2022-2023学年安徽省宣城六校高二第一学期期中联考(数学)（含解析）

2022-2023学年安徽省宣城六校高二第一学期期中联考(数学)
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 直线过点，，那么直线的斜率是( )
A. B. C. D.
2. 已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为( )
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的焦点为，，点满足，则( )
A. 点在椭圆外 B. 点在椭圆内
C. 点在椭圆上 D. 点与椭圆的位置关系不能确定
4. 若方程表示圆，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5. 已知，，，为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有( )
A. ，，共线 B. ，，，中至少有三点共线
C. 与共线 D. ，，，四点共面
6. 已知半径为的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
7. 已知椭圆：的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知空间三点，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. ，
10. 已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可以是( )
A. B. C. D.
11. 已知点，均在圆：外，则下列表述正确的有( )
A. 实数的取值范围是
B.
C. 直线与圆不可能相切
D. 若圆上存在唯一点满足，则的值是
12. 已知椭圆的左右焦点为点在椭圆上，且不与椭圆的左右顶点重合，则下列关于的说法正确的有( )
A. 的周长为
B. 当时，的边
C. 当时，的面积为
D. 椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知椭圆的面积等于，其中是椭圆长轴长与短轴长的乘积，则椭圆的面积为 ．
14. 已知直线与相互平行，则它们之间的距离是 ．
15. 长方体中，，，，若是与的交点，，则 ．
16. 若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
根据下列条件，求直线方程：
过点，且倾斜角是直线的倾斜角的倍
经过点，且在两坐标轴上的截距相等．
18. 本小题分
在平面直角坐标系中，，，点是平面上一点，使的周长为．
求点的轨迹方程；
求的最大值．
19. 本小题分
如图，正四面体所有棱长均相等的棱长为，，，，分别是正四面体中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题：
求的模长
求，的夹角．
20. 本小题分
已知圆与圆相交于、两点．
求公共弦所在直线方程
求过两圆交点、，且过原点的圆的方程．
21. 本小题分
在如图所示的几何体中，四边形为矩形，直线平面，，，，点在棱上．
若是的中点，求异面直线与所成角的大小
若，求平面与平面的夹角的正切值．
22. 本小题分
已知椭圆的左，右焦点分别为，，，，直线，的交点既在椭圆上，也在直线上
求椭圆的方程
过直线上的动点的直线与椭圆只有一个公共点，判断轴上是否存在点，使得若存在，求出点坐标若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查过两点的斜率公式，属于基础题．
由题意利用过两点的斜率公式，计算求得结果．
【解答】
解：直线过点，，
直线的斜率．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了立体几何中的直线的方向向量，属于基础题．
已知直线的一个方向向量为，而与共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量，由此即可得到答案．
【解答】
解：由题知，，
则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，
只有不符合，
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单性质，解答的关键是在区域的边界上利用椭圆的定义，即椭圆上点到两焦点的距离的和等于定义法是解决此类的常用方法．
先根据椭圆的定义得到，得出点在椭圆外部，可确定答案．
【解答】
解：由题意可知，若在椭圆上，
可得，
由点满足，
即有，
得出点在椭圆外部，
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程，属于基础题．
利用圆的一般方程得，求解即可．
【解答】
解：由题设表示圆，
则，
解得．
故选．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量基底、向量共线与共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
向量，，不能构成空间的一个基底，可得向量，，共面，即可得出．
【解答】
解：向量，，不能构成空间的一个基底，
向量，，共面，
因此，，，四点共面，
故选D．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程的求法，点关于直线对称的点的求法，属于中档题．
求出圆的圆心与半径，写出结果即可．
【解答】
解：设圆心坐标，
由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直，
结合的斜率为得直线的斜率为，
所以，化简得，
再由线段的中点在直线上，
得到 ，化简得
联立，可得，，
圆心的坐标为，
半径为的圆的标准方程为．
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆离心率的求解，属于基础题．
先求得经过两点，的直线的方程，再运用点到直线的距离公式整理求得，由椭圆的离心率公式计算可得选项．
【解答】
解：因为经过两点，的直线的方程为，
又原点到直线的距离为，
所以，整理得，
所以，
所以．
又，所以，
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的应用问题，圆有关的最值问题，是综合性题．
根据题意，得出圆的圆心与半径，设在圆上，则，，利用，可得，根据其几何意义，得出的最大值．
【解答】
解：圆：，
圆心，半径；
设点在圆上，则，，
，，
，即，
又，，
的最大值是．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的相关计算，属于基础题．
由坐标求出，即可依次计算判断每个选项正误．
【解答】
解：，
，
，
故A正确，C错误；
，
故B正确；
，
故D错误．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的斜率和截距，属于中档题．
首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系即可判断．
【解答】
解：直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为．
直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为．
当时，直线与平行，故A正确；
选项B中，由直线在轴上的截距可得，，
而由直线的斜率为，可得，故B不正确；
选项C中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距，
直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C正确；
选项D中，两直线斜率，，
再由直线在轴上的截距，故D不正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点与圆、直线与圆位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，属于中档题．
由、均在圆外列关于的不等式组，求得的范围判断；直接求出判断；由的范围及圆心坐标判断；由题意可得，点在以线段为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，结合点在圆：上，可得圆与圆外切，且点为切点，再由圆心距与半径的关系列式求解判断．
【解答】
解：点，均在圆：外，
，解得，故A正确；
，故B正确；
由题知，直线与轴重合，，且圆心坐标为，当时，直线与圆相切，与实际矛盾，故C错误；
，点在以线段为直径的圆上，
又，，点在圆上，
又点在圆：上，
点，均在圆外，圆与圆外切，且点为切点，
，即，故D正确．
故答案选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义和性质，考查椭圆中的面积问题，属于中档题．
利用椭圆的定义结合焦距即可判断选项A利用时，轴，点横坐标为即可求出点纵坐标，即可判断选项B利用焦点三角形面积公式求出的面积，即可判断选项C分别讨论三个内角为直角的情况，即可判断选项D．
【解答】
解：由椭圆的方程可得：，，，
对于选项A的周长为，故选项A正确
对于选项B当时，轴，令，可得，所以，故选项B不正确
对于选项C当时，设 ， ，
则由椭圆的定义可得： ，
在 中 ，
所以
由 得 ，
所以 ，故选项C不正确
对于选项D当点位于椭圆的上下顶点时，，而，此时，有个直角三角形当时，，此时点位于第二或第三象限，有个直角三角形同理可得时，，此时有个直角三角形所以点共有个位置，可以使为直角三角形，故选项D正确．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．
求出椭圆的长轴长，短轴长，利用椭圆的面积公式求解即可．
【解答】
解：椭圆，可得，，
所以椭圆的面积为：．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行线的应用，平行线的距离的求法，属于基础题．
通过直线的平行，利用斜率相等即可求出的值，通过平行线的距离公式求出距离即可．
【解答】
解：直线与相互平行，所以，由平行线的距离公式可知．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
首先要找到之间的关系，进而解决问题．
【解答】
解：由题意，得
，
故．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．
求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为、，数形结合可知，当圆与直线相交，与直线相离时满足题意，可求得的取值范围．
【解答】
解：如下图所示：
设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，，即．
故答案为：．

