2022-2023学年湖南省衡阳市高二上学期期中数学试题（含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳市高二上学期期中数学试题
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2. 若向量，，且与的夹角余弦值为，则实数等于( )
A. B. C. 或 D. 或
3. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于( )
A. B.
C. D.
4. 已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6. 阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点与，距离之比满足：，当、、三点不共线时，面积的最大值是( )
A. B. C. D.
7. 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，椭圆内部一点的坐标是，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一渐近线交于点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是( )
A. 当时，曲线为圆
B. 曲线为椭圆的充要条件是
C. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
D. 存在实数使得曲线为抛物线
10. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列说法中正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11. 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则( )
A. 为定值 B. 的周长的取值范围是
C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为
12. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，则下列结论正确的有( )
A. 与所成角的余弦值为
B. 到平面的距离为
C. 过点，，的平面截正方体所得截面的面积为
D. 四面体内切球的表面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若与平行，则的距离为 ．
14. 若实数满足，则的取值范围为 ．
15. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于，两点，则与和椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长为
16. 在四棱锥中，已知底面，，，，，是平面内的动点，且满足则当四棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知，．
若，求实数的值；
若，且，求的坐标．
18. 本小题分
已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆交于两点，求中点的坐标．
19. 本小题分
已知在三棱柱中，底面是正三角形，底面，，，点，分别为侧棱和边的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求二面角的余弦值．
20. 本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线：上
求圆的方程；
已知过点的直线与圆相交，被圆截得的弦长为，求直线的方程．
21. 本小题分
如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，且，且．
设点为棱中点，求证：平面；
线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点．
求椭圆的标准方程：
设点，是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根据抛物线的方程求焦点，属于基础题．
将抛物线方程化为标准方程形式，根据抛物线的几何性质：焦点为，即可得到抛物线的焦点坐标．
【解答】
解：化抛物线的方程为，
由题意可得，则，
所以，
所以焦点为．
故选：

2.【答案】
【解析】
【分析】
根据空间向量的坐标运算和数量积运算，列方程求出的值．
本题考查了空间向量的坐标运算和数量积运算问题，属于基础题．
【解答】
解：向量，，且与的夹角余弦值为，
所以，，
即，
解得或，
所以实数等于或．
故答案选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量定理及其应用利用向量加法和减法的运算得出答案，属基础题．
利用向量的线性运算直接求解即可．
【解答】
解：如图：
由题意
，
又，
．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
由直线的斜率，得到，即可得出．
本题考查了倾斜角与斜率的关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：直线的斜率，
，

故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角问题，属于中档题．
取的中点，连接、，分析可知异面直线与的夹角为或其补角，计算出三边边长，分析可知为直角三角形，即可求得的余弦值，即为所求．
【解答】
解：取的中点，连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，则且，
所以，异面直线与的夹角为或其补角，
因为平面，平面，
，则，
，
同理可得，，
所以，，则．
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与圆相关的轨迹问题，考查计算能力，属于中档题．
根据给定条件建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程，探求点与直线的最大距离即可计算作答．
【解答】
解：依题意，以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，设，
因，则，
化简整理得：，
因此，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
点不在轴上时，与点，可构成三角形，
当点到直线轴的距离最大时，的面积最大，
显然，点到轴的最大距离为，此时，，
所以面积的最大值是．
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆中最值的求法，考查化归与转化思想，考查椭圆定义的应用，属于中档题．
由题意画出图形，利用椭圆定义转化，结合三角形两边之差小于第三边及两点间的距离公式求解．
【解答】
解：如图，
由椭圆，得，则椭圆右焦点为，
则
．
当为射线延长线与椭圆相交的交点时，取等号，即可得到最大值．
故答案选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求双曲线的离心率，考查计算能力，属于较难题．
根据题意设出直线的方程，然后分别联立直线方程求解出坐标，根据向量共线对应的纵坐标关系求解出的关系，则离心率可求．
【解答】
解：不妨设过的直线与垂直，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，所以．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程，属于中档题．
根据圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征即可逐项判断求解．
【解答】
解：对于，当时，曲线的方程为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，所以A正确；
对于，若曲线为椭圆，则，且，
即，所以B错误；
对于，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，，解得，所以C正确；
对于，曲线不存在，的一次项，所以曲线不可能是抛物线，所以D错误．
故选AC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中的线面，线线及面面位置关系，属于基础题．
根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可．
【解答】
解：由线面平行的性质可得A正确；
若，，则或，故B错误；
由，，推不出，也可能有，故C错误：
若 ，，则，又，则，故D正确；
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．
利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积以及三角形的面积，分析判断选项的正误即可．
【解答】
解：设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性，则，所以为定值，故A正确；
的周长为，因为为定值，易知的范围是，所以的周长的范围是，故B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，又易知，所以，所以为直角三角形，故C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角，点到平面的距离，几何体的截面问题及球的表面积，属于难题．
建立空间直角坐标系，利用向量计算 与 所成角的余弦值判断；利用等体积法求出到平面的距离，即可判断；由题意得，梯形为过点，，的平面截正方体所得的截面，由此求解即可判断；求出四面体内切球的半径，计算球的表面积判断．
【解答】
解：对于，构建如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，
，，故A正确；
对于，如图，连接，，设到平面的距离为，
即点到平面的距离，，即，求得，故B正确；
对于，取的中点，连接，，，则，如图所示，
则梯形为过点，，的平面截正方体所得的截面，易知
，，，可得梯形的高为，
则梯形的面积，故C错误．
对于，易知四面体的体积，因为四面体的棱长都为，所以其表面积，
设四面体内切球的半径为，则，解得，所以四面体内切球的表面积为，故D正确．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两条平行直线间的距离，属于基础题．
先由两直线平行求解，再利用平行线间的距离公式，即得解．
【解答】
解：由题意，直线，，
直线，故，即，
故，，
则的距离．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆位置关系中的取值范围问题，属于中档题．
条件方程化为，即为圆心为，半径为的圆，为与连线的斜率，由数形结合，求出直线与圆相切的斜率，即可求解．
【解答】
解：由题得，，即为圆心为，半径为的圆，
为圆上的点与连线的斜率，记为，如图所示，
，斜率存在，
设过的直线为，
则当直线与圆相切时，有，解得，
由图易得在直线与圆的两切线斜率之间，故．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义，属于基础题．
先将椭圆的方程化为标准形式，求得半长轴的值，然后利用椭圆的定义进行转化即可求得．
【解答】
解：椭圆方程可化为，显然焦点在轴上，，
根据椭圆定义，
所以的周长为．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三棱锥的外接球问题，考查空间想象能力与计算能力，属于较难题．
分析可知，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，求出点的轨迹方程，可知当点到平面的距离最大时，四棱锥的体积最大，此时点，设三棱锥的球心为，列方程组求出点的坐标，可求得球的半径，再利用球体表面积公式可求得结果．
【解答】
解：因为，，，，则四边形为直角梯形，
平面，平面，则，
，，平面，
平面，则平面，
、平面，，，则，
故，
平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，设点，
由，可得，化简可得，
即点的轨迹为圆，当点到平面的距离最大时，四棱锥的体积最大，
此时，设三棱锥的球心为，
由，可得，解得
所以，三棱锥的外接球球心为，
球的半径为，
因此，三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．

