第六章 万有引力与航天
4 万有引力理论的成就
1．行星的运动可看做匀速圆周运动，则行星绕太阳运动的轨道半径R的三次方与周期T的平方的比值为常量＝k，下列说法正确的是 ( )．
A．公式＝k只适用于围绕太阳运行的行星
B．围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等
C．k值与被环绕星球的质量和行星或卫星的质量都有关系
D．k值仅由被环绕星球的质量决定
解析 由G＝mR可得＝，所以k＝，k值只和被环绕星球的质量有关，即围绕同一星球运行的行星或卫星，k值相等，所以只有D正确．
答案 D
2．把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星
( )．
A．周期越小 B．线速度越小
C．角速度越小 D．加速度越小
解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由G＝m得v＝ ，可知r越大，线速度越小，B正确．由G＝mω2r得ω＝ ，可知r越大，角速度越小，C正确．又由T＝知，ω越小，周期T越大，A错．由G＝ma得a＝，可知r越大，a越小，D正确．
答案 BCD
3．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为 ( )．
A．1 B. C. D.
解析 地球表面上的重力加速度和在离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有
在地面上，G＝mg0，①
离地心4R处，G＝mg，②
由①②两式得＝2＝.
答案 D
4．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图6－4－5所示．该行星与地球的公转半径之比为
( )．
图6－4－5
A. B.
C. D.
解析 设地球和行星的轨道半径分别为r1、r2，运行周期分别为T1、T2.由开普勒行星运动第三定律＝k得＝，又NT1＝(N－1)T2，联立解得＝.
答案 B
5．质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的 ( )．
A．线速度v＝ B．角速度ω＝
C．运行周期T＝2π D．向心加速度a＝
解析 探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有G＝ma＝m＝mω2R＝mR，可得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，所以A正确，D错误；又由于不考虑月球自转的影响，则G＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝，T＝2π，所以B错误，C正确．
答案 AC
6．火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法中正确的是 ( )．
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
解析 本题考查万有引力定律和有关天体运动的问题，意在考查学生对天体运动中各物理量之间的相互关系的掌握情况和分析比较能力．由mg＝得：＝·＝×2＝，所以选项A正确；由G＝mr，得T＝ ，＝＝＞1，所以选项B正确；由G＝m，得v＝ ，a＝＝，所以选项C、D都不对．
答案 AB
7．为了研究太阳演化进程，需要知道太阳目前的质量M.已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量m＝6.0×1024 kg，日地中心的距离r＝1.5×1011 m，地球表面处的重力加速度g＝10 m/s2,1年约为3.2×107 s，试估算太阳目前的质量M.
解析 地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G＝mr①
对地球表面附近质量为m′的物体有
G＝m′g②
联立①②两式解得
M＝＝1.90×1030 kg
答案 1.90×1030 kg
8．月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为 ( )．
A．1∶6 400 B．1∶80 C．80∶1 D．6 400∶1
解析 双星系统中的向心力大小相等，角速度相同．据此可得M＝m，Mω2r1＝mω2r2，联立得＝＝，故C项正确．
答案 C
9．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的 ( )．
A.倍 B．4倍
C．16倍 D．64倍
解析 由G＝mg得M＝，
ρ＝＝＝
所以R＝，则＝＝4
根据M＝＝＝＝64M地，所以D项正确．
答案 D
10．我国曾发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设想“嫦娥一号”贴近月球表面做匀速圆周运动，其周期为T.“嫦娥一号”在月球上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P.已知引力常量为G，由以上数据可以求出的量有 ( )．
A．月球的半径
B．月球的质量
C．月球表面的重力加速度
D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度
解析 万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，设卫星质量为m′，有G＝m′R，月球表面万有引力等于重力，G＝P＝mg月，两式联立可以求出月球的半径R、质量M、月球表面的重力加速度g月，故A、B、C都正确．
答案 ABC
11．已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7倍，某行星的同步卫星轨道半径约为该行星半径的3倍，该行星的自转周期约为地球自转周期的一半，那么该行星的平均密度与地球平均密度之比约为多少？
解析 由万有引力定律，对地球同步卫星有
G＝m2(7R)，
对行星的同步卫星有
G＝M′2(3R′)，
又M地＝πR3ρ，M行＝πR′3ρ′，
联立以上各式得＝＝.
