3.8 圆内接正多边形 学案
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3.8 圆内接正多边形 导学案
课题 3.8 圆内接正多边形 单元 第3单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 本课内容是北师大版数学教科书九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》，是学生掌握了正多边形的相关知识以及圆的性质．这些知识都将为本节的学习起着重要的铺垫作用．本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性质的基础，在教材中有着承上启下的重要地位．
核心素养分析 从定性、定量的两个角度去讨论，挖掘蕴含的数学知识，把感性认识转化成理性认识，具体到抽象，让学生主动参与，亲身体验知识的发生与发展的过程．利用正多边形和圆的关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想．
学习目标 1.通过阅读课本能说出圆的内接正多边形的有关概念； 并会应用正多边形的知识进行有关的计算； 2.经历作图，会利用等分圆的方法画圆的内接正方形和正六边形．
重点 掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
难点 用尺规作图作圆内接正六边形和正五边形．
教学过程
课前预学 引入思考探究一： 活动一：观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念 概念： 叫做正多边形.提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫 形．等边三角形有三条边叫 ，正方形有四条边叫 ．活动二：分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢 发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢 师生共同归纳： 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.把一个圆n等分（n ≥ 3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接 ．活动三：探究等分圆周问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？证明正五边形的过程：如图3-35，五边形ABCDE是圆O 的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠ AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC， 垂足为M，OM 是这个正五边形的边心距.图3-35
新知讲解 提炼概念(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形；(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形． 在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴具有旋转不变性．正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转，都能和原来的图形重合．结合图4，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念． 同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．典例精讲 探究二： 例 如图 3-36，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径 OC = 4，OG⊥BC，垂足为点 G，求正六边形的中心角、边长和边心距．图 3-36探究三： 你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗？你能借助尺规作出圆内接正四边形吗？你是怎么做的？与同伴进行交流．
课堂练习 巩固训练 1、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=( )A. 30° B. 35° C. 45° D. 60°2．如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）A．6 B．12 C．6√3 D．12√33、如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是______°.4、一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．1)若a＝6，求b的值；2)若b＝30，求a的值．5、如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．(1)求证：△ABC是等边三角形．(2)若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．(3)若PB=1，PC=3，那么PA为多少？答案引入思考如图， ∵ ∴ ∴ 同理可证：∴ 五边形是正五边形． ∵A、B、C、D、E在⊙O上， ∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．提炼概念典例精讲 例 解：连接OA，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，所求的正六边形的边长为4． 在Rt△OAM中，OA=4，AM=AB=2 利用勾股定理，可得边心距 OM===做一做：利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．分析：要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分． 在学生作图的基础上，教师组织学生，分析作图．师生归纳出等分圆周的方法：1.用量角器等分圆：依据：同圆或等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大． 2.用尺规等分圆.思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？【处理方式】提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述，教师巡回引导，并集思广益.从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力.巩固训练 A2. D3. 544.(1)解：∵正多边形的周长为60，边长为6，∴边数为60/6=10，∵一个外角为b°，∴b=360/10=36；(2)∵一个外角为b°，b＝30，∴360/30=12，∵正多边形的周长为60，边长为a，∴a=60/12=5．5.解：(1)证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是弧BC对的圆周角，∠ABC与∠APC是弧AC所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；(2)如图过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD=30°，∠ODB=90°，∵OB=2，∴OD=1，∴等边△ABC的边心距为1．(3)如图在PC上截取PD=AP，连接AD，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中， ∠ABP=∠ACD ∠APB=∠ADC AP=AD ，∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP，∵PB=1，PC=3，∴PA=PC-PB=3-1=2．
课堂小结 课堂小结，当堂达标1．圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆．2．正多边形的画法：把一个圆n等分(n≥3)，依次连结各分点，就可以作出一个圆内接正多边形．3．正多边形的相关概念：(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
图4
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课题 3.8 圆内接正多边形 单元 第3单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 本课内容是北师大版数学教科书九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》，是学生掌握了正多边形的相关知识以及圆的性质．这些知识都将为本节的学习起着重要的铺垫作用．本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性质的基础，在教材中有着承上启下的重要地位．
核心素养分析 从定性、定量的两个角度去讨论，挖掘蕴含的数学知识，把感性认识转化成理性认识，具体到抽象，让学生主动参与，亲身体验知识的发生与发展的过程．利用正多边形和圆的关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想．
学习目标 1.通过阅读课本能说出圆的内接正多边形的有关概念； 并会应用正多边形的知识进行有关的计算； 2.经历作图，会利用等分圆的方法画圆的内接正方形和正六边形．
重点 掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
难点 用尺规作图作圆内接正六边形和正五边形．
教学过程
课前预学 引入思考探究一： 活动一：观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念 概念： 叫做正多边形.提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫 形．等边三角形有三条边叫 ，正方形有四条边叫 ．活动二：分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢 发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢 师生共同归纳： 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.把一个圆n等分（n ≥ 3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接 ．活动三：探究等分圆周问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？证明正五边形的过程：如图3-35，五边形ABCDE是圆O 的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠ AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC， 垂足为M，OM 是这个正五边形的边心距.图3-35
新知讲解 提炼概念(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形；(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形． 在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴具有旋转不变性．正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转，都能和原来的图形重合．结合图4，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念． 同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．典例精讲 探究二： 例 如图 3-36，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径 OC = 4，OG⊥BC，垂足为点 G，求正六边形的中心角、边长和边心距．图 3-36探究三： 你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗？你能借助尺规作出圆内接正四边形吗？你是怎么做的？与同伴进行交流．
课堂练习 巩固训练 1、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=( )A. 30° B. 35° C. 45° D. 60°2．如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）A．6 B．12 C．6√3 D．12√33、如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是______°.4、一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．1)若a＝6，求b的值；2)若b＝30，求a的值．5、如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．(1)求证：△ABC是等边三角形．(2)若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．(3)若PB=1，PC=3，那么PA为多少？答案引入思考如图， ∵ ∴ ∴ 同理可证：∴ 五边形是正五边形． ∵A、B、C、D、E在⊙O上， ∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．提炼概念典例精讲 例 解：连接OA，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，所求的正六边形的边长为4． 在Rt△OAM中，OA=4，AM=AB=2 利用勾股定理，可得边心距 OM===做一做：利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．分析：要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分． 在学生作图的基础上，教师组织学生，分析作图．师生归纳出等分圆周的方法：1.用量角器等分圆：依据：同圆或等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大． 2.用尺规等分圆.思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？【处理方式】提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述，教师巡回引导，并集思广益.从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力.巩固训练 A2. D3. 544.(1)解：∵正多边形的周长为60，边长为6，∴边数为60/6=10，∵一个外角为b°，∴b=360/10=36；(2)∵一个外角为b°，b＝30，∴360/30=12，∵正多边形的周长为60，边长为a，∴a=60/12=5．5.解：(1)证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是弧BC对的圆周角，∠ABC与∠APC是弧AC所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；(2)如图过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD=30°，∠ODB=90°，∵OB=2，∴OD=1，∴等边△ABC的边心距为1．(3)如图在PC上截取PD=AP，连接AD，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中， ∠ABP=∠ACD ∠APB=∠ADC AP=AD ，∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP，∵PB=1，PC=3，∴PA=PC-PB=3-1=2．
课堂小结 课堂小结，当堂达标1．圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆．2．正多边形的画法：把一个圆n等分(n≥3)，依次连结各分点，就可以作出一个圆内接正多边形．3．正多边形的相关概念：(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
图4
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