课件6张PPT。数学配人教A版选修4-1目 录1.1 平行线等分线段定理
1.2 平行线分线段成比例定理
1.3 相似三角形的判定及性质
第一课时 相似三角形的判定
第二课时 相似三角形的性质
1.4 直角三角形的射影定理
习题课：相似三角形的判定及有关性质2.1 圆周角定理
2.2 圆内接四边形的性质与判定定理
2.3 圆的切线的性质及判定定理
2.4 弦切角的性质
2.5 与圆有关的比例线段
习题课：直线与圆的位置关系3.1 平行射影
3.2 平面与圆柱面的截线
3.3 平面与圆锥面的截线感谢您的使用，退出请按ESC键本部分内容结束课件31张PPT。1.1 平行线等分线段定理1．理解平行线等分线段定理及推论．
2．掌握任意等分线段的方法
3. 能利用平行线等分线段定理解决简单几何问题．1．平行线等分线段定理：如果一组________在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
2．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必________第三边．
3．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________另一腰．1．平行线
2．平分
3．平分 已知线段AB，求作AB的五等分点.分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等线段，连接最后一等分的后端点A?5与点B，再过其他分点作BA?5的平行线，分别交AB于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等分了.解析：(1) 作射线AM.?
(2)在射线AM上截取AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5.?
(3)连接A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、F，那么C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点.
如下页图所示. 已知：如图所示，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.求证：AF＝ AC.证明：如图，过点D作DG∥BF交AC于点G.
在△BCF中，D是BC的中点，DG∥BF，
∴G为CF的中点，即CG＝GF.
在△ADG中，E是AD的中点，BF∥DG，
∴F是AG的中点，即AF＝FG.∴AF＝ AC.
点评：构造基本图形法是重要的数学思想方法． 如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别与EF的延长线交于点M、N.求证：∠AME＝∠CNE.证明：如图，连接BD，取BD的中点G，连接GE、GF.
在△ABD中，
∵点G、F分别是BD、AD的中点，
∴GF＝ AB，GF∥BM.
同理可证：GE＝ CD，GE∥CN.
∵AB＝CD，∴GF＝GE.
∴∠GEF＝∠GFE.
∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.
∵GE∥CD，∴∠GEF＝∠CNE.
∴∠AME＝∠CNE.C 1．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（ ）2．如图所示，l1∥l2∥l3，直线AB与l1、l2、l3相交于点A、E、B，直线CD与l1、l2、l3相交于点C、E、D，AE＝EB，则有( )
A．AE＝CE B．BE＝DE
C．CE＝DE D．CE＞DEC 3．如图所示，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE为( )
A．9 B．10
C．11 D．12A 4.AD是△ABC的高， ，M，N在AB上，且?AM=MN=NB，ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则FC=( )?
A. B.? C. D.C 5．在梯形ABCD中，M、N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN等于( )
A．2.5 B．3
C．3.5 D．不确定B 6．如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c交于点A、B、C和点A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝ ，则B′C′＝______.7．顺次连接梯形各边中点连线所围成的四边形是__________．平行四边形 8．如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝ ，点E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝____.解析：连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝ .又CD＝ ，AB∥DC，CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．
在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝ .
答案：9．如下图所示，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG＝____，点H是______的中点，点F是______的中点．答案：BG AC CD10．如图所示，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP.若AB＝6 cm，则AP＝____；若PM＝1 cm，则PC＝______.2 cm11．梯形中位线长10 cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3 cm，则该梯形中的较大的底是______cm.4 cm13 12.如图，F是AB的中点，FG∥BC，EG∥CD，则AG= .AE= ．答案：GC ED? 13.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=12 cm, AC交梯形中位线EG于点F.若EF=4 cm，FG=10 cm求梯形ABCD的面积.解析：作高DM、CN，则四边形DMNC为矩形．
∵EG是梯形ABCD的中位线，
∴EG∥DC∥AB.
∴F是AC的中点．
∴DC＝2EF＝8 cm，AB＝2FG＝20 cm，MN＝DC＝8 cm.
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD＝∠BNC，
∴△ADM≌△BCN.
∴AM＝BN＝ (20－8)＝6 cm.
∴DM＝ ＝ ＝6 cm.
