专项训练 平行线与相似三角形（含答案）
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专项训练
平行线与相似三角形
类型一：隐含平行线，探究相似三角形
背景1：平行四边形
1.(雅安中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,EF经过点O,分别交AB,CD 于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M.
(1)求证:OE=OF.
(2)若AD=4,AB=6,BM=1,求BE的长.
背景2：矩形
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,AF平分∠DAC,分别交DC,BC的延长线于点E,F,连接DF,过点A作AH∥DF,分别交BD,BF于点G,H.
(1)求DE的长.
(2)求证:∠1=∠DFC.
背景3：正方形
3.如图，在正方形ABCD中，H为CD的中点,延长AH至点F,使AH=3FH,过F作FG⊥CD,垂足为G,过F作BC的垂线交BC的延长线于点E.
(1)求证:△ADH∽△FGH.
(2)求证:四边形CEFG是正方形.
类型二：巧作平行线，构造相似三角形
方法1：过一边上的点作平行线构造相似三角形
4.如图,在△ABC中,AB>AC,在AB上取一点D,在AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P.求证：
方法2：过顶点作平行线构造相似三角形
5.如图,在△ABC中,AC=BC,F为底边AB 上一点,BF:AF=3:2,取CF的中点D,连接AD并延长交BC于点E，求的值.
方法3：巧连线段的中点构造相似三角形
6.如图,在△ABC中,E,F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P,Q.求BP:PQ:QD.
参考答案
1.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB ∥CD,BC=AD,∴∠OAE=∠OCF.
在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF.
(2)解:如图,过点O作ON∥BC,交AB于点N,则△AON∽△ACB.
∵OA＝OC，∴
∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，即解得BE=1.
2.(1)解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥CF,∴∠DAF=∠AFC.
∵AF平分∠DAC,∴∠DAF=∠CAF,∴∠CAF=∠AFC,∴AC=CF.
∵AB=4,BC=3,∴AC
∥ ∴△ADE∽△FCE，∴
设DE＝x，则解得
(2)证明:∵AD∥FH,AH∥DF,∴四边形ADFH是平行四边形,∴AD=FH=3，∴CH＝2，BH＝5.
∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG， 即
∥
又∵DF∥AH,∴∠AHC=∠DFC,∴∠1=∠DFC.
3.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADH=90°,AD=DC.
∵FG⊥CD,∴∠ADH=∠FGH=90°.
∵∠AHD＝∠FHG，∴△ADH∽△FGH.
（2）∵△ADH∽△FGH，∴
∵AH＝3FH，∴=3,∴DH=3GH.
∵DH=CH,∴CG=2GH,∴CD=GH,∴∴FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE,
∴四边形CEFG是正方形.
4.证明:如图,过点C作CF∥AB交DP于点F,则∠PFC=∠PDB，∠PCF＝∠PBD，
∴△PCF∽△PBD，∴∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.
∵AD＝AE，∴∠ADE=∠AED.∵∠AED=∠CEP,∴∠EFC=
5.解:过点F作FT∥BC于点T.∵FT∥BC,∴△TFD∽△
∵D为CF中点,∴CD=FD,∴FT＝CE.∵FT∥BC，∴△AFT∽△ABE，∴
∵BF：AF＝3:2，∴∵FT＝CE，∴
6.解:过点D作DG∥BC,交AE于点G,交AF于点H.
∵D为AC中点,∴DH是△AFC的中位线, 即CF=2DH.
∵BE=EF=CF,∴BF=2CF=4DH.
∵DG∥
是△AEC的中位线∴
∵DG∥BC，∴BP＝PD,∴PQ=1.5DQ,BP=2.5DQ,∴BP:PQ:QD=5 :3 :2.
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平行线与相似三角形
类型一：隐含平行线，探究相似三角形
背景1：平行四边形
1.(雅安中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,EF经过点O,分别交AB,CD 于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M.
(1)求证:OE=OF.
(2)若AD=4,AB=6,BM=1,求BE的长.
背景2：矩形
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,AF平分∠DAC,分别交DC,BC的延长线于点E,F,连接DF,过点A作AH∥DF,分别交BD,BF于点G,H.
(1)求DE的长.
(2)求证:∠1=∠DFC.
背景3：正方形
3.如图，在正方形ABCD中，H为CD的中点,延长AH至点F,使AH=3FH,过F作FG⊥CD,垂足为G,过F作BC的垂线交BC的延长线于点E.
(1)求证:△ADH∽△FGH.
(2)求证:四边形CEFG是正方形.
类型二：巧作平行线，构造相似三角形
方法1：过一边上的点作平行线构造相似三角形
4.如图,在△ABC中,AB>AC,在AB上取一点D,在AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P.求证：
方法2：过顶点作平行线构造相似三角形
5.如图,在△ABC中,AC=BC,F为底边AB 上一点,BF:AF=3:2,取CF的中点D,连接AD并延长交BC于点E，求的值.
方法3：巧连线段的中点构造相似三角形
6.如图,在△ABC中,E,F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P,Q.求BP:PQ:QD.
参考答案
1.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB ∥CD,BC=AD,∴∠OAE=∠OCF.
在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF.
(2)解:如图,过点O作ON∥BC,交AB于点N,则△AON∽△ACB.
∵OA＝OC，∴
∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，即解得BE=1.
2.(1)解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥CF,∴∠DAF=∠AFC.
∵AF平分∠DAC,∴∠DAF=∠CAF,∴∠CAF=∠AFC,∴AC=CF.
∵AB=4,BC=3,∴AC
∥ ∴△ADE∽△FCE，∴
设DE＝x，则解得
(2)证明:∵AD∥FH,AH∥DF,∴四边形ADFH是平行四边形,∴AD=FH=3，∴CH＝2，BH＝5.
∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG， 即
∥
又∵DF∥AH,∴∠AHC=∠DFC,∴∠1=∠DFC.
3.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADH=90°,AD=DC.
∵FG⊥CD,∴∠ADH=∠FGH=90°.
∵∠AHD＝∠FHG，∴△ADH∽△FGH.
（2）∵△ADH∽△FGH，∴
∵AH＝3FH，∴=3,∴DH=3GH.
∵DH=CH,∴CG=2GH,∴CD=GH,∴∴FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE,
∴四边形CEFG是正方形.
4.证明:如图,过点C作CF∥AB交DP于点F,则∠PFC=∠PDB，∠PCF＝∠PBD，
∴△PCF∽△PBD，∴∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.
∵AD＝AE，∴∠ADE=∠AED.∵∠AED=∠CEP,∴∠EFC=
5.解:过点F作FT∥BC于点T.∵FT∥BC,∴△TFD∽△
∵D为CF中点,∴CD=FD,∴FT＝CE.∵FT∥BC，∴△AFT∽△ABE，∴
∵BF：AF＝3:2，∴∵FT＝CE，∴
6.解:过点D作DG∥BC,交AE于点G,交AF于点H.
∵D为AC中点,∴DH是△AFC的中位线, 即CF=2DH.
∵BE=EF=CF,∴BF=2CF=4DH.
∵DG∥
是△AEC的中位线∴
∵DG∥BC，∴BP＝PD,∴PQ=1.5DQ,BP=2.5DQ,∴BP:PQ:QD=5 :3 :2.
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