苏科版初一数学下册7.4 认识三角形（基础+提升）（含解析）

7.4 认识三角形
一．单选题
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是　　
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
2．在中，线段，，分别是边上的高线，中线和角平分线，则　　
A． B． C． D．
3．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是　　
A．7 B．10 C．11 D．14
4．三角形的两边长分别为5和7，第三边长为奇数，这个三角形的周长可以是　　
A．13 B．14 C．15 D．16
5．如图，于点，，，，点是线段上的一个动点（含端点），连接，那么的长为整数值的线段有　　
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
6．如图，已知在中，、分别为、的中点，，且的面积为18，则的面积为　　
A．8 B． C．6 D．7
7．在内一点到各边的距离都为2，且的面积为12，那么周长为　　
A．6 B．12 C．18 D．24
8．如图，长方形是由30个大小相等的正方形拼成的，、、、分别在、、、边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形的面积为1，则长方形的面积是　　
A．2 B． C． D．
9．如图，的三边长均为整数，且周长为28，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有　　个．
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，在四边形中，已知点是上的一点且满足，连接，在上取一点且，点是的中点，且，连接、，若四边形的面积为15，且，则中边上的高为　　
A．4 B．5 C． D．无法确定
二．填空题
11．如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，这样做的数学依据是　　．
12．如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为　　．
13．一个三角形的周长为，其中两边长分别是、，则的取值范围是　　．
14．如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中正确的是　　．（填序号）
①；②；③；④．
15．如图，在中，，，点、分别在边、上，，，连接、，交于点，则面积的最大值为　　．
16．如图，四边形中，，且与不平行，、、分别是、、的中点，设的面积为，则的范围是　　．
三．解答题
17．已知，如图，，，于．
（1）与相等吗？为什么？
（2）试说明是的高．
18．如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为秒．
（1）当　　秒时，把的面积分成相等的两部分；
（2）当秒时，把分成的和的面积之比是 　　；
（3）当为多少秒时，的面积为18．
19．如图，为内任意一点，求证：．
20．如图，在中，，于点，平分交、于点、．
（1）求的度数；
（2）证明：．
（3）若，，、、的面积分别表示为、、，且，则　　（仅填结果）．
21．已知的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若是的边上的中线，则的面积　　的面积（填“”“ ”或“” ；
（2）如图2，若，分别是的，边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连接，由，得；同理．设，，则，．由题意得，，故可列方程组，解得，分别为　　，从而得到四边形的面积为　　；
（3）如图3，已知，，请你计算四边形的面积，并说明理由．
22．如图，面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，按此规律，第次操作后，得到△，要使△的面积超过2022，则至少需要操作　　次．
A．6 B．5 C．4 D．3
23．（1）如图1，图中共有三角形　　个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形　　个；
（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．
答案与解析
一．单选题
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是　　
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
【详解】解：、，
长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，不合题意；
、，
长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，不合题意；
、，
长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，符合题意；
、，
长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，不合题意；
故本题选：．
2．在中，线段，，分别是边上的高线，中线和角平分线，则　　
A． B． C． D．
【详解】解：是边上的高线，
根据垂线段最短可知：．
故本题选：．
3．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是　　
A．7 B．10 C．11 D．14
【详解】解：①选、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
②选、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；
③选、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上，任两螺丝的距离之最大值为10，
故本题选：．
4．三角形的两边长分别为5和7，第三边长为奇数，这个三角形的周长可以是　　
A．13 B．14 C．15 D．16
【详解】解：设第三边长为，
则，即，
第三边长为奇数，
第三边长为3或5或7或9或11，
这个三角形的周长可以是15或17或19或21或23，
故本题选：．
5．如图，于点，，，，点是线段上的一个动点（含端点），连接，那么的长为整数值的线段有　　
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
【详解】解：于点，，，，
长的范围是，
当点由向运动时，所得的整数值线段长度分别为：6、5、4、3、4、5
符合题意的共有6条．
故本题选：．
6．如图，已知在中，、分别为、的中点，，且的面积为18，则的面积为　　
A．8 B． C．6 D．7
【详解】解：点是的中点，
，
是的中点，
，，
，
，
．
故本题选：．