∴S梯形＝EG·DM＝14×6 ＝84 （cm2）.14．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，E为AB的中点．求证：EC＝ED.证明：过点E作EF∥BC交DC于点F.
在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC.
∵E是AB的中点，
∴F是DC的中点．
∵∠BCD＝90°，
∴∠DFE＝90°.
∴EF⊥DC于点F，且F是DC的中点，
∴EF是线段DC的垂直平分线．
∴EC＝ED.(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)1．平行线等分线段定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截．
2．平行线的条数还可以更多，可以推广．
3．平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行．可以证明这一命题是错误的(如图所示)．4．三角形中位线定理的内容是：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
5．梯形中位线的定义是：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，这是要强调梯形中位线是连接两腰中点的线段，而不是连接两底中点的线段的一半．
6．梯形中位线定理的内容是：梯形中位线平行于两底，并且等于上、下两底和的一半．
7．平行线等分线段定理的推论2：“过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰”，或说成“过梯形一腰中点与底边平行的直线为梯形的中位线”，利用它可以判定某一线段为梯形中位线．
8．梯形中位线是梯形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位． 感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件37张PPT。1.2 平行线分线段成比例定理 1．理解平行线分线段成比例定理及其推论．
2．能应用平行线分线段成比例定理及其推论解决简单几何问题．1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段__________．
用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则______________．成比例 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段____________．
用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则______________________．成比例 如图所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于点D，与AC边交于点E，与BA的延长线交于点F，且BD＝DC，求证：AE·FB＝EC·FA. 如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为底边BC上的任意一点，过E点作与AD平行的直线，分别交直线AB、CA于点F、G.求证： ＝ . 如右下图所示，有一块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农户耕地. 已知张、王、李三家人口分别为2人，4人，6人，菜地分配方法要按人口比例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB.P点处是三家合用的肥料仓库，所以P点必须是三家地的交界处．已知Rt△PAB的∠P＝90°，PA＝20米，∠PAB＝60°.
(1)计算出每家应分配的菜地面积；
(2)用尺规在图中作出各家菜地的 分界线(保留痕迹，不写作法，标出户名)．(2)运用平行线等分线段的方法作出图形如下.
说明：本题考查了平行线等分线段定理的应用，解题的易错点是忽视运用 的直角三角形的性质，关键是运用平行线等分线段定理的作图. 1．如图所示，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为( )
A．2∶1
B．3∶1
C．4∶1
D．5∶1 解析：要求AF与FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D是BC的中点，可过点D作DG∥AC交BE于
点G，则DG＝ EC.又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG ＝
2EC∶ EC ＝4∶1.
答案：C2．如图所示，在△ACE中，点B、D分别在AC、AE上，下列推理不正确的是( )D 3．如图所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论不正确的是( )D C B 6．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，不能判定DE∥BC的是( )
A．AD＝5，AB＝8，AE＝10，AC＝16
B．BD＝1，AD＝3，CE＝2，AE＝6
C．AB＝7，BD＝4，AE＝4，EC＝3
D．AB＝AC＝9，AD＝AE＝8C 7．如图所示，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB＝____________.3∶10 8．如图所示，l1∥l2∥l3，若CH＝4.5 cm，AG＝3 cm，BG＝5 cm，EF＝12.9 cm，则DH＝______，EK＝________.7.5 cm 34.4 cm 9.（2012年广东六校联考）如下图所示，在△ABC中，DE∥BC,EF∥CD，且AB=2，AD= ，则AF= .答案： 1 10.（2012年江门一模）如下图所示，E，F是梯形ABCD的腰AD，BC上的点，其中CD=2AB，EF∥AB，若 , 则 = .答案：11．如图所示，BD∶DC＝5∶3，E为AD的中点，求BE∶EF的值．12．已知：如图所示，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，连接AE交CD于点F，FG∥AD交DE于点G.
求证：FC＝FG.分析：(1)结合题目给出的条件，可利用平行线分线段成比例定理证明．(2)结合图形和(1)的结论进行合理的代换．(3)利用(2)的结论进行变形．14．如图所示，在?ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交AC于点G，交BC于点F.
(1)求证：DG2＝GE·GF.
