第七章 机械能守恒定律
3 功 率
1．关于力对物体做功的功率，下面几种说法中正确的是 ( )．
A．力对物体做功越多，这个力的功率就越大
B．力对物体做功的时间越短，这个力的功率就越大
C．力对物体做功少，其功率也可能很大；力对物体做功多，其功率也可能较小
D．功率是表示做功快慢的物理量，而不是表示做功大小的物理量
解析 功率P＝，表示单位时间内所做的功，当t一定时，W越大，P越大；当W一定时，t越小，P越大．单纯只强调两个因素中的一个，而不说另一个因素的说法是错误的，故A、B错误；如果W小，但当t很小时，P也可能很大；如果W较大，但t很大时，P也可能较小，所以C正确；由P＝可知P是表示做功快慢的物理量，P越大反映的是单位时间内做功越多，也就是做功越快．
答案 CD
2．汽车以恒定功率P由静止出发，沿平直路面行驶，最大速度为v，则下列判断正确的是 ( )．
A．汽车先做匀加速运动，最后做匀速运动
B．汽车先做加速度越来越大的加速运动，最后做匀速运动
C．汽车先做加速度越来越小的加速运动，最后做匀速运动
D．汽车先做加速运动，再做减速运动，最后做匀速运动
解析 汽车在恒定功率下的启动中，力的大小与v的大小有关．
答案 C
3．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t＝T时刻F的功率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 木块加速度a＝，t＝T时速度v＝aT＝，瞬时功率P＝Fv＝.
答案 B
4．在距地面h高处，分别以速度v1和v2(v1
A．PA>PB B．PA＝PB
C．PA解析 两球质量相同，故抛出后两球的受力均为F＝mg，落地时重力瞬时功率P＝mgvcos α，vcos α为球落地时速度沿竖直方向的分量vy.因两球是在同一高处被水平抛出，所以落地时竖直方向的末速度vy相同，且vy＝.
答案 B
5．质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是 ( )．
A．at即为汽车额定功率下的速度最大值
B．at还不是汽车额定功率下速度最大值
C．汽车的额定功率是ma2t
D．题中所给条件求不出汽车的额定功率
解析 汽车在额定功率下的最大速度是a＝0时，vm＝＝，故A项错误、B项正确．汽车的功率是牵引力的功率，不是合力的功率，故C项错误．由F－Ff＝ma，F＝Ff＋ma，因Ff不知，则F不知，故求不出汽车的额定功率，故D项正确．
答案 BD
6．如图7－3－5所示，一质量为m的物体，沿倾角为θ的光滑固定斜面由静止下滑，当它在竖直方向下落了h高度时，求重力的瞬时功率和整个过程中重力的平均功率．
图7－3－5
解析 由题意知，物体在重力和支持力作用下沿斜面下滑，其下滑加速度a＝gsin θ，下滑的位移l＝.
由v2－0＝2al，得速度v＝，方向为沿斜面向下，故重力的瞬时功率
PG＝mgvsin θ＝mgsin θ＝mgsin θ；
重力的平均功率
＝mgsin θ＝mgsin θ＝mgsin θ.
答案 mgsin θ mgsin θ
7．质量为2 000 kg、额定功率为80 kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20 m/s.若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s2，运动中的阻力不变．求：
(1)汽车所受阻力的大小；
(2)3 s末汽车的瞬时功率；
(3)汽车做匀加速运动的时间；
(4)汽车在匀加速运动中牵引力所做的功．
解析 (1)所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出．以最大速度行驶时，根据P＝Fv，可求得F＝4 000 N．而此时牵引力和阻力大小相等．
(2)由于3 s时的速度v＝at＝6 m/s，而牵引力由F－Ff＝ma得F＝8 000 N，故此时的功率为P＝Fv＝4.8×104 W.
(3)设匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为v＝at，这时汽车的功率为额定功率．由P＝Fv，将F＝8 000 N和v＝at代入得t＝5 s.
