9.6黄金分割 同步练习（含解析）

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第九章 图形的相似
6 黄金分割
基础闯关
知识点一：黄金分割的定义
1.已知P为线段AB的黄金分割点，且APA.AP =AB·PB B.AB =AP·PB C.PB =AP·AB D.AP +BP =AB
2.长度为a的线段AB上有一点C，并且满足AC =AB·BC,则AC的长为( )
知识点二：黄金分割的应用
3.一支铅笔长16cm，把它按黄金分割后，较长部分涂上橘红色，较短部分涂上浅蓝色,那么橘红色部分的长是 cm,浅蓝色部分的长是 cm.
能力提升
【黄金矩形与黄金三角形】
类型1：黄金矩形
4.宽与长的比是 (约0.618)的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,分别取AD,BC的中点E,F,连接EF，以点F为圆心，以FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G,作GH⊥AD,交AD 的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )
A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH
类型2：底角是36°的黄金三角形
5.如图,在△ABC中,∠B=∠C=36°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（ ）
B.AD,AE将∠BAC三等分
C.△ABE≌△ACD
类型3：顶角是36°的黄金三角形
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD 是∠ABC的平分线.
(1)求证:△ABC∽△BDC.
(2)求证：点D是线段AC的黄金分割点.
参考答案
5.A [解析]∵∠B=∠C=36°,∴AB=AC,∠BAC=108°.
∵DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,∴DB=DA,EA=EC,∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°,
∴△BDA∽△
∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°,∠DAC=∠BAC-∠BAD=72°,∴∠ADC=∠DAC,∴CD=CA=BA,
∴BD=BC-CD=BC-BA,则 即 故A错误.
∵∠BAC=108°,∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°,
∴∠DAE=∠BAC-∠DAB-∠CAE=36°,即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°,
∴AD,AE将∠BAC三等分,故B正确.
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°,∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°,∴∠BAE=∠CAD.
在△ABE和△ACD中 ∴△ABE≌△ACD,故C正确.
由△ABE≌△ACD可得即
又∵DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,∴
故D正确.
6.证明:(1)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.
∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠CBD.
又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC.
∵∠A=∠ABD,∴DA=DB.∵∠C=∠BDC,∴BC=DB,∴BC=AD,∴AD =AC·DC,∴点D是线段AC的黄金分割点.
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