(2)求证： ＝ .点评：利用定理或其推论解决问题时，要注意寻找图形中的基本图形“A”型或“X”型．1．平行线分线段成比例定理
(1)定理的证明：若 是有理数，则将AB、BC分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程还需到高等数学中才能得以实现．
(2)定理的条件：与平行线等分线段定理相同，它需要a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截，平行线的条数还可以更多．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件35张PPT。1.3 相似三角形的判定及性质
第一课时 相似三角形的判定1.掌握证明两个三角形相似的方法，正确选择好的方法．
2.能应用三角形相似解决有关问题.1．相似比：__________________的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形____________________叫做相似比(或相似系数)．
2．判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的____________与另一个三角形的____________对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
3．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的________与另一个三角形的____________对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．1．对应角相等、对应边成比例 对应边的比值
2．两个角 两个角
3．两边 两边4．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边__________，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
5．定理：(1)如果两个直角三角形有一个________相等，那么它们相似．
(2)如果两个直角三角形的__________对应成比例，那么它们相似．
6．定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应__________，那么这两个直角三角形__________．4．对应成比例
5．锐角对应 两条直角边
6．成比例 相似 如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠B的角平分线，试利用三角形相似的关系证明：AD2＝DC·AC.
分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，所以∠CBD＝36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°.
∴AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD.
∴BC∶AB＝CD∶BC.
∴BC2＝AB·CD, ∴AD=BC,AB=AC.
∴AD2＝AC·CD. 如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于点P，交AC于点E.求证：BP2＝PE·PF.证明：如图,连接PC，在△ABC中，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD垂直平分BC.
∴PB＝PC，∠1＝∠2.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2.
∴∠3＝∠4.
∵CF∥AB，
∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.
又∵∠EPC＝∠CPF.
∴△PCE∽△PFC.
∴ ＝ .
∴PC2＝PE·PF.
∵PC＝PB.
∴PB2＝PE·PF. 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠CAB的角平分线，CD与AE相交于点F，EG⊥AB于点G. 求证：EG2＝FD·EB.证明：∵∠ACE＝90°，CD⊥AB，
∴∠CAE＋∠AEC＝90°，∠FAD＋∠AFD＝90°.
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠FAD＋∠CFE＝90°.
又∵∠CAE＝∠FAD，
∴∠AEC＝∠CFE，∴CF＝CE.
∵AE是∠CAB的平分线，
EG⊥AB，EC⊥AC，
∴EC＝EG，∴CF＝EG.
∵∠B＋∠CAB＝90°，
∠ACF＋∠CAB＝90°，
∴∠ACF＝∠B.1．下列命题正确的是( )
A．有两边成比例及一个角相等的两个三角形相似
B．有两边成比例的两个等腰三角形相似
C．有三边分别对应平行的两个三角形相似
D．有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似C 2．如图所示，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位线，△ABC与△AFG的相似比是3∶2，则△ADE与△AFG的相似比是( )
A．3∶4
B．4∶3
C．8∶9
D．9∶83．如图所示，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个C 4．如图所示，在?ABCD中，直线EH与CB、CD的延长线分别交于点H、E，EH与AD、AB分别交于点F、G，则图中相似三角形的对数是( )
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对B 5．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )A6．如图所示，在△ABC中，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，且 ＝ .下列结论正确的是( )
A．△ABM∽△ACB
B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM
D．△CMN∽△BCAB 7．如图所示，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是( )
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③D 8．如图所示，△ABC的三边长是2、6、7，△DEF的三边长是4、12、14，且△ABC与△DEF相似，则∠A＝∠____，∠B＝∠____，∠C＝∠______.
＝ ＝ ＝______.9．如图所示，DE∥BC，则△ADE∽△______，∠A＝∠______、∠ADE＝∠____，∠AED＝∠C.设AD＝5，DB＝3，则△ADE与△ABC的相似比是______．答案：ABC A B 10．如图所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，写出图中所有与△ACE相似的三角形：__________.10．△FCD、△FBE、△ABD11．如图所示，AB＝8，AD＝3，AC＝6，当AE＝____时，△ADE∽△ACB.4 12．在△ABC(AB＞AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：
＝ .分析：如右图，要证 ＝ ,可过点C作CM∥AB，证明△CPM∽ △BPD，此时只需证明CM＝CE即可．证明：过点C作CM∥AB，交DP于点M.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.
