第十章 三角形的有关证明专项训练 等腰三角形中的分类讨论思想（含答案）

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专项训练
等腰三角形中的分类讨论思想
类型① 腰和底不确定，引出讨论
1.若m,n满足,则以为边的等腰三角形的周长为 .
2.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3,则腰AB的长为 .
类型② 顶角和底角不确定，引出讨论
3.若等腰三角形的一个内角为80°，则顶角的度数是 ( )
A.80° B.20° C.80°或者20° D.80°且20°
4.若等腰三角形的一个内角为50°，则另外两个内角的度数分别是( )
A.65° ,65° B.65°,65°或80°,50°
C.80° ,50° D.65°,50°或80°,65°
5.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”.若在等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值 .
6.如果等腰三角形的两个内角之比为1：2，那么这个三角形的三个内角各是多少度
类型③ 高的位置不确定，引出讨论
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为多少
类型④ 由腰上的中线引出讨论
8.等腰三角形ABC的底边BC长为10cm,一腰上的中线BD把其周长分为差为6cm的两部分，则其腰长为 ( )
A.16cm B.4 cm C.4 cm或16 cm D.2cm或8cm
9.在等腰△ABC中,AB=AC,腰长为12cm,一腰上的中线BD把其周长分为差为4cm 的两部分，则其底边长为 ( )
A.8cm B.16cm C.8cm或12cm D.8cm 或16cm
类型⑤ 腰上的垂直平分线位置不确定，引出讨论
10.在△ABC中,AB=AC,AC边的垂直平分线DE与AC相交于点D，与直线AB相交于点E，且与直线AB所夹的锐角为40°，则顶角∠A的度数为 。
参考答案
1.15
2.6 解析:∵等腰△ABC是“倍长三角形”,∴AB=2BC或BC=2AB,
若AB=2BC=6,则△ABC三边分别是6,6,3,符合题意,∴腰AB的长为6;
若BC=3=2AB,则AB=1.5,△ABC三边分别是1.5,1.5,3,
∵1.5+1.5=3.∴此时不能构成三角形，这种情况不存在.
综上所述，腰AB的长是6.
故答案为：6.
3.C 4.B 或
6.解：由于角的身份不确定，需分两种情况讨论：
①若底角和顶角之比为1：2，
设底角度数为β，那么顶角度数为2β，则β+β+2β=180°
∴β=45°,此时2β=90°,∴三角形的三个内角分别是45°,45°,90°;
②若顶角和底角之比为1：2，
设顶角度数为β，那么底角度数为2β，则β+2β+2β=180°,
∴β=36°,此时2β=72°,∴三角形的三个内角分别是36°,72°,72°.
综上所述，三角形的三个内角分别是45°，45°，90°或36°,72°,72°.
7.解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示.
∵CD是△ABC的高,∴∠ADC=90°.
∴∠A=90°-∠ACD= 90°-50°=40°.
∵△ABC是等腰三角形,
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2所示.
∵CD是△ABC的高,∴∠BDC=90°.
∴∠CAD= 90°-∠ACD=90°-50°=40°.
∴∠BAC=180°-∠CAD= 180°-40°= 140°.
∵△ABC是等腰三角形,
综合上述，这个等腰三角形的底角为70°或20°.
8.A 9.D 10.50°或130°
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