答案 108∶343
12．我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面．宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G.求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的平均密度．
解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有L＝vt，h＝gt2
解得g＝
(2)在星球表面满足＝mg
又M＝ρ·πR3，解得ρ＝.
答案 (1) (2)
课件53张PPT。4 万有引力理论的成就 1．知道万有引力定律在天文学上的重要应用．
2．会用万有引力定律计算天体的质量．
3．掌握用万有引力定律处理天体问题的思路、方法. 1.地球质量的计算
(1)依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝______.
(2)结论：M＝_____，只要知道g、R的值，就可以算出地球的质量．计算天体的质量 2．太阳质量的计算3．其他行星的质量计算思考1：行星围绕太阳做匀速圆周运动，太阳的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，请写出行星做匀速圆周运动的几个向心力公式．1．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有 ( )．
A．月球的质量 B．地球的质量
C．地球的半径 D．地球的密度答案 B2．有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为
( )．答案 B1.海王星的发现
英国剑桥大学的学生_______和法国年轻的天文学家_______根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的______在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
2．哈雷慧星的“按时回归”
哈雷彗星的“按时回归”更加确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈． 发现未知天体 亚当斯勒维耶加勒3.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是 ( )．
A．天王星和海王星，都是运用万有引力定律，经过大量计算以后而发现的
B．在18世纪已经发现的7颗行星中，人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一颗行星，是它的存在引起了上述偏差
C．第八颗行星，是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经过大量计算而发现的D．天王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶合作研究后共同发现的
解析 天王星是在1781年发现的，而卡文迪许测出引力常量是在1789年，在此之前人们还不能用万有引力定律做有实际意义的计算，A错误，B正确；太阳的第八颗行星即海王星是英国剑桥大学亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶各自独立地利用万有引力计算出轨道和位置，由德国的伽勒首先发现的，C、D错．
答案 B 计算天体的质量
【典例1】 已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g取9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是 ( )．
A．1018 kg B．1020 kg
C．1022 kg D．1024 kg答案 D 【跟踪1】 (2012·福建卷，16)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为 ( )．答案 B1.利用天体的卫星来求天体的密度 计算天体的密度 2．利用天体表面的重力加速度来求天体的密度【典例2】 地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为 ( )．答案 A【跟踪2】 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的运行周期为T1，已知引力常量为G，则该天体的密度为________．若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又可表示为________．1.几个重要的物理量
(1)线速度v：天体的运动规律 【典例3】 (2012·浙江卷，15)如图6－4－1所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是 ( )．
图6－4－1A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值答案 C 利用万有引力定律和圆周运动知识分析计算天体运动问题的两条思路【跟踪3】 如图6－4－2所示，a、b、c是在地球大气层以外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则 ( )．
图6－4－2A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度答案 ABD 物理建模6 双星模型
模型概述
宇宙中往往会有相距较近、质量相当的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动．这种天体结构叫做双星(如图6－4－3所示)．图6－4－3模型特点
(1)由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必然相等，即角速度相等，周期相等．典例剖析
【典例】 经长期观测，人们在宇宙中已经发现了双星系统．双星系统由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图6－4－4所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( )．图6－4－4A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2答案 C【审题技巧】
双星做匀速圆周运动的圆心相同，我们可根据它们做圆周运动的周期相同、双星之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力等特点进行解答．
特别提醒：列式时须注意：双星的轨道半径与双星间的距离不同．【我来冲关】
(2012·重庆)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的 ( )．答案 A【状元微博】一、计算天体的质量和密度
1．在万有引力常量G已知的情况下，已知下列哪些数据，可以计算出地球质量 ( )．
A．地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离
B．人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期
C．月球绕地球运行的周期及地球半径
D．若不考虑地球自转，已知地球半径和地球表面的重力加速度答案 BD答案 A3．近年来，美国发射的“凤凰号”火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量) ( )．答案 D二、天体的运动
4．一行星绕恒星做圆周运动，由天文观测知其运行周期为T，速度为v，引力常量为G.则 ( )．答案 ACD5．海王星的发现是万有引力定律应用的一个成功的范例．但是发现海王星后，人们又发现海王星的轨道与理论计算值有较大的差异，于是沿用了发现海王星的办法，经过多年努力，才由美国以洛维尔天文台在理论计算出的轨道附近
天区内找到了质量比理论值小得多的冥王星．冥王星绕太阳运动的轨道半径是40个天文单位(日地距离为一个天文单位)，求冥王星与地球绕太阳运动的线速度之比．
