第七章 机械能守恒定律
5 探究弹性势能的表达式
1．关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是 ( )．
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，k 越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
解析 弹簧的弹性势能的大小，除了跟劲度系数 k 有关外，还跟它的形变量(拉伸或压缩的长度)有关．如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该先减小，在原长处它的弹性势能最小．所以A、B、D均不对．
答案 C
2．一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图7－5－11所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则( )．
图7－5－11
A．h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大
B．弹簧在A点的压缩量与h无关
C．h愈大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能愈大
D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大
解析 最终小球静止在A点时，通过受力分析，小球受自身重力与弹簧的弹力作用，由弹力公式F＝kx，即可得出弹簧在A点的压缩量与h无关，弹簧弹性势能与h无关．
答案 B
3．弹簧原长为l0，劲度系数为k.用力把它拉到伸长量为l处，拉力所做的功为W1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2.试求W1与W2的比值．
解析 拉力F与弹簧的伸长量l成正比，故在F－l图象中是一条倾斜直线，如右图所示，直线下的相关面积表示功的大小．其中，线段OA下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功W1，线段AB下的梯形面积表示第二个过程中拉力所做的功W2.显然，两块面积之比为1∶3，即W1∶W2＝1∶3.
答案 1∶3
4．如图7－5－12所示，质量相等的两木块中间连有一弹簧，今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面．开始时物体A静止在弹簧上面．设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2大小关系及弹性势能变化ΔEp说法中正确的是 ( )．
图7－5－12
A．Ep1＝Ep2 B．Ep1＞Ep2 C．ΔEp＞0 D．ΔEp＜0
解析 开始时弹簧形变量为x1，有kx1＝mg，则设B离开地面时形变量为x2，有kx2＝mg.由于x1＝x2所以Ep1＝Ep2，ΔEp＝0，A对．
答案 A
5．某缓冲装置可抽象成如图7－5－13所示的简单模型．图中k1、k2为原长相等、劲度系数不同的轻质弹簧．下列表述正确的是 ( )．
图7－5－13
A．缓冲效果与弹簧的劲度系数无关
B．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等
C．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等
D．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能都减少
解析 弹簧的缓冲效果与弹簧的劲度系数有关，A错误；在垫片向右运动的过程中，由于两个弹簧相连，故它们之间的作用力等大，B正确；由于两弹簧的劲度系数不同，由胡克定律F＝kx可知，两弹簧的弹力做负功，则两弹簧弹性势能都将增加，D错误．故选B.
答案 B
6．如图7－5－14所示，在光滑水平面上有A、B两球，中间连一弹簧，A球固定，现用手拿住B球将弹簧压缩一定距离，然后释放B球，在B球向右运动到最大距离的过程中，(1)B球的加速度怎样变化？(2)B球的速度怎样变化？(3)弹簧的弹性势能怎样变化？
图7－5－14
解析 小球从开始到弹簧恢复原长的过程中，B球受到向右的弹力作用，小球的速度在增大，但受到向右的弹力在减小，所以加速度减小，弹簧的弹性势能在减小．B球经过原长处继续向右运动的过程中，由于受到向左的拉力，小球的速度在减小，但受到向左的拉力在增大，所以加速度增大，弹簧的弹性势能在增大．
答案 (1)加速度先减小到零后再反向增大．(2)速度先增大后减小．(3)弹簧的弹性势能先减小后增大．
课件49张PPT。5 探究弹性势能的表达式 1．知道探究弹性势能表达式的思路．
2．理解弹性势能的概念，会分析决定弹性势能大小的相关因素．
3．知道弹力做功和弹性势能变化的关系. 1.概念
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有______的相互作用而具有的势能．弹性势能 弹力2．决定弹性势能大小的相关因素的猜想
弹性势能与重力势能同属于______，由此影响弹性势能的因素猜想如下：势能高度形变量AA劲度系数形变量思考1：弹簧弹力做正功时，弹簧的弹性势能如何变化？
提示：弹簧弹力做正功时，弹簧的弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加．1．关于弹性势能，下列说法正确的是 ( )．
A．发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能
C．弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳解析 发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用都具有弹性势能，A正确，B错误；弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，C正确；所有能的单位跟功的单位相同，在国际单位制中的单位是焦耳，D正确．
答案 ACD1.弹力做功特点
随弹簧_______的变化而变化，还因_____的不同而不同．
2．弹力做功与弹性势能的关系弹性势能(变化)大小探究 形变量弹簧3．“化变为恒”求拉力做功
W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…＋______.
