2022-2023学年湖南省长沙市四校高二上学期期中联考数学试题(B卷)（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市四校高二上学期期中联考数学试题(B卷)
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若数列，，，，是等比数列，则的值是( )
A. B. C. D.
2. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为( )
A. 且 B. 且
C. D.
3. 等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则( )
A. B. C. D.
5. 椭圆的左、右焦点分别为、，动点在椭圆上，为椭圆的上顶点，则周长的最大值为( )
A. B. C. D.
6. 已知圆，直线，若上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知是棱长为的正方体外接球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( )
A. B.
C. 为常数 D.
10. 已知椭圆分别为它的左右焦点，为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，则下列结论中正确的有( )
A. 的周长为
B. 若，则的面积为
C. 为定值
D. 直线与直线斜率的乘积为定值
11. 已知直线与圆相交于，两点，则( )
A. 的面积为定值
B.
C. 圆上总存在个点到直线的距离为
D. 线段中点的轨迹方程是
12. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：，，，，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：，，，，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是( )
A.
B. 既是三角形数，又是正方形数
C.
D. ，总存在，使得成立
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设等差数列的前项之和满足，那么
14. 已知数列的前项和为，，，则 ．
15. 已知圆关于直线对称，为圆上一点，则的最大值为 ．
16. 已知椭圆的右焦点和上顶点，若斜率为的直线交椭圆于，两点，且满足，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知直线．
Ⅰ求证：直线过定点，并求出此定点
Ⅱ求点到直线的距离的最大值．
18. 本小题分
设等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
求的最小值及相应的的值；
在公比为的等比数列中，，，求．
19. 本小题分
已知正项数列满足且．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项的和．
20. 本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，为的中点．
．
若点在线段上，试确定点的位置使得直线平面并证明；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
21. 本小题分
记数列的前项和为，，且是以为公差的等差数列，，
．
求的通项公式；
求数列的前项和．
22. 本小题分
如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点．
求点的轨迹的方程；
在的方程中，令，确定的值，使原点距椭圆的右准线最远，此时，设与轴交点为，当直线绕点转动到什么位置时，三角形的面积最大？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的性质，属于基础题．
利用等比数列的性质即可求解．
【解答】
解：由题意这个等比数列奇数项均为负数，
结合等比数列性质可得
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程，属基础题．
根据椭圆的标准方程的形式，可得，解不等式组即可．
【解答】
解：因为方程表示椭圆，
所以
解得且．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等差数列的性质，属于中档题．
由题意利用等差数列的性质可得，，，，，仍然是等差数列，由此求得的值．
【解答】
解：等差数列前项和为，若，，设，
则，，成等差数列，则，解得，
由等差数列的性质可得，，，，，仍然是等差数列，公差为，
，
所以，
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的性质应用，以及等差数列的求和，涉及指数幂的运算，属于中档题．
根据条件，可以推出然后，根据等差数列的性质，可得结果；也可以直接根据前项和公式求和．
【解答】
解：解法：由已知，得，则，
根据等差数列的性质有，，
所以，有
．
解法：由已知，得，则，
根据等差数列的性质有，，
所以，．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义及标准方程，属于中档题；
由椭圆性质，转化周长为，
结合，即得解．
【解答】
解：由题意，椭圆，其中，
则，如图：
由于点为椭圆的上顶点，故，
的周长为，
其中，当且仅当点在线段延长线上时取得等号，
，
即，故周长最大值为．
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
