第17章_勾股定理导学案

勾股定理（第一课时）
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习过程：
（一）、课前预习
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系：
（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
我国古代3000多年前有一个叫商高的人，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。（即勾3，股4，弦5）。
2、（1）同学们画一个两直角边为3cm和4cm的直角△ACB，用刻度尺量出AB的长。
（2）再画一个两直角边为5和12的直角△ACB，用刻度尺量AB的长。
问题：你是否发现+与，+和的关系，即+ _，+ _.
3、完成23页的探究，补充下表，你能发现正方形A、B、C；的关系吗？
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
图1
图2
由此我们可以得出什么结论？可猜想：_____________________________________________。
命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 。
（二）、勾股定理的证明
1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：
证明：4S△+S小正=___________________________。
S大正=____________________________。
可得出等量关系：___________________________。
由此我们得出：_______________________________。
勾股定理的内容是： 。
试一试：勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________
右边S=_____________
左边和右边面积相等，即
_________________________
化简可得
_______________________
（三）随堂练习
1、在Rt△ABC中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________；
（2）如果a=6，b=8，则c=________；
（3）如果a=5，b=12，则c=________；
(4) 如果a=15，b=20，则c=________.
2、下列说法正确的是（　　）
A.若、、是△ABC的三边，则
B.若、、是Rt△ABC的三边，则
C.若、、是Rt△ABC的三边，， 则
D.若、、是Rt△ABC的三边， ，则
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。
注意：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形．
（四）当堂检测：
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。
2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。
3、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；②ΔABC的面积．
思考：一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 。
课题：勾股定理（第二课时）
学习目标：
1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
学习过程：
例1
⑴注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。
⑵图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？
⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？
⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。
在Rt△ABC中，根据勾股定理
AC = +
因为 AC=≈2.236
因此 AC 木板宽，所以木板 从门框内通过
变式练习
1.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。
2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
例2
（思考：实际问题中，勾股定理的使用只能用于已知两直角边求斜边吗？）
如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
② 如果梯子的顶端沿墙角下滑0.5米至C，请同学们：猜一猜，底端也下滑0.5米吗？
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
变式练习
一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米
且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。
2．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 .
课堂检测：
1、已知，AB=17 AC=10,BC边上高AD=8，则BC长为 。
2、以直角三角形的两条直角边为边向外作正方形，他们它们面积分别是6和3.则斜边长是 。
3、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 。
4、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度_________.
5、如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
6、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？
7、如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AC凿通？
8、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,则这条小路的面积是多少
9、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。
(1)求DC的长。
(2)求AB的长。
课题：勾股定理（第三课时）
学习目标：
1．会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
学习重点：勾股定理的综合应用。
学习难点：勾股定理的综合应用。
学习过程：
（一）、课前预习：复习勾股定理的内容。
例3
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图，已知OA=OB，
(1)说出数轴上点A所表示的数 （2）在数轴上找出对应的点
课堂练习：
1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 如图所示，在△ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜a＜c
3．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 .
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______
（二）、例题讲解
例1：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD= ，求线段AB的长。
解答过程：
例2：已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
解答过程：
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。
当堂检测：
1、如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2-10的立方根为（ ）
（A）-10 （B） --10
（C） 8 （D） -12
2．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。
3．△ABC中，若∠A=∠B=∠C，AC=10 cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。
4．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC= ，CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S△ABC= 。
课题：勾股定理逆定理（第四课时）
学习目标：
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
学习难点：勾股定理的逆定理的证明。
课前预习
一．情境引入：
据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
思考：
（1）你知道哪个角是直角吗？
（2）在其它结点钉木桩，还能得到类似的结果吗？
（3）这其中包含了什么数学道理？
二．自主学习：
1.用尺规画△ABC，使 （1）a=6,b=8,c=10 (2) a=5,b=12,c=13
测量出∠C的值。
观察以上结果，你有什么发现？
2、猜想：如果三角形的三边满足＿＿＿＿＿＿，那么此三角形就是直角三角形。
3.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
（1）什么叫互为逆命题？
（2）什么叫互为逆定理？
（3）任何一个命题都有 ____，但任何一个定理未必都有 __．
合作探究
例1 说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
同旁内角互补，两条直线平行。
如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
例2判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
a=15,b=8,c=17;
a=13,b=14,c=15;
温馨提示（1）用两个短边的平方和与长边的平方进行比较．
（2）解题过程要规范
思考：什么是勾股数？我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？
比一比看谁能说出的勾股数多？
课堂练习
1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。（ ）
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。（ ）
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（ ）
⑷△ABC的三边之比是1：1： ，则△ABC是直角三角形。（ ）
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c= D．a：b：c=2：3：4
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ （ ）
(A)、a= ，b= ，c= ； （B）、a=5， b=7， c=9；
（C）、a=2， b= ，c= ； （D）、a=5，b= ，c=1。
当堂检测：
1、任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。
2、“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。
3、一个三角形的三边之比为3；4：5，这个三角形的形状是__________.
4、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是__________.
5、适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为( )
①②∠A=450;③∠A=320, ∠B=580;④
⑤ A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.
6、三角形的三边长为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
课题：勾股定理逆定理（第五课时）
学习目标：
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
学习重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
学习难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
学习过程：1.知识回顾
⑴我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述吗？
⑵你能用勾股定理及其逆定理解决那些问题？
2.自主学习
问题1：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
温馨提示：
①“远航”号航行的距离是多少海里？
②“海天”号航行的距离是多少海里？
③“远航”号航行的距离和“海天”
号航行的距离与两船之间的距离满足什么关系？
④根据以上各题你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：
二．合作探究：
问题2：有一块菜地形状如下，试求它的面积。
温馨提示：①结合题目的数据的图形特征你能想到哪些结论？
②不规则图形的面积可以转化成规则图形的面积的和或差本题应如何转化？
（三）课堂练习
1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2. 三角形的三边长分别为a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b2
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A B C D
6、下列定理中,没有逆定理的是（ ）
A：两直线平行，内错角相等 B：直角三角形两锐角互余
C：对顶角相等 D：同位角相等，两直线平行
7、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A：底与边不相等的等腰三角形 B：等边三角形
C：钝角三角形 D：直角三角形
8. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
当堂检测：
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
2．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是
3. 在ΔABC中,若AB2+BC2=AC2,则∠A+∠C= 0 .
4．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
第4题图
S1
S2
S3
O
B
D
CＣ
A
C
A
O
B
O
D
北
南
A
东
第3题图
3题图
C
A
B
8km
6km
C
A
B
D
A
B
C
D
7cm
A
B
C
第4题图
第4题图
第4题图
第2题图
第1题图
3
4
C
D
┗
13
12
B
F
E
A
C
B
D