2021-2022学年江苏省盐城市高二上学期期中数学试题（含解析）

2021-2022学年江苏省盐城市高二上学期期中数学试题
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若直线经过两点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2. 已知是公差为的等差数列，为其前项和若，则( )
A. B. C. D.
3. 椭圆的焦点坐标为 ( )
A. ，． B. ，
C. ， D. ，
4. 已知直线，当时，的值为( )
A. B. C. 或 D.
5. 直线分别交轴和轴于、两点，若是线段的中点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形为原点，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
7. 若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，已知圆：，点，若圆上存在点，满足为坐标原点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是( )
A. B. C. D.
10. 已知抛物线：的焦点为，其准线与轴交于点，过上一点作的垂线，垂足为，若四边形为矩形，则( )
A. 准线的方程为 B. 矩形为正方形
C. 点的坐标为 D. 点到原点的距离为
11. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切
12. 下列结论正确的是( )
A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知，为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
D. 若圆上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 椭圆的离心率是 ．
14. 已知在数列中，，，，则 ．
15. 已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为
16. 抛物线的焦点坐标是 ；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知为等差数列，为其前项和，若．
求数列的通项公式；
求
18. 本小题分
已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，半焦距长为，求椭圆的标准方程．
已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，求圆的标准方程．
19. 本小题分
在中，，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
求点坐标；
求直线的方程．
20. 本小题分
已知圆：．
若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
21. 本小题分
已知抛物线过点．
求抛物线的方程；
求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点均与点不重合设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．
22. 本小题分
已知椭圆的一个顶点为，离心率为
求椭圆的方程
如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过定点并求定点坐标
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本小题主要考查斜率公式，属于基础题．
根据斜率公式求得的斜率．
【解答】
解：由于直线经过两点，
所以直线的斜率为．
故选：

2.【答案】
【解析】
【分析】
利用求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：，，
则．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，属于基础题．
由题方程化为椭圆的标准方程求出，则椭圆的焦点坐标可求．
【解答】
解：由题得方程可化为，，
所以，则，
所以椭圆焦点为．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两直线平行的充要条件，属于基础题．
利用两直线平行的充要条件即得．
【解答】
解：由直线，，，
，得或．
当时，，，两直线重合，不符合题意，
当时，，，符合题意，
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查中点坐标公式以及截距式直线方程，属于基础题．
根据题意设点的坐标为，点的坐标为，得到，，即可得到直线的截距式方程，进而转化为一般方程．
【解答】
解：设点的坐标为，点的坐标为，
因为是线段的中点，
所以，，
所以，，
即点的坐标为，点的坐标为，
设直线的方程为，即．
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求双曲线的标准方程，双曲线的渐近线方程，属于基础题．
不妨设点在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得双曲线的标准方程．
【解答】
解：不妨设点在第一象限，由题意可知，
由于是等边三角形，则，所以，，
由题意可得，解得
因此，该双曲线的标准方程为．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．
由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图象和一次函数图象即可求出的取值范围．
【解答】
解：化简曲线，得，为以原点为圆心，为半径的上半圆，画出图象如图：
当直线与半圆相切时，直线与半圆有一个公共点，此时，解得，
由图可知，此时，所以．
当直线过点、时，直线与半圆刚好有两个公共点，此时．
由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以，
则实数的取值范围为．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了轨迹方程，圆与圆的位置关系，属于中档题．
设点，根据求出点的轨迹方程，令的轨迹圆与圆有公共点列不等式组解出的取值范围．
【解答】
解：圆：，圆心，半径为，
设点，则，，
，，
整理得：，
则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
又点在圆上，
圆与圆有公共点，
，
即，
解得．
故则实数的取值范围是．
故本题选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线在坐标轴上的截距，属于基础题．
讨论直线过原点和直线不过原点两种情况可求．
【解答】
解：若直线过原点，则，解得，满足题意；
若直线不过原点，则在轴上的截距为，在轴上的截距为，
则，可得或舍，
综上，的值可能是或．
故选AC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义与几何性质、两点间距离公式，属于基础题．
根据抛物线的标准方程得到其准线方程，根据抛物线的定义得到，进一步得到矩形为正方形，求得点的坐标，由两点间距离公式求得，从而作出选择．
【解答】
解：由抛物线：，得其准线的方程为，故A正确；
由抛物线的定义可知，
又因为四边形为矩形，所以四边形为正方形，故B正确；
所以，点的坐标为，所以，故C错误，D正确．
故答案选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义及其性质，椭圆的焦点三角形问题，直线与圆的位置关系，属于中档题．
根据椭圆方程求得，再根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】
解：由题意，椭圆，可得，可得，
所以焦点为，
根据椭圆的定义得，所以A正确；
椭圆的离心率，所以B错误；
其中面积的最大值为，所以C错误；
由原点到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查判断命题的真假，直线的方程，直线斜率公式的应用，直线与圆的位置关系判断，圆与圆的位置关系，直线过定点，属于中档题．
选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；选项中直线恒过点，计算，即可求解；选项中利用圆心到直线距离及点在圆外即可判断；选项根据以为圆心，为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解．
【解答】
解：中，当直线过原点时，由两点式易得，直线方程为，故A错误；
中，直线可化为，所以直线恒过定点，
则，
又直线与线段相交，所以或，故B错误；
中，圆心到直线的距离，
又点是圆外一点，所以，
所以，所以直线与圆相交，故C正确．
中，与点的距离为的点在圆上，
由题意知圆与圆相交，
所以圆心距，满足，
解得，故D正确．
故选CD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的离心率，属于基础题．
利用标准方程，求出，，然后求解，即可求解离心率．
【解答】
解：椭圆的长半轴长为，短半轴长为，
则半焦距为．
所以椭圆的离心率为：．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根据数列递推关系求数列的项，数列的周期性，属于基础题．
由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．
【解答】
解：由题意，，，，
所以数列是周期数列，且周期为，所以．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义与性质，双曲线的焦点三角形问题，利用余弦定理解三角形，属于中档题．
由和双曲线定义可得，再结合余弦定理和可得，利用面积公式可解得，即得解．
【解答】
解：由题意，，
由双曲线定义可知，，
，
，
又，
又，
则，
又，
故双曲线的实轴长为．
故答案为：．

