北师大版九下第三章《圆》导学案
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文档简介
3.1圆(1)
一、学习目标：
1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义.
2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系
3、初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题.
学习重难点：会确定点和圆的位置关系.
二、知识准备：
1、说出几个与圆有关的成语和生活中与圆有关的物体。
思考：车轮为什么做成圆形？
2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？
三、学习内容：
1、圆的定义：_______________ （运动的观点）
2、画圆并体会确定一个圆的两个要素是 和
3、点和圆的位置关系
量一量（1）利用圆规画一个⊙O，使⊙O的半径r=3cm.
（2）在平面内任意取一点P，点与圆有哪几种位置关系？若⊙O的半径为r，
点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆 d r
点P在圆 d r
点P在圆 d r
4、圆的集合定义（集合的观点）
（1）思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？
（2）圆是到定点距离 定长的点的集合.圆的内部是到 的点的集合；圆的外部是 的点的集合 。
（3）想一想：角的平分线可以看成是哪些点的集合？线段的垂直平分线呢？
四、尝试与交流
已知点P、Q，且PQ=4cm，⑴画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合。⑵在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来。⑶在所画图中，到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来。
五、知识梳理
1、圆的定义。
2、点与圆的位置关系。
六、达标测试
1、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A 。
2、已知⊙O的半径为5cm.(1)若OP=3cm，那么点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ；(2)若OQ= cm，那么点Q与⊙O的位置关系是：点Q在⊙O上；
(3)若OR=7cm，那么点R与⊙O的位置关系是：点R在⊙O .
3、⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 。
4、⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在 ；当OP 时点P在圆内；当OP 时，点P不在圆外。
5、到点P的距离等于6厘米的点的集合是___________________________________
6、已知AB为⊙O的直径P为⊙O 上任意一点，则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为( ) (A)在⊙O内 (B)在⊙O 外 (C)在⊙O 上 (D)不能确定
6、如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米（直接写出答案）
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
7、如图，在直角三角形ABCD中，角C为直角，AC=4，BC=3，E，F分别为AB，AC的中点。以B为圆心，BC为半径画圆，试判断点A，C，E，F与圆B的位置关系。
8、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．
3.1圆 (2 )
一、学习目标
1、理解圆的有关概念
2、了解“同圆或等圆的半径相等”并能用之解决问题．
3、体验圆与直线形的联系
学习重难点：圆与直线形的联系运用
二、知识准备
前一节课学习了圆的有关概念,探索了点与圆的位置关系.这一节课将进一步学习与圆有关的概念,为今后研究圆的有关性质打好基础.
三、 知识梳理
与圆有关概念
(1)请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；
_________________________________叫做直径.
(2)弧、半圆、优弧与劣弧的概念及表示方法.弧：___ _
半圆：_________________ 优弧：___________ _ 表示方法：
劣弧：______________________________ _,表示方法：______
(3)借助图形理解圆心角、同心圆、等圆.圆心角:______________________________
同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _.
(4) 同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________
四、典型例题
例1、如图点A、B和点C、D分别在两个同心圆上,且∠AOB=∠COD. ∠C与∠D相等吗 为什么
例2如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.
求证：OC=OD.
七、 达标检测
一 判断：
1 直径是弦，弦是直径。 （ ）
2 半圆是弧，弧是半圆。 （ ）
3 周长相等的两个圆是等圆。 （ ）
4 长度相等的两条弧是等弧。 （ ）
5 同一条弦所对的两条弧是等弧。（ ）
6 在同圆中，优弧一定比劣弧长。（ ）
二 、解答
1、如图,CD是⊙O的直径,∠EOD=84°,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.
2、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，
若OD=4，求BC。
3、 如图, AB是⊙O的直径,点C在⊙O上, CD⊥AB, 垂足为D, 已知CD=4, OD=3, 求AB的长.
4、 如图, AB是⊙O的直径, 点C在⊙O上, ∠A=350, 求∠B的度数.
C
A B
5、如图,CD是⊙O的直径,∠EOD=84°,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.
3.2 圆的对称性（1）
一、学习目标
1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程
2、理解圆的中心对称性及有关性质
3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题
重点：理解圆的中心对称性及有关性质
难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题
二、知识准备：
1、什么是中心对称图形
2、我们采用什么方法研究中心对称图形
三、学习内容：
1、按照下列步骤进行小组活动：
⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O
⑵在⊙O和⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠，连接AB、
⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O重合（如图）
⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA重合
在操作的过程中，你有什么发现？___________________________
2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？你能够用文字语言把你的发现表达出来吗
3、圆心角、弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
4、试一试：如图，已知⊙O、⊙O半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O的两条弦填空：
（1）若AB=CD，则 ，
（2）若AB= CD，则 ，
（3）若∠AOB=∠COD，则 ，
5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？
弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC，∠ABC与∠BAC相等吗？
为什么？
例题2、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？
四、知识梳理：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
五、达标检测：
1、画一个圆和圆的一些弦，使得所画图形满足下列条件：
（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）既是轴对称图形，又是中心对称图形。
2、1.如图,在⊙O中, = ,∠1=30°,则∠2=_______
3. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。
4. ⊙O中，直径AB∥CD弦，，则∠BOD=______。
5. 在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为
6.如图，AB是直径，＝＝，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是 。
7.已知，如图，AB是⊙O的直径，M,N分别为AO,BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N。求证：AC=BD
3.2 圆的对称性（2）
一、学习目标
1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程2、掌握垂径定理
3、会运用垂径定理解决有关问题
重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的应用
二、知识准备：
1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_________，这条直线叫做______。
2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。
三、学习内容：
1、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？
结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
练习：1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
2、将第二个图中的直径AB改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？
探索活动：1、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折，你发现了什么？
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
3、得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；
②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
5、给出几何语言
例1、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？
例 2 如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。
⑴求⊙O的半径； ⑵若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。
四、知识梳理：
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，
且平分弦所对的弧等。
五、达标检测：
1、 如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD=_____
2、已知，如图 ，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5, =,则 CD的长为 。
3. 如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M．则有AM=_____， _____= ， ____= ．
T3 T4 T5 T6
4.过⊙O内一点P作一条弦AB，使P为AB的中点.
5.⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为 CM.
6.如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半为 ．
7.⊙O的弦AB为5cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___
8.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm和5cm，则圆心到这条弦的距离为 CM
9.在半径为5的圆中,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB和CD的距离为 .
10. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：
⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，
求水面涨高了多少？
11.（1）“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如上图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为________．
（2）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是 毫米。
3.3圆周角（1）
一、学习目标
理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题
学习重点：圆周角及圆周角定理学习难点：圆周角定理的应用
二、知识准备
1、 叫圆心角。
2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的 度数。
三、学习内容
活动一 操作与思考
如图，点A在⊙O外，点B1 、B2 、B３在⊙O上，
点C在⊙O内，度量∠A、∠B1 、∠B2 、∠B３ 、
∠C的大小，你能发现什么？
∠B1 、∠B2 、∠B３有什么共同的特征？ 。
归纳得出结论，顶点在_______，并且两边_______________________的角叫做圆周角。
强调条件：①_______________________，②___________________________。
识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．
活动二 （观察与思考）如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC的度数．
通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．试证明这个结论：（学生完成）
活动三 （思考与探索）１.如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。
2.思考与讨论
（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？
（2）设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC＝∠BOC还成立吗？试证明之．
通过上述讨论发现： 。
3.尝试练习
（一）如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C
所在直线的同侧，∠BAC=350
(1)∠BDC=_______°,理由是 ．
(2)∠BOC=_______°,理由是 ．
（二）如图，点A、B、C在⊙O上，
(1) 若∠BAC=60°，求∠BOC=____°;
(2) 若∠AOB=90°,求∠ACB=____°.
4、例题：
如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。
四、知识梳理
1、顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；
2、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。
3、强调圆周与圆心角之间的关系是通过弧联系起来的，做题时学会找弧及弧所对的圆心角和圆周角。
五、达标检测
1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．
2、如图，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB，交⊙O于E。图中哪些与∠BOC相等？请分别把它们表示出来.
3、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，求∠ABD的度数.
4、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______，∠OAB=_____。
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来：
___________________________________________________.
5、如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。
6、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有______________________。
7、如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC的形状，并说明理由.
8、人们常用“一字之差，差之千里”来形容因一点小小的差别，往往会给问题本身带来很大的区别。在数学中，这样的例子比比皆是，下面两句话，先请你找出其中微小的区别，然后再比较解决问题的结果：
(1)在⊙O中，一条弧所对的圆心角是120°，该弧所对的圆周角是多少度？
(2)在⊙O中，一条弦所对的圆心角是120°，该弦所对的圆周角是多少度？
3.3圆周角（2）
一、学习目标
1．知识与技能：掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题.
2．过程与方法：经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.
3．情感态度与价值观：激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活.
学习重点：圆周角的性质
学习难点：圆周角性质的应用
二、知识准备
（一）、知识再现：
1．如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则
（1）∠BOC= °,理由是 ；
（1）∠BDC= °,理由是 .
2.如图，在△ABC中，OA=OB=OC,则∠ACB= °.
意图：复习圆周角的性质及直角三角形的识别方法.
（二）、预习检测：
1.如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB= °,
∠DAB= °.
2. 如图，AB是⊙O的直径，若AB=AC，求证：BD=CD.
三、学习内容
1.如图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，
还是直角？为什么？
2.如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？
3.归纳自己总结的结论：
（1）
（2）
注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；
（2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视.
4、例题分析
例题1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，
∠ADC=50°,求∠CEB的度数.
【解析】利用直径所对的圆周角是直角的性质
例题2.如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径.△ABE与△ACD相似吗？为什么？
利用直径所对的圆周角是直角的性质解题.
变式：如图，△ABF与△ACB相似吗？
例题3. 如图， A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，
∠CAD=∠EAB,AE是⊙O的直径吗？为什么？
【解析】 利用 90°的圆周角所对的弦是直径.
