第三章 函数的概念与性质 综合检测试卷-2022-2023学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册（含解析）

第三章《函数的概念与性质》综合检测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数为奇函数，为偶函数，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
2．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．若函数f（x）＝的值域为R，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．函数f(x)对于任意实数x均满足f(x+2)=，若f（1）=-5，则f(f(5))=（ ）
A．2 B．5 C．-5 D．-
5．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A． B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．直线与函数的图象有2个交点 D．函数的值域为
7．已知函数是偶函数，且在上单调递减，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．(多选)下列函数，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
10．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．在区间上有最大值 D．的解集为
11．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．方程有三个解
C．函数在区间上单调递增 D．函数有4个单调区间
12．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的说法错误的是（ ）
A．对任意实数， B．既不是奇函数又不是偶函数
C．对于任意的实数，，
D．若，则不等式的解集为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分.共20分．
13．已知，，则的解析式为________．
14．已知，函数若，则___________.
15．若函数是上的偶函数，则的值为______.
16．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
四、解答题（70分）
17．（10分）已知函数的定义域为．
(1)求的定义域；
(2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围．
18．（12分）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上单调递增，求实数的取值范围．
19．（12分）若是定义在上的奇函数，且对任意实数都有，当时，．
（1）当时，求的解析式；
（2）计算的值．
20．（12分）已知是定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
21．（12分）某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.
（1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式：
（2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？
22．（12分）已知二次函数
（1）若在的最大值为，求的值；
（2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围．
参考答案及详解：
1．C 2．D 3．B 4．D
5．B
【详解】因为且在上单调递增，
所以，解得，即故选：B
6．A
【分析】根据已知条件中函数是偶函数且时，有以及时，，画出函数图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案.
【详解】当时，有，
时，是周期为2的函数，
且为定义在R上的偶函数，
故图象如图
，
，
，故A正确.
由图知，所以函数在定义域上是周期为2的函数，故B不正确.
由图知直线与函数的图象有1个交点，故C不正确.
函数的值域为，故D不正确.
7．A【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递减，则该函数在上单调递增，
当时，恒成立，则，
所以，，即，即，、
因为，所以，，则.故选：A.
8．D【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
9．AC【详解】解：A选项，函数的值域为，正确；
B选项，函数的值域为，错误；
C选项，函数的值域为，正确；
D选项，函数的值域为，错误.故选：AC.
10．ABD【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；
对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取，，且，则，，
所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；
对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.
故选：ABD．
11．ABD【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；
函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD
12．BCD
【分析】根据题意结合奇偶性、一元二次不等式的解法逐项分析判断.
【详解】若是有理数，则；
若是无理数，则，故A正确；
若是有理数，则也是有理数，此时；
若是无理数，则也是无理数，此时；
即为偶函数，故B错误；
若是无理数，取，则是无理数，此时，，即，故C错误；
若是有理数，则的解集为；
若是有理数，，显然不成立，故D错误．故选：BCD．
13．【详解】由题知，，①；又，②；
由①②得，，则，故答案为：
14．2【详解】，故，故答案为：2.
15．【详解】函数是定义在上的偶函数，
，即．，，，∴,
16．【详解】函数的定义域为，等价于恒成立，
当时，显然成立；当时，由，得．
综上，实数的取值范围为．故答案为：
17．（1）∵的定义域为，∴．∴，则．
（2）令，，使得成立，即大于在上的最小值．
∵，∴在上的最小值为，∴实数范围是．
18．【详解】（1）因为当时，，
所以当时，，．
又为奇函数，所以（）．
∴．
（2）作出函数的图象如图所示：
要使在上单调递增，结合图象可知，解得．
所以的取值范围为．
19．【详解】（1）因为，所以．
所以是周期为4的周期函数．当时，，
由已知得，又是奇函数，
所以，所以．当时，，
所以，又是周期为4的周期函数，
所以．故当时，．
（2），，，，
又是周期为4的周期函数，
所以
，
所以．
20．.【详解】（1）当时，有，而是偶函数，则，
所以函数的解析式是.
（2）依题意，函数在上单调递增，而是偶函数，
由得：，于是得，
即有，整理得：，解得，
所以不等式的解集为.
21．（1）；（2）这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.
【分析】（1）由题知，每辆车年总收入为万元，总支出为，进而得利润的表达式；
（2）结合（1）得年平均运营利润为，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：（1）依题意得，每辆车年总收入为万元，
总支出为，
所以辆客车运营的总利润.
（2）年平均运营利润为，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
此时，
所以这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.
22．【详解】由解析式知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
（1）当，即时，在上单调递减，
，不合题意；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，又，，在的最大值为，，解得：；综上所述：.
（2）若对任意实数，总存在，使得，
则对恒成立，
①当时，在上单调递增，
，
当时，单调递增，
，；
②当，即时，在上单调递减，
，
当时，单调递减，
，；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，又，，
令，则在上单调递增，
，解得：；
④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，在上单调递减，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.