苏科版初二数学下册 9.4.1 矩形（培优练习）(含解析）

9.4.1 矩形（培优练习）
一、单选题
1．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是 （　　）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC
2．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O作线段EF交AD于F，交BC于E，OB＝EB，点G为BD上一点，满足EG⊥FG，若∠DBC＝30°，则∠OGE的度数为（　　）
A．30° B．36° C．37.5° D．45°
3．如图，在矩形中，是延长线上一点，，连接、，过点作于点，为上一点，连接，．若，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．
4．如图，在矩形中，是边上的动点，于，于，如果，那么(　　)
A． B．
C． D．
5．把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B，C，D，把一根长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点D处，并按D→A→B→C→D…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C． D．
8．如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图．每个小正方形的边长为1，格点线段与交于点，与交于点，连接．有下列结论①；②；③；④；⑤；⑥的面积为0.75．其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线、上滑动，下列结论：①若、两点关于对称，则；②、两点距离的最大值为；③若平分，则；④ 四边形的面积为．其中正确结论的个数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，已知矩形中，与相交于，平分交于，，则的度数为_______．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为____．
13．如图，在矩形ABCD中，，对角线，BE平分∠ABC交AD于点E，Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝______．
14．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．
15．如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____平方厘米．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，连接B′C，D′C，则B'C+D'C的最小值是_____．
17．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为______．
18．在直角梯形中，AD∥BC，，，，那么________．
三、解答题
19．已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE平分，交AB于点E，，求的度数．
20．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
(1) 求证：BC＝DF；
(2) 连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由．
21．将矩形置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为点，点在BC上，将矩形沿折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
(1)当时，求点E的坐标；
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
22．如图，在矩形中，平分交于E，连接，．
(1) 如图1，若，，求的长；
(2) 如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G，
①猜想的度数，并说明理由；
②若，求的值．
23．如图，在中，，，是边上的中线，点E，F分别在，边上运动（点E不与点A，C重合），且保持，连接，，．
(1)求证：；
(2)求四边形的面积；
(3)请直接写出三条线段，，之间的数量的关系：_______．
24．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，，，，与交于点．
若DE=2，求证：AE//CF．
如图2，连接AC，BD，若点F在矩形ABCD的对角线上，求所有满足条件的DE的长．
如图3，连接BF，当点F到矩形ABCD一个顶点的距离等于2时，请直接写出△BCF的面积．
参考答案
1．A
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、AB＝AD，则 ABCD是菱形，不能判定是矩形，故本选项错误；
B、OA＝OB，根据平行四边形的对角线互相平分，AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形可得 ABCD是矩形，故本选项正确；
C、AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；
D、DC⊥BC，则∠BCD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得 ABCD是矩形，故本选项正确．
故选：A．
【点拨】此题考察矩形的判定，熟记判定定理才可正确解答.
2．C
【分析】根据矩形和平行线的性质，得；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得；根据全等三角形性质，通过证明，得；根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质，推导得，再根据余角的性质计算，即可得到答案．
解：∵矩形ABCD
∴
∴
∵OB＝EB，
∴
∴
∵点O为对角线BD的中点，
∴
和中
∴
∴
∵EG⊥FG，即
∴
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形、平行线、全等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
3．A
【分析】先证得△CDE是等腰直角三角形，再进一步说明∠EBC=∠CGB得到CG=BC=EG=4,说明三角形BCG为等腰三角形，进而说明GH=BH、∠CHB=90°，再根据直角三角形的性质求得CH=BC=2，进而求得GH=BH=CH=2，最后根据EH=GH+GE求解即可．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠CDA=90°，AD//BC
∴∠CDE=90°，∠AEB=∠EBC=30°
∵ED=CD
∴△CDE是等腰直角三角形
∴∠DCE=∠DEC=45°
∴∠CEB=45°-30°=15°
∵EG=CG
∴∠GCE=∠GEB=15°
∴∠CGB=∠GCE+∠CEB=30°
∴∠EBC=∠CGB
∴CG=BC=4
∴EG=4
∵CH⊥BE
∴GH=BH,∠CHB=90°
∵∠EBC=30°
∴CH=BC=2,GH=BH=CH=2
∴EH=GH+EG=4+2．
故选A．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
4．A
【分析】设AC、BD交于点O，连接OP，根据矩形的性质及勾股定理求出OA=OD=2.5，再求出△AOD的面积，根据面积关系即可求出答案.
