3.1.2 椭圆的简单几何性质 提高卷-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质 提高卷-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 514.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-17 05:24:31 | ||
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文档简介
3.1.2 椭圆的简单几何性质提高卷
一、单选题
1．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为，远月点与月球表面距离为.已知月球的直径约为，则该椭圆形轨道的离心率约为
A． B． C． D．
3．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点.已知动点在椭圆上，且点，，不共线，若的周长的最小值为，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
4．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为，，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的倍，则的值不可能为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知，则取最大值时的值为（ ）
A． B． C． D．
6．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
7．已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）.
A． B．
C． D．
8．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D．的周长为
10．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点，在y轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D．的周长为
11．设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率
B．面积的最大值为
C．的最大值为1
D．以线段为直径的圆与直线相切
12．已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．设椭圆的左、右焦点为，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，，则椭圆的离心率是____________.
14．已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则_____．
15．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率___________．
16．已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线、，、为切点，则直线过定点_______．
四、解答题
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0）；
（2）
18．已知椭圆的焦点为和，是椭圆上的一点，且是与的等差中项.
（1）求椭圆的方程 长轴长 短轴长 离心率；
（2）若双曲线与该椭圆有相同的焦点，求的值.
19．如图，椭圆的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为，若，与轴垂直，且.
（1）求椭圆方程；
（2）过点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于两点，已知点，当时，求满足的直线的斜率的取值范围.
20．已知直线l1过点A(1,0)，B(3，a－1)，直线l2过点M(1,2)，N(a＋2,4)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
21．四边形的顶点，，，，为坐标原点．
（）此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程；若没有，请说明理由．
（）记的外接圆为，过上的点作圆的切线，设与轴、轴的正半轴分别交于点、，求面积的最小值．
22．已知椭圆，四点中，恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线不经过点，且与椭圆相交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过一定点，并求此定点坐标．
参考答案
1--8ABDCA CCB
9．AC 10．AC 11．ACD 12．AC
13．
14．6
15．
16．
17．（1）焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．
由已知a＝3b且椭圆过点（3，0），所以＝1，解得：
故所求椭圆的方程为.
焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为 （a＞b＞0）．
由已知a＝3b且椭圆过点（3，0），所以，解得：
故所求椭圆的方程为.
（2）由 ，得，所.
故所求椭圆的方程为
18．解：（1） ，，
是与的等差中项，
，即，
点在以，为焦点的椭圆上，
，，，，
椭圆的方程是，
长轴长为，短轴长为，离心率为；
（2）双曲线与椭圆：，有相同的焦点，
双曲线的标准方程为，
，.
19．(1)设，由轴，知，，∴，
又由得，∴，∴，
又，，
∴，，∴椭圆方程为.
(2)设，，直线的方程为：，
联立，得，，
设线段的垂直平分线方程为：.
令，得，
由题意知，为线段的垂直平分线与轴的交点，所以，且，所以.
20．
（1）, 即,解得．
（2）,即,解得.
21．（）设过三点的外接圆为，圆心，半径为，
则圆的标准方程为，
由题意得 ，解得
∴ 圆，
验证可得点在圆上．
∴ 四边形有外接圆，其方程为．
（）由（1）得的外接圆为的方程为．
由题意得，
∴ 切线的斜率，从而切线的方程为，
整理得，
又点在圆上，故，
∴ 切线，
令，得，∴ ，
令，得，∴ ，
∴ 面积，
∵ ，
∴ ，当且仅当时等号成立.
即面积的最小值为，此时点．
22．(1)
由对称性同时在椭圆上或同时不在椭圆上，从而在椭圆上，因此不在椭圆上，故在椭圆上，
将，代入椭圆的方程，解得，
所以椭圆的方程为
(2)
当直线斜率存在时，令方程为，
由得
所以得
方程为，过定点
当直线斜率不存在时，令方程为，
由，即解得
此时直线方程为，也过点
综上，直线过定点.
一、单选题
1．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为，远月点与月球表面距离为.已知月球的直径约为，则该椭圆形轨道的离心率约为
A． B． C． D．
3．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点.已知动点在椭圆上，且点，，不共线，若的周长的最小值为，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
4．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为，，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的倍，则的值不可能为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知，则取最大值时的值为（ ）
A． B． C． D．
6．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
7．已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）.
A． B．
C． D．
8．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D．的周长为
10．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点，在y轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D．的周长为
11．设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率
B．面积的最大值为
C．的最大值为1
D．以线段为直径的圆与直线相切
12．已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．设椭圆的左、右焦点为，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，，则椭圆的离心率是____________.
14．已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则_____．
15．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率___________．
16．已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线、，、为切点，则直线过定点_______．
四、解答题
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0）；
（2）
18．已知椭圆的焦点为和，是椭圆上的一点，且是与的等差中项.
（1）求椭圆的方程 长轴长 短轴长 离心率；
（2）若双曲线与该椭圆有相同的焦点，求的值.
19．如图，椭圆的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为，若，与轴垂直，且.
（1）求椭圆方程；
（2）过点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于两点，已知点，当时，求满足的直线的斜率的取值范围.
20．已知直线l1过点A(1,0)，B(3，a－1)，直线l2过点M(1,2)，N(a＋2,4)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
21．四边形的顶点，，，，为坐标原点．
（）此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程；若没有，请说明理由．
（）记的外接圆为，过上的点作圆的切线，设与轴、轴的正半轴分别交于点、，求面积的最小值．
22．已知椭圆，四点中，恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线不经过点，且与椭圆相交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过一定点，并求此定点坐标．
参考答案
1--8ABDCA CCB
9．AC 10．AC 11．ACD 12．AC
13．
14．6
15．
16．
17．（1）焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．
由已知a＝3b且椭圆过点（3，0），所以＝1，解得：
故所求椭圆的方程为.
焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为 （a＞b＞0）．
由已知a＝3b且椭圆过点（3，0），所以，解得：
故所求椭圆的方程为.
（2）由 ，得，所.
故所求椭圆的方程为
18．解：（1） ，，
是与的等差中项，
，即，
点在以，为焦点的椭圆上，
，，，，
椭圆的方程是，
长轴长为，短轴长为，离心率为；
（2）双曲线与椭圆：，有相同的焦点，
双曲线的标准方程为，
，.
19．(1)设，由轴，知，，∴，
又由得，∴，∴，
又，，
∴，，∴椭圆方程为.
(2)设，，直线的方程为：，
联立，得，，
设线段的垂直平分线方程为：.
令，得，
由题意知，为线段的垂直平分线与轴的交点，所以，且，所以.
20．
（1）, 即,解得．
（2）,即,解得.
21．（）设过三点的外接圆为，圆心，半径为，
则圆的标准方程为，
由题意得 ，解得
∴ 圆，
验证可得点在圆上．
∴ 四边形有外接圆，其方程为．
（）由（1）得的外接圆为的方程为．
由题意得，
∴ 切线的斜率，从而切线的方程为，
整理得，
又点在圆上，故，
∴ 切线，
令，得，∴ ，
令，得，∴ ，
∴ 面积，
∵ ，
∴ ，当且仅当时等号成立.
即面积的最小值为，此时点．
22．(1)
由对称性同时在椭圆上或同时不在椭圆上，从而在椭圆上，因此不在椭圆上，故在椭圆上，
将，代入椭圆的方程，解得，
所以椭圆的方程为
(2)
当直线斜率存在时，令方程为，
由得
所以得
方程为，过定点
当直线斜率不存在时，令方程为，
由，即解得
此时直线方程为，也过点
综上，直线过定点.