人教A版必修2高中数学1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积基础训练（含解析）

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
基础练
题组一　柱体、锥体、台体的表面积
1.六棱柱的底面是边长为2的正六边形,侧面是矩形,侧棱长为4,则其表面积为 (　　)　　　　　　　　　　　　　
A.12+12 B.48+12
C.64+6 D.72+6
2.棱长为2的正四面体的表面积是 (　　)
A. B.2 C.3 D.4
3.已知圆锥的高为4,母线长为5,则该圆锥的表面积为 (　　)
A.21π B.15π C.12π D.24π
4.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.现已知该四棱锥的高与斜高的比值为,则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是 (　　)
A. B. C. D.
5.已知正四棱锥的底面边长为2,现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,若截去的小棱锥的侧棱长为2,则此棱台的表面积为　　　　.
题组二　柱体、锥体、台体的体积
6.如图,三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1,则四棱锥C-AA'B'B的体积是 (　　)
A. B. C. D.
7.一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为 (　　)
A. B. C.π D.π
8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 (　　)
A.V1C.V29.圆柱的侧面展开图是邻边长分别为2和4的矩形,则圆柱的体积是　　　　.
题组三　组合体的表面积与体积
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图),四边形ABCD为矩形,棱EF∥AB.若此几何体中,AB=6,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为4的等边三角形,则此几何体的体积为 (　　)
A. B. C. D.
11.如图所示,已知直角梯形ABCD中,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5cm,BC=16cm,AD=4cm.求:
(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积;
(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
提升练
一、选择题
1.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图,则三棱锥B-AB1C的体积为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为 (　　)
A.7 B.6 C.5 D.3
3.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体表面积的最大值为 (　　)
A.(4++2)π B.(2++2)π
C.(4+2+)π D.(2+2+)π
二、填空题
4.水晶是一种石英结晶体矿物,因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等,常被人们制作成饰品.如图所示,现有棱长为2cm的正方体水晶一块,将其裁去八个相同的四面体后,打磨成某饰品,则该饰品的表面积为　　　　cm2.
5.一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为　　　　.
6.如图,已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,则此正三棱锥的表面积为　　　　.
三、解答题
7.已知四面体A-BCD中,AB=CD=,BC=AD=2,BD=AC=5,求四面体A-BCD的体积.
8.如图,圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1A2B2B1,A1A2∥B1B2,A1A2=2B1B2,A1B1=2,圆台O1O2的侧面积为6π.
(1)求圆台O1O2的体积;
(2)若点C,D分别为圆O1,O2上的动点,且点C,D在平面A1A2B2B1的同侧,求三棱锥C-A1DA2的体积的最大值.
参考答案：
基础练
1.B 2.D 3.D 4.B 6.C
7.C 8.C 10.C
1.B　由题意知该六棱柱为正六棱柱,侧面积为4×2×6=48,上、下底面面积之和为2××22×6=12,所以其表面积为48+12,故选B.
2.D　正四面体的表面积S=4××2×=4.
3.D　由已知得底面半径为=3,则底面周长为6π,则侧面积为×6π×5=15π,又底面积为9π,所以圆锥的表面积为15π+9π=24π.故选D.
4.B　设该四棱锥的底面边长为2a,高为h,斜高为h1,则解得a=h1,从而该四棱锥的底面面积为4a2=,侧面面积为4××2ah1=4ah1=,故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是=.故选B.
5.答案　5+3
解析　如图:
设截面四边形为A1B1C1D1,由题意可知,截面四边形A1B1C1D1与底面四边形ABCD相似且面积之比为1∶4,即有==,由PA1=2可得PA=PB=4,又BC=2,所以B1C1=1.取BC的中点E,连接PE,交B1C1于点E1,则EE1为正四棱台的斜高,可得EE1==.故此棱台的表面积为1×1+2×2+4××(1+2)×=5+3.
6.C　∵VC-A'B'C'=VABC-A'B'C'=,
∴VC-AA'B'B=1-=.故选C.
7.C　设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,则l=4,S圆锥侧=πrl=4π,解得r=1,所以圆锥的高h==,故圆锥的体积V=πr2h=π,故选C.
8.C　由三视图可知,四个几何体自上而下分别为圆台、圆柱、四棱柱、四棱台,
所以V1=×(4π+π+2π)×1=,V2=2π,
V3=23=8,V4=×(16+4+8)×1=.