解：设AC、BD交于点O，连接OP，
∵,
∴BD=AC=5，
∴OA=OD=2.5，
∵，
∴，
∵于，于，
∴，
，
∴，
故选：A.
【点拨】此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出△AOD的面积是解题的关键.
5．D
【分析】如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．
解：如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J．
由题意△EMN是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=
∵四边形EMHK是矩形，
∴EK= A'K=MH=1，KH=EM=2，
∵△RMH是等腰直角三角形，
∴RH=MH=1，RM=，同法可证NW=，
题意AR=R A'= A'W=WD=4，
∴AD=AR+RM+MN+NW+DW=4++++4=.
故答案为：D.
【点拨】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．
6．D
【分析】延长交于点，作，垂足为．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题．
解：如图，延长交于点，作，垂足为．
在中，，，
．
为的中点，
．
，
，
解得．
由翻折的性质可知，，
，
．
，，
．
．
根据折叠的性质有：，
，
，，
又，，
，
为直角三角形．
．
故选：D．
【点拨】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
7．A
【分析】先求出四边形ABCD的周长为10，得到2022÷10的余数为2，由此即可解决问题．
解：∵A（1，1），B（1，1），C（1，2），D（1，2），
∴AB∥x轴，CD∥x轴，AD∥y轴，BC∥y轴，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，CD⊥AB，CD⊥BC，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=1-(-1)=2，BC=1-(-2)=3，
∴四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=10，
∵2022÷10=202…2，且AD=3，
∴细线另一端所在位置的点在D处上面2个单位的位置，坐标为（1，0）．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了规律型：点的坐标，解决问题的关键是熟练掌握矩形的周长公式，运用除法得到的余数确定点的位置．
8．B
【分析】根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：在矩形纸片中，，，
∴，，，
∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合，
∴，，，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合，
∴，，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴线段GP长为，
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．
9．B
【分析】先证明，再逐个选项推理即可．
解：如图，
由图可得，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵中，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴，故④错误；
连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，故⑤正确；
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为0.75，故⑥正确；
综上所述，正确的有①②⑤⑥；
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握这些性质是解决问题的关键．
10．B
解：在中，，，∴，，∴若、两点关于对称，如图，∴为的垂直平分线，∴，∴①正确；
②如图，取的中点为，连接、．
∵，∴．
当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，∴②正确；
③如图，当，，∴四边形是矩形，∴与相互平分，但与的夹角为、，不垂直，∴③不正确；
④如图，此时四边形的面积，，∴④不正确．
综上所述：正确的有①②，个结论．故选．
点睛：本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解答本题的关键，难度适中．
11．
【分析】先求出∠ADB，再说明三角形ODC是等边三角形，推出CD=OC，CE=CD，求出CE=OC，求出∠COE=∠OEC和∠OCB=30°即可解答．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ADC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=∠ADC=45°，
∵∠BDE=15°，
∴∠ADB=∠ADE-∠BDE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°，
∴OA=OD=OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴DC=OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=DC
∴CE=OC，
∴∠COE=∠OEC，
∵∠OCB=30°，
∴∠COE=（180°-∠OCE）=75°．
故答案为75°．
【点拨】本题考查了矩形的性质、、等边三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
12．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，再根据勾股定理求出CF的长度，进而即可求出S△ECF．
解：如图，连接BF，
，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE=，
由折叠可知：BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴），