16.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义与性质，属于中档题．
由抛物线的解析式可知，即可得出焦点坐标为；过、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果．
【解答】
解：由抛物线，可知，则，
所以抛物线的焦点坐标为，
如图，过点作垂直于准线交准线于，
过点作垂直于准线交准线于，
过点作垂直于准线交准线于，
由抛物线的定义可得，
再根据为线段的中点，而四边形为梯形，
由梯形的中位线可知，
则，所以．
故答案为：；．

17.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，，则，解得，
因此，
所以的通项公式为．
由题意知：．

【解析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前项和公式，属于基础题．
由等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
由等差数列前项和公式求．
18.【答案】解：易知椭圆的长半轴长为，半焦距长为，
所以短半轴长，
所以椭圆方程为．
由题意设圆心坐标为，
再由圆与轴的交点分别为，，可得，
则圆心坐标为，半径．
所以该圆的标准方程为．

【解析】本题考查求椭圆的标准方程，求圆的标准方程，椭圆的性质，属于基础题．
根据椭圆的性质，由长轴长和半焦距长，可得的值，计算的值，可得答案；
由题意设圆心坐标为，根据圆与轴的交点分别为，，可得，求出圆心，再求半径，可得答案．
19.【答案】解：由边上的高所在的直线方程为，可得，
所以，
因为，所以的方程为：，即，
由，解得
所以点坐标为；
设，则的中点，
所以，解得，所以，
所以，
所以直线的方程为：，即．

【解析】本题考查直线方程的综合求法及应用，两条直线垂直的性质及应用，中点坐标公式，属于中档题．
由直线的斜率可得直线的斜率，进而可得直线的方程，联立直线和直线的方程即可得点坐标；
设，可得，根据点在直线上，点在直线上，联立方程组可得和的值，即得点的坐标，结合点的坐标即可得直线的方程．
20.【答案】解：圆的圆心坐标为，半径，
直线被圆截得的弦长为，
圆心到直线的距离．
当直线的斜率不存在时，若直线过点，
则直线的方程：，显然满足；
当直线的斜率存在时，若直线过点，
则设直线的方程：，即，
由圆心到直线的距离得：，解得，
故直线的方程：；
综上所述，直线的方程为或．
假设直线的斜率不存在，若直线过点，
则直线的方程：，此时圆心到直线的距离，
所以不满足直线与圆相交于，两点，
直线的斜率一定存在，
设直线方程：，即，
则圆心到直线的距离为，
又的面积
，
当，即时，取最大值，
由，得或，
直线的方程为或．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，圆的半径、半弦长、弦心距的勾股定理关系，涉及二次函数的最值，考查分类讨论思想以及计算能力，属于中档题．
求出圆的圆心坐标、半径，推出圆心到直线的距离，分直线的斜率不存在和存在两种情况，利用点到直线的距离公式求解即可．
排除直线的斜率不存在的情况，设直线方程：，利用点到直线的距离公式，圆的半径、半弦长、弦心距的勾股定理关系以及三角形面积公式，通过二次函数的最值求解即可．
21.【答案】解：由题意得，
所以抛物线方程为．
设，，
直线的方程为，
代入抛物线方程得 ．
所以，
．
所以
，
所以为定值．
【解析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于较难题．
将点代入抛物线方程，可求得抛物线的标准方程；
设过点的直线的方程为，代入，利用韦达定理，结合斜率公式化简，即可求的值．
22.【答案】解：椭圆过点，
可得，且离心率为．
，解得，
所求椭圆方程为：
当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，
，则，
当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：
得，
设，，有
则，
将式代入化简可得：，即，，
直线，恒过定点．

【解析】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的几何意义，也考查了椭圆中的定点问题，属于中档题．
利用椭圆过点，以及离心率为求出，，即可得到椭圆方程．当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，然后求解当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，，利用韦达定理以及，得到与的关系，然后求解直线，恒过定点．
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