(4)匀加速运动阶段牵引力为恒力，牵引力所做的功
W＝Fl＝Fat2＝8 000××2×52 J＝2×105 J
答案 (1)4 000 N (2)4.8×104 W (3)5 s
(4)2×105 J
8．某物体从高为H处由静止下落至地面，用时为t，则下述结论正确的是
( )．
A．前、后内重力做功相等
B．前、后内重力做功相等
C．前、后内重力做功的平均功率相等
D．前、后内重力做功的平均功率相等
解析 下落前、后过程中，重力做功均为mg·，A对．由于下落前用时较长，故前，重力的平均功率较小，C错．下落前、后时间内，物体分别下落和H，重力做功分别为mgH和mgH，这两段时间相同，做功不同，表明重力的平均功率也不相等，B、D错．
答案 A
9．一个质量为m的物体在水平恒力F的作用下，沿水平面从静止开始做匀加速直线运动，向前移动了一段距离s，那么在前半程s1＝及后半程s2＝中，F做功的平均功率之比为 ( )．
A．(－1)∶1 B．(－2)∶1
C．1∶ D．1∶(－1)
解析 设物体的加速度为a，由s＝at2得，前半程所用时间：t1＝
后半程所用时间：t2＝(－1)，又因前半程F做功的平均功率：P1＝
后半程F做功的平均功率：P2＝
所以P1∶P2＝(－1)∶1，故A正确．
答案 A
10．飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程中(如图7－3－6)，飞行员所受重力的瞬时功率的变化情况是( )．
图7－3－6
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
解析 对飞行员受力及运动分析如图所示，在A位置，飞行员受重力但速度为零，所以P＝mgv＝0；在B位置，飞行员受重力mg，速度为v，α＝90°，所以P＝Fvcos α＝0；在A、B之间的任意位置C,0°<α<90°.由P＝Fvcos α知P为一个大于零的数值，所以运动员所受重力的瞬时功率的变化情况是先增大后减小．
答案 C
11．一辆小车在水平面上做匀速直线运动，从某时刻起，小车所受牵引力和阻力随时间变化的规律如图7－3－7所示，则作用在小车上的牵引力F的功率随时间变化的规律是下图中的 ( )．
图7－3－7
解析 车所受的牵引力和阻力恒定，所以车做匀加速直线运动，牵引力的功率P＝Fv＝F(v0＋at)，故选项D正确．
答案 D
12．(2012·上海)如图7－3－8所示，位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2的功率相同．则可能有 ( )．
图7－3－8
A．F2＝F1，v1>v2 B．F2＝F1，v1C．F2>F1，v1>v2 D．F2解析 设F2与水平面的夹角为θ，则F1的功率P1＝F1v1，F2的功率P2＝F2v2cos θ.由题意知P1＝P2，若F2＝F1，则一定有v1F1还是F2答案 BD
13．质量m＝5.0×106 kg的列车以恒定不变的功率由静止沿平直轨道加速行驶，当速度增大到v1＝2 m/s时，加速度a1＝0.9 m/s2，当速度增大到v2＝10 m/s时，加速度a2＝0.1 m/s2.如果列车所受阻力大小不变，求：
(1)列车所受阻力是多少？
(2)在该功率下列车的最大速度是多少？
解析 (1)设列车功率为P，所受阻力为f，则对已知的两个时刻有：－f＝ma1，－f＝ma2，
代入数据联立可得：
P＝1×107 W，f＝5×105 N.
(2)当a＝0时，列车的速度最大，可得最大速度为vm＝＝20 m/s.
答案 (1)5×105 N (2)20 m/s
14．一辆重5 t的汽车，发动机的额定功率为80 kW.汽车从静止开始以加速度a＝1 m/s2做匀加速直线运动，车受的阻力为车重的0.06倍．(g取10 m/s2)求：
(1)汽车做匀加速直线运动的最长时间．
(2)汽车开始运动后，5 s末和15 s末的瞬时功率．
解析 (1)设汽车匀加速运动所能达到的最大速度为v0，对汽车由牛顿第二定律得F－Ff＝ma
即－kmg＝ma，代入数据得v0＝10 m/s
所以汽车做匀加速直线运动的时间t0＝＝ s＝10 s
(2)由于10 s末汽车达到了额定功率，5 s末汽车还处于匀加速运动阶段，P＝Fv＝(Ff＋ma)at＝(0.06×5×103×10＋5×103×1)×1×5 W＝40 kW
15 s末汽车已经达到了额定功率P额＝80 kW.
答案 (1)10 s (2)40 kW 80 kW
课件47张PPT。3 功 率 2．知道平均功率和瞬时功率的含义，能根据P＝Fv进行分析和计算．
3．了解额定功率和实际功率，能分析汽车发动机功率一定时，牵引力与速度之间的关系. 1.定义：_____跟____________________的比值叫做功率．
2．定义式：P＝____.