17.【答案】解：由已知得，，
，
得，解得
设，由，
可得，得到，求得，
，则或．

【解析】本题考查空间向量垂直的坐标表示，空间向量平行的坐标表示，属于中档题．
利用，即可计算求解
由已知，可设，根据，列方程即可求出．
18.【答案】解：易得椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，
由椭圆定义知，
，
所以，所以，
所求椭圆标准方程为
设直线与椭圆的交点为，，
联立方程，得，
得，，
设的中点坐标为，则，
将带入中，得，
所以中点坐标为．

【解析】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆位置关系及其应用，属于中档题．
由椭圆的焦点坐标和椭圆的定义，可得椭圆的标准方程；
联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系得出中点的坐标．
19.【答案】解：取的中点，连接，，则，平面．
如图，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
依题意，可得：，，，，，．
，，，
，，即，，
又，平面，
平面
由知平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为
设平面的法向量为，
，，
，即
取，得．
由可知平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，易知，
，
所以二面角的余弦值为．

【解析】本题考查线面垂直的证明，考查直线与平面、平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得的坐标，即可由向量数量积公式证明得，，由线面垂直的判定定理可证明得平面；
由得平面的一个法向量，再由，根据向量法计算直线与平面所成角的正弦值；
设平面的法向量为，由数量积列式计算，再由平面的一个法向量，根据向量法求解二面角的余弦值．
20.【答案】解：由题可知：线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线为，即，
又因为圆心在直线：上，
由解得
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为；
当直线的斜率不存在时，
由，得或
即直线与圆相交所得弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由于圆到的距离，
所以，解得，
所以，即，
综上所述，直线的方程为或．

【解析】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆相交的弦长问题，属于中档题．
因为垂径定理得到圆心在的垂直平分线上，从而求得圆心坐标以及圆的方程；
分直线斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式与勾股定理可得答案．
21.【答案】解：证明：由已知，平面平面，平面平面，
且，平面，
则平面，因为平面，所以，，
易得两两垂直，故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，所以．
易知平面的一个法向量等于，
所以，所以，
又平面，所以平面；
当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为．
理由如下：
因为，
设平面的法向量为，
由，得
令，得平面的一个法向量等于，
假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于．
设，
则．
所以
．
所以，解得或舍去．
因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值等于．

【解析】本题考查线面平行的向量表示，考查直线与平面所成角的向量求法，属于较难题．
建立空间直角坐标系，易得平面的一个法向量等于，且，
又平面，所以平面；
利用向量法表示出直线与平面所成角的正弦值，求得，即可得解．
22.【答案】解：因为椭圆：的长轴为双曲线的实轴，
所以，
因为椭圆过点，
所以，即，得，
所以椭圆方程为
当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
由，得，
，
所以
所以，
，
因为，
所以，
即，
则，
所以，
化简得，
即，
所以或，
当时，直线的方程为，
则直线过定点舍去，
当时，直线的方程为，
所以直线过定点，
当直线的斜率不存在时，设直线为，
由，得
所以，
所以，
解得舍去，或，
所以直线也过定点，
综上，直线恒过定点．

【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆中的定点问题，考查计算能力，属于难题．
由题意可得，，求出，从而可得椭圆方程
讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出直线与的斜率，再由列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒过的定点．
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