又AD∥CM，∠ADE＝∠CME，∠AED＝∠CEM，
∴∠CEM＝∠CME，∴CE＝CM.
∵CM∥BD，∴△CPM∽△BPD，点评：作出辅助线，证明CM＝CE是解题的关键．利用相似三角形的性质可得等积式或比例式，是解决这类问题的基本方法．解此类题一般可分为三步：①把等积式化为比例式，从而确定相关的两三角形相似；②确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形；③设法找到证明这两个三角形相似的条件13．如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ABC与△CDB相似？时，△ABC∽△BDCBD= 综上所述：当BD= 或 时，△ABC与△BDC相似.判定两个三角形相似的方法
1．定义法，即对应边成比例、对应角相等的三角形是相似三角形．
2．平行法，即平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3．判定定理：
(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似.
(2)判定定理2：两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似．
(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件27张PPT。1.3 相似三角形的判定及性质
第二课时 相似三角形的性质 掌握利用三角形相似的性质，能正确利用三角形相似的定理解决几何问题．1．相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于________．
(2)相似三角形周长的比等于________．
(3)相似三角形面积的比等于____________．
2．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于__________．1．(1)相似比 (2)相似比 (3)相似比的平方
2．相似比的平方 如图所示，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，DE∥BC，EF⊥BC，设DE＝x，试用x表示图中所有线段． 如图所示，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶ S△ABC ＝4∶9.
(1)求AE∶EC.
(2)求S△ADE∶S△CDE.点评：解题思路是先证明两个三角形相似，运用面积比求出相似比，解题关键是运用相似三角形面积比等于相似比的平方求解．1．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥ BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm，则DB等于( )
A．2 cm B．6 cm
C．4 cm D．8 cm
2．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，DC＝AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若△ADE与△ABC相似，则DE的长为( )
A．6 B．8
C．6或8 D．14D C 3．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD∶A′D′＝5∶3，下面给出四个结论：
①BC∶B′C′＝5∶3；②△ABC的周长∶ △A′B′C′的周长＝5∶3；③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为5∶3；④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为5∶3.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D 4．两个相似三角形的一对对应边长分别是24 cm和12 cm.
(1)若它们的周长和是120 cm，则这两个三角形的周长分别为________和________；
(2)若它们的面积差是420 cm2，则这两个三角形的面积分别为________和________．80 cm40 cm560 cm2140 cm25．有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为( )
A．18 cm2或 cm2 B．20 cm2或18 cm2
C．18 cm2 D. cm2A 6．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于( )
A．1∶3
B．1∶4
C．1∶2
D．2∶3C 7．D、E、F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为4，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是( )
A．4.5,16 B．9,4
C．4.5,8 D. ，16A 8．如图所示，D、E、F、G、H、I是△ABC三边的三等分点，△ABC的周长是l，则六边形DEFGHI的周长是( )
A. l
B．3l
C．2l
D. lD 9．在△ABC中，D为BC上一点，且∠BAC＝∠ADC，BC＝16 cm，AC＝12 cm，则DC＝________cm.
10．两相似三角形的相似比为1∶3，则其周长之比为______，内切圆面积之比为______．1∶3 1∶9911． (2011年陕西卷)如图所示，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝______.12．(2011年广东卷)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥ AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．13．如图所示，已知边长为12的正三角形ABC，DE∥BC，S△BCD∶S△BAC＝4∶9，求CE的长．解析：方法一：如图所示，过点D作DF⊥BC于点F，
过点A作AG⊥BC于点G，
S△BCD＝ BC·DF，
S△BAC＝ BC·AG，
∵S△BCD∶S△BAC＝4∶9，
∴DF∶AG＝4∶9.
∵△BDF∽△BAG，
∴BD∶BA＝DF∶AG＝4∶9.