由圆的性质可确定，且当为圆心到直线的距离时，取得最大值，由此可构造不等式解得的范围．
【解答】
解：由圆的方程知：圆的圆心，半径，如图：
由题意知，，，，
，
，
当取得最小值时，取得最大值，
此时为圆心到直线的距离，
存在点使得，则此时，
则，即，
解得：，即实数的取值范围为．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的数量积运算，球的切、接问题，是中档题．
本题通过基底法，得到，再通过立体图得到的值，以及的最小值，最终代入数据得到最小值．
【解答】
解：如图：为棱长为的正方体外接球的一条直径，为球心，为正方体表面上的任一点，则球心也就是正方体的中心，
所以正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径，
它等于棱长的一半，即长度为，的长为正方体的对角线长，为，
我们将三角形单独抽取出来如下图所示：
所以的最小值为．
故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列中的不等式恒成立问题，属较难题．
利用，得到，，变形后得到是等差数列，首项为，公差为，从而求出，故代入整理得，利用作差法得到单调递减，最大值为，列出不等式求出答案．
【解答】
解：当时，，解得：，
当时，，
整理得，
等式两边同除以，得，
又，故是等差数列，首项为，公差为，
所以，
故，
所以为，
故，对任意恒成立，
，
当时，，
故，
单调递减，当时，取得最大值，
故，解得：，
则的最小值为．
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的判定，属中档题．
根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解．
【解答】
解：对于选项A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A不符合题意；
对于选项B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，故选项B符合题意；
对于选项C，若为等差数列，设其公差为，
则为常数，
故为等差数列，故选项C符合题意；
对于选项D，若为等差数列，设其公差为，
则为常数，
故为等差数列，故选项D符合题意，
故选BCD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与椭圆的焦点三角形有关的定值问题以及面积问题，属较难题．
对于，结合椭圆的定义和性质，即可求解；对于，结合椭圆的定义和条件可求得，即可求得面积；对于，利用向量的坐标运算可化简，根据其结果即可判断；对于，结合直线的斜率公式，以及点在椭圆上，即可判断．
【解答】
解：对于，椭圆 ，
， ，
，
的周长为，故A错误；
对于，，
，
，
故，
，
的面积为 ，故B正确；
对于，由题意知，设，
则
为定值，故C正确；
对于，设，
则，，
在椭圆上，则 ，即，
联立可得 ，故D正确．
故选BCD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．
根据圆的几何性质，求出圆心到直线的距离为定值，可判断、，再由圆的几何性质知，由二倍角公式可判断，根据与的大小比较可判断．
【解答】
解：对，点到直线的距离，为定值，
所以为定值，所以为定值，故正确；
对，由知，，
所以，故正确；
对，因为圆的半径，圆心到直线的距离，
所以，故圆上到直线的距离为的点只有个，故错误；
对，设线段中点，
由圆的几何性质知，
所以点的轨迹方程为，即，故正确．
故选ABD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的应用，属于较难题．
利用累加法和观察法，分别求出，进而分别利用裂项求和法、放缩法等方法，逐个选项进行判断即可得到答案．
【解答】
解：三角形数构成数列：，，，，，则有，利用累加法，得，得到，
时上式也成立，所以，．
正方形数构成数列：，，，，，
即，，，，
可知．
对于，，
，故A错误；
对于，令，解得，
令，解得；故B正确；
对于，，
则
，
整理得，，故C正确；
对于，因为，即，，
所以，可取，，此时，且成立，故D正确．
故选BCD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
根据数列前项和的定义得，再根据等差数列的性质即可求解．
【解答】
解：根据数列前项和的定义得出：，
再根据等差数列的性质得，所以，
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查已知递推公式利用累乘法求通项，属中档题．
由题意，根据，可得，再利用累乘法即可求解．
【解答】
解：当时，由题意可得，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆位置关系中的最值问题，涉及关于直线对称的圆方程问题，属中档题．
由圆关于直线对称列方程求，由此确定圆的圆心坐标和半径，设，由直线与圆有公共点，列不等式求的范围及最大值．
【解答】
解：方程可化为，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆关于直线对称，
所以，所以，
令，则直线与圆有公共点，所以，
所以，所以，所以的最大值为，
故答案为：．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求椭圆的离心率问题，涉及点差法的应用，属较难题．
先由得到为的重心，再利用点差法求得之间的关系，进而求得椭圆的离心率．
【解答】
解：由题意知，
线段的中点为，
由，知为的重心，故，
即，解得，
又为线段的中点，则，
又、为椭圆上两点，则，
两式相减得，
所以，
化简得，则，
解得或故舍去
则，则离心率．
故答案为：．

