选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 综合训练（含解析）

选择性必修一第三章综合训练
一、选择题
1、双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
2、已知双曲线 的离心率为 3 , 则双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D. 3
3、已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是( )
A. B.
C.或 D.或
4、直线被椭圆所截得线段的中点的坐标是( )
A. B. C. D.
5、若直线与椭圆有且只有一个交点，则斜率k的值是( )
A. B. C. D.
6、已知中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为-2，则此椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
7、设AB是椭圆()的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于，，…，，为椭圆的左焦点，则的值是( )
A. B. C. D.
8、已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则( )
A. B. C. D.
9、已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
10、下列双曲线中，渐近线方程为的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
11、已知P为双曲线上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，记线段PA，PB的长分别为m，n，则( )
A.若PA，PB的斜率分别为，，则
B.
C.的最小值为
D.的最小值为
12、已知A、B两点的坐标分别是，，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为实数m，则下列结论正确的是( )
A.当时，点P的轨迹为圆（除去与x轴的交点）
B.当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）
C.当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线
D.当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）
三、填空题
13、双曲线的离心率为2，则____________.
抛物线的焦点坐标是__________
已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是_____________.
已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上的动点，当为直角时，点P的横坐标是_____________.
四、解答题
17、已知双曲线的实轴长为4,一条渐近线方程为。
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线相交于不同两点,求实数的取值范围。
18、如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：.
19、已知直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于两点.
(1)若直线l的倾斜角为,求的值;
(2)若,求线段的中点M到准线的距离.
参考答案
1、答案：D
解析：在双曲线中，，，
因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
2、答案：A
解析：因为, 所以, 故双曲线 的离心率
3、答案：C
解析：当时，；当时，.
因此抛物线的焦点可为，.
①当焦点为时，设标准方程为，且，；
②当焦点为时，设标准方程为，且，.故选C.
4、答案：C
解析：联立方程，得消去y并整理，得.设直线与椭圆的交点，，中点.
，，，中点坐标为.
5、答案：C
解析：由
消去y并整理，
得，
由题意知，
解得，故选C.
6、答案：C
解析：由题设，若椭圆方程为，
令直线与椭圆交点分别为，，
则有①，②，
两式作差可得：，
即，
易知，弦的中点，所以，，
因为直线，所以，
故，所以，
又，，
解得，，
故E的方程为.
故选：C.
7、答案：D
解析：由椭圆的定义知，
，
由题意知，，...，关于y轴成对称分布，
又，故所求的值为e.故选：D.
8、答案：D
解析：设，，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为AB的中点为，故，故，即直线AB的斜率为3，故直线AB的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，，则，故选：D.
9、答案：D
解析：方程表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，
解得，
实数k的取值范围是.
故选：D.
10、答案：A
解析：双曲线(，)的渐近线方程为.由A可得渐近线方程为，由B可得渐近线方程为，由C可得渐近线方程为，由D可得渐近线方程为.故选A.
11、答案：ABD
解析：如图所示，设，则.由题设条件知：双曲线C的两渐近线：，.设直线PA，PB的斜率分别为，，则，，所以，故A选项正确；
由点线距离公式知：，，，故B选项正确；
，所以C不正确；
由四边形AOBP中，所以，，所以D正确，故选：ABD.
12、答案：ABD
解析：由题意知直线AP、BP的斜率均存在.设点P的坐标为，则直线AP的斜率，直线BP的斜率.
由已知得，，
点P的轨迹方程为，
结合选项知ABD正确.
13、答案：
解析：双曲线化为标准方程得，离心率为，故.
14、答案：
解析：∵抛物线方程，
∴焦点在轴，，∴焦点坐标为
故答案为．
15、答案：
解析：不妨设焦点在x轴上，则椭圆的方程为，焦点分别为、，如图所示.
若点M满足，则，可得点M在以为直径的圆上运动，
满足的点M总在椭圆内部，
以为直径的圆是椭圆内部的一个圆，即圆的半径小于椭圆的短半轴长.
由此可得，即，解得.
因此椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是.
16、答案：
解析：由题意得，，所以，所以.设，令的坐标为，的坐标为，
因为，所以在中，，
即，化简得.又，所以，
所以，解得.
所以点P的横坐标为±.
17、答案：（1）；
（2），
且.
18、解析：证明：(方法一)将代入中，得，
即，解得，
则，
所以，
所以.
(方法二)同方法一得方程.
设，由一元二次方程根与系数的关系，
可知.因为，
所以，
所以，
所以.
19、答案：(1)因为直线l的倾斜角为,所以其斜率,又,所以直线l的方程为.
联立,消去y,得.
设,则.
而,
∴.
(2)设,由抛物线的定义,知
,
∴,∴线段的中点M的横坐标是3.
又准线方程是,
∴点M到准线的距离为.