∴BH=，
∴BF=，
∵EF=BE=CE，
∴∠BFC=90°，
根据勾股定理可得：CF=，
S△ECF=S△BCF=×××=，
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及三角形的面积公式，掌握知识点是解题关键．
13．5
【分析】过点Q作于点H，由矩形的性质并结合勾股定理确定，再证明以及为等腰三角形，即可推导，，然后由计算AP的长即可．
解：过点Q作于点H，如下图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，点P在AD的延长线上，
∴，
∵△PCQ为等腰三角形，CP⊥CQ，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
14．
【分析】延长GH交AD于M点，由矩形的性质得出CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，推出DG=CG-CD=2，∠HAM=∠HFG，由ASA证得△AMH≌△FGH，得出AM=FG=1，MH=GH，则MD=AD-AM=2，在Rt△MDG中，根据勾股定理得到GM，即可得出结果．
解：延长GH交AD于M点，如图所示：
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，
∴DG=CGCD=3-1=2，∠HAM=∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH=FH，
在△AMH和△FGH中，
，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM=FG=1，MH=GH，
∴MD=AD-AM=31=2，
在Rt△MDG中，GM=，
∴GH=GM=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
15．48
【分析】如下图，设矩形ABCD的长为m，宽为n，过点F作BC、DC的垂线，利用m、n表示出△BFD的面积，从而得出mn的大小，进而得出矩形ABCD的面积．
解：如下图，过点F作BC、CD的垂线，分别交于点Q、G，设矩形ABCD的长为m，宽为n
∵点E是AD的中点，点F是EC的中点，AD=m，AB=n
∴FQ=，FG==
∴
∴mn=48
故答案为：48
【点拨】本题考查三角形面积问题，解题关键是利用表示出△BFD的面积，从而推导出mn的大小．
16．
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得BD＝2，即为B′D′的长，作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接D′G，如图，则有CD′＝GD′，CE⊥BD，CG＝2CE，利用三角形的面积可求得CG＝，然后以B′D′，GD′为邻边作平行四边形B′D′GH，可得B′H＝D′G＝CD′，于是当C，B′，H在同一条直线上时，CB′+B′H最短，且B'C+D'C的最小值＝CH，再根据勾股定理即可求出结果．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠A＝90°，
∴，
∵将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，
∴B′D′＝BD＝2，
作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接D′G，如图，
则CD′＝GD′，CE⊥BD，CG＝2CE，
∵CE＝，∴CG＝，
以B′D′，GD′为邻边作平行四边形B′D′GH，
则B′H＝D′G＝CD′，
∴当C，B′，H在同一条直线上时，CB′+B′H最短，
则B'C+D'C的最小值＝CH，
∵四边形B′D′GH是平行四边形，
∴HG＝B′D′＝2，HG∥B′D′，
∴HG⊥CG，
∴CH＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、平行四边形的性质和勾股定理等知识，具有一定的难度，利用轴对称和平移的思想把所求B'C+D'C的最小值转化为求CB′+B′H的最小值是解题的关键．
17．2或
【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
解：，，
，
当点落在上时，
将沿直线折叠，
，
，
，
；
当点落在上时，如图2，连接，过点作于，
，
，
，
，
，
将沿直线折叠，
，
，
，
，
综上所述：的长为2或．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
18．或##或
【分析】该题根据题意分为两种情况，首先正确画出图形，根据已知易得的直角边和斜边的长，然后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到等边三角形，进而即可求解．
解：∠C存在两种情况：
①当为锐角时，如图，过作，垂足为，取的中点，连接，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当为钝角时，如图，过作，垂足为，取的中点，连接，
同理①可得，
又∵，
．
∴
综上，或，
故答案为或．
【点拨】该题重点考查了直角三角形的性质和等边三角形判定和性质，解决该题的关键一是：能根据题意画出两种情况，二是：把该题转化为直角三角形问题，从而即可求解.
19．75°
【分析】根据矩形的性质及CE平分得到∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，得到BE=BC，利用由此得到∠BAC=30°，根据矩形的性质证得△OBC是等边三角形，得到BC=OB=BE，由∠EBO=∠BAC=30°求出答案.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，OA=OB=OC=OD，CD∥AB，
∵CE平分，
∴∠BCE=∠DCE=45°，
∵CD∥AB，
∴∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，
∴BC=BE，
∵,
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=BE，
∵∠EBO=∠BAC=30°，
∴∠BEO=,
故答案为：75°.
【点拨】此题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，角平分线的性质，题中证得BE=OB是解题的关键.