∵AB＝12，
∴CE＝BD＝1．我们已经学过全等三角形，两个全等三角形的大小、形状是完全一样的，相似三角形是形状相同但大小不一样的三角形．显然，当两个相似三角形的相似比为1的时候，相似三角形就成了全等三角形．鉴于相似三角形和全等三角形的类似点，在学习相似三角形的性质时可以类比全等三角形的性质来研究．
2．研究相似三角形的性质时，切记从相似比入手即可，涉及线段的比均等于相似比，只有面积的比是相似比的平方．
3．在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件29张PPT。1.4 直角三角形的射影定理 理解射影定理，能应用射影定理解决简单几何问题．1．所谓射影，就是正射影．其中，从一点向一条直线所引垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的_________．一条线段的两个端点在一条直线上的正射影间的线段，叫做这条线段在直线上的__________．
2．射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的__________；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的__________．1．正射影 正射影
2．比例中项 比例中项 如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，指出点A、B、C、D、E、F、G和线段AB、AC、AF、FG在直线BC上的射影．
解析：由AD⊥BC，EF⊥BC可知：A在BC上的射影是点D；B在BC上的射影是点B，点C在BC上的射影是点C，点D在BC上的射影是点D，点E、F、G在BC上的射影都是点E；AB在BC上的射影是DB，AC在BC上的射影是DC，AF在BC上的射影是DE，FG在BC上的射影是点E. 如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：AE·BF·AB＝CD3.
分析：分别在Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明．证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD·BD，∴CD4＝AD2·BD2.
又∵在Rt△ADC中，DE⊥AC，在Rt△BDC中，DF⊥BC，
∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC.
∴CD4＝AE·BF·AC·BC.
又∵AC·BC＝AB·CD，
∴CD4＝AE·BF·AB·CD.
∴AE·BF·AB＝CD3. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝7.85，斜边上的高CD＝5.67，解这个直角三角形(边长保留3个有效数字，角度精确到1′)．1．下列命题正确的是( )
A．所有的直角三角形都相似
B．所有的等腰三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．所有的有一个角为30°的等腰三角形都相似C 2.如图，在矩形ABCD中，?DE⊥AC,∠ADE= ∠CDE,则∠EDB=（?C?）??A .22.5 °? B .30 °??
?C .45 °? D .60 ° B C C B 7．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．
8．在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD＝27，BD＝3，则AC＝______，BC＝______，CD＝______.①③ 9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．求证：DE＝ 10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高，已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．解析：因为BD＝4，AB＝29，由直角三角形的射影定理有BC2＝BD·AB＝4×29，即BC＝2 .
AD＝AB－BD＝29－4＝25.
AC2＝AD·AB＝25×29，AC＝5 .
CD2＝BD·AD＝4×25，CD＝10.
答案：AD＝25，BC＝2 ，AC＝5 ，CD＝10. 11.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是在Rt?△BCD斜边BC上的高，若BE=6，CE=2,求AD的长.?
解析：∵CD⊥AB，?
∴△BCD为Rt△，?
即∠CDB=90?°?，
∵DE⊥BC.由射影定理可知：?
?
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，?
由射影定理可得：
=AD·BD，12．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学设计的加工方法分别如图1、2所示．那么哪位同学设计的加工方法符合要求？说说你的理由．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)解析：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，得BC＝2 m.
如图1所示，若设甲设计的桌面边长为x m，由DE∥AB，推出Rt△CDE∽Rt△CBA，13．如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于点G、H，交CE于点F，且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.证明：∵∠H＝∠BCE，CE⊥BH，
∴△BCE∽△BHG.
∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.
∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，
GD2＝BG·CG. ①
∵∠H＝∠BCF，∠GFC＝∠EFH，
∴△FCG∽△FHE，∴∠FGC＝∠FEH，
∴∠FGC＝∠BGH＝90°，
∴△FCG∽△BHG，∴ ＝ ，
∴BG·CG＝GH·FG. ②
由①②，得GD2＝GH·FG.
△ACD∽△CBD，有AD∶CD＝CD∶BD，转化为等积式，即CD2＝AD·BD；
△ACD∽△ABC，有AC∶AB＝AD∶AC，转化为等积式，即AC2＝AB·AD；
△BCD∽△BAC，有BC∶BA＝BD∶BC，转化为等积式，即BC2＝BA·BD. 直角三角形的射影定理常作为工具用于证明和求值．如图三个直角三角形具有相似关系，于是Rt△ABC的各条线段之间存在着比例关系．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件18张PPT。习题课：相似三角形的判定及有关性质 1.（2013年深圳一调）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥BC，垂足为F，若AB=6，CF·CB=5，则AE= .答案：12．已知线段AB，用平行线等分线段定理将它分成两部分，且两部分之比为2∶3. 解析：已知：线段AB.