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是_____，简称__，符号是___.
1W＝__J/s,1kW＝____ W.
4．物理意义：是表示_________的物理量．功率 功W完成这些功所用时间t瓦特瓦W1103做功快慢思考1：功率大，做功一定多吗？
提示：功率与做功多少没有必然联系，功率大，做功不一定多，但做功一定快．1．下列关于功率的说法，正确的是 ( )．
A．力对物体做的功越多，功率就越大
B．做功时间短的机械，功率大
C．完成相同的功，用的时间越长，功率越大
D．功率大的机械在单位时间内做的功会更多
解析 功率与做功多少没有必然的联系，选项A、B错误；完成相同的功，用时越长，功率越小，选项C错误；故选D.
答案 D额定功率与实际功率 输出功率不同不变实际工作≥思考2：各种机械铭牌上所标功率是额定功率，还是实际功率？
提示：额定功率． 2.以下关于功率的说法中，正确的是 ( )．
A．动力机械铭牌上标明的是该机械的额定功率
B．额定功率是动力机械工作时必须保持的稳定功率
C．在较短的时间内，实际功率可以大于额定功率
D．在较长的时间内，实际功率可以小于额定功率
答案 ACD 1.功率与速度关系式
P＝ ____(F与v方向相同)．
2．推导功率与速度 Fv3．应用
由功率速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成______，要增大牵引力，就要_____速度． 反比减小3.下列关于功率的说法中正确的是 ( )．答案 D
【典例1】 质量为m＝2 kg的物体从距地面45 m的高处自由下落，在t＝2 s的时间内重力的功率为多少？在2 s末重力做功的功率等于多少？在4 s末重力做功的功率又为多少？答案 ①192.1 W ②384.2 W ③0 求解功率时应该注意的问题
(1)首先要明确是求哪个力的功率，是某个力的功率，还是物体所受合力的功率，汽车的功率是指汽车牵引力的功率，起重机的功率是指起重机钢丝绳拉力的功率．
【跟踪1】 质量m＝5 kg的物体，在水平力F＝10 N的作用下，在光滑的水平面上从静止开始做匀加速直线运动，求：
(1)力F在t＝2 s内对物体所做的功；
(2)力F在t＝2 s内对物体所做功的平均功率；
(3)在2 s末力F对物体做功的瞬时功率．解析 物体在水平力F的作用下，在光滑水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可求出加速度．
答案 (1)40 J (2)20 W (3)40 W对公式P＝Fv的几点认识
(1)由于公式W＝Fl适用于力F与位移l同方向的情况，故P＝Fv也适用于力F和速度v同方向的情况．
(2)当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解为沿v方向的分力F1和垂直于v方向的分力F2，F2不做功，其功率为0，F1的功率即为F的功率；或者分解速度，用F乘以沿F方向上的分速度来求．故功率的一般表达式为P＝Fvcos α，α是F、v之间的夹角．对公式P＝Fv的进一步认识 【典例2】 (2012·江苏)如图7－3－1所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是 ( )．
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大图7－3－1审题技巧 解答本题时应把握以下两点：
(1)小球在竖直平面内做匀速圆周运动，则小球在切线方向受力平衡．
(2)小球从A点运动到B点的过程中，速率不变，水平拉力变化，水平拉力与速度的夹角变大．解析 小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点过程中，小球在切线方向受力平衡，对小球进行受力分析，如图所示，在切线方向上，有Fcos θ＝mgsin θ，故拉力的瞬时功率P＝Fvcos θ＝mgvsin θ，小球从A运动到B的过程中，θ逐渐变大，故P逐渐变大，选项A正确．
答案 A 对公式P＝Fv的理解【跟踪2】 汽车上坡的时候，司机必须换档，其目的是
( )．
A．减小速度，得到较小的牵引力
B．增大速度，得到较小的牵引力
C．减小速度，得到较大的牵引力
D．增大速度，得到较大的牵引力
解析 由P＝Fv可知，P一定时，v减小，则F增大，故选项C正确．
答案 C疑难突破3 机车的两种启动方式
1.恒定功率启动
(1)启动过程中各量的变化及运动性质图7－3－22．恒定牵引力启动
(1)启动过程中各量的变化及运动性质图7－3－3典例剖析
【典例】 一辆质量为2.0×103 kg的汽车以额定功率P0＝6.0×104 W在水平公路上行驶，汽车受到的阻力为一定值，在某时刻汽车的速度为v1＝20 m/s，加速度为a1＝0.50 m/s2，求(g取10 m/s2)：
(1)汽车所能达到的最大速度vm是多大？
(2)若汽车从静止开始做匀加速直线运动(不是额定功率行驶)，加速度大小为a2＝1.0 m/s2，则这一过程能维持多长时间？ (2)汽车由静止启动后，随着速度的增大，牵引力的功率逐渐变大，当功率达到额定功率时，机车达到匀加速直线运动所能达到的最大速度v2，设此过程中机车的牵引力为F2，由牛顿第二定律得
F2－F阻＝ma2⑤
又P0＝F2v2⑥
v2＝a2t⑦
联立解得v2＝15 m/s，t＝15 s.