四、知识梳理
1.两条性质： 。
2. 直径所对的圆周角是直角是圆中常见辅助线.
五、达标检测
1、如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.
2、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.
3、如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD，判断△ABC的形状：__________。
4、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°,则AC的度数是( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
5、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB. 弧BD与弧BE相等吗？为什么？
6、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E，AC=10,求AE的长.
7、如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD的长.
8、利用三角尺可以画出圆的直径，为什么？你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？
9如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长。
10、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，P是C D上的任意一点(不与点C、D重合)，∠APC与∠APD相等吗？为什么？
11、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=6, ∠DCB=30°，求弦BD的长。
12、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，D是AC的中点，BD交AC于点E，△CDE与△BDC相似吗？为什么？
13、如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D。求BC和AD的长
3.4确定圆的条件
一、学习目标
了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
学习重点：了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
学习难点：培养学生动手作图的准确操作的能力。
二、知识准备
1、确定一个圆需要几个要素？
2、经过平面内一点可以作几条直线？过两点呢？三点呢？（
3、在平面内过一点可以作几个圆？经过两点呢？三点呢？
4、已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎。
三、学习内容
问题1:经过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？(作出图形)
问题2:经过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？（据分析作出图形）
问题3: 经过三点,是否可以作圆,如果能作,可以作几个
问题4:经过三点一定就能够作圆吗 若能作出，若不能，说明理由.
总结自己发现的结论;
引导学生观察这个圆与的顶点的关系，得出：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形
练习1：按图填空：（1）是⊙O的_________三角形；
（2）⊙O 是的_________圆，
练习2：判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（ ）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（ ）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（ ）
（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（ ）
（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（ ）
练习3：钝角三角形的外心在三角形（ ）
（A）内部 （B）一边上 （C）外部 （D）可能在内部也可能在外部
四、知识梳理
1. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2．（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
3．
五、达标检测
1、一个三角形能画 个外接圆，一个圆中有 个内接三角形。
2、分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆；并分别指出三角形的外心所在的位置。
3.三角形的外心是 的交点。外心具备的性质是
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.求Rt△ABC的外接圆的半径和面积。
5、（１）作四边形ABCD，使∠A=∠C=90°;
（２）经过点A、B、D作⊙O，⊙O是否经过点C？你能说明理由么？
6.经过一点作圆可以作 个圆；经过两点作圆可以作 个圆，这些圆的圆心在这两点的 上；经过 的三点可以作
个圆，并且只能作 个圆。
7.三角形的外心是三角形的 的圆心，它是三角形的 的交点，它到 的距离相等。
8.Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=6cm,BC=8cm,则其外接圆的半径为 。
9.等边三角形的边长为a,则其外接圆的半径为 .
10.已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 无数
11.如图，平原上有三个村庄A，B，C，现计划打一水井P，使水井到三个村庄的距离相等。在图中画出水井P的位置。
。A
。B
C．
12.活动与探究：
如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用
这样的工具找到圆形工件的圆心？
3.5直线与圆的位置关系（1）
一、学习目标
（1）经历探索直线与圆的位置关系的过程，感受类比、转化、数形结合等数学思想，学会数学地思考问题
（2）理解直线和圆的三种位置关系————相交，相离，相切。
（3）会正确判断直线和圆的位置关系。（重、难点）
二、知识准备（3分钟）
1、复习点与圆的位置关系，回答问题：如果设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，请你用d与r之间的数量关系表示点P与⊙O的位置关系。
2、欣赏《海上日出》图片，谈谈你的感受.
三、学习内容（25分钟）
活动一：操作思考
操作：请你画一个圆，上、下移动直尺。
思考：在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？请你描述这种变化。
讨论：①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系②直线与圆的公共点个数有何变化？
2、直线与圆有＿＿＿＿种位置关系：
▲直线与圆有两个公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿ 。
▲直线与圆有惟一公共点时，叫做＿＿＿＿，这条直线叫做 这个公共点叫做＿
▲直线和圆没有公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
活动二：观察、思考
1、下图是直线与圆的三种位置关系，请观察垂足D与⊙O的三种位置关系，说出这三种位置关系同直线与圆的三种位置关系的联系。
2、探索：若⊙O半径为r， O到直线l的距离为d，则d与r的数量关系和直线与圆的位置关系：①直线与圆 d r，
②直线与圆 d r ，
③直线与圆 d r。
活动三：例题分析
例1：在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2 (2)r=2 (3)r=3
四、知识梳理
1、直线与圆有＿＿＿种位置关系，分别是 、 、 。
2、若⊙O半径为r， O到直线l的距离为d，则d与r的数量关系和直线与圆的位置关系： ①直线与圆 d r，
②直线与圆 d r ，
③直线与圆 d r。
五、达标检测一
1、在△ABC中，AB＝5cm,BC=4cm,AC=3cm,
（1）若以C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系如何？
（2）若直线AB与半径为r的⊙C相切，求r的值。
（3）若直线AB与半径为r的⊙C相交，试求r的取值范围。
2、 圆O的直径4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与圆O的位置关系是（ ）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）相切或相交
3、直线上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
（A） 相切 （B） 相交 （C）相离 （D）相切或相交
4、直角三角形ABC中，∠C=900，AB=10，AC=6，以C为圆心作圆C，与AB相切，则圆C的半径为（ ）（Ａ）８ （Ｂ）４ （Ｃ）９.6 (D)4.8
5、在直角三角形ＡＢＣ中，角Ｃ＝９００，ＡＣ＝６厘米，ＢＣ＝８厘米，以Ｃ为圆心，为r半径作圆，当（１）r＝２厘米 ，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是 ，
（２）r＝4.8厘米，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是 ，
（３）r＝５厘米，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是 。
６、已知圆Ｏ的直径是１０厘米，点Ｏ到直线Ｌ的距离为d.
若Ｌ与圆Ｏ相切，则d ＝_________厘米
若d ＝４厘米，则Ｌ与圆Ｏ的位置关系是_________________
若d ＝６厘米，则Ｌ与圆Ｏ有___________个公共点.
7、已知圆Ｏ的半径为r，点Ｏ到直线Ｌ的距离为５厘米。
（1）若r大于５厘米，则Ｌ与圆Ｏ的位置关系是______________________
（2）若r等于２厘米，Ｌ与圆Ｏ有________________个公共点
（3）若圆Ｏ与Ｌ相切，则r＝____________厘米
8、已知Rt△ABC的斜边AB＝6cm,直角边AC＝3cm,以点C为圆心，半径分别为2cm和4cm画两圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？当半径多长时，AB与⊙C相切？
9、如图，∠AOB=30°,点M在OB上，且OM=5cm，以M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画⊙M和射线OA的公共点个数之间的对应关系。
3.5直线与圆的位置关系（2）
一、学习目标
1. 了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系
2. 能判定一条直线是否为圆的切线（重、难点）
3. 会过圆上一点画圆的切线
二、知识准备（3分钟）
复习直线和圆的位置关系，回忆相关内容：
1、直线和圆的位置关系有哪些？它们所对应的数量关系又是怎样的？
2、判断直线和圆的位置关系有哪些方法？特别地，判断直线与圆相切有哪些方法？
三、学习内容（25分钟）
活动一：探索直线与圆相切的另一个判定方法
如图，⊙O中，直线l经过半径OA的外端，点A作且直线l⊥OA，
你能判断直线l与⊙O的位置关系吗？你能说明理由吗？
结论：____________________________________。（总结判断直线与圆相切的方法）
活动二：思考探索；如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，
直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？
活动三：例题分析
例1：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，
若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。
四、知识梳理
1、判断直线与圆相切有哪些方法？
2、直线与圆相切有哪些性质？
3、在已知切线时，常作什么样的辅助线？
五、达标检测一
1、如图AB为⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，与AB相交于点C，求证：BD＝CD。
2、如图①，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点D。图中互余的角有（ ）A 1对 B 2对 C 3对 D 4对
3、如图②，PA切⊙O于点A，弦AB⊥OP，弦垂足为M，AB=4,OM=1,则PA的长为（ ）
A B C D
4、已知：如图③，直⊙O线BC切于点C，PD是⊙O的直径∠A=28°,∠B=26°,
∠PDC=
5、 如图，AB是⊙O的直径，MN切⊙O于点C，且∠BCM=38°，求∠ABC的度数。
6、如图在△ABC中AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F求证：直线DE是⊙O的切线
7、如图，AB,CD,是两条互相垂直的公路,∠ACP=45°,设计师想在拐弯处用一段圆弧形弯道把它们连接起来（圆弧在A,C两点处分别与道路相切），你能在图中画出圆弧形弯道的示意图吗？
3.5直线与圆的位置关系（3）
一、学习目标
1了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
2会已知作三角形的内切圆（重点）
3 通过探究作三角形的内切圆的过程，归纳内心的性质，进一步提高归纳能力与作图能力。
二、知识准备
1、复习直线和圆的位置关系，回忆相关内容（2分钟）：
直线和圆的位置关系有哪些？它们所对应的数量关系又是怎样的？
判断直线与圆相切有哪些方法？
2、复分线的性质和判定定理（1分钟）
三、学习内容（25分钟）
活动一：操作与思考
Ⅰ操作：
1如图（一），点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线。
2如图（二），点D、E、F在⊙O上，分别过点D、E、F作⊙O的切线，3条切线两两相交于点A、B、C。
Ⅱ思考：这样得到的△ABC，它的各边都与⊙O＿＿＿＿，圆心O到各边的距离都＿＿＿。反过来，如果已知△ABC，如何作⊙O，使它与△ABC的三边都相切呢？
活动二：思考操作：已知：△ABC；求作：⊙O，使它与△ABC的各边都相切。
归纳：与三角形各边都相切的圆叫做＿＿＿＿＿＿＿＿；
内切圆的圆心叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
活动三：例题分析
例：如图在△ABC中，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数。
四、知识梳理（2分钟）
1、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆；
内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、内心的性质：
3、如何△ABC的内切圆？
五、达标检测：
1、从三角形木板裁下一块圆形的木板，怎样才能使圆的面积尽可能大？（5分钟）
2、下列说法中，正确的是（ ）。
A垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B 圆有且只有一个外切三角形
C三角形有且只有一个内切圆， D三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等
3、如图，PA,PB,分别切⊙O于点A,B,∠P=70°，∠C等于 。
4、已知点I为△ABC的内心，且∠ABC=50°,∠ACB=60°,∠BIC= 。
4 在⊿ABC中，∠A=50°
（1）若点O是⊿ABC的外心，则∠BOC= .