求作：线段AB上一点O，
使AO∶OB＝2∶3.
画法：(1)如图所示，作射线AC.
(2)在射线AC上以任意长顺次截取AD＝DE＝EF＝FG＝GH.
(3)连接BH.
(4)过点G、F、E、D分别作HB的平行线GK，FJ，EO、DI交AB于点K、J、O、I.
则点O为所求的点3．如图所示，直线l分别交△ABC的边BC、CA、AB于点D、E、F，且AF＝ AB，BD＝ BC，试求 .4．如图所示，BD、CE是△ABC的高，求证：△ADE ∽ △ABC.5．如图所示，CD平分∠ACB，EF是CD的中垂线交AB的延长线于点E.求证：ED2＝EB·EA.解析：连接EC，∵EF为CD的中垂线，
∴EC＝ED，且∠EDC＝∠ECD.
又∵∠EDC＝∠A＋∠ACD，且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB，CD为∠ACB的平分线，则∠ACD＝∠DCB，
∴∠A＝∠ECB，又∠CEA为公共角．
∴△ECB∽△EAC，
∴ ＝ ，
∴EC2＝EA·EB.
又∵EC＝ED，∴ED2＝EA·EB.
点评：证比例中项常用的方法：①可证有公共边的两个三角形相似；②可证有等边的两个三角形相似；③利用等式性质或中间比6．如图所示，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，AC⊥BC，且AB·CD＝DE·AC.
求证：AE·CE＝DE·EF.7．如图所示，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE平行于AB交BC于点E，AD＝6，求BE的长．分析：首先由平行四边形的性质得到对角线的交点均是两条对角线的中点，即O是AC的中点．又因为OE平行于AB，所以由平行线等分线段定理，可知E为BC的中点．所以BE= BC.又由四边形ABCD是平行四边形，知AD=BC，所以BE= BC= AD=3.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，BC=AD.
又∵AB∥DC，OE∥AB，
∴DC∥OE∥AB.
又∵AD=6，
∴BE=EC= BC= AD=3点评：证“比例线段问题”，通常光作平行线构造基本图形，再由定理“平行于三角形一边且与另两边(或延长线)相交构成的三角形三边与原三角形三边对应成比例”来找出比例式，有时要利用中间比来建立要求证的比例式之间的联系9．如图所示，已知M、N分别是?ABCD的边AB、边CD的中点，CM交BD于点E，AN交BD于点F.请你探讨BE、EF、FD三条线段之间的关系，并给出证明．分析：在△CDE中，N是边CD的中点，只要证明CE平行于FN，即可由推论1得DF＝EF.同理，在△ABF中，根据M是边AB的中点，同样只要证明AF平行于ME，可由推论1得EF＝EB，由此可得BE、EF、FD三条线段之间的关系是BE＝EF＝FD.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
M、N分别是边AB、CD的中点，
∴四边形AMCN是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形)
∵在△CDE中，N是CD的中点，且FN∥CE，
∴F是DE的中点，即DF＝EF.
同理，在△ABF中，M是AB的中点，且AF∥ME，
∴E是BF的中点，即EF＝BE.
∴BE＝EF＝DF.感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件25张PPT。3.1 平 行 射 影 1．理解平行射影概念．通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影.
2．理解平行射影基本定理．1．(1)点A是平面α外一点，过点A向平面α作垂线，设垂足为点A′，那么把A′称作点A在平面α的________．
(2)一个图形F上的各点在平面α上的________也组成一个图形F′，则图形F′称作图形F在平面α上的________．
2．设直线l与平面α相交，把直线l的方向称为____________，过点A作平行于l的直线，必与平面α交于点A′，那么把点A′称作点A沿直线l的方向在平面α上的____________，正射影是平行射影的特例.
3．平面上到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做________．1．(1)正射影 (2)正射影 正射影
2．投影方向 平行射影
3．椭圆 4.用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱两底面平行时，截面是 ，当平面与圆柱两底面不平行时，截面是 .
