3.1.2 椭圆的简单几何性质提高卷
一、单选题
1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2.某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道,其近月点与月球表面距离为,远月点与月球表面距离为.已知月球的直径约为,则该椭圆形轨道的离心率约为
A. B. C. D.
3.设椭圆:的左、右焦点分别为,,点.已知动点在椭圆上,且点,,不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为
A. B.
C. D.
4.共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为,,若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的倍,则的值不可能为( )
A. B.1 C. D.2
5.已知,则取最大值时的值为( )
A. B. C. D.
6.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是
A.① B.② C.①② D.①②③
7.已知椭圆的两个焦点分别是,,过的直线交椭圆于,两点,若且,则椭圆的离心率为( ).
A. B.
C. D.
8.已知O为坐标原点,P是椭圆E:上位于x轴上方的点,F为右焦点.延长PO,PF交椭圆E于Q,R两点,,,则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,短轴长等于2,离心率为,过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的方程为 B.椭圆C的方程为
C. D.的周长为
10.已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点,在y轴上,短轴长等于,离心率为,过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的方程为 B.椭圆C的方程为
C. D.的周长为
11.设椭圆:的左、右焦点分别为、,是上的一个动点,则下列结论正确的是( )
A.离心率
B.面积的最大值为
C.的最大值为1
D.以线段为直径的圆与直线相切
12.已知点为椭圆()的左焦点,过原点的直线交椭圆于,两点,点是椭圆上异于,的一点,直线,分别为,,椭圆的离心率为,若,,则( )
A. B. C. D.
三、填空题
13.设椭圆的左、右焦点为,过点的直线与椭圆相交于A,B两点,,则椭圆的离心率是____________.
14.已知椭圆,的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与交于,两点,的周长是13,则_____.
15.已知椭圆:的左、右焦点分别是,,斜率为的直线经过左焦点且交C于A,B两点(点A在第一象限),设的内切圆半径为,的内切圆半径为,若,则椭圆的离心率___________.
16.已知椭圆,点为直线上一动点,过点向椭圆作两条切线、,、为切点,则直线过定点_______.
四、解答题
17.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长是短轴长的3倍,且经过点P(3,0);
(2)
18.已知椭圆的焦点为和,是椭圆上的一点,且是与的等差中项.
(1)求椭圆的方程 长轴长 短轴长 离心率;
(2)若双曲线与该椭圆有相同的焦点,求的值.
19.如图,椭圆的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为,若,与轴垂直,且.
(1)求椭圆方程;
(2)过点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于两点,已知点,当时,求满足的直线的斜率的取值范围.
20.已知直线l1过点A(1,0),B(3,a-1),直线l2过点M(1,2),N(a+2,4).
(1)若l1∥l2,求a的值;
(2)若l1⊥l2,求a的值.
21.四边形的顶点,,,,为坐标原点.
()此四边形是否有外接圆,若有,求出外接圆的方程;若没有,请说明理由.
()记的外接圆为,过上的点作圆的切线,设与轴、轴的正半轴分别交于点、,求面积的最小值.
22.已知椭圆,四点中,恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线不经过点,且与椭圆相交于不同的两点.若直线与直线的斜率之和为,证明:直线过一定点,并求此定点坐标.
参考答案
1--8ABDCA CCB
9.AC 10.AC 11.ACD 12.AC
13.
14.6
15.
16.
17.(1)焦点在x轴上,可设椭圆的标准方程为(a>b>0).
由已知a=3b且椭圆过点(3,0),所以=1,解得:
故所求椭圆的方程为.
焦点在y轴上,可设椭圆的标准方程为 (a>b>0).
由已知a=3b且椭圆过点(3,0),所以,解得:
故所求椭圆的方程为.
(2)由 ,得,所.
故所求椭圆的方程为
18.解:(1) ,,
是与的等差中项,
,即,
点在以,为焦点的椭圆上,
,,,,
椭圆的方程是,
长轴长为,短轴长为,离心率为;
(2)双曲线与椭圆:,有相同的焦点,
双曲线的标准方程为,
,.
19.(1)设,由轴,知,,∴,
又由得,∴,∴,
又,,
∴,,∴椭圆方程为.
(2)设,,直线的方程为:,
联立,得,,
设线段的垂直平分线方程为:.
令,得,
由题意知,为线段的垂直平分线与轴的交点,所以,且,所以.
20.
(1), 即,解得.
(2),即,解得.
21.()设过三点的外接圆为,圆心,半径为,
则圆的标准方程为,
由题意得 ,解得
∴ 圆,
验证可得点在圆上.
∴ 四边形有外接圆,其方程为.
()由(1)得的外接圆为的方程为.
由题意得,
∴ 切线的斜率,从而切线的方程为,
整理得,
又点在圆上,故,
∴ 切线,
令,得,∴ ,
令,得,∴ ,
∴ 面积,
∵ ,
∴ ,当且仅当时等号成立.
即面积的最小值为,此时点.
22.(1)
由对称性同时在椭圆上或同时不在椭圆上,从而在椭圆上,因此不在椭圆上,故在椭圆上,
将,代入椭圆的方程,解得,
所以椭圆的方程为
(2)
当直线斜率存在时,令方程为,
由得
所以得
方程为,过定点
当直线斜率不存在时,令方程为,
由,即解得
此时直线方程为,也过点
综上,直线过定点.