答案 (1)30 m/s (2)15 s【审题技巧】【我来冲关】
一辆电动自行车的铭牌上给出了如下的技术参数：
规格：车型26″电动自行车，
整车质量30 kg，最大载量120 kg，
后轮驱动直流永磁体电机：
额定输出功率120 W
额定电压40 V，额定电流3.5 A(即输入电动机的功率为40×3.5 W＝140 W)
质量为m＝70 kg的人骑此自行车沿平直公路行驶，所受阻力恒为车和人的总重的k＝0.02倍，g取10 m/s2，求：(1)此车的电机在额定功率下正常工作时的效率；
(2)仅让电动机在额定功率提供动力的情况下，人骑自行车匀速行驶的速度；
(3)仅让电机在额定功率提供动力的情况下，当车速为v1＝1.0 m/s时，人骑车的加速度大小．答案 (1)85.7% (2)6 m/s (3)1 m/s2【状元微博】
机车启动过程的分析步骤
(1)正确分析其物理过程，明确是哪种启动方式．
(2)抓住两个基本公式：①功率公式P＝Fv(P是机车的实际功率，F是机车的牵引力，v是机车的速度)；②牛顿第二定律，即F－Ff＝ma.
(3)正确分析各个物理量在各个过程中的变化情况. 一、对功率的理解
1．关于功率，下列各种说法中正确的是 ( )．
A．功率大说明物体做功多
B．功率小说明物体做功慢
C．单位时间内做功越多，其功率越大
D．由P＝Fv可知，机车运动速度越大，功率一定越大
解析 功率是描述力做功快慢的物理量，单位时间内力做的功就是功率；只有当F一定时，功率P才与速度v成正比．
答案 BC2．放在水平面上的物体在拉力F作用下做匀速直线运动，先后通过A、B两点，在这个过程中 ( )．
A．物体的运动速度越大，力F做功越多
B．不论物体的运动速度多大，力F做功不变
C．物体的运动速度越大，力F做功的功率越大
D．物体的运动速度越大，力F做功的功率不变
解析 求做功用W＝Fl，故不论速度多大，F做功不变，故A错，B对；物体运动速度越大，通过相等位移所用时间越短，功率就越大．故C对，D错．
答案 BC二、功率的计算
3．如图7－3－4所示，在光滑的水平面上放着一个质量为10 kg的木箱，拉力F与水平方向成60°角，F＝2 N．木箱从静止开始运动，4 s末拉力的瞬时功率为 ( )．
A．0.2 W B．0.4 W
C．0.8 W D．1.6 W图7－3－4答案 B4．一台起重机匀加速地将质量为1.0×103 kg的货物竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4.0 m/s，取g＝10 m/s2，不计阻力，求：
(1)起重机在这2 s内的平均输出功率；
(2)起重机在2 s末的瞬时输出功率． 答案 (1)2×104 W (2)4.8×104 W三、机车的启动问题
5．汽车的质量为4×103 kg，额定功率为30 kW，运动中阻力大小恒为车重的0.1倍．汽车在水平路面上从静止开始以8×103 N的牵引力出发，求：(g＝10 m/s2)
(1)经过多长时间汽车达到额定功率？
(2)汽车达到额定功率后保持功率不变，最大速度多大？
(3)汽车加速度为0.6 m/s2时速度多大？答案 (1)汽车经过3.75 s达到额定功率；(2)最大速度为7.5 m/s；(3)汽车加速度为0.6 m/s2时速度为4.7 m/s.