(2) 若点O是⊿ABC的内心，则∠BOC= .
5 已知：如图，⊿ABC 求作：⊿ABC的内切圆。
作法：
6 已知：如图，⊙O与⊿ABC各边分别切于点D,E,F，且∠C=60°,∠EOF=100°，求
∠B的度数。
3.6圆和圆的位置关系 （1）
一、学习目标
知识目标：了解圆与圆之间的几种位置关系；了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
能力目标：经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力；通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．
情感与价值观目标：通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．
二、知识准备
1.圆与圆的位置关系有 .
2.如果两圆的半径分别为R、r,圆心距为d,则
两圆外离 ________________
两圆外切 ________________
两圆相交 ________________
两圆内切 ________________
两圆内含 ________________
3.如果两圆的半径为5、9，圆心距为3，那么两圆的位置关系是 （ ）
A 外离 B 相切 C 相交 D 内含
4．⊙O 和⊙O`相内切，若OO`=3，⊙O的半径为7，则⊙O` 的半径为 （ ）
A 4 B 6 C 0 D 以上都不对
三、学习内容
学生可在理解点和圆、圆和圆的位置关系的基础上，类比出圆和圆的五种位置关系。
再通过例题巩固其几种位置关系还可引申：
已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径．
分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3的半径为r，则O1O3=O2O3＝R+r，连接OO3就有OO3⊙O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r.
四、知识梳理
1．圆和圆的五种位置关系是 ；
2．探讨圆和圆的五种位置关系圆心距d与R和r之间的关系。
五、达标检测
1、如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（ ）．
A.内切、相交 B.外离、相交
C.外切、外离 D.外离、内切
2、已知两圆的半径分别为3cm和2cm，圆心距为5cm，则两圆的位置关系是（ ）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
3、完成表格
位置关系 图形 交点个数 d与R、r的关系
4、若⊙O1与⊙O2的半径分别为4和9，根据下列给出的圆心距d的大小，写出对应的两圆的位置关系：(1)当d=4时，两圆______ ; (2)当d=10时，两圆______ ;
(3)当d=5时，两圆_______;(4)当d=13时，两圆_______; (5)当d=14时，两圆_______.
5、已知定圆O的半径为2cm，动圆P的半径为1cm.
（1）设⊙P与⊙O相外切，那么点P与点O之间的距离是多少？点P应在怎样的图形上运动？（2）设⊙P与⊙O相内切，情况又怎样？
6、⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4cm，若两圆外切，则d＝_____；若两圆内切；d＝____．
7、两圆的半径分别为10 cm和R、圆心距为13 cm，若这两个圆相切，则R的值是____.
8、半径为5 cm的⊙O外一点P，则以点P为圆心且与⊙O相切的⊙P能画_______个．
9、两圆半径之比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4 cm，则两圆外切时圆心距的长为_____．
10、两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时圆心距是5，两圆的半径分别是____、____
11、两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 .
12、已知O1与O2的半径分别为R,r(R>r),圆心距为d,且两圆相交,判定关于x的一元二次方程x2—2（d—R）x+r2=0根的情况
13、已知：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，半径分别为4cm、3cm，公共弦AB=4cm，求圆心距的长。
3.6圆和圆的位置关系（二）
一、学习目标
知识目标：掌握相交两圆,相切两圆的性质。
能力目标：探索相交两圆,相切两圆的性质，发展学生的识图能力和动手操作能力．
情感与价值观目标：体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
二、知识准备
1.圆是_____________图形,它的对称轴为__________________.
2.相交两圆是_______________图形,其对称轴为____________________.
3.轴对称的性质:(1)________________________________________
(2)________________________________________
4.如图,两圆的位置关系是_____________________
两圆的连心线OO'与公共弦AB的关系是_________________________(可在纸上画出此图,看看A、B两点的关系)
三、学习内容
1、由两个圆组成的图形是 图形，
它的对称轴是 ；
2、由两个圆组成的图形是轴对称图形可知：
①当两个圆相切时，切点一定在 上；
②当两个圆相交时（如图），连心线与公共弦的关系是 。
四、知识梳理
1、
2、两圆相交常引辅助线有：(1)公共弦；(2)连心线；(3)构造由半径、公共弦的一半组成的直角三角形．
五、达标检测
1、已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过点O2．求∠O1AB的度数．
2、已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，半径分别为4cm、3cm，公共弦AB=4cm，求圆心距的长。
3、已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，AC为⊙O1的直径，直线CB交⊙O2于点D，⑴如图①，求证：AD是⊙O2的直径；⑵若AC=AD，如图②，求证：四边形O1CBO2是平行四边形。
①
②
4、如图，用半径R=3cm，r=2cm的钢球测量口小内大的内孔的直径D。测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a=4cm，b=2cm，则内孔直径D的大小多少？
3.7正多边形和圆
一、学习目标：
1.使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系，
2.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形，
3.能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形。
4.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念
5.学生培养学生对图形美的欣赏能力，让学生到生活中去发现美。
二、知识准备
1在理解感知圆和正多边形的基础上，理解正多边形与圆的关系，会用量角器画正多边形，会用直尺和圆规画特殊的正多边形。
2通过观察大量的实物图形理解归纳这些图形的共同特征引出正多边形的概念。
三、学习内容
为了把握重点，突破难点，在理解正多边形的基础上，通过三个层次理解正多边行与圆的关系。首先学生理解概念，然后分析发现正多边形与圆的关系。在理解的基础上，学会画正多边形
可作如下设计：正多边形的概念：
（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
（2）概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？
问题：图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。）
思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？
问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。
思考：如何作正三角形、正十二边形？
拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．
求证：五边形ABCDE是正五边形．
拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形
相关概念
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．
四、知识梳理
1、————————————————————————叫正多边形
2、正多边性与圆的关系是———————————————————。
3正多边形的对称性———————————————————————————————————————————————————————。
五、达标检测
（一）、判断
1.各边相等的多边形是正多边形（ ）
2.各角相等的多边形是正多边形（ ）
3.正十边形绕其中心旋转36°和本身重合（ ）
（二）、填空
1、正多边形都是 对称图形，一个正n边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是 ，
又是 对称图形。
2、正十二边形的每一个外角为 °每一个内角是 °该图形绕其中心至少
旋转 °和本身重合
3、用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小
应为__________ cm
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
5、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
6、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
7、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
（三）解答题
1、设一直角三角形的面积为8㎝2，两直角边长分别为x㎝和y㎝.
（1）写出y(㎝)和x(㎝)之间的函数关系式
（2）画出这个函数关系所对应的图象
（3）根据图象，回答下列问题：
① 当x =2㎝时，y等于多少？
② x为何值时，这个直角三角形是等腰直角三角形？
2、已知三角形的两边长分别是方程 的两根，第三边的长是方程 的根，求这个三角形的周长。
3、如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．
（1）求证：OP∥CB；
（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．
3.8弧长和扇形的面积
一、学习目标
1.认识扇形，会计算弧长和扇形的面积
2.通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。
3.通过对弧长和扇形的面积的运用，培养学生运用数学解决问题的成功经验和方法，树立学习数学的自信心。
二、知识准备
1、学生在理解感知圆和扇形的基础上认识掌握弧长和扇形的面积，为下面学习圆锥的知识作好铺垫。学生通过对弧长和扇形的理解去获取知识。
2、（1）小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？
（2）我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？
三、学习内容
活动一 探索弧长计算公式
如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗 （取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的,所以铁轨的长度≈ （米）.
问题：上面求的是的圆心角所对的弧长，若圆心角为，如何计算它所对的弧长呢？
请同学们计算半径为，圆心角分别为、、、、所对的弧长。
因此弧长的计算公式为
__________________________
练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
活动二 探索扇形的面积公式
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形
问：右图中扇形有几个？
同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为的扇形面积是圆
面积的几分之几？进而求出圆心角的扇形面积。
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为
___ .
因此扇形面积的计算公式为
———————— 或 ——————————
练习:
四、知识梳理
1、—————————————————————————叫扇形
2、弧长的计算公式是 —————————————扇形面积的计算公式是————————————————————。
五、达标检测
1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；2、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_________°.
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________
4、如图，PA、PB切⊙O于A、B，求阴影部分周长和面积。
5、如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四个扇形的面积和是多少？
6、一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度是多少？
7、圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．
8、已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。设弦AB的长为d，圆环面积S与d之间有怎样的数量关系？
9、如图，正三角形ABC的边长为2,分别以A、B、C为圆心，1为半径画弧，与△ABC的内切圆O围成的图形为图中阴影部分。求阴影。
10、如图，扇形OAB的圆心角是90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，则 两部分图形面积的大小关系是什么？
3.9圆锥的侧面积和全面积
一、学习目标
(一)学习知识点
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
(二)能力训练要求
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．
2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．
(三)情感与价值观要求
1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．
2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．
学习重点
1. 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
学习难点
经历探索圆锥侧面积计算公式．
二、知识准备
1、一段长为2的弧所在的圆半径是3，则此扇形的圆心角为_________，扇形的面积为_________。
2、如图，PA、PB切⊙O于A、B，求阴影部分周长和面积。
三、学习内容
1、圆锥的侧面展开图的形状
2、圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全=πr2+πrl．
四、知识梳理
1、———————————————————————叫圆锥的母线。
2、————————————————————————叫圆锥的高
3、圆锥的侧面积计算公式是————————，——————————————叫圆锥的全面积。
圆锥的全面积计算公式是————————。
五、达标检测
1．圆锥母线长5 cm，底面半径为3 cm，那么它的侧面展形图的圆心角是…( )
A．180° B．200° C. 225° D．216°
2．若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( )
A．180° B. 90°
C．120° D．135°
3．在半径为50 cm的图形铁片上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制做成一个底面直径为80 cm，母线长为50 cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角的度数为( )
A．288° B．144° C．72° D．36°
4．用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为 ( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
5.已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
（A）12.5厘米（B）25厘米（C）50厘米（D）75厘米
6.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）
(A）60° （B）90° （C）120°（D）180°
7.若圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积是________
8.若圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度.