7．在内一点到各边的距离都为2，且的面积为12，那么周长为　　
A．6 B．12 C．18 D．24
【详解】解：如图，连接，，，
的面积为12，
的面积的面积的面积，
，
，
，
周长为12．
故本题选：．
8．如图，长方形是由30个大小相等的正方形拼成的，、、、分别在、、、边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形的面积为1，则长方形的面积是　　
A．2 B． C． D．
【详解】解：设小正方形的边长为，则长方形的面积，
四边形的面积长方形的面积，
，
，
，
长方形的面积．
故本题选：．
9．如图，的三边长均为整数，且周长为28，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有　　个．
A．4 B．5 C．6 D．7
【详解】解：的周长为28，的周长比的周长大2，
，解得：，
又的三边长均为整数，的周长比的周长大2，
为整数，边长为偶数，
，6，8，10，12，
即的长可能值有5个．
故本题选：．
10．如图，在四边形中，已知点是上的一点且满足，连接，在上取一点且，点是的中点，且，连接、，若四边形的面积为15，且，则中边上的高为　　
A．4 B．5 C． D．无法确定
【详解】解：，是的中点，
，，
，
，
四边形的面积为15，
，
，
，
，
，
中边上的高为：．
故本题选：．
二．填空题
11．如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，这样做的数学依据是　　．
【详解】解：桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，这样做的数学依据是三角形的稳定性．
故本题答案为：三角形的稳定性．
12．如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为　　．
【详解】解：是的中线，
，
是的中线，
，
，
，
，解得：．
故本题答案为：3．
13．一个三角形的周长为，其中两边长分别是、，则的取值范围是　　．
【详解】解：由题意得：，解得：．
故本题答案为：．
14．如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中正确的是　　．（填序号）
①；②；③；④．
【详解】解：是中线，，①正确；
在中，，②正确；
与的高相等，底，，③错误；
由题意可知：，
，
又，
，
，
，④错误．
故本题答案为：①②．
15．如图，在中，，，点、分别在边、上，，，连接、，交于点，则面积的最大值为　　．
【详解】解：，，
设的面积为，则的面积为，设的面积为，则的面积为，设的面积为，
，，
，可求得：，
，，
，
，，且垂线段最短，
当时，△的面积有最大值，即，
，即面积的最大值为8．
故本题答案为：8．
16．如图，四边形中，，且与不平行，、、分别是、、的中点，设的面积为，则的范围是　　．
【详解】解：如图，作于点，
，，分别是，，中点，
，，
，
与不平行，
，不能重合，
，
．
．
故本题答案为：．
三．解答题
17．已知，如图，，，于．
（1）与相等吗？为什么？
（2）试说明是的高．
【详解】解：（1），理由如下：
，
，
；
（2），，
，
，
，
，即是的高．
18．如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为秒．
（1）当　　秒时，把的面积分成相等的两部分；
（2）当秒时，把分成的和的面积之比是 　　；
（3）当为多少秒时，的面积为18．
【详解】解：（1）当点在中点时，把的面积分成相等的两部分，
此时，
，
故本题答案为：6.5；
（2），
，，
，
故本题答案为：；
（3）①当在线段上时，
，
解得：；
②当在线段上时，
，
，
和高相同，
，
，
；
综上，当或时，的面积为18．
19．如图，为内任意一点，求证：．
【详解】证明：如图，延长交于点，
在中，①，
在中，②，
①②得：，
即，
即．
20．如图，在中，，于点，平分交、于点、．
（1）求的度数；
（2）证明：．
（3）若，，、、的面积分别表示为、、，且，则　　（仅填结果）．
【详解】解：（1），
，
，
，即；
（2）证明：由（1）可知，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
；
（3），，
，，
，是直角三角形，
，得：，
，得：，
由（1）可得，是直角三角形，
，
整理得：，
．
故本题答案为：3．
21．已知的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若是的边上的中线，则的面积　　的面积（填“”“ ”或“” ；
（2）如图2，若，分别是的，边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连接，由，得；同理．设，，则，．由题意得，，故可列方程组，解得，分别为　　，从而得到四边形的面积为　　；
（3）如图3，已知，，请你计算四边形的面积，并说明理由．
【详解】解：（1）如图1，过点作于点，
是的边上的中线，
，
，，
，
故本题答案为：；
（2）如图2，连接，
由（1）得：，，
同理：，
设，，则，，
、分别是的、边上的中线，
，，
可列方程组，解得：，
，，
，
故本题答案为：，20；
（3）如图，连接，
，
，，
又，
，，
设，，则，，
可列方程组，解得：，
．
22．如图，面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，按此规律，第次操作后，得到△，要使△的面积超过2022，则至少需要操作　　次．
A．6 B．5 C．4 D．3
【详解】解：如图，连接，
，面积为1，
与△的面积相等，等于1，
，
△的面积等于△的面积的2倍，等于2，
同理可得，△的面积为2，△的面积为2，
△的面积等于；
同理可证，第二次操作后△的面积为△的面积的7倍，等于；
第三次操作后△的面积为△的面积的7倍，等于；
第四次操作后△的面积为△的面积的7倍，等于；
故按此规律，要使三角形的面积超过2022，至少操作4次．
故本题选：．
23．（1）如图1，图中共有三角形　　个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形　　个；
（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．
【详解】解：（1）如图1，给每个小三角形分别标上序号，
单个三角形有4个，两个小三角形组成的三角形有3个，三个小三角形组成的三角形有2个，四个小三角形组成的三角形有1个，
图1中的三角形共有（个，
图2中，顶点与直线1之间也共有10个三角形，
此外，图2左下角部分中还有4个三角形，
图2中的三角形共有（个，
故本题答案为：10，24；
（2）当增加到2条线时，在图2的基础上，（顶点与直线2之间）增加10个三角形，左下角部分增加8个三角形，共计个，
增加到0条线时，三角形的个数为10个，
增加到1条线时，三角形的个数为24个，，
增加到2条线时，三角形的个数为42个，，
增加10条线时，三角形的个数为个．