17.【答案】解：Ⅰ由直线，则，故直线过定点；
Ⅱ由直线得过定点．
．

【解析】本题主要考查直线过定点问题以及点到直线距离最大值问题，属于基础题．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，．
可得
则数列的通项公式为．
，
当或时，取得最小值，的最小值为，此时相应的或；
，，
则
解得或．
若，则
，
若，则
．

【解析】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，考查了等比数列的通项公式和前项和公式的应用，考查了数学运算能力．
利用等差数列的通项公式，通过解方程组进行求解即可；
利用等差数列的前项和公式，结合配方法进行求解即可；
利用等比数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式进行求解即可．
19.【答案】解：由题意得：，
，，即为常数，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
．
由得
．

【解析】本题考查等差、等比数列的综合应用，考查分组求和法，等比数列的判定与通项公式，属中档题．
将化简可得，由此可求得答案；
由可得的通项公式，采用分组求和的方法，结合等差、等比数列的前项和公式求得答案．
20.【答案】解：为的中点，证明如下：
记为的中点，连接，如图，
因为为的中点，所以且，
又因为四边形是矩形，
所以且，故且，
又因为为的中点，所以且，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面．
在平面内过作轴垂直于，
因为平面，而，轴都在平面内，
则，轴，
故以为坐标原点，以为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
因为，则，故，
所以，
则，
设平面的一个法向量，
则，即
令，则，所以，
因为平面，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

【解析】本题考查线面平行的判定，考查利用空间向量法求两平面的夹角，属中档题．
利用三角形中位线定理及矩形的性质证得且，由此证得，再利用线面平行的判定定理即可证得平面；
根据题意建立空间直角坐标系，先求得平面与平面的法向量，再利用空间向量的数量积的坐标表示求得平面与平面夹角的余弦值．
21.【答案】解：由，
当时，，
是以为首项，为公差的等差数列，
，
，
当时，有，两式相减，
得，即，
又，，满足，
是以为首项，为公比的等比数列，
，，
的通项公式为．
，
设，，
记数列的前项和为，
则，
则，
两式相减，得，
令，
则，
两式相减得，
，
则，
于是，
．
记数列的前项和为，
则，
则，
所以数列的前项和为．

【解析】本题考查等差、等比数列的综合应用，考查错位相减法与分组法求和，属较难题．
求出，得到，利由时得到的特征，求出通项；
由，采用分组求和，分别求数列和的前项和，最后相加即可．
22.【答案】解：设，，
由在椭圆上，则
当不垂直于轴且不垂直于轴时，且，
得，
则，
所以，整理得．
当直线与轴垂直时，点即为点，满足方程，
当直线与轴垂直时，点即为原点，满足方程，
故所求点的轨迹的方程为：；
椭圆的右准线的方程是，
原点距右准线的距离为，由于，
，，
则，
当时，上式达到最大值，
所以时，原点距离右准线最远，
此时，，，，，
设椭圆上的点，
的面积为，
设直线的方程是，
代入椭圆方程得：，
所以，，
，
令，则，
当且仅当，即时取等号，
因此当直线绕点转动到垂直于轴的位置时，面积最大．

【解析】本题考查与椭圆有关的轨迹问题及椭圆中三角形的面积问题，属于困难题．
设，，将两点坐标代入椭圆方程后相减，利用可得轨迹方程，注意说明直线与轴垂直时及直线与轴垂直时也适用即可；
右准线方程，原点到右准线的距离是，代入已知式，由三角函数恒等变换化为的函数，由正弦函数性质得最大值，求出设椭圆上的点，则的面积为，设直线的方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得，代入中，利用基本不等式即可解决问题．
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