9.已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2 。(1）扇形的弧长= ；（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是
10.圆锥的母线为13cm，侧面展开图的面积为65πcm2，则这个圆锥的高为 .
11.△BAC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，以AC所在的直线为轴将△ABC旋转一周得一个几何体，这个几何体的表面积是多少？
数学活动——制作冰淇淋纸筒
学习目标
1、知识与技能：巩固圆锥体的侧面展开图的有关计算。
2、过程与方法：制作圆锥形的冰淇淋纸筒的过程，发展应用意识。
3、情感态度与价观：在小组合作的基础上，发展应用意识、合作意识和创造能力。
学习重点：巩固圆锥侧面积计算公式。
学习难点：制作圆锥形的冰淇淋纸筒的过程，发展应用意识。
知识准备：
1、制作一个冰淇淋纸筒的模型
2、复习圆锥的有关公式
3、分小组准备：纸板、彩笔、胶水、剪刀、圆规。
一、学习内容
1、圆锥的基本概念
在下图的圆锥中，连接圆锥的顶点S和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线、连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高
2、圆锥中的各个元素与它的侧面展开图----扇形的各个元素之间的关系图中，将圆锥的侧面沿母线剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r,这个扇形的半径等于什么？扇形的弧长等于什么？
3、圆锥侧面积计算公式
从图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，
S=·2π·=π
4、活动探究
（1）观察想象：观察如图所示的圆锥形的冰淇淋纸筒，画出其侧面展开图
（2）如果该圆锥形的冰淇淋纸筒的母线长为8cm，底面圆的半径为5cm,你能算出扇形的圆心角的度数吗？
（说明：如果有条件，可以让同学搜集冰淇淋纸筒，现场展开体会。本环节主要通过具体例子进一步巩固圆锥体的侧面展开图和圆锥体的各要素之间的对应关系）
动手制作
小组合作，制作母线长为12，底面半径是的圆锥形的冰淇淋纸筒，在表面设计图案，设计产品名称，最后在班级集体交流，推销自己的产品。
（说明：本环节是本节课的主要活动，学生以小组为单位，经历计算、剪裁、设计过程，发展学生的实践能力和创造力）
知识梳理
1、圆锥的侧面展开图是一个
2、圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长.
3、圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
4、圆锥的侧面积公式
5、圆锥的全面积(或表面积)
三、达标测试
1、将直径为64cm的圆形铁皮，做成四个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（ ）
A.8cm B. cm C. cm D.16 cm
2、现有一圆心角为90°，半径为8 cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A.4 cm B .3cm C.2 cm D.1 cm
3、已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面半径长的比是＿.
4、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一直小蚂蚁从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是多少？
5、将半径为30厘米的薄鉄圆板沿三条半径截成全等的三个扇形，做成三个圆锥筒（无底），求圆锥筒的高（不计接头）。
初三数学圆复习(安排3课时)
本次我们一起来复习几何的最后一章——圆.该章是中考中考查知识点最多的一章之一.本章包含的知识的变化、所含定义、定理是其它章节中所不能比的.本章分为四大节:1.圆的有关性质;2.直线和圆的位置关系;3.圆和圆的位置关系;4.正多边形和圆.
一、基本知识和需说明的问题:
(一)圆的有关性质,本节中最重要的定理有4个.
1.垂径定理:本定理和它的三个推论说明: 在(1)垂直于弦（不是直径的弦）;(2)平分弦;(3)平分弦所对的弧;(4)过圆心(是半径或是直径)这四个语句中,满足两个就可得到其它两个的结论.如垂直于弦（不是直径的弦）的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧。条件是垂直于弦（不是直径的弦）的直径，结论是平分弦、平分弧。再如弦的垂直平分线,经过圆心且平分弦所对的弧。条件是垂直弦,、分弦,结论是过圆心、平分弦.
应用:在圆中,弦的一半、半径、弦心距组成一个直角三角形,利用勾股定理解直角三角形的知识,可计算弦长、半径、弦心距和弓形的高.
2.圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理：在同圆和等圆中, 圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中有一组量相等,则其它各组量均相等.这个定理证弧相等、弦相等、圆心角相等、弦心距相等是经常用的.
3.圆周角定理：此定理在证题中不大用,但它的推论,即弧相等所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,圆周角相等,弧相等.直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,都是很重要的.条件中若有直径,通常添加辅助线形成直角.
4.圆内接四边形的性质:略.
(二)直线和圆的位置关系
1.性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.(有了切线,将切点与圆心连结,则半径与切线垂直,所以连结圆心和切点,这条辅助线是常用的.)
2.切线的判定有两种方法.
①若直线与圆有公共点,连圆心和公共点成半径,证明半径与直线垂直即可.
②若直线和圆公共点不确定,过圆心做直线的垂线,证明它是半径(利用定义证)。根据不同的条件,选择不同的添加辅助线的方法是极重要的.
3.三角形的内切圆:内心是内切圆圆心,具有的性质是:到三角形的三边距离相等,还要注意说某点是三角形的内心.
连结三角形的顶点和内心,即是角平分线.
4.切线长定理:自圆外一点引圆的切线，则切线和半径、圆心到该点的连线组成直角三角形,还要注意, A
O D P
B
(三)圆和圆的位置关系
1.记住5种位置关系的圆心距d与两圆半径之间的相等或不等关系.会利用d与R,r之间的关系确定两圆的位置关系,会利用d,R,r之间的关系确定两圆的位置关系.
2.相交两圆,添加公共弦,通过公共弦将两圆连结起来.
(四)正多边形和圆
1、弧长公式
2、扇形面积公式
3、圆锥侧面积计算公式
S=·2π·=π
二、达标测试
判断题
直径是弦.( )
半圆是弧,但弧不一定是半圆. ( )
到点O的距离等于2cm的点的集合是以O为圆心,2cm为半径的圆. ( )
过三点可以做且只可以做一个圆. ( )
三角形的外心到三角形三边的距离相等. ( )
经过弦的中点的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弧. ( )
经过圆O内一点的所有弦中,以与OP垂直的弦最短. ( )
弦的垂直平分线经过圆心. ( )
⊙O的半径是5,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则两弦间的距离是1. ( )
10.在半径是4的圆中,垂直平分半径的弦长是.( )
11.任意一个三角形一定有一个外接圆且只有一个外接圆. ( )
(二)填空题:
1.已知OC是半径,AB是弦,AB⊥OC于E,CE=1,AB=10,则OC=______.
2.AB是弦,OA=20cm,∠AOB=120°,则S△AOB=______.
3.在⊙O中,弦AB,CD互相垂直于E,AE=2,EB=6,ED=3,EC=4,则⊙O的直径是______.
4.在⊙O中弦AB,CD互相平行,AB=24cm,CD=10cm,且AB与CD之间的距离是17cm,则⊙O的半径是______cm.
5.圆的半径是6cm,弦AB=6cm,则劣弧AB的中点到弦AB的中点的距离是______cm.
6.在⊙O中,半径长为5cm,AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB,CD之间的距离是______cm.
7.圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:6,则四边形的最大角是______度.
8.在直径为12cm的圆中,两条直径AB,CD互相垂直,弦CE交AB于F,若CF=8cm,则AF的长是______cm.
9.两圆半径长是方程的两根,圆心距是2,则两圆的位置关系是______.
10.正三角形的边长是6㎝,则内切圆与外接圆组成的环形面积是______C㎡.
11.已知扇形的圆心角是120°,扇形弧长是20,则扇形=______.
12.已知正六边形的半径是6,则该正六边形的面积是______.
13.若圆的半径是2cm,一条弦长是,则圆心到该弦的距离是______.
14.在⊙O中,弦AB为24,圆心到弦的距离为5,则⊙O的半径是______cm.
15.若AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,AE=9cm,BE=16cm,则CD=______cm.
16.若⊙O的半径是13cm,弦AB=24cm,弦CD=10cm,AB∥CD,则弦AB与CD之间的距离是______cm.
17.⊙O的半径是6,弦AB的长是6,则弧AB的中点到AB的中点的距离是______
18.已知⊙O中,AB是弦,CD是直径,且CD⊥AB于M.⊙O的半径是15cm,OM:OC=3:5,则AB=______.
19.已知O到直线l的距离OD是cm,l上一点P,PD=cm.⊙O的直径是20,则P在⊙O______.
(二)解答题
已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE切⊙O于C,AD⊥CE,垂足是D,
求证:AC平分∠BAD.
B
O
A
E C D
已知AB是⊙O的直径,P是⊙O外一点,PC⊥AB于C,交⊙O于D,PA交⊙O于E，PC交⊙O于D，交BE于F。求证:CD2=CF·CP P
E D
F
A O C B
3.如图:⊙O的直径AB⊥CD于P,AP=CD=4cm,求op的长度。
·
A
B
C
E
F
M
O
O(O’)
B’
A’
B
A
O’
D
C
O
B
A
︵
︵
C
1
2
A
B
D
AC = =
BD
ｏ
A
B
E
F
M
C
D
O
第2题
第1题
第1题
第2题
第5题
第6题
A
B
O
O'
C
P
O
B
A
D
一、学习目标：
1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义.
