苏科版初一数学下册7.2 探索平行线的性质（基础+提升）（含解析）

7.2 探索平行线的性质
一．单选题
1．如图，已知，是的平分线，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
2．如图，直线、分别截的两边，且．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，正确的是　　
A． B． C． D．
3．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示的方法折叠一下，若，则　　
A． B． C． D．
4．小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是　　
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
5．如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于　　
A． B． C． D．
6．如图，已知直线，则、、之间的关系是　　
A． B．
C． D．
7．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是　　
A． B． C． D．
8．如图，已知，平分，平分，则下列结论中：①；②；③平分；④，正确的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，点、在线段上，且．下列结论中一定正确的是　　
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二．填空题
10．如图，直线，，，则　　度，　　度．
11．如图，，，，的度数为　　．
12．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为　　．
13．已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数为　　．
14．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则　　．
三．解答题
15．如图，已知，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，，求的度数．
16．阅读下面材料：
小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，，为，之间一点，连接，，得到．
求证：．
（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点作，
则有　　．
，
　　　　，
　　．
．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点．
①如图1，当点在点的左侧时，若，，求的度数；
②如图2，当点在点的右侧时，设，，请你求出的度数（用含有，的式子表示）．
17．已知：点、、不在同一条直线上，
（1）如图①，当，时，求的度数；
（2）如图②，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有，，直接写出的值．
18．如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，．下列各式：①，②，③，④，⑤，可以表示的度数的是　　．（填序号）
19．如图①，已知，，的交点为，现作如下操作：
第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为第次操作，分别作和的平分线，交点为．
如图②，若，则的度数是　　．
20．如图，，点是上一点，连结．
（1）如图1，若平分，过点作交于点，试说明；
（2）如图2，若平分，平分，且，求的度数；
（3）如图3，过点作交的平分线于点，交于点，，垂足为．若，请直接写出与之间的数量关系．
21．如图，已知直线．
（1）在图1中，点在直线上，点在直线上，点在、之间，若，，则　　；
（2）如图2，若平分，延长交于点，平分，当时，求的度数；
（3）如图3，直线平分，直线平分相交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由．
答案与解析
一．单选题
1．如图，已知，是的平分线，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【详解】解：，，
，
是的平分线，
．
故本题选：．
2．如图，直线、分别截的两边，且．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，正确的是　　
A． B． C． D．
【详解】解：、的两边不平行，，不符合题意；
、，，而，，不符合题意；
、与是对顶角，，不符合题意；
、，，符合题意．
故本题选：．
3．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示的方法折叠一下，若，则　　
A． B． C． D．
【详解】解：如图，
，，
，
根据折叠的性质得，，，
，解得：．
故本题选：．
4．小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是　　
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，
，
和互余．
故本题选：．
5．如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于　　
A． B． C． D．
【详解】解：如图，过点作，则，
，，
．
故本题选：．
6．如图，已知直线，则、、之间的关系是　　
A． B．
C． D．
【详解】解：如图，过作直线，
，
，
，，
，
，
．
故本题选：．
7．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是　　
A． B． C． D．
【详解】解：，长方形的对边，
，
由折叠可知：处重叠了3层，
．
故本题选：．
8．如图，已知，平分，平分，则下列结论中：①；②；③平分；④，正确的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：，
，故①正确；
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，故②正确；
，
，
，故④正确；
，
不平分，③错误；
综上，正确的有3个．
故本题选：．
9．如图，点、在线段上，且．下列结论中一定正确的是　　
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【详解】解：，
，
①，，
，
，
即，
，故①一定正确；
②由，不能得出，故②不正确；
③由，不能得出，故③不正确；
④，
，
又，
，
，故④一定正确；
综上，结论中一定正确的是①④．
故本题选：．
二．填空题
10．如图，直线，，，则　　度，　　度．
【详解】解：如图，过的顶点作，
，
，
，，
又，
；
又，
．
11．如图，，，，的度数为　　．
【详解】解：如图，过点作，则，
，，
，，
．
故本题答案为：．
12．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为　　．
【详解】解：由翻折可知：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故本题答案为：．
13．已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数为　　．
【详解】解：①若与位置如图1所示：
，
，
又，
，
，
又，
；
②若与位置如图2所示：
，
，
又，
，
，
又
；
综上，的度数为或，
故本题答案为：或．
14．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则　　．
【详解】解：如图，过作，
，
，
，，
的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，
设，，
，，
四边形中，，
即，①
又，
，②
由①②可得，，解得：，
故本题答案为：．
三．解答题
15．如图，已知，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，，求的度数．
【详解】解：（1），理由如下：
，，
，
，
，
，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
16．阅读下面材料：
小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，，为，之间一点，连接，，得到．
求证：．
（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点作，
则有　　．
，
　　　　，
　　．
．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点．
①如图1，当点在点的左侧时，若，，求的度数；
②如图2，当点在点的右侧时，设，，请你求出的度数（用含有，的式子表示）．
【详解】解：（1）过点作，
则有，
，
，
，
；
故本题答案为：；；；；
（2）①如图1，过点作，则有，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
；
②如图2，过点作，则有，
，
，
，
，
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为．
17．已知：点、、不在同一条直线上，
（1）如图①，当，时，求的度数；
（2）如图②，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有，，直接写出的值．
【详解】解：（1）在图①中，过点作，则，
，
，，
；
（2）在图②中，过点作，则，
，，
，，
平分，平分，
，，
，
，
；
（3），
，，
，
，
，
，
又，
，即，
，，
，
．
18．如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，．下列各式：①，②，③，④，⑤，可以表示的度数的是　　．（填序号）
【详解】解：（1）如图1，由，可得，
，
，
；
（2）如图2，过作平行线，则由，可得，，
；
（3）如图3，由，可得，
，
，
；
（4）如图4，由，可得，
；
（5）当点在的下方时，同理可得：或；
综上，的度数可能为，，，，
故本题答案为：①②③⑤．
19．如图①，已知，，的交点为，现作如下操作：
第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为第次操作，分别作和的平分线，交点为．
如图②，若，则的度数是　　．
【详解】解：如图①，过作，
，
，
，，
，
；
如图②，和的平分线交点为，
．
和的平分线交点为，
；
如图②，和的平分线，交点为，
；
以此类推，，
当时，等于．
20．如图，，点是上一点，连结．
（1）如图1，若平分，过点作交于点，试说明；
（2）如图2，若平分，平分，且，求的度数；
（3）如图3，过点作交的平分线于点，交于点，，垂足为．若，请直接写出与之间的数量关系．
【详解】（1）证明：，
，，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，
，
，
，，
，
即，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）与之间的数量关系是：，
如图，延长交的延长线于点，
，
，
，
同理：，
，
，
设，则，
平分，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．如图，已知直线．
（1）在图1中，点在直线上，点在直线上，点在、之间，若，，则　　；
（2）如图2，若平分，延长交于点，平分，当时，求的度数；
（3）如图3，直线平分，直线平分相交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由．
【详解】解：（1）如图1所示，过作，
，
，
，，
，即，
，
故本题答案为：；
（2）平分，平分，
可设，，
如图2，过作，过作，
，
，
，，，
，
，，
又，
，
，
；
（3）猜想：，理由如下：
平分，平分，
可设，，
如图3，过作，过作，
，
，
，，，，
，，
．