答案：?圆 椭圆 线段AB、CD在同一平面内的正射影相等，则线段AB、CD的长度关系为( )
A．AB>CD B．ABC．AB＝CD D．无法确定
解析：由于线段AB、CD与平面所成的角未定，虽然射影相等，但线段AB、CD的长度无法确定，故它们的长度关系也无法确定．
答案：D P是△ABC所在平面α外一点，点O是点P在平面α内的正射影．
(1)若点P到△ABC的三个顶点等距离，那么点O是△ABC的什么心？
(2)若点P到△ABC的三边距离相等，且点O在△ABC的内部，那么点O是△ABC的什么心？
(3)若PA、PB、PC两两相互垂直，点O是△ABC的什么心？解析：如图所示．(1)若PA＝PB＝PC，O点为点P在平面ABC上的正射影，故有OA＝OB＝OC，∴点O为△ABC的外心．
(2)由点P到△ABC的三边距离相等，故有点O到△ABC的三边距离相等，∴点O为△ABC的内心．
(3)PO⊥平面ABC，PA⊥BC，∴OA⊥BC.同理可证：OB⊥AC，OC⊥AB.∴点O为△ABC的垂心． 在梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是________________．
解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．
如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形．
答案：一条线段或一个梯形1．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面的结论中，正确的结论是______(写出所有正确结论的序号)．解析：如图所示，由图可知①②④正确，而对于③两直线射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与a、b异面矛盾，∴③错．
答案：①②④2．若一直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线与这条斜线的位置关系是( )
A．垂直 B．异面
C．相交 D．不能确定
3．在空间，给出下列命题：①一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面上的射影相等；②一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个平面上的射影垂直；③一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角是这条斜线和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角；④若点P到△ABC三边所在的直线的距离相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的内心．
其中正确的命题是( )
A．③ B．③④ C．①③ D．②④D A
5．已知平面上直线l的方向向量e＝ ，点O(0,0)和点A(1，－2)在l上的射影分别是O′和A′，则 ＝λe，其中λ＝( )
A. B．－
C．2 D．－2D 4.下列说法正确的是（ B ）?
? A?.正射影和平行射影是两种截然不同的射影?
? B?.投影线与投影平面有且只有一个交点?
? C?.投影方向可以平行于投影平面?
? D?.一个图形在某个平面的平行射影是唯一的6．Rt△ABC的斜边BC在平面α内，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形只能是( )
A．一条线段
B．一个锐角三角形
C．一个钝角三角形
D．一条线段或一个钝角三角形D 7.（2012年深圳模拟）如图，点O为正方体 的中心，点E为面 的中心，点F为 的中点，则空间四边形 在该正方体的面上的正投影可能是 .答案：①②③8．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝ ，则PA与底面ABC所成角为______．9．过Rt△BPC的直角顶点P作线段PA⊥平面BPC.求证：△ABC的垂心H是点P在平面ABC内的正射影．分析：如图所示，欲证△ABC的垂心H是点P在平面ABC内的射影，只需证明PH⊥平面ABC即可．证明：连接AH并延长，交BC于点D，连接BH并延长，交AC于点E，连结PD、PH.
∵H是△ABC的垂心，
∴BC⊥AD.
又∵AP⊥平面PBC，且PD是斜线段AD在平面BPC上的射影，
∴BC⊥PD.
显然PH在平面PBC内的射影在PD上，
∴BC⊥PH.同理可证：AC⊥PH.