4．“F－l”图象面积的意义
表示_________的值．思考2：重力做功可以直接应用公式W＝Flcos α来求，弹力做功可以直接用此公式求吗？为什么？
提示：不可以，弹力是变力． FnΔln弹性势能2．如图7－5－1所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中下列说法正确的是 ( )．图7－5－1A．弹簧对物体做正功，弹簧的弹性势能逐渐减少
B．弹簧对物体做负功，弹簧的弹性势能逐渐增加
C．弹簧先对物体做正功，后对物体做负功，弹簧的弹性势
能先减少后增加
D．弹簧先对物体做负功，后对物体做正功，弹簧的弹性势
能先增加后减少
解析 弹簧由被压缩到原长再到伸长的过程中，刚开始时弹力方向与运动方向同向，弹力做正功，弹性势能应减少．越过原长位置后弹力方向与运动方向反向，弹力做负功，故弹性势能增加，所以只有C正确，A、B、D错误．
答案 C 1.弹性势能的产生及影响因素弹性势能的理解 2．理解
(1)弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点，因相对位置改变而具有的能量，因而弹性势能是整个系统所具有的．
(2)弹性势能是相对的，其大小在选定了零势能点后才有意义．对于弹簧，一般选原长时的弹性势能为0.
(3)物体上升，物体克服重力做功，重力势能增加，用力拉或压弹簧，弹簧克服弹力做功，弹性势能增加．【典例1】 关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是
( )．
A．弹簧的弹性势能跟拉伸(或压缩)的长度有关
B．弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关
C．同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越
大
D．弹性势能的大小跟使弹簧发生形变的物体有关解析 弹性势能的大小跟形变的大小有关，同一弹簧形变量越大，弹性势能也越大．弹簧的弹性势能还与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大，故正确答案为A、B、C.
答案 ABC (1)所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能．
(2)弹性势能的大小与劲度系数和形变量两个因素有关．【跟踪1】 如图7－5－2所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中，以下说法正确的是 ( )．
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加图7－5－2解析 由功的计算公式W＝Flcos α知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力，所以选项A错误；弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故选项B正确；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项C错误，选项D正确．
答案 BD1.弹性势能与弹力做功的关系
如图7－5－3所示，O为弹簧的原长处．弹力做功与弹性势能变化的关系 图7－5－3(1)弹力做负功：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能．
(2)弹力做正功：如物体由A向O运动或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能．
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹性势能的变化量总等于弹力对外做功的负值，表达式为W弹＝－ΔEp.2．推导弹簧弹性势能的表达式图7－5－4【典例2】 如图7－5－5所示，小球自a点由静止自由下落，到b点与竖直放置的轻弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，不计空气阻力，则小球在a→b→c的运动过程中
( )．
A．小球的加速度在ab段不变，在bc段逐渐变小
B．小球的速度在bc段逐渐减小
C．小球的重力势能在a→b→c过程中不断减小
D．小球的弹性势能在bc段不断增大图7－5－5 解析 小球在ab段做自由落体运动，a＝g不变；在bc段小球受到的重力开始大于弹力，直至重力等于弹力大小，此过程中，小球受到的合外力向下，且不断减小，故小球做加速度减小、速度不断增大的变加速运动；过平衡点之后，小球继续压缩弹簧，受到的重力后来小于弹力，直至压缩弹簧最短到c点，此过程中，小球受到的合外力向上，且不断增大，故小球做加速度不断增大的变减速运动，故A、B错误．
小球在a→b→c的过程中，高度越来越低，重力做正功，重力势能不断减小，故C正确．
小球在bc段，弹簧压缩越来越短，形变量增大，弹力对小球做负功，弹性势能不断增大，故D正确．
答案 CD 弹性势能与重力势能的比较 【跟踪2】 如图7－5－6所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中 ( )．图7－5－6A．重力做正功，弹力不做功
B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，
弹力不做功
D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不
变，弹力不做功
