2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.2 三角函数的概念 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
三角函数的概念
环节二 三角函数的概念（二）
确定方案
问题1 前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？
答案：根据一般函数的研究路径，接下来应该研究三角函数的图象与性质，但是三角函数与其他函数不同，三角函数是通过单位圆上点的坐标或坐标比值定义的，而单位圆具有丰富的几何性质，这种性质反映到三角函数上，就会呈现出丰富的性质．所以，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数所特有的性质．
1．发现规律
问题2 由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律？如何用集合语言表示这种规律？
答案：对于正弦函数，当角α的终边位于x轴上方时，sinα＞0；当角α的终边位于x轴下方时，sinα<0；当角α的终边位于x轴上时，sinα=0．
用集合语言表示的结果是：
当α∈{β|2kπ＜β＜2kπ+π，k∈Z}时，sinα＞0；
当α∈{β|2kπ+π＜β＜2kπ+2π，k∈Z}时，sinα＜0；
当α∈{β|β=kπ，k∈Z}时，sinα=0．其他两个函数也有类似结果．
新知探究
2．应用规律
答案：先证充分性．因为①式sinθ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；又因为②式tanθ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．
因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．
再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．
新知探究
例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是
3．发现规律
答案： 可以研究取值的规律．
问题3 前面研究了三角函数值的符号规律，你认为接着可以研究什么问题？
新知探究
3．发现规律
答案： （1）三角函数值相等、互为相反数等等．
（2）发现终边相同的角的三角函数值相等．用符号语言表示为：
sin(α+k 2π)=sinα，cos(α+k 2π)=cosα，tan(α+k 2π)=tanα，其中k∈Z．
这组公式称为“诱导公式一”．
追问1 （1）三角函数的取值规律中，你认为有哪些特殊情况值得研究？
（2）前面研究过终边相同的角，那么它们的三角函数值之间有什么关系呢？请用符号语言表示你发现的规律．
新知探究
3．发现规律
答案： （1）诱导公式一体现了三角函数值有“周而复始”的变化规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．
（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．
追问2 （1）观察诱导公式一，你发现三角函数的取值有怎样的变化规律？它反映了圆的什么特性？
（2）你认为诱导公式一有什么作用？
新知探究
4．应用规律
例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：
（1）cos 250°； （2）sin ；
（3）tan(－672°)； （4）tan 3π．
解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos250°＜0；
（3）因为tan(－672°)＝tan(48°－2×360°)＝tan 48°，
而48°是第一象限角，所以tan(－672°)＞0；
（4）因为tan3π＝tan(π+2π)=tanπ，而π的终边在x轴上，所以tanπ=0．
（2）因为是第四象限角，所以sin ＜0；
新知探究
4．应用规律
解：（1）sin1480°10′=sin(40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645；
例3 求下列三角函数值：
（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）；
（2）cos ； （3）tan ．
（2） ；
（3） ．
新知探究
归纳小结
问题4 （1）本节课学习了哪些知识点，你能在上节课的基础上继续完善本单元的知识结构图吗？
归纳总结
（2）本节课在三角函数定义的基础上，研究了三角函数的两条性质，它的研究方法和幂函数、指数函数等函数性质的研究方法有什么不同？
归纳小结
归纳总结
答案：（1）
归纳小结
归纳总结
（2）对于幂函数、指数函数和对数函数，都是从代数角度进行论证的．三角函数的这两条性质是依据三角函数定义，结合平面直角坐标系、单位圆的性质得到的．三角函数是通过单位圆定义的，单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有丰富的几何性质，所以，我们可以从定义出发，结合单位圆可以直接得到三角函数独有的一些性质．
三角函数的概念
环节三 同角三角函数的基本关系
新知探究
问题1 诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数值相等．而三个三角函数值都是由角的终边与单位圆的交点坐标唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？
答案：如图，设P（x，y）是角α的终边与单位圆的交点． 过P作x轴的垂线，交x轴于M，则△OMP是直角三角形， 而且OP＝1.由勾股定理OM ＋MP ＝1．因此x ＋y ＝1．
即同一个角的三个三角函数之间的关系：
sin2α+cos2α=1．
1．发现规律
新知探究
并且当角α的终边与坐标轴重合时，该公式也成立．
根据三角函数的定义，有：　　　　　，　　　　，k∈Z．
即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
追问 从方程的角度观察同角三角函数关系，你能发现它有什么作用？
答案：因为有两个方程，三个未知数sinα，cosα，tanα，所以已知其中一个可以求出另外两个，简称“知一求二”．
2．应用规律
例1 已知sinα= ，求cosα，tanα的值．
新知探究
答案：因为sinα＜0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．
由sin2α+cos2α=1得cos2α=1－sin2α=1－ ；
如果α是第三象限角，那么cosα＜0．于是cosα= ，
从而 ；
如果α是第四象限角，那么cosα＞0．于是cosα= ，
从而 ．
2．应用规律
追问 你能对“例1”这种题型总结出它的解题步骤吗？
步骤：第一步，先根据条件判断角所在的象限；
新知探究
第二步，分类讨论确定其中一个三角函数值的符号；
第三步，利用基本关系求出其他的三角函数值解．
2．应用规律
例2 求证： ．
新知探究
答案：证法一：由cosx≠0，知sinx≠－1，所以1+sinx≠0，于是
所以，原式成立．
左边= =右边．
证法二：因为(1－sinx)(1+sinx)=1－sin2x=cos2x=cosxcosx，
且1－sinx≠0，cosx≠0，所以 ．
问题2 总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？
答案：借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、三角函数的取值规律（相等）入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．自然地，我们还可以进一步研究三角函数取值互为相反数等其他关系的规律．
3．探究延伸
新知探究
问题3 回顾本单元学习内容，并回答下面问题：
（1）本单元知识发生发展过程的基本脉络是怎样的？在上一节的基础上进一步完善本单元的知识结构图？
（2）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或经验？
归纳小结
归纳小结
答案： （1）基本脉络是：现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质；本单元的知识结构图：
归纳小结
（2）三角函数的定义是借助于单位圆来定义的，因此其性质必然与单位圆的几何性质有关，又因为三角函数是一个背景下同时得到三个概念，所以，它们之间一定有某种内在的联系，在此基础上，发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．