数学人教A版（2019）必修第二册7.1.1数系的扩充和复数的概念 课件（共21张ppt）

(共21张PPT)
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7.1.1 数系的扩充和复数的概念
情境导入
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在解决求判别式小于的实数系一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？复数概念的引入与这种想法直接相关.
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探究1：我们知道，方程在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程有没有解，进而可以归结为方程有没有解.
新知探索
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求密切相关.例如，为了解决正方形对角线的度量，以及这样的、方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集.数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.
依照这种思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数，使得是方程的解，即使得.
是数学家欧拉(Le-onhard Euler，1707-1783)最早引入的，它取自(想象的，假想的)一词的词头.
新知探索
思考1：把新引进的数添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？
依照以上设想，把实数与相乘，结果记作；把实数与相加，结果记作.注意到所有实数以及都可以写成()的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.全体复数所构成的集合叫做复数集.这样，方程在复数集中就有解了.
新知探索
复数通常用字母表示，即.以后不作特殊说明时，复数
都有，其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
在复数集中任取两个数.我们规定：与相等当且仅当且.
对于复数，
当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；
当时，它叫虚数；当且时，它叫做纯虚数.
新知探索
答案：×,√，×.
辨析1.判断正误.
(1)复数是纯虚数.( )
(2)若为实数，则一定不是虚数( )
(3)实数集和虚数集的交集不是空集.( )
辨析2.已知复数满足，则
答案：.
新知探索
例如，，，，都是虚数，它们的实部分别是，，
，，虚部分别是，，，，并且其中只有是纯虚数.
思考2：复数集与实数集之间有什么关系？
显然，实数集是复数集的真子集，即.
这样，复数可以分类如下：
复数
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用右图表示.
例析
例1.当实数取什么值时，复数是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
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解(1)：当，即时，复数是实数.
(2)当，即时，复数是虚数.
(3)当，且时，即时，复数是纯虚数.
练习
题型一：复数的有关概念
例1.(多选)下列说法中错误的是（）.
A.复数的虚部是
B.形如的数一定是虚数
C.若，，则是纯虚数
D.若两个复数能够比较大小，则它们都是实数
解：复数的虚部是，A正确；形如的数不一定是虚数，B错误；只有当时，是纯虚数，C错误；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，D正确，故选B、C.
答案：BC.
练习
方法技巧：
判断与复数有关的命题是否正确的方法
1.举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般；先否定，后肯定”的方法进行解答.
2.化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为的形式，更要注意这里均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
【注：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记的性质.】
练习
变2.下列说法中正确的是( ).
A.复数由实数、虚数、纯虚数构成
B.若复数是虚数，则必有
C.在复数中，若，则复数一定不是纯虚数
D.若且，则
答案：C.
解：选项A错误，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错误，若复数是虚数，则必有，但可以；选项C正确，若复数是纯虚数，必有，，因此只要，复数一定不是纯虚数；选项D错误，当时，与都是虚数，不能比较大小.
练习
题型二：复数的分类
例2.当为何实数时，复数.
(1)是虚数；(2)是纯虚数.
解(2)：当即或时，是纯虚数.
解(1)：当即或时，是虚数.
练习
方法技巧：
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
1.利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；
2.要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；
3.要特别注意复数为纯虚数的充要条件是，且.
练习
变2.当为何实数时，复数.
(1)是实数；(2).
解(2)：∵，∴为实数，需满足
当解得.
解(1)：由解得.即时，是实数.
练习
题型三：复数相等及应用
例3.(1)若，，且，则（）.
A.或B.或A.或A.或
答案：A.
解(1)：由，得且，解得，，所以或，故选A.
练习
例3.(2)若，则实数的值是______.
答案：.
解(2)：∵，
∴
即解得.
练习
方法技巧：
利用复数相等求参数值的思路
1.将等式两边都整理为的形式；
2.由复数相等的充要条件可以得到满足条件的方程组；
3.解方程组，求出相应的参数.
练习
变3.已知，，，则实数_____.
解：由题意知，，
∴解得
∴，故实数的值为.
答案：.
课堂小结
1.复数的定义及表示方法
(1)定义：形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足.
其中与分别叫做复数的实部与虚部.
(2)表示方法：复数通常用字母表示，即.
2.复数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.
(2)表示：通常用大写字母表示.
课堂小结
3.复数相等
在复数集中任取两个数.我们规定：与相等当且仅当且.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P70的练习1——3题；
(3)课本P73习题7.1第1、2、3题.