20．(1)见分析 (2)当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由见分析．
【分析】（1）用平行四边形的定义判定；
（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形．用DE是三角形中位线证明BD=AD，用四边形DBCF是平行四边形得到CF∥BD，CF=BD，得到AD=CF，推出四边形ADCF是平行四边形，根据AC=BC，BC=DF，得到AC=DF，从而平行四边形ADCF是矩形．
解：（1）∵DE是△ABC的中位线，
∴2DE＝BC，DE∥BC，
∵CF∥AB，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴BC=DF；
（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由如下：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DB＝AD，
∵四边形DBCF是平行四边形，
∴DB＝CF，
∴AD＝CF，
∵AB∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵BC＝AC，BC=CF，
∴AC=DF，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线，平行四边形，熟练掌上三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，是解决此类问题的关键．
21．(1)． (2)点E能恰好落在x轴上．
【分析】（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质求得线段和的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可．
解：（1）当时，点B的坐标为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
则E在y轴上，且，
∴，则点E的坐标为．
（2）点E能恰好落在x轴上．
理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，，
由折叠的性质可得：，．
假设点E恰好落在x轴上，则，
即，
则．
在中，即，
即，解得．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．
22．(1) (2)①，理由见分析；②
【分析】（1）由矩形的性质得，，，由角平分线的性质得出，则是等腰直角三角形，得出，推出，由勾股定理得出；
（2）①连接，由（1）得，，由证得，得出，，证明是等腰直角三角形，即可得出结论；
②根据矩形的性质得到，求得，过D作于M，根据余角的性质得到，得到，过A作于N，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）①，
理由：连接EF，如图所示：
由（1）得：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②∵四边形是矩形，
∴，
∴，
过D作于M，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
过A作于N，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴，，
∴．
【点拨】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
23．(1)证明见分析 (2)4 (3)
【分析】（1）根据，，是边上的中线，得到，，再结合，得到，即可得到证明；
（2）由可得，即可得到四边形的面积等于面积，根据中线即可得到答案；
（3）由可得 ，，即可得到，在用表示，在即可得到答案．
解：（1）证明：∵，，是边上的中线，
∴ ∠ADC＝90°，，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
；
（3）解：，理由如下，
∵，
∴ ，，
∵，
∴，
在中根据勾股定理可得，
，
在中，
，
∴．
【点拨】本题考查等腰三角形性质：底边上三线合一；直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半；三角形中线性质：分得两个三角形面积相等等于大三角形一半；三角形全等判定与性质及勾股定理．
24．(1)证明见详解 (2)或 (3)或或
【分析】（1）由，可以得到为中点，由于和关于对称，可以得到为中点，由此得到为的中位线，即可证明；
（2）因为点在矩形的对角线，所以点可以落在上，也可以在上，根据题意画出图形，利用垂直平分线的性质，勾股定理，设出参数，列出方程，即可解决；
（3）因为点到矩形一个顶点的距离等于2，所以需要分四类讨论，即顶点分别为，，，，根据题意画出图形，利用勾股定理，面积法等知识即可解决．
（1）证明：如图1，
四边形为矩形，
，
，
，
，
和关于对称，
，
是的中位线，
；
（2）解：①如图2，当点在对角线上时，
和关于对称，
垂直平分，
，，
设，则，
，
，
在中，，
，
，
，
②如图3，当点在对角线上时，
四边形为矩形，
，
，
，
，
设，，
，
①，
，
②，
联立①②得，
，
解得，
，
或；
（3）解：①当点到点距离为2时，
，
此种情况不存在，
②当点到点距离为2时，连接，
则，，
过作于，于，如图4，
，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
③当点到点距离为2时，如图5，连接，
则，
，
又，，
，
，，三点共线，
即在线段上，
，
；
④当点到点距离为2时，如图6，连接，
则，
，
，
，
，
，
，
即当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为，
当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为，
当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为．
【点拨】本题是一道四边形综合题，考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，方程思想，面积法等知识，结合题意，画出合适的图形，是解决本题的突破口，同时要注意分类讨论思想．
1