解析 用细绳拴住小球向下摆动时重力做正功，弹力不做功，C对．用弹簧拴住小球下摆时，弹簧要伸长，小球轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且做功多，所以A、D错，B对．
答案 BC 解题技法6 弹簧弹力做功的求解方法
1.图象法：作出弹力F随弹簧形变量l变化的关系图象即F－l图象，如图7－5－7所示．在图象中图线与l轴所围面积即为弹力F在这段位移l上所做的功．图7－5－7典例剖析
【典例】 如图7－5－8所示，在水平地面上竖直放置一轻质弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0 kg的木块相连．若在木块上再作用一个竖直向下的变力F，使木块缓慢向下移动0.1 m，力F做功2.5 J时，木块再次处于平衡状态，此时力F的大小为50 N．(取g＝10 m/s2)求：
(1)弹簧的劲度系数．
(2)在木块下移0.1 m的
过程中弹性势能的增加量．图7－5－8解析 (1)设木块开始静止时，弹簧的压缩量为l1，后来静止时，弹簧的压缩量为l2，由胡克定律及平衡条件得，
未施加力F时，弹力F1＝mg＝kl1＝20 N，
施加力F后，弹力F2＝F＋mg＝kl2＝70 N，
且l2－l1＝0.1 m，
联立以上各式得k＝500 N/m.答案 (1)500 N/m (2)4.5 J【审题技巧】
(1)弹簧的压缩量和伸长量都是弹簧的形变量，是相对弹簧原长而言的，注意将其与弹簧长度区分开．
(2)木块下移0.1 m的过程中，力F和重力做的功全部用于增加弹簧的弹性势能，故弹性势能的增加量为ΔEp＝WF＋mgh＝(2.5＋2.0×10×0.1)J＝4.5 J.【我来冲关】
弹簧原长L0＝15 cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到L1＝20 cm 时，作用在弹簧上的力为400 N，问：
(1)弹簧的劲度系数k为多少？
(2)在该过程中弹力做了多少功？
(3)弹簧的弹性势能变化了多少？答案 (1)8 000 N/m (2)－10 J (3)10 J【状元微博】
弹簧弹力是一变力，求弹簧的弹性势能变化只能从弹簧的弹力做功着手．因而求解弹簧弹力的功是关键. 一、弹性势能的理解
1．关于弹性势能，下列说法中正确的是 ( )．
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关解析 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能．所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变．物体的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧劲度系数的大小有关．正确选项为A、B.
答案 AB2．在探究弹簧的弹性势能的表达式时，下面的猜想有一定道理的是 ( )．
A．重力势能与物体离地面的高度有关，弹性势能与弹簧
的伸长量有关，重力势能与重力的大小有关，弹性势
能可能与弹力的大小有关，而弹力的大小又与弹簧的
劲度系数k有关，因此弹性势能可能与弹簧的劲度系
数k和弹簧的伸长量的二次方x2有关
B．A选项中的猜想有一定道理，但不应该与x2有关，而
应该是与x3有关C．A选项中的猜想有一定道理，但应该是与弹簧伸长量的
一次方，即x有关
D．上面三个猜想都没有可能性
解析 根据重力做功与重力势能变化的关系，类比弹力做功与弹性势能变化的关系，有理由猜想：重力势能Ep＝Fl＝mgh；弹性势能Ep也应与弹力F＝kx与伸长量l＝x的乘积有关．即可得Ep与x2有关．故本题猜想中A是有依据的，因此也是可能的．故本题应选A.
答案 A二、弹力做功与弹性势能变化的关系
3．在一次“蹦极”运动中，人由高空跳下到最低点的整个过程中，下列说法中正确的是 ( )．
A．重力对人做正功
B．人的重力势能增加了
C．橡皮绳对人做负功
D．橡皮绳的弹性势能增加了解析 人一直在下落，故重力对人做正功，人的重力势能不断减少，所以A正确、B错误；由于橡皮绳不断伸长，所以弹力对人做负功，使橡皮绳的弹性势能不断增加，故C、D正确．
答案 ACD4．(2013·台州高一检测)如图7－5－9所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是 ( )．
图7－5－9A．如图(甲)，撑杆跳高的运动员上升过程中，杆的弹性势
能
B．如图(乙)，人拉长弹簧过程中，弹簧的弹性势能
C．如图(丙)，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮
筋的弹性势能
D．如图(丁)，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性
势能
解析 选项A、C、D中弹力均做正功，所以弹性势能减小，B中物体的形变量增大，所以弹性势能增加．所以B正确．
答案 B5．一根弹簧的弹力(F)—伸长量(x)图线如图7－5－10所示，那么弹簧由伸长量8 cm 到伸长量4 cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为 ( )．
A．3.6 J，－3.6 J
B．－3.6 J,3.6 J
C．1.8 J，－1.8 J
D．－1.8 J,1.8 J图7－5－10答案 C(1)弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数k和形变量有关．
(2)弹力做功与弹性势能的关系：
弹力做正功，弹性势能减少
弹力做负功，弹性势能增加
关系式：WQ＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