2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系
3、初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题.
学习重难点：会确定点和圆的位置关系.
二、知识准备：
1、说出几个与圆有关的成语和生活中与圆有关的物体。
思考：车轮为什么做成圆形？
2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？
三、学习内容：
1、圆的定义：_______________ （运动的观点）
2、画圆并体会确定一个圆的两个要素是 和
3、点和圆的位置关系
量一量（1）利用圆规画一个⊙O，使⊙O的半径r=3cm.
（2）在平面内任意取一点P，点与圆有哪几种位置关系？若⊙O的半径为r，
点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆 d r
点P在圆 d r
点P在圆 d r
4、圆的集合定义（集合的观点）
（1）思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？
（2）圆是到定点距离 定长的点的集合.圆的内部是到 的点的集合；圆的外部是 的点的集合 。
（3）想一想：角的平分线可以看成是哪些点的集合？线段的垂直平分线呢？
四、尝试与交流
已知点P、Q，且PQ=4cm，⑴画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合。⑵在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来。⑶在所画图中，到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来。
五、知识梳理
1、圆的定义。
2、点与圆的位置关系。
六、达标测试
1、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A 。
2、已知⊙O的半径为5cm.(1)若OP=3cm，那么点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ；(2)若OQ= cm，那么点Q与⊙O的位置关系是：点Q在⊙O上；
(3)若OR=7cm，那么点R与⊙O的位置关系是：点R在⊙O .
3、⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 。
4、⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在 ；当OP 时点P在圆内；当OP 时，点P不在圆外。
5、到点P的距离等于6厘米的点的集合是___________________________________
6、已知AB为⊙O的直径P为⊙O 上任意一点，则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为( ) (A)在⊙O内 (B)在⊙O 外 (C)在⊙O 上 (D)不能确定
6、如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米（直接写出答案）
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
7、如图，在直角三角形ABCD中，角C为直角，AC=4，BC=3，E，F分别为AB，AC的中点。以B为圆心，BC为半径画圆，试判断点A，C，E，F与圆B的位置关系。
8、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．
3.1圆 (2 )
一、学习目标
1、理解圆的有关概念
2、了解“同圆或等圆的半径相等”并能用之解决问题．
3、体验圆与直线形的联系
学习重难点：圆与直线形的联系运用
二、知识准备
前一节课学习了圆的有关概念,探索了点与圆的位置关系.这一节课将进一步学习与圆有关的概念,为今后研究圆的有关性质打好基础.
三、 知识梳理
与圆有关概念
(1)请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；
_________________________________叫做直径.
(2)弧、半圆、优弧与劣弧的概念及表示方法.弧：___ _
半圆：_________________ 优弧：___________ _ 表示方法：
劣弧：______________________________ _,表示方法：______
(3)借助图形理解圆心角、同心圆、等圆.圆心角:______________________________
同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _.
(4) 同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________
四、典型例题
例1、如图点A、B和点C、D分别在两个同心圆上,且∠AOB=∠COD. ∠C与∠D相等吗 为什么
例2如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.
求证：OC=OD.
七、 达标检测
一 判断：
1 直径是弦，弦是直径。 （ ）
2 半圆是弧，弧是半圆。 （ ）
3 周长相等的两个圆是等圆。 （ ）
4 长度相等的两条弧是等弧。 （ ）
5 同一条弦所对的两条弧是等弧。（ ）
6 在同圆中，优弧一定比劣弧长。（ ）
二 、解答
1、如图,CD是⊙O的直径,∠EOD=84°,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.
2、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，
若OD=4，求BC。
3、 如图, AB是⊙O的直径,点C在⊙O上, CD⊥AB, 垂足为D, 已知CD=4, OD=3, 求AB的长.
4、 如图, AB是⊙O的直径, 点C在⊙O上, ∠A=350, 求∠B的度数.
C
A B
5、如图,CD是⊙O的直径,∠EOD=84°,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.
3.2 圆的对称性（1）
一、学习目标
1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程
2、理解圆的中心对称性及有关性质
3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题
重点：理解圆的中心对称性及有关性质
难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题
二、知识准备：
1、什么是中心对称图形
2、我们采用什么方法研究中心对称图形
三、学习内容：
1、按照下列步骤进行小组活动：
⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O
⑵在⊙O和⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠，连接AB、
⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O重合（如图）
⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA重合
在操作的过程中，你有什么发现？___________________________
2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？你能够用文字语言把你的发现表达出来吗
3、圆心角、弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
4、试一试：如图，已知⊙O、⊙O半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O的两条弦填空：
（1）若AB=CD，则 ，
（2）若AB= CD，则 ，
（3）若∠AOB=∠COD，则 ，
5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？
弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC，∠ABC与∠BAC相等吗？
为什么？
例题2、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？
四、知识梳理：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
五、达标检测：
1、画一个圆和圆的一些弦，使得所画图形满足下列条件：
（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）既是轴对称图形，又是中心对称图形。
2、1.如图,在⊙O中, = ,∠1=30°,则∠2=_______
3. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。
4. ⊙O中，直径AB∥CD弦，，则∠BOD=______。
5. 在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为
6.如图，AB是直径，＝＝，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是 。
7.已知，如图，AB是⊙O的直径，M,N分别为AO,BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N。求证：AC=BD
3.2 圆的对称性（2）
一、学习目标
1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程2、掌握垂径定理
3、会运用垂径定理解决有关问题
重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的应用
二、知识准备：
1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_________，这条直线叫做______。
2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。
三、学习内容：
1、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？
结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
练习：1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
2、将第二个图中的直径AB改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？
探索活动：1、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折，你发现了什么？
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
3、得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；
②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
5、给出几何语言
例1、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？
例 2 如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。
⑴求⊙O的半径； ⑵若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。
四、知识梳理：
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，
且平分弦所对的弧等。
五、达标检测：
1、 如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD=_____
2、已知，如图 ，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5, =,则 CD的长为 。
3. 如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M．则有AM=_____， _____= ， ____= ．
T3 T4 T5 T6
4.过⊙O内一点P作一条弦AB，使P为AB的中点.
5.⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为 CM.
6.如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半为 ．
7.⊙O的弦AB为5cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___
8.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm和5cm，则圆心到这条弦的距离为 CM
9.在半径为5的圆中,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB和CD的距离为 .
10. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：
⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，
求水面涨高了多少？
11.（1）“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如上图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为________．
（2）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是 毫米。
3.3圆周角（1）
一、学习目标
理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题
学习重点：圆周角及圆周角定理学习难点：圆周角定理的应用
二、知识准备
1、 叫圆心角。
2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的 度数。
三、学习内容
活动一 操作与思考
如图，点A在⊙O外，点B1 、B2 、B３在⊙O上，
点C在⊙O内，度量∠A、∠B1 、∠B2 、∠B３ 、
∠C的大小，你能发现什么？
∠B1 、∠B2 、∠B３有什么共同的特征？ 。
归纳得出结论，顶点在_______，并且两边_______________________的角叫做圆周角。
强调条件：①_______________________，②___________________________。
识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．
活动二 （观察与思考）如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC的度数．
通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．试证明这个结论：（学生完成）
活动三 （思考与探索）１.如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。
2.思考与讨论
（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？
（2）设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC＝∠BOC还成立吗？试证明之．
通过上述讨论发现： 。
3.尝试练习
（一）如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C
所在直线的同侧，∠BAC=350
(1)∠BDC=_______°,理由是 ．
(2)∠BOC=_______°,理由是 ．
（二）如图，点A、B、C在⊙O上，
(1) 若∠BAC=60°，求∠BOC=____°;
(2) 若∠AOB=90°,求∠ACB=____°.
4、例题：
如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。
四、知识梳理
1、顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；
2、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。
3、强调圆周与圆心角之间的关系是通过弧联系起来的，做题时学会找弧及弧所对的圆心角和圆周角。
五、达标检测
1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．
2、如图，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB，交⊙O于E。图中哪些与∠BOC相等？请分别把它们表示出来.
3、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，求∠ABD的度数.
4、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______，∠OAB=_____。
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来：
___________________________________________________.
5、如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。
6、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有______________________。
7、如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC的形状，并说明理由.
8、人们常用“一字之差，差之千里”来形容因一点小小的差别，往往会给问题本身带来很大的区别。在数学中，这样的例子比比皆是，下面两句话，先请你找出其中微小的区别，然后再比较解决问题的结果：
(1)在⊙O中，一条弧所对的圆心角是120°，该弧所对的圆周角是多少度？
(2)在⊙O中，一条弦所对的圆心角是120°，该弦所对的圆周角是多少度？
3.3圆周角（2）
一、学习目标
1．知识与技能：掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题.
2．过程与方法：经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.
3．情感态度与价值观：激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活.
学习重点：圆周角的性质
学习难点：圆周角性质的应用
二、知识准备
（一）、知识再现：
1．如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则
（1）∠BOC= °,理由是 ；
（1）∠BDC= °,理由是 .
2.如图，在△ABC中，OA=OB=OC,则∠ACB= °.
意图：复习圆周角的性质及直角三角形的识别方法.
（二）、预习检测：
1.如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB= °,
∠DAB= °.
2. 如图，AB是⊙O的直径，若AB=AC，求证：BD=CD.
三、学习内容
1.如图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，
还是直角？为什么？
2.如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？
3.归纳自己总结的结论：
（1）
（2）
注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；
（2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视.
4、例题分析
例题1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，
∠ADC=50°,求∠CEB的度数.
【解析】利用直径所对的圆周角是直角的性质
例题2.如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径.△ABE与△ACD相似吗？为什么？
利用直径所对的圆周角是直角的性质解题.
变式：如图，△ABF与△ACB相似吗？
例题3. 如图， A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，
∠CAD=∠EAB,AE是⊙O的直径吗？为什么？
【解析】 利用 90°的圆周角所对的弦是直径.
