2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.1.1 任意角 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
任意角和弧度制
环节一 任意角
整体感知
问题1 请同学们阅读章引言，回答下列问题：
（1）本章将要学习哪类函数？
（2）这类函数主要可以解决实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？
（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？
整体感知
答案：
（1）本章将要学习的函数是三角函数；
（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；
（3）函数的研究过程是：定义——图象与性质——应用；
函数性质的一般研究过程是：定义域、奇偶性、单调性、最值、值域等；
图象的画法：一般采用描点法；
性质的研究方法：可以由图象研究性质，也可以由解析式研究性质．
新知探究
1．任意角的概念、运算
答案：我们知道，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．图中射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α．当角α确定时，终边OP的位置就确定了．这时射线OP与⊙O的交点P也确定．因此可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化．
问题2 圆周运动是一种常见的周期性变化现象．如图，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P的位置变化呢？
新知探究
1．任意角的概念、运算
问题3 我们以前所学角都在0°～360°的范围内，生活中有超出0°～360°角的例子吗？请你举例说明．
答案：例如，体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”；
如果要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过540°．
新知探究
追问 这些角的不同，体现在哪几个方面？
答案：两个方面，一是旋转量的大小；二是旋转方向．
1．任意角的概念、运算
新知探究
一条射线绕其端点：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．
1．任意角的概念、运算
问题4 请同学们先阅读课本，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种分类标准和定义方法是与以前的哪个知识进行类比的？
因此，角可以分为正角、负角、零角．这种分类标准和定义方法是与实数进行类比的．
新知探究
练习1 分别作出210°，－150°，750°，－660°的角．
答案：如图所示．
1．任意角的概念、运算
新知探究
追问 角的概念推广到任意角之后，两个角相等需要满足什么条件？
答案：如果两角的旋转方向相同且旋转量相等，就称两角相等．
1．任意角的概念、运算
新知探究
1．任意角的概念、运算
问题5 我们学会了用图形和符号表示角，接下来我们该研究角的运算了．那么，两角相加是怎样规定的？
答案：规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β．
新知探究
问题6 类比实数，什么样的两个角互为相反角？两角又该怎样相减？
答案：如果两角的旋转方向不同且旋转量相等，就称两角互为相反角；类比实数减法，我们有α－β=α+(－β)．
1．任意角的概念、运算
新知探究
答案：如图所示．
由图可知，
练习2 你能通过作图，判断与；的关系吗？
30°+120°=150°；
30°－120°=－90°．
1．任意角的概念、运算
新知探究
追问 对于一般的α－β呢，你能类比实数给出相应说明吗？
答案：对于一般的α－β，如果α>β，则α－β>0°；如果α=β，则α－β=0°；如果α<β，则α－β<0°．
从图形上看，就是把角α的终边旋转角－β（若β>0°，则顺时针旋转│β│；若β<0°，则逆时针旋转│β│；若β=0°，则不作旋转），这时终边所对应的角是α－β．
1．任意角的概念、运算
新知探究
问题7 在直角坐标系中讨论角，为了方便，角的顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边所在象限的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？
答案：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；
根据角的终边所在的象限不同，将角分为第一、二、三、四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，常称为“轴线角”．
在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．
2．象限角
新知探究
练习3 教材练习第1，2，3题．
答案：1．锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角是终边落在y轴非负半轴上的角，终边落在 y 轴非负半轴上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角．
2．三，三，五．
3.（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角．
2．象限角
新知探究
答案：还有－392°，328°，688°等等；有无数个；
相差360°的整数倍；
{β｜β＝－32°＋k·360°，k∈Z}．
3．终边相同的角
问题8 在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与－32°角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与－32°角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表示出来？将－32°推广到一般角α ，结论应该是什么？
新知探究
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合
{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
3．终边相同的角
问题8 在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与－32°角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与－32°角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表示出来？将－32°推广到一般角α ，结论应该是什么？
新知探究
例1 在0°~360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
追问 与－950°12′角终边相同的角都有什么共同点，如何表示？
3．终边相同的角
答案：相差360°的整数倍；
与－950°12′角终边相同的角可以写成{β｜β＝－950°12′＋k·360°，k∈Z}，
当k=3时，β＝129°48′，它是第二象限角．
新知探究
例2 写出终边在y轴上的角的集合．
追问 这些角终边分别落在几条射线上？终边落在每条射线上的角分别如何表示？这两条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？
3．终边相同的角
答案：两条；
y轴正、负半轴上的角的集合分别为
S1={β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z}， S2={β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z}；
相差180°的整数倍；
新知探究
例2 写出终边在y轴上的角的集合．
追问 这些角终边分别落在几条射线上？终边落在每条射线上的角分别如何表示？这两条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？
3．终边相同的角
S=S1∪ S2 = {β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z}
= {β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β｜β＝90°＋(2k+1) ·180°，k∈Z}
= {β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z}
答案：用一个集合表示即为
新知探究
追问 在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？判断的根据是什么？
3．终边相同的角
答案：六个；所求角的范围包含了三周；S={β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}；－315°，－135°，45°，225°，405°，585°．
例3 写出终边在直线 y=x上的角的集合 S ．S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β有哪些？
归纳小结
问题9 本节课将角的概念推广到了任意角，并且对其进行了分类，有几种分类方法？分别分为哪几类？每一类是怎么定义的？角的加减运算又是如何定义的？能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？
归纳总结
归纳小结
归纳总结
归纳小结
规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．
在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限就称角为第几象限角．
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
归纳总结
运算：规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β；α－β就是把角α的终边旋转角－β，这时终边所对应的角是α－β．