17.【答案】解：直线的斜率为，倾斜角为，因此要求的直线倾斜角为．
因此所求的直线方程为：；
当直线经过原点时，可得要求的直线方程为：；
当直线不经过原点时，可得要求的直线斜率为，
这时方程为：，．
因此，所求的直线方程为和．
【解析】本题考查了直线方程，直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
直线的斜率为，倾斜角为，因此要求的直线倾斜角为，即可得所求的直线方程；
当直线经过原点时，可得要求的直线方程；当直线不经过原点时，可得要求的直线斜率为，利用点斜式即可得出要求的直线方程．
18.【答案】解：由题意知，，
，点的轨迹为椭圆去掉左右端点，
，，
，，，
点的轨迹方程为．
由知，
，当且仅当时等号成立，
故的最大值为．
【解析】本题主要考查了与椭圆有关的轨迹问题，利用基本不等式求最值，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中．
根据题意可知，，可得点的轨迹为椭圆去掉左右端点，从而即可得到，，的值，进而得到点的轨迹方程；
根据，利用基本不等式即可求解．
19.【答案】解：如图所示，正四面体的棱长为，、、、分别是四面体中各棱的中点，，
，；
，
；
正四面体中，，；
同理，，；
，
与的夹角为．
【解析】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了向量的线性运算与数量积的运算问题，是中档题．
根据题意，用、、表示出向量，求出它的模长
用、、表示出向量，，求出与的夹角即可．
20.【答案】解：，
，
得，
即公共弦所在直线方程为．
设所求圆的方程为，
即，
因为圆过原点，所以，．
所以圆的方程为．

【解析】本题考查了两圆相交弦有关的综合问题，是中档题．
过圆与圆交点的直线，即为两圆公共弦的直线，进而得出结果；
设所求圆的方程为：，因为圆过原点，所以，，从而得出结果．
21.【答案】解：平面，，
又，，、平面，
所以平面，
又平面，．
直线平面，平面，，
由，，
以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为．
平面，平面的一个法向量．
由知为的三等分点，且此时．
在平面中，，．
设平面的法向量，则
即令，则，，
平面的一个法向量．
，
又二面角的大小为锐角，
该二面角的正切值为．
【解析】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中档题．
建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求异面直线与所成角的余弦值
求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
22.【答案】解：由题意可得，，且点到轴的距离是到轴距离的倍，
所以是的中位线，，所以．
由，得，所以，
由，解得，，
故椭圆的标准方程为．
直线的斜率存在，设的方程为，
联立得，
因为直线与椭圆只有一个公共点，
所以，即，
所以，，即，
，，即，
假设轴上存在点，使得，
则恒成立，
所以，所以，
即轴上存在点，使得．
【解析】本题主要考查了椭圆方程及其性质，直线与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属较难题．
由题意，可得，结合已知条件得，可求出，，从而可得椭圆的方程；
设的方程为，，联立椭圆方程，求得，的坐标，再结合向量的数量积运算可得答案．
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