四、知识梳理
1.两条性质： 。
2. 直径所对的圆周角是直角是圆中常见辅助线.
五、达标检测
1、如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.
2、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.
3、如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD，判断△ABC的形状：__________。
4、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°,则AC的度数是( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
5、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB. 弧BD与弧BE相等吗？为什么？
6、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E，AC=10,求AE的长.
7、如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD的长.
8、利用三角尺可以画出圆的直径，为什么？你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？
9如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长。
10、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，P是C D上的任意一点(不与点C、D重合)，∠APC与∠APD相等吗？为什么？
11、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=6, ∠DCB=30°，求弦BD的长。
12、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，D是AC的中点，BD交AC于点E，△CDE与△BDC相似吗？为什么？
13、如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D。求BC和AD的长
3.4确定圆的条件
一、学习目标
了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
学习重点：了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
学习难点：培养学生动手作图的准确操作的能力。
二、知识准备
1、确定一个圆需要几个要素？
2、经过平面内一点可以作几条直线？过两点呢？三点呢？（
3、在平面内过一点可以作几个圆？经过两点呢？三点呢？
4、已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎。
三、学习内容
问题1:经过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？(作出图形)
问题2:经过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？（据分析作出图形）
问题3: 经过三点,是否可以作圆,如果能作,可以作几个
问题4:经过三点一定就能够作圆吗 若能作出，若不能，说明理由.
总结自己发现的结论;
引导学生观察这个圆与的顶点的关系，得出：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形
练习1：按图填空：（1）是⊙O的_________三角形；
（2）⊙O 是的_________圆，
练习2：判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（ ）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（ ）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（ ）
（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（ ）
（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（ ）
练习3：钝角三角形的外心在三角形（ ）
（A）内部 （B）一边上 （C）外部 （D）可能在内部也可能在外部
四、知识梳理
1. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2．（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
3．
五、达标检测
1、一个三角形能画 个外接圆，一个圆中有 个内接三角形。
2、分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆；并分别指出三角形的外心所在的位置。
3.三角形的外心是 的交点。外心具备的性质是
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.求Rt△ABC的外接圆的半径和面积。
5、（１）作四边形ABCD，使∠A=∠C=90°;
（２）经过点A、B、D作⊙O，⊙O是否经过点C？你能说明理由么？
6.经过一点作圆可以作 个圆；经过两点作圆可以作 个圆，这些圆的圆心在这两点的 上；经过 的三点可以作
个圆，并且只能作 个圆。
7.三角形的外心是三角形的 的圆心，它是三角形的 的交点，它到 的距离相等。
8.Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=6cm,BC=8cm,则其外接圆的半径为 。
9.等边三角形的边长为a,则其外接圆的半径为 .
10.已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 无数
11.如图，平原上有三个村庄A，B，C，现计划打一水井P，使水井到三个村庄的距离相等。在图中画出水井P的位置。
。A
。B
C．
12.活动与探究：
如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用
这样的工具找到圆形工件的圆心？
3.5直线与圆的位置关系（1）
一、学习目标
（1）经历探索直线与圆的位置关系的过程，感受类比、转化、数形结合等数学思想，学会数学地思考问题
（2）理解直线和圆的三种位置关系————相交，相离，相切。
（3）会正确判断直线和圆的位置关系。（重、难点）
二、知识准备（3分钟）
1、复习点与圆的位置关系，回答问题：如果设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，请你用d与r之间的数量关系表示点P与⊙O的位置关系。
2、欣赏《海上日出》图片，谈谈你的感受.
三、学习内容（25分钟）
活动一：操作思考
操作：请你画一个圆，上、下移动直尺。
思考：在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？请你描述这种变化。
讨论：①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系②直线与圆的公共点个数有何变化？
2、直线与圆有＿＿＿＿种位置关系：
▲直线与圆有两个公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿ 。
▲直线与圆有惟一公共点时，叫做＿＿＿＿，这条直线叫做 这个公共点叫做＿
▲直线和圆没有公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
活动二：观察、思考
1、下图是直线与圆的三种位置关系，请观察垂足D与⊙O的三种位置关系，说出这三种位置关系同直线与圆的三种位置关系的联系。
2、探索：若⊙O半径为r， O到直线l的距离为d，则d与r的数量关系和直线与圆的位置关系：①直线与圆 d r，
②直线与圆 d r ，
③直线与圆 d r。
活动三：例题分析
例1：在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2 (2)r=2 (3)r=3
四、知识梳理
1、直线与圆有＿＿＿种位置关系，分别是 、 、 。
2、若⊙O半径为r， O到直线l的距离为d，则d与r的数量关系和直线与圆的位置关系： ①直线与圆 d r，
②直线与圆 d r ，
③直线与圆 d r。
五、达标检测一
1、在△ABC中，AB＝5cm,BC=4cm,AC=3cm,
（1）若以C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系如何？
（2）若直线AB与半径为r的⊙C相切，求r的值。
（3）若直线AB与半径为r的⊙C相交，试求r的取值范围。
2、 圆O的直径4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与圆O的位置关系是（ ）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）相切或相交
3、直线上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
（A） 相切 （B） 相交 （C）相离 （D）相切或相交
4、直角三角形ABC中，∠C=900，AB=10，AC=6，以C为圆心作圆C，与AB相切，则圆C的半径为（ ）（Ａ）８ （Ｂ）４ （Ｃ）９.6 (D)4.8
5、在直角三角形ＡＢＣ中，角Ｃ＝９００，ＡＣ＝６厘米，ＢＣ＝８厘米，以Ｃ为圆心，为r半径作圆，当（１）r＝２厘米 ，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是 ，
（２）r＝4.8厘米，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是 ，
（３）r＝５厘米，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是 。
６、已知圆Ｏ的直径是１０厘米，点Ｏ到直线Ｌ的距离为d.
若Ｌ与圆Ｏ相切，则d ＝_________厘米
若d ＝４厘米，则Ｌ与圆Ｏ的位置关系是_________________
若d ＝６厘米，则Ｌ与圆Ｏ有___________个公共点.
7、已知圆Ｏ的半径为r，点Ｏ到直线Ｌ的距离为５厘米。
（1）若r大于５厘米，则Ｌ与圆Ｏ的位置关系是______________________
（2）若r等于２厘米，Ｌ与圆Ｏ有________________个公共点
（3）若圆Ｏ与Ｌ相切，则r＝____________厘米
8、已知Rt△ABC的斜边AB＝6cm,直角边AC＝3cm,以点C为圆心，半径分别为2cm和4cm画两圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？当半径多长时，AB与⊙C相切？
9、如图，∠AOB=30°,点M在OB上，且OM=5cm，以M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画⊙M和射线OA的公共点个数之间的对应关系。
3.5直线与圆的位置关系（2）
一、学习目标
1. 了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系
2. 能判定一条直线是否为圆的切线（重、难点）
3. 会过圆上一点画圆的切线
二、知识准备（3分钟）
复习直线和圆的位置关系，回忆相关内容：
1、直线和圆的位置关系有哪些？它们所对应的数量关系又是怎样的？
2、判断直线和圆的位置关系有哪些方法？特别地，判断直线与圆相切有哪些方法？
三、学习内容（25分钟）
活动一：探索直线与圆相切的另一个判定方法
如图，⊙O中，直线l经过半径OA的外端，点A作且直线l⊥OA，
你能判断直线l与⊙O的位置关系吗？你能说明理由吗？
结论：____________________________________。（总结判断直线与圆相切的方法）
活动二：思考探索；如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，
直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？
活动三：例题分析
例1：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，
若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。
四、知识梳理
1、判断直线与圆相切有哪些方法？
2、直线与圆相切有哪些性质？
3、在已知切线时，常作什么样的辅助线？
五、达标检测一
1、如图AB为⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，与AB相交于点C，求证：BD＝CD。
2、如图①，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点D。图中互余的角有（ ）A 1对 B 2对 C 3对 D 4对
3、如图②，PA切⊙O于点A，弦AB⊥OP，弦垂足为M，AB=4,OM=1,则PA的长为（ ）
A B C D
4、已知：如图③，直⊙O线BC切于点C，PD是⊙O的直径∠A=28°,∠B=26°,
∠PDC=
5、 如图，AB是⊙O的直径，MN切⊙O于点C，且∠BCM=38°，求∠ABC的度数。
6、如图在△ABC中AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F求证：直线DE是⊙O的切线
7、如图，AB,CD,是两条互相垂直的公路,∠ACP=45°,设计师想在拐弯处用一段圆弧形弯道把它们连接起来（圆弧在A,C两点处分别与道路相切），你能在图中画出圆弧形弯道的示意图吗？
3.5直线与圆的位置关系（3）
一、学习目标
1了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
2会已知作三角形的内切圆（重点）
3 通过探究作三角形的内切圆的过程，归纳内心的性质，进一步提高归纳能力与作图能力。
二、知识准备
1、复习直线和圆的位置关系，回忆相关内容（2分钟）：
直线和圆的位置关系有哪些？它们所对应的数量关系又是怎样的？
判断直线与圆相切有哪些方法？
2、复分线的性质和判定定理（1分钟）
三、学习内容（25分钟）
活动一：操作与思考
Ⅰ操作：
1如图（一），点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线。
2如图（二），点D、E、F在⊙O上，分别过点D、E、F作⊙O的切线，3条切线两两相交于点A、B、C。
Ⅱ思考：这样得到的△ABC，它的各边都与⊙O＿＿＿＿，圆心O到各边的距离都＿＿＿。反过来，如果已知△ABC，如何作⊙O，使它与△ABC的三边都相切呢？
活动二：思考操作：已知：△ABC；求作：⊙O，使它与△ABC的各边都相切。
归纳：与三角形各边都相切的圆叫做＿＿＿＿＿＿＿＿；
内切圆的圆心叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
活动三：例题分析
例：如图在△ABC中，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数。
四、知识梳理（2分钟）
1、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆；
内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、内心的性质：
3、如何△ABC的内切圆？
五、达标检测：
1、从三角形木板裁下一块圆形的木板，怎样才能使圆的面积尽可能大？（5分钟）
2、下列说法中，正确的是（ ）。
A垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B 圆有且只有一个外切三角形
C三角形有且只有一个内切圆， D三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等
3、如图，PA,PB,分别切⊙O于点A,B,∠P=70°，∠C等于 。
4、已知点I为△ABC的内心，且∠ABC=50°,∠ACB=60°,∠BIC= 。
4 在⊿ABC中，∠A=50°
（1）若点O是⊿ABC的外心，则∠BOC= .