故V29.答案　或
解析　当母线长为4时,圆柱的底面半径为,此时圆柱的体积为π××4=;
当母线长为2时,圆柱的底面半径为,此时圆柱的体积为π××2=.
综上,所求圆柱的体积为或.
10.C　如图,过F作面ABCD的高FO,垂足为O,取BC的中点P,连接OP,PF,过O作BC的平行线QH,交AB于Q,交CD于H.
∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,
∴OP=QB=(AB-EF)=2,PF==2,OQ=BC=2,OF==2.
过点E作EN∥FH,EM∥FQ,MN∥HQ,则该几何体包含一个三棱柱EMN-FQH,两个全等的四棱锥:E-AMND,F-QBCH,
∴这个几何体的体积V=VEMN-FQH+2VF-QBCH=S△QFH×MQ+2×S矩形QBCH×FO=×4×2×2+2××2×4×2=.
故选C.
方法技巧
利用分割的方法,把几何体分割成三部分,可得一个三棱柱和两个四棱锥,其中两个四棱锥的体积相等,再由已知求得答案.
11.解析　(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆台,其上底面半径是4cm,下底面半径是16cm,高是5cm,母线长是=13(cm).
∴该几何体的表面积为π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).
(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示.其中圆锥的高为16-4=12(cm),由(1)可知圆锥的母线长为13cm,又圆柱的母线长为4cm,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).
提升练
1.D 2.A 3.A
一、选择题
1.D　设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,则h=3,则==S△ABC·h=××3=.故选D.
2.A　设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.
由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7.
故选A.
3.A　根据三视图可知,此几何体为一个圆锥挖去一个圆柱的剩余部分,要使几何体的表面积最大,则需要挖去的圆柱的侧面积最大,易得圆锥的母线长为=.设圆柱的高为h,底面半径为r,则=,所以h=-,故有S圆柱侧=2πrh=2πr-=π[-(r-1)2+1],所以当r=1时,S圆柱侧有最大值,最大值为π.故该几何体表面积的最大值为π+22π+2×π=(+4+2)π.故选A.
二、填空题
4.答案　12+4
解析　由题意得该饰品是由6个边长为cm的正方形和8个边长为cm的正三角形围成的,则该饰品的表面积S=6×()2+8××()2=(12+4)cm2.
5.答案　160
解析　如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,体对角线A1C=15,B1D=9,
则a2+52=152,b2+52=92,
∴a2=200,b2=56.
∵该直四棱柱的底面是菱形,
∴AB2=+===64,∴AB=8.
∴该直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
6.答案　27
解析　如图,设正三棱锥的底面边长为a,斜高为h',过点S作SE⊥AB,与AB交于点E,连接OE,则SE=h'.
∵S侧=2S底,∴3×ah'=2×a2.
∴a=h'.
∵SO⊥OE,∴SO2+OE2=SE2,
即32+=h'2,
∴h'=2,∴a=h'=6,
∴S底=a2=×62=9,
S侧=2S底=18,
∴S表=S侧+S底=18+9=27.
三、解答题
7.解析　以四面体的各棱为长方体的面对角线作出该四面体,如图所示.
设BE=x,BF=y,CF=z,
则∴
易知VD-ABE=S△ABE·DE=V长方体.
同理,VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=V长方体.
∴V四面体A-BCD=V长方体-4×V长方体=V长方体.
而V长方体=2×3×4=24,∴V四面体A-BCD=8.
8.解析　(1)设圆O1的半径为r,则圆O2的半径为2r,
因为圆台的侧面积为6π,
所以S侧=π(r+2r)×2=6πr=6π,解得r=1.
在等腰梯形A1A2B2B1中,O1B2=1,O2A2=2,所以O1O2==,
则圆台O1O2的体积V=π(r2+r·2r+4r2)×=π.
(2)由题意可知,三棱锥C-A1DA2的体积V'=O1O2·=A1D·A2D,
因为(A1D-A2D)2≥0,所以A1D·A2D≤==8,当且仅当A1D=A2D=2,即D为弧的中点时,等号成立,所以V'=A1D·A2D≤×8=.所以三棱锥C-A1DA2的体积的最大值为.