28.2.2 应用举例（第3课时）教案
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28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例（第3课时）
一、教学目标
【知识与技能】
1.正确理解方向角、坡度、坡角的概念；
2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；
3.能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.
【过程与方法】
通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力。
【情感态度与价值观】
渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时 共3课时
四、教学重难点
【教学重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题.
【教学难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板等.
学生：直尺、三角板.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一
(如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60°.请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数).
（二）探索新知
知识点1 方向角的有关问题（出示课件4）
方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角.
教师强调：（出示课件5）
（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”,“南偏……”,的形式.
（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.
（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换.
考点1 有关方向角的实际问题——距离.（出示课件6）
例 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
学生独立思考后师生共同解决：（出示课件7）
解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n mile．
教师强调：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（出示课件8）
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
出示课件9，学生独立解决，一生板演，教师订正.
考点2 有关方向角的实际问题——预测路线.（出示课件10）
例 海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
学生独立思考后，师生共同解决：（出示课件13～14）
解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.
又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
∴(海里)，
，
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
出示课件13～14，学生独立解决，一生板演，教师订正.
知识点2 坡度、坡角有关的问题
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？（出示课件15）
教师问：如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？（出示课件16）
学生思考后，师生共同总结：（出示课件17）
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，如图，坡度通常写成的形式.
教师强调：坡度越大，坡角越大，坡面越陡.
出示课件18，学生独立解决并口答，教师订正.
考点1 利用坡度、坡角解答大坝问题
例 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)（出示课件19）
学生独立思考后，师生共同解答：（出示课件20）
解：过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，
则AF=AB·sin60°=(m)，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则(m).
故改造后的坡长AE为m.
出示课件21～22，学生独立解决，一生板演，教师订正.
考点2 利用坡度、坡角解答山坡问题
例 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？（出示课件23）
学生独立思考后，师生共同解答：（出示课件24）
解：用α表示坡角的大小，由题意可得
因此α≈26.57°.
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
因此
从而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．
出示课件25，学生独立解决，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件26-36）
练习课件26-36页题目，巩固所学知识点，约用时20分钟。
（四）课堂小结（出示课件21）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角.
2.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
3.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示.
4.坡度越大，坡角越大，坡面越陡.
（五）课前预习
预习下节课（29.1（第1课时））的相关内容.
知道什么是投影、平行投影及中心投影.
课后作业
教材第77页练习第2题.
板书设计
28.2.2 应用举例（第3课时）
1.方向角的意义；
2.坡度、坡角的意义；
3.例题
九、教学反思
将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例（第3课时）
一、教学目标
【知识与技能】
1.正确理解方向角、坡度、坡角的概念；
2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；
3.能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.
【过程与方法】
通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力。
【情感态度与价值观】
渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时 共3课时
四、教学重难点
【教学重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题.
【教学难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.
五、课前准备
教师：课件、直尺、三角板等.
学生：直尺、三角板.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一
(如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60°.请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数).
（二）探索新知
知识点1 方向角的有关问题（出示课件4）
方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角.
教师强调：（出示课件5）
（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”,“南偏……”,的形式.
（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.
（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换.
考点1 有关方向角的实际问题——距离.（出示课件6）
例 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
学生独立思考后师生共同解决：（出示课件7）
解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n mile．
教师强调：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（出示课件8）
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
出示课件9，学生独立解决，一生板演，教师订正.
考点2 有关方向角的实际问题——预测路线.（出示课件10）
例 海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
学生独立思考后，师生共同解决：（出示课件13～14）
解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.
又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
∴(海里)，
，
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
出示课件13～14，学生独立解决，一生板演，教师订正.
知识点2 坡度、坡角有关的问题
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？（出示课件15）
教师问：如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？（出示课件16）
学生思考后，师生共同总结：（出示课件17）
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，如图，坡度通常写成的形式.
教师强调：坡度越大，坡角越大，坡面越陡.
出示课件18，学生独立解决并口答，教师订正.
考点1 利用坡度、坡角解答大坝问题
例 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)（出示课件19）
学生独立思考后，师生共同解答：（出示课件20）
解：过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，
则AF=AB·sin60°=(m)，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则(m).
故改造后的坡长AE为m.
出示课件21～22，学生独立解决，一生板演，教师订正.
考点2 利用坡度、坡角解答山坡问题
例 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？（出示课件23）
学生独立思考后，师生共同解答：（出示课件24）
解：用α表示坡角的大小，由题意可得
因此α≈26.57°.
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
因此
从而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．
出示课件25，学生独立解决，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件26-36）
练习课件26-36页题目，巩固所学知识点，约用时20分钟。
（四）课堂小结（出示课件21）
本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）
师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：
1.方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角.
2.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
3.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示.
4.坡度越大，坡角越大，坡面越陡.
（五）课前预习
预习下节课（29.1（第1课时））的相关内容.
知道什么是投影、平行投影及中心投影.
课后作业
教材第77页练习第2题.
板书设计
28.2.2 应用举例（第3课时）
1.方向角的意义；
2.坡度、坡角的意义；
3.例题
九、教学反思
将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.
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