(2) 若点O是⊿ABC的内心，则∠BOC= .
5 已知：如图，⊿ABC 求作：⊿ABC的内切圆。
作法：
6 已知：如图，⊙O与⊿ABC各边分别切于点D,E,F，且∠C=60°,∠EOF=100°，求
∠B的度数。
3.6圆和圆的位置关系 （1）
一、学习目标
知识目标：了解圆与圆之间的几种位置关系；了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
能力目标：经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力；通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．
情感与价值观目标：通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．
二、知识准备
1.圆与圆的位置关系有 .
2.如果两圆的半径分别为R、r,圆心距为d,则
两圆外离 ________________
两圆外切 ________________
两圆相交 ________________
两圆内切 ________________
两圆内含 ________________
3.如果两圆的半径为5、9，圆心距为3，那么两圆的位置关系是 （ ）
A 外离 B 相切 C 相交 D 内含
4．⊙O 和⊙O`相内切，若OO`=3，⊙O的半径为7，则⊙O` 的半径为 （ ）
A 4 B 6 C 0 D 以上都不对
三、学习内容
学生可在理解点和圆、圆和圆的位置关系的基础上，类比出圆和圆的五种位置关系。
再通过例题巩固其几种位置关系还可引申：
已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径．
分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3的半径为r，则O1O3=O2O3＝R+r，连接OO3就有OO3⊙O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r.
四、知识梳理
1．圆和圆的五种位置关系是 ；
2．探讨圆和圆的五种位置关系圆心距d与R和r之间的关系。
五、达标检测
1、如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（ ）．
A.内切、相交 B.外离、相交
C.外切、外离 D.外离、内切
2、已知两圆的半径分别为3cm和2cm，圆心距为5cm，则两圆的位置关系是（ ）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
3、完成表格
位置关系 图形 交点个数 d与R、r的关系
4、若⊙O1与⊙O2的半径分别为4和9，根据下列给出的圆心距d的大小，写出对应的两圆的位置关系：(1)当d=4时，两圆______ ; (2)当d=10时，两圆______ ;
(3)当d=5时，两圆_______;(4)当d=13时，两圆_______; (5)当d=14时，两圆_______.
5、已知定圆O的半径为2cm，动圆P的半径为1cm.
（1）设⊙P与⊙O相外切，那么点P与点O之间的距离是多少？点P应在怎样的图形上运动？（2）设⊙P与⊙O相内切，情况又怎样？
6、⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4cm，若两圆外切，则d＝_____；若两圆内切；d＝____．
7、两圆的半径分别为10 cm和R、圆心距为13 cm，若这两个圆相切，则R的值是____.
8、半径为5 cm的⊙O外一点P，则以点P为圆心且与⊙O相切的⊙P能画_______个．
9、两圆半径之比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4 cm，则两圆外切时圆心距的长为_____．
10、两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时圆心距是5，两圆的半径分别是____、____
11、两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 .
12、已知O1与O2的半径分别为R,r(R>r),圆心距为d,且两圆相交,判定关于x的一元二次方程x2—2（d—R）x+r2=0根的情况
13、已知：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，半径分别为4cm、3cm，公共弦AB=4cm，求圆心距的长。
3.6圆和圆的位置关系（二）
一、学习目标
知识目标：掌握相交两圆,相切两圆的性质。
能力目标：探索相交两圆,相切两圆的性质，发展学生的识图能力和动手操作能力．
情感与价值观目标：体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
二、知识准备
1.圆是_____________图形,它的对称轴为__________________.
2.相交两圆是_______________图形,其对称轴为____________________.
3.轴对称的性质:(1)________________________________________
(2)________________________________________
4.如图,两圆的位置关系是_____________________
两圆的连心线OO'与公共弦AB的关系是_________________________(可在纸上画出此图,看看A、B两点的关系)
三、学习内容
1、由两个圆组成的图形是 图形，
它的对称轴是 ；
2、由两个圆组成的图形是轴对称图形可知：
①当两个圆相切时，切点一定在 上；
②当两个圆相交时（如图），连心线与公共弦的关系是 。
四、知识梳理
1、
2、两圆相交常引辅助线有：(1)公共弦；(2)连心线；(3)构造由半径、公共弦的一半组成的直角三角形．
五、达标检测
1、已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过点O2．求∠O1AB的度数．
2、已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，半径分别为4cm、3cm，公共弦AB=4cm，求圆心距的长。
3、已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，AC为⊙O1的直径，直线CB交⊙O2于点D，⑴如图①，求证：AD是⊙O2的直径；⑵若AC=AD，如图②，求证：四边形O1CBO2是平行四边形。
①
②
4、如图，用半径R=3cm，r=2cm的钢球测量口小内大的内孔的直径D。测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a=4cm，b=2cm，则内孔直径D的大小多少？
3.7正多边形和圆
一、学习目标：
1.使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系，
2.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形，
3.能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形。
4.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念
5.学生培养学生对图形美的欣赏能力，让学生到生活中去发现美。
二、知识准备
1在理解感知圆和正多边形的基础上，理解正多边形与圆的关系，会用量角器画正多边形，会用直尺和圆规画特殊的正多边形。
2通过观察大量的实物图形理解归纳这些图形的共同特征引出正多边形的概念。
三、学习内容
为了把握重点，突破难点，在理解正多边形的基础上，通过三个层次理解正多边行与圆的关系。首先学生理解概念，然后分析发现正多边形与圆的关系。在理解的基础上，学会画正多边形
可作如下设计：正多边形的概念：
（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
（2）概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？
问题：图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。）
思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？
问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。
思考：如何作正三角形、正十二边形？
拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．
求证：五边形ABCDE是正五边形．
拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形
相关概念
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．
四、知识梳理
1、————————————————————————叫正多边形
2、正多边性与圆的关系是———————————————————。
3正多边形的对称性———————————————————————————————————————————————————————。
五、达标检测
（一）、判断
1.各边相等的多边形是正多边形（ ）
2.各角相等的多边形是正多边形（ ）
3.正十边形绕其中心旋转36°和本身重合（ ）
（二）、填空
1、正多边形都是 对称图形，一个正n边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是 ，
又是 对称图形。
2、正十二边形的每一个外角为 °每一个内角是 °该图形绕其中心至少
旋转 °和本身重合
3、用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小
应为__________ cm
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
5、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
6、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
7、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
（三）解答题
1、设一直角三角形的面积为8㎝2，两直角边长分别为x㎝和y㎝.
（1）写出y(㎝)和x(㎝)之间的函数关系式
（2）画出这个函数关系所对应的图象
（3）根据图象，回答下列问题：
① 当x =2㎝时，y等于多少？
② x为何值时，这个直角三角形是等腰直角三角形？
2、已知三角形的两边长分别是方程 的两根，第三边的长是方程 的根，求这个三角形的周长。
3、如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．
（1）求证：OP∥CB；
（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．
3.8弧长和扇形的面积
一、学习目标
1.认识扇形，会计算弧长和扇形的面积
2.通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。
3.通过对弧长和扇形的面积的运用，培养学生运用数学解决问题的成功经验和方法，树立学习数学的自信心。
二、知识准备
1、学生在理解感知圆和扇形的基础上认识掌握弧长和扇形的面积，为下面学习圆锥的知识作好铺垫。学生通过对弧长和扇形的理解去获取知识。
2、（1）小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？
（2）我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？
三、学习内容
活动一 探索弧长计算公式
如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗 （取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的,所以铁轨的长度≈ （米）.
问题：上面求的是的圆心角所对的弧长，若圆心角为，如何计算它所对的弧长呢？
请同学们计算半径为，圆心角分别为、、、、所对的弧长。
因此弧长的计算公式为
__________________________
练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
活动二 探索扇形的面积公式
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形
问：右图中扇形有几个？
同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为的扇形面积是圆
面积的几分之几？进而求出圆心角的扇形面积。
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为
___ .
因此扇形面积的计算公式为
———————— 或 ——————————
练习:
四、知识梳理
1、—————————————————————————叫扇形
2、弧长的计算公式是 —————————————扇形面积的计算公式是————————————————————。
五、达标检测
1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；2、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_________°.
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________
4、如图，PA、PB切⊙O于A、B，求阴影部分周长和面积。
5、如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四个扇形的面积和是多少？
6、一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度是多少？
7、圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．
8、已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。设弦AB的长为d，圆环面积S与d之间有怎样的数量关系？
9、如图，正三角形ABC的边长为2,分别以A、B、C为圆心，1为半径画弧，与△ABC的内切圆O围成的图形为图中阴影部分。求阴影。
10、如图，扇形OAB的圆心角是90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，则 两部分图形面积的大小关系是什么？
3.9圆锥的侧面积和全面积
一、学习目标
(一)学习知识点
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
(二)能力训练要求
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．
2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．
(三)情感与价值观要求
1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．
2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．
学习重点
1. 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
学习难点
经历探索圆锥侧面积计算公式．
二、知识准备
1、一段长为2的弧所在的圆半径是3，则此扇形的圆心角为_________，扇形的面积为_________。
2、如图，PA、PB切⊙O于A、B，求阴影部分周长和面积。
三、学习内容
1、圆锥的侧面展开图的形状
2、圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全=πr2+πrl．
四、知识梳理
1、———————————————————————叫圆锥的母线。
2、————————————————————————叫圆锥的高
3、圆锥的侧面积计算公式是————————，——————————————叫圆锥的全面积。
圆锥的全面积计算公式是————————。
五、达标检测
1．圆锥母线长5 cm，底面半径为3 cm，那么它的侧面展形图的圆心角是…( )
A．180° B．200° C. 225° D．216°
2．若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( )
A．180° B. 90°
C．120° D．135°
3．在半径为50 cm的图形铁片上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制做成一个底面直径为80 cm，母线长为50 cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角的度数为( )
A．288° B．144° C．72° D．36°
4．用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为 ( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
5.已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
（A）12.5厘米（B）25厘米（C）50厘米（D）75厘米
6.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）
(A）60° （B）90° （C）120°（D）180°
7.若圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积是________
8.若圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度.
