将这个图沿着射线PO折叠，发现PA与PB重合，∠APO与∠BPO重合（板书）结合这个图形，该定理的符号语言如何叙述？切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等．设计意图：定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合.首先探索猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、 利用圆的对称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径.之后，再让学生探索更多的结论，定理的剖析以对话形式进行.已知：PA，PB是⊙O的两条切线，A,B是切点求证PA=PB；证明：连接OA，OB；∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴ ∠PAO=∠PBO=90.在Rt△PAO和Rt△PBO中 ,∵OA=OB，OP=OP,∴ Rt△PAO≌ Rt△PBO.∴PA=PB.处理方式：引导学生有意识的归纳、总结证明的方法，通过充分交流，让所有学生都能够对解决问题的基本策略进行反思，体会解决这类问题的基本思路，形成个人的解决问题的风格．并板书过程.设计意图：让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提高证明过程的准确性和推理的能力.借此培养学生合作意识.学以致用，探究创新活动内容：请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O 的四条切线，再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.处理方式：类比圆的内接四边形的性质：对角互补。利用切线长定理的结论，让学生先独立思考，然后让学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识．完后教师在课件上展示解题思路，让学生明白圆的外切四边形的两组对边的和相等.设计意图：学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论.这样教学，教师不只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林” 思考自议在教师的引导下探究如何画圆的切线，体会圆的切线的判定和性质，给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流. 探索猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、 利用圆的对称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性.
讲授新课 提炼概念典例精讲 例题：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.处理方式：让学生分析问题后，提出问题：1、从图中可得出哪些结论？请说明理由.2、求⊙O 的半径时，应如何利用已知条件？解决本题的关键，可以引导学生寻找思路，请一学生板演完成此题，并让学生进行题后小结.设计意图：引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.教师点评学生在黑板上的解答，讲解时注意强调学生容易出错的地方． 学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论.这样教学，教师不只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林” . 引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.
课堂练习 四、巩固训练1.如图，PA 切⊙O 于A，PB 切⊙O 于B，连接OP，AB.下列结论不一定正确的是( )A．PA＝PB B．OP 垂直平分AB C．∠OPA＝∠OPB D．PA＝ABD如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为( )A．50 B．52 C．54 D．56B3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . 65 °或115 °4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3, BD+CE=12, 则△ABC的周长是 .245．如图，○O是三角形纸片ABC的内切圆，在○O的右侧沿着○O相切的直线MN剪下△AMN．若△ABC的周长为15cm，BC=4cm，则剪下的△AMN的周长为多少cm？解：∵○O是三角形纸片ABC的内切圆，MN与○O相切，∴BC+BD+CE=2BC=8，MN+MA+AN=AD+AE=15-8=7，即剪下的△AMN的周长为7cm，故答案为：7．6.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.7.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO⊥CO；(2)求BE和CG的长．
课堂小结
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课题 3.7切线长定理 单元 第3 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 理解切线长的概念，掌握切线长定理.利用切线长定理进行有关的计算；并在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想.
核心素养分析 通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法，通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力.
学习目标 1、理解切线长的概念和定理，学会判定圆的切线，并且求出切线的长；2、利用切线长定理证明与圆切线相关的几何题；3、掌握切线长定理与圆其他知识点的综合应用.
重点 切线长定理及应用.
难点 切线长定理及应用、初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 活动内容：过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆的切线，让学生明白过圆外一点画圆的切线能画出两条.观察思考，猜想验证 活动内容：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，A,B是切点这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆，按轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧等关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中讨论、指导.学生明白：过圆外一点画圆的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.知道切线是用线段的长来定义的，定义中的“线段”具有什么特征？① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.我们组将这个图沿着射线PO折叠，发现PA与PB重合，∠APO与∠BPO重合（板书）结合这个图形，该定理的符号语言如何叙述？切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等．设计意图：定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合.首先探索猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、 利用圆的对称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径.之后，再让学生探索更多的结论，定理的剖析以对话形式进行.已知：PA，PB是⊙O的两条切线，A,B是切点求证PA=PB；证明：连接OA，OB；∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴ ∠PAO=∠PBO=90.在Rt△PAO和Rt△PBO中 ,∵OA=OB，OP=OP,∴ Rt△PAO≌ Rt△PBO.∴PA=PB.处理方式：引导学生有意识的归纳、总结证明的方法，通过充分交流，让所有学生都能够对解决问题的基本策略进行反思，体会解决这类问题的基本思路，形成个人的解决问题的风格．并板书过程.设计意图：让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提高证明过程的准确性和推理的能力.借此培养学生合作意识.学以致用，探究创新活动内容：请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O 的四条切线，再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.处理方式：类比圆的内接四边形的性质：对角互补。利用切线长定理的结论，让学生先独立思考，然后让学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识．完后教师在课件上展示解题思路，让学生明白圆的外切四边形的两组对边的和相等.设计意图：学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论.这样教学，教师不只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林” 思考自议在教师的引导下探究如何画圆的切线，体会圆的切线的判定和性质，给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流. 探索猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、 利用圆的对称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性.
讲授新课 提炼概念典例精讲 例题：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.处理方式：让学生分析问题后，提出问题：1、从图中可得出哪些结论？请说明理由.2、求⊙O 的半径时，应如何利用已知条件？解决本题的关键，可以引导学生寻找思路，请一学生板演完成此题，并让学生进行题后小结.设计意图：引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.教师点评学生在黑板上的解答，讲解时注意强调学生容易出错的地方． 学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论.这样教学，教师不只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林” . 引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.
课堂练习 四、巩固训练1.如图，PA 切⊙O 于A，PB 切⊙O 于B，连接OP，AB.下列结论不一定正确的是( )A．PA＝PB B．OP 垂直平分AB C．∠OPA＝∠OPB D．PA＝ABD如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为( )A．50 B．52 C．54 D．56B3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . 65 °或115 °4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3, BD+CE=12, 则△ABC的周长是 .245．如图，○O是三角形纸片ABC的内切圆，在○O的右侧沿着○O相切的直线MN剪下△AMN．若△ABC的周长为15cm，BC=4cm，则剪下的△AMN的周长为多少cm？解：∵○O是三角形纸片ABC的内切圆，MN与○O相切，∴BC+BD+CE=2BC=8，MN+MA+AN=AD+AE=15-8=7，即剪下的△AMN的周长为7cm，故答案为：7．6.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.7.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO⊥CO；(2)求BE和CG的长．
课堂小结
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