第十章 三角形的有关证明单元检测题（含答案）

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第十章综合检测题
时间:60分钟 满分:100分 得分:_________
一、选择题(每题3分，共30分)
1.如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为 ( )
A.30° B.75° C.30°或75° D.60°
2.如图,线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,∠A=50°,则∠BDC为( )
A.50° B.100° C.120° D.130°
3.如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC 于点E，连接DE，则BE的长是 ( )
A.5
4.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定△POC≌△POD的选项是( )
A.PC⊥OA,PD ⊥OB B.OC=OD C.∠OPC=∠OPD D.PC=PD
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,∠A=30°,则BD，AB的数量关系为 ( )
6.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是 ( )
A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
7.如图,BD为∠ABC的角平分线,DE⊥BC于点E,DE=6,∠A=30°,则AD的长为 ( )
A.6 B.8 C.12 D.1 6
8.下列命题，它们的逆命题一定成立的有( )
①若x=4,则 x = 16;②直角三角形的两个锐角互余；③在角的内部，到角两边相等的点在这个角的平分线上；④两个全等三角形的周长相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图,在△ABC中,AB=AC,尺规作图:(1)分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；(2)作射线AD，连接BD，CD.则下列结论中错误的是( )
A.∠BAD=∠CAD B.△ABC是等边三角形
C.AD垂直平分BC
10.如图,△ABC是等边三角形,D △ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于点E,连接CD,分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H,EH=1,则下列结论:①∠ACD=15°;②△AFG是等腰三角形;③△ADF≌△BAH;④DF=2.其中正确的有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题(每题3分，共18分)
11.等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 .
12.如图,AD是等边△ABC的中线,点E是AB上的点,且AE=AD,则∠EDB= .
13.写出命题：“如果m是有理数，那么它是整数或分数”的逆命题： .
14.如图，线段AB，BC的垂直平分线l ，l 相交于点O，若∠1=39°,则∠AOC= .
15.如图，直线上有三个正方形，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为 .
16.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是 .
三、解答题(共52分)
17.(5分)如图,已知∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:△OPD≌△OPE.
18.(5分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证:AD=AE.
19.(6分)如图，每个小方格都是边长为1的正方形.
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)求∠ABC的度数.
20.(6分)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB;
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.
21.(7分)如图,BE是△ABC的角平分线,在AB上取点D,使DB=DE.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若∠A=65°,∠AED=45°,求∠EBC的度数.
22.(7分)如图,已知在等腰三角形ADC中,AD=CD,且AB∥DC,CB⊥AB于B,CE⊥AD交AD 的延长线于E.
(1)求证:CE=CB;
(2)如果连接BE，请写出BE与AC的关系并证明.
23.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠BAD=22.5°时,求BD的长.
24.(8分)如图,在等边三角形ABC 中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC 于点H.
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
参考答案
1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B
9.D 解析：根据作图方法可得BC=BD=CD,
∵BD=CD, ∴点D在BC的垂直平分线上,
∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上,
∴AD是BC的垂直平分线，故C选项正确；
∴O为BC中点,∴AO是△BAC的中线,
∵AB=AC,∴∠BAD=∠CAD,故A选项正确;
∵BC=BD=CD,∴△BCD是等边三角形，故B选项正确；
∵四边形ABCD的面积
故D选项错误.
故选:D.
10.C 解析:∵△ABC为等边三角形,△ABD 为等腰直角三角形，
∴∠BAC=60°,∠BAD=90°,AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,
∴△CAD是等腰三角形,且顶角∠CAD=150° ,∴∠ADC=15°,故①正确;
∵AE⊥BD,即∠AED=90°,∴∠DAE=45°,
∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°,∴∠AGF=75°,
∴△AFG三个内角都不相等，∴△AFG不是等腰三角形，故②错误；
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°,则∠BAH=∠ADC=15°,
在△ADF和△BAH中,∠ADF=∠BAH,DA =AB,∠DAF=∠ABH,
∴△ADF≌△BAH(ASA),故③正确;
∵∠EAH=30°,∴AH=2EH,
∵EH=1,△ADF≌△BAH(ASA),∴DF=AH,
∴DF=AH=2EH=2,故④正确.
故选:C.
11.5或3 12.15°
13.如果m是整数或分数，那么它是有理数
14.78° 15.16 16.10°或100°
17.证明:∵∠AOC=∠BOC,∴OC为∠AOB的角平分线,
又∵点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE,∠PDO=∠PEO=90°,
又∵PO=PO(公共边),∴△OPD≌△OPE(HL).
18.解:(1)如图所示,CE即为所求.
(2)证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB,
∵BD是∠ABC的角平分线,CE是∠ACB的角平分线,
∴∠ABD=∠ACE,
∵AB=AC,∠A=∠A,∴△ACE≌△ABD(ASA),∴AD=AE.
19.解:
(2)∵AB =2 +4 =20,BC =1 +2 =5,AC =5 =25,
∴AB +BC =AC .∴∠ABC=90°.
20.解:(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,∴∠CBD=∠EBD.
∵DE∥BC.∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.
(2)CD=ED.理由如下:
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC.
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴AC-AD=AB-AE,即CD=BE.
由(1)得∠EBD=∠EDB,
∴BE=ED,∴CD=ED.
21.解:(1)∵BE是△ABC的角平分线,∴∠DBE=∠EBC.
∵DB=DE,∴∠DEB=∠DBE.∴∠DEB=∠EBC.
∴DE∥BC.
(2)∵DE∥BC,∴∠C=∠AED=45°,
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°.
∵BE是△ABC的角平分线,
22.解:(1)证明:∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,
∵AB∥DC,∴∠DCA=∠CAB,∴∠DAC=∠CAB,
∴AC是∠EAB的角平分线,
∵CB⊥AB,CE⊥AD, ∴CE=CB;
(2)AC垂直平分BE.理由如下：
由(1)得CE=CB,
∵CB⊥AB,CE ⊥AD,∴∠CEA=∠CBA=90°,
在Rt△CEA和Rt△CBA中,
∵CE=CB,AC=AC,∴Rt△CEA≌Rt△CBA(HL),
∴AE=AB,∴点A，点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE.
23.解:(1)证明:∵△ADE是等腰直角三角形,∴∠DAE=90°,AD=AE,
∵∠BAC=90°,∴∠BAD=90°-∠DAC=∠CAE,
在△ABD与△ACE中
∴△ABD≌△ACE(SAS);
(2)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,
∵∠BAC=90°,∠BAD=22.5°,∴∠DAC=90°-∠BAD=67.5°,
∵AB=AC,
∴∠ADC=180°-∠ACD-∠DAC=67.5°,
∴∠ADC=∠DAC,∴AC=DC=1,
24.解:(1)证明:如图所示,过点M作MQ∥CN,
∵△ABC为等边三角形,MQ∥BN,
∴∠AMQ=∠ABC=60°,
∴△AMQ为等边三角形,则MQ=AM=CN,
又∵MQ∥CN, ∴∠QMP=∠CNP,
在△MQP与△NCP中,
∴△MQP≌△NCP(AAS),则MP=NP;
(2)∵△AMQ为等边三角形,且MH⊥AC,∴AH=HQ,
又∵由(1)得△MQP≌△NCP,则PQ=PC.
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