9.已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2 。(1）扇形的弧长= ；（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是
10.圆锥的母线为13cm，侧面展开图的面积为65πcm2，则这个圆锥的高为 .
11.△BAC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，以AC所在的直线为轴将△ABC旋转一周得一个几何体，这个几何体的表面积是多少？
数学活动——制作冰淇淋纸筒
学习目标
1、知识与技能：巩固圆锥体的侧面展开图的有关计算。
2、过程与方法：制作圆锥形的冰淇淋纸筒的过程，发展应用意识。
3、情感态度与价观：在小组合作的基础上，发展应用意识、合作意识和创造能力。
学习重点：巩固圆锥侧面积计算公式。
学习难点：制作圆锥形的冰淇淋纸筒的过程，发展应用意识。
知识准备：
1、制作一个冰淇淋纸筒的模型
2、复习圆锥的有关公式
3、分小组准备：纸板、彩笔、胶水、剪刀、圆规。
一、学习内容
1、圆锥的基本概念
在下图的圆锥中，连接圆锥的顶点S和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线、连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高
2、圆锥中的各个元素与它的侧面展开图----扇形的各个元素之间的关系图中，将圆锥的侧面沿母线剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r,这个扇形的半径等于什么？扇形的弧长等于什么？
3、圆锥侧面积计算公式
从图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，
S=·2π·=π
4、活动探究
（1）观察想象：观察如图所示的圆锥形的冰淇淋纸筒，画出其侧面展开图
（2）如果该圆锥形的冰淇淋纸筒的母线长为8cm，底面圆的半径为5cm,你能算出扇形的圆心角的度数吗？
（说明：如果有条件，可以让同学搜集冰淇淋纸筒，现场展开体会。本环节主要通过具体例子进一步巩固圆锥体的侧面展开图和圆锥体的各要素之间的对应关系）
动手制作
小组合作，制作母线长为12，底面半径是的圆锥形的冰淇淋纸筒，在表面设计图案，设计产品名称，最后在班级集体交流，推销自己的产品。
（说明：本环节是本节课的主要活动，学生以小组为单位，经历计算、剪裁、设计过程，发展学生的实践能力和创造力）
知识梳理
1、圆锥的侧面展开图是一个
2、圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长.
3、圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
4、圆锥的侧面积公式
5、圆锥的全面积(或表面积)
三、达标测试
1、将直径为64cm的圆形铁皮，做成四个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（ ）
A.8cm B. cm C. cm D.16 cm
2、现有一圆心角为90°，半径为8 cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A.4 cm B .3cm C.2 cm D.1 cm
3、已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面半径长的比是＿.
4、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一直小蚂蚁从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是多少？
5、将半径为30厘米的薄鉄圆板沿三条半径截成全等的三个扇形，做成三个圆锥筒（无底），求圆锥筒的高（不计接头）。
初三数学圆复习(安排3课时)
本次我们一起来复习几何的最后一章——圆.该章是中考中考查知识点最多的一章之一.本章包含的知识的变化、所含定义、定理是其它章节中所不能比的.本章分为四大节:1.圆的有关性质;2.直线和圆的位置关系;3.圆和圆的位置关系;4.正多边形和圆.
一、基本知识和需说明的问题:
(一)圆的有关性质,本节中最重要的定理有4个.
1.垂径定理:本定理和它的三个推论说明: 在(1)垂直于弦（不是直径的弦）;(2)平分弦;(3)平分弦所对的弧;(4)过圆心(是半径或是直径)这四个语句中,满足两个就可得到其它两个的结论.如垂直于弦（不是直径的弦）的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧。条件是垂直于弦（不是直径的弦）的直径，结论是平分弦、平分弧。再如弦的垂直平分线,经过圆心且平分弦所对的弧。条件是垂直弦,、分弦,结论是过圆心、平分弦.
应用:在圆中,弦的一半、半径、弦心距组成一个直角三角形,利用勾股定理解直角三角形的知识,可计算弦长、半径、弦心距和弓形的高.
2.圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理：在同圆和等圆中, 圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中有一组量相等,则其它各组量均相等.这个定理证弧相等、弦相等、圆心角相等、弦心距相等是经常用的.
3.圆周角定理：此定理在证题中不大用,但它的推论,即弧相等所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,圆周角相等,弧相等.直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,都是很重要的.条件中若有直径,通常添加辅助线形成直角.
4.圆内接四边形的性质:略.
(二)直线和圆的位置关系
1.性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.(有了切线,将切点与圆心连结,则半径与切线垂直,所以连结圆心和切点,这条辅助线是常用的.)
2.切线的判定有两种方法.
①若直线与圆有公共点,连圆心和公共点成半径,证明半径与直线垂直即可.
②若直线和圆公共点不确定,过圆心做直线的垂线,证明它是半径(利用定义证)。根据不同的条件,选择不同的添加辅助线的方法是极重要的.
3.三角形的内切圆:内心是内切圆圆心,具有的性质是:到三角形的三边距离相等,还要注意说某点是三角形的内心.
连结三角形的顶点和内心,即是角平分线.
4.切线长定理:自圆外一点引圆的切线，则切线和半径、圆心到该点的连线组成直角三角形,还要注意, A
O D P
B
(三)圆和圆的位置关系
1.记住5种位置关系的圆心距d与两圆半径之间的相等或不等关系.会利用d与R,r之间的关系确定两圆的位置关系,会利用d,R,r之间的关系确定两圆的位置关系.
2.相交两圆,添加公共弦,通过公共弦将两圆连结起来.
(四)正多边形和圆
1、弧长公式
2、扇形面积公式
3、圆锥侧面积计算公式
S=·2π·=π
二、达标测试
判断题
直径是弦.( )
半圆是弧,但弧不一定是半圆. ( )
到点O的距离等于2cm的点的集合是以O为圆心,2cm为半径的圆. ( )
过三点可以做且只可以做一个圆. ( )
三角形的外心到三角形三边的距离相等. ( )
经过弦的中点的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弧. ( )
经过圆O内一点的所有弦中,以与OP垂直的弦最短. ( )
弦的垂直平分线经过圆心. ( )
⊙O的半径是5,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则两弦间的距离是1. ( )
10.在半径是4的圆中,垂直平分半径的弦长是.( )
11.任意一个三角形一定有一个外接圆且只有一个外接圆. ( )
(二)填空题:
1.已知OC是半径,AB是弦,AB⊥OC于E,CE=1,AB=10,则OC=______.
2.AB是弦,OA=20cm,∠AOB=120°,则S△AOB=______.
3.在⊙O中,弦AB,CD互相垂直于E,AE=2,EB=6,ED=3,EC=4,则⊙O的直径是______.
4.在⊙O中弦AB,CD互相平行,AB=24cm,CD=10cm,且AB与CD之间的距离是17cm,则⊙O的半径是______cm.
5.圆的半径是6cm,弦AB=6cm,则劣弧AB的中点到弦AB的中点的距离是______cm.
6.在⊙O中,半径长为5cm,AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB,CD之间的距离是______cm.
7.圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:6,则四边形的最大角是______度.
8.在直径为12cm的圆中,两条直径AB,CD互相垂直,弦CE交AB于F,若CF=8cm,则AF的长是______cm.
9.两圆半径长是方程的两根,圆心距是2,则两圆的位置关系是______.
10.正三角形的边长是6㎝,则内切圆与外接圆组成的环形面积是______C㎡.
11.已知扇形的圆心角是120°,扇形弧长是20,则扇形=______.
12.已知正六边形的半径是6,则该正六边形的面积是______.
13.若圆的半径是2cm,一条弦长是,则圆心到该弦的距离是______.
14.在⊙O中,弦AB为24,圆心到弦的距离为5,则⊙O的半径是______cm.
15.若AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,AE=9cm,BE=16cm,则CD=______cm.
16.若⊙O的半径是13cm,弦AB=24cm,弦CD=10cm,AB∥CD,则弦AB与CD之间的距离是______cm.
17.⊙O的半径是6,弦AB的长是6,则弧AB的中点到AB的中点的距离是______
18.已知⊙O中,AB是弦,CD是直径,且CD⊥AB于M.⊙O的半径是15cm,OM:OC=3:5,则AB=______.
19.已知O到直线l的距离OD是cm,l上一点P,PD=cm.⊙O的直径是20,则P在⊙O______.
(二)解答题
已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE切⊙O于C,AD⊥CE,垂足是D,
求证:AC平分∠BAD.
B
O
A
E C D
已知AB是⊙O的直径,P是⊙O外一点,PC⊥AB于C,交⊙O于D,PA交⊙O于E，PC交⊙O于D，交BE于F。求证:CD2=CF·CP P
E D
F
A O C B
3.如图:⊙O的直径AB⊥CD于P,AP=CD=4cm,求op的长度。
·
A
B
C
E
F
M
O
O(O’)
B’
A’
B
A
O’
D
C
O
B
A
︵
︵
C
1
2
A
B
D
AC = =
BD
ｏ
A
B
E
F
M
C
D
O
第2题
第1题
第1题
第2题
第5题
第6题
A
B
O
O'
C
P
O
B
A
D