数学人教A版（2019）必修第二册7.1.2复数的几何意义 课件（共30张ppt）

(共30张PPT)
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7.1.2 复数的几何意义
问题导入
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我们知道，实数与数周上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示.复数有什么几何意义呢？
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思考1：根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一个有序数对唯一确定；反之也对.由此你能想到复数的几何表示方法吗？
新知探索
因为任何一个复数都可以由一个有序数对唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数与有序数对是一一对应的.而有序数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
新知探索
例如，复平面内的原点表示实数，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数，点表示复数等.
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.由此可知，复数集中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数复平面内的点.
一一对应
这是复数的一种几何意义.
新知探索
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思考2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？
复数平面向量.
一一对应
如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定.因此，复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下的一一对应关系(实数0与零向量对应)，即
这是复数的另一种几何意义.
新知探索
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为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数.
图中向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或.
即，其中.
如果那么是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
新知探索
答案：A.
辨析1.已知复数，复平面内对应点的坐标为( ).
A.B. C. D.
辨析2.已知复数的实部为，虚部为，则( ).
A. B. C.B.
答案：.
例析
例2.设复数，.
(1)在复平面内画出复数，对应的点和向量；
(2)求复数，的模，并比较它们的模的大小.
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解(1)：如图，复数，对应的点分别为，，对应的向量分别为，.
(2)：
所以
新知探索
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一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示，即如果，那么.
思考3：若
是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？
例析
例3.设在复平面内对应的点为，那么满足下列条件的点的集合是什么图形？
(1)；(2).
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解(1)：由得，向量的模等于1，所以满足条件的点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆.
(2)：不等式可化为
不等式
例析
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合.容易看出，所求的集合是以原点为圆心，以及为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.
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练习
题型一：复数与复平面内点的关系
例1.求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件：
(1)在复平面内的第二象限内；
(2)在复平面内的轴上方.
解：(1)由点在复平面的第二象限内，可得解得.
(2)由点在复平面的轴上方，可得
即，解得或.
练习
方法技巧：
利用复数与点的对应关系解题的步骤
1.找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据.
2.列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
练习
变1.求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件：
(1)求复数表示的点在轴上时，实数的值；
(2)如果点在直线上，求实数的值.
解(1)：因为点在轴上，所以且，
解得.故时，点在轴上.
解(2)：因为点在直线上，所以，
即，所以
解得或.
所以或时，点在直线上.
练习
题型二：复数与复平面内向量的关系
例2.(1)向量对应的复数是，向量对应的复数是，则对应的复数是（）.
A. B. C. D.
(1)由复数的几何意义，得，，
所以，
所以对应的复数为.
答案：C.
练习
例2.(2)设是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是（）.
A. B. C. D.
(2)由复数的几何意义，得，，
.
所以对应的复数是.
答案：D.
练习
方法技巧：
1.若复数，则复数在复平面内对应的向量.
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.
3.一个向量不管怎么平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变.
练习
变2.在复平面内，点，，对应的复数分别为，，，为复平面的坐标原点.
(1)求向量，对应的复数；
解(1)：由复数的几何意义，得
所以，
所以对应的复数是，对应的复数是.
练习
变2.在复平面内，点，，对应的复数分别为，，，为复平面的坐标原点.
(2)求平行四边形的顶点对应的复数.
(2)：法一.由已知得点，，的坐标分别为，，，则的中点为，由平行四边形的性质知的中点也是，若设，
则有解得故.
练习
变2.在复平面内，点，，对应的复数分别为，，，为复平面的坐标原点.
(2)求平行四边形的顶点对应的复数.
(2)：法二.由已知得，，，
所以，，由平行四边形的性质得，
而，于是.
练习
题型三：共轭复数
例3.已知复数是的共轭复数，求的值.
解：由题意得，的共轭复数为，则
解得故的值为.
练习
方法技巧：
关于共轭复数及应用型问题，通常抓住共轭复数的代数特征，建立方程进行求解.
练习
变3.(2019年全国2卷)设，则在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案：C.
解：由已知可得，，故对应的点，位于第三象限.
练习
题型四：与复数模有关的问题
例4.已知复数
(1)求及并比较大小；
解(1)：，
所以.
练习
例4.已知复数
(2)设，满足条件的复数对应的点的轨迹是什么图形？
解(2)：法一.设，则点的坐标为.
由得即
法二.由知(为坐标原点)，
所以到原点的距离为.
所以的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆.
所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆.
练习
方法技巧：
1.复数模的计算：.
2.复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离.
3.转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，这是一种复数问题实数化思想.
练习
变4.若复数对应的点在直线上，且，则复数( ).
A. B. C. D.或
答案：D.
解：依题意可设复数，
由得，解得，
故或.
课堂小结
1.复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
复数复平面内的点.
一一对应
复数平面向量.
一一对应
课堂小结
3.复数的模
(1)定义：向量的模叫做复数的模或绝对值.
(2)记法：记作或.即，其中.
如果那么是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
4.共轭复数
(1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
(2)表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，那么.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P73的练习1——3题；
(3)课本P73习题7.1第4、5、6、7、8题.