故PH⊥平面ABC.即H是P在平面ABC上的正射影．
点评：本题可以是平面PBC到平面ABC的平行投影变换10．如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α，A、B、C在α的同侧，它们在α内的射影分别为A′、B′、C′.若△A′B′C′为直角三角形，BC与α间的距离为5，求A到α的距离．解析：由条件可知，A′B′＝A′C′，∴∠B′A′C′＝90°.设AA′＝x，在直角梯形AA′C′C中，A′C′2＝4－(x－5)2.由A′B′2＋A′C′2＝B′C′2，得2×[4－(x－5)2]＝4，
解得x＝5±1．从正射影的定义推广到平行射影，并加强对于具体图形的相对位置关系与射影的关系，考虑问题一定要全面，并注意图形的射影的形成是由点线的射影所形成的．
2．用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆；当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆；平面与两底面垂直(或平面与母线平行)时，截面为两条平行的直线．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件28张PPT。3.2 平面与圆柱面的截线 1．理解圆柱面的概念．
2．了解圆柱的截线及其性质．1．椭圆组成元素：如图甲所示______叫做椭圆的焦点；______叫做椭圆的焦距；AB叫做椭圆的______；CD叫做椭圆的______．
如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c＝______.答案：F1、F2 F1F2 长轴 短轴 2．如图乙所示，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为点F1、F2，交BA、DC的延长线于点E、F，交AD于点G1，交BC于点G2.设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.图乙图丙(1)G2F1＋G2F2______AD.
(2)G1G2______AD.
(3) ______cos φ______sin θ.
3．如图丙所示，将两个圆拓宽为球面，将矩形ABCD看成是圆柱面的轴截面，将EB、DF拓宽为两个平面α、β，EF拓宽为平面γ，平面γ与圆柱面的截线是______．2．(1)＝ (2)＝ (3)＝ ＝
3．椭圆 如图所示是夹在圆柱面上的两正截面的部分，且所截得母线长为2 cm.若OA⊥O′B′，OA＝1 cm.
(1)求OO′与AB′所成角的正切值；(2)求过AB′与OO′平行的截面面积；(3)求点O到截面的距离． 如果椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，求椭圆的面积． 已知圆柱面的半径r＝6，截割平面β与母线所成的角为60°，求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线椭圆的长轴、短轴和离心率e.解析：如图(1)，ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5 cm，设圆柱的底面圆半径为r，则r＝ cm.2．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
3．下列说法不正确的是( )
A．圆柱面的母线与轴线平行
B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径C D 4．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝______.
5．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为______．6．已知平面δ斜截一准线半径为r的圆柱面，轴线与平面δ所成的角为α，求证：存在圆柱面的内切球与平面δ相切．证明：作一平面δ∥平面α，且平面δ与平面α的距离等于圆柱面准线的半径r，则平面δ与圆柱面的轴线相交于一点C.
以点C为圆心，r为半径作球，则球C(C，r)为圆柱面的内切球．
过点C作CC′⊥平面δ，则C′∈δ，CC′＝r.
又∵球的半径为r，
∴C′在球面上．
又∵过球的半径的外端与半径垂直的平面与球只有唯一公共点，
∴球C(C，r)与平面δ只有一个公共点．
∴球C(C，r)与平面相切．
∴存在圆柱面的内切球C(C，r)与平面δ相切7.已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴，短轴和离心率.?
?8．已知圆柱面准线的半径等于2 cm，一个截割圆柱的平面与圆柱面的轴线成60°，从割平面上下放入圆柱面的两个内切球，并且它们都与截平面相切，求两个内切球的球心间的距离．解析：设截割圆柱的平面为δ，与δ相切的圆柱面的两个内切球的球心分别为C1、C2，切点分别为F1、F2.如图所示．9．已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦球的球心距为12，求截面截圆柱面所得的椭圆的长半轴长、短半轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．10．已知圆柱面轴线上一点O到圆柱的同一条母线上两点A、B的距离分别为2和3 ，且∠AOB＝45°，求圆柱的准线的半径．解析：如图所示，设OA＝2，OB＝3 则∠AOB＝45°,圆柱形物体的斜截口是椭圆． 图(1)为图(2)经过母线AD、BC的轴截面，由前面已有结论，当点P与点G2重合时，有G2F1＋G2F2＝AD；当点P不在端点时，连接PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点为F1、F2.过点P作母线，与两球面分别相交于K1、K2，则PK1、PK2分别是两球面的切线，切点为K1、K2.由切线长定理，得PF1＝PK1，PF2＝PK2，则PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝AD.因AD为定值，故点P的轨迹方程为椭圆．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件35张PPT。三 平面与圆锥面的截线 1．理解圆锥面的概念．
2．了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况．1．如图1，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α, 直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β ，则：(1)________，l与AB(或AB的延长线)、AC相交．
(2)________，l与AB不相交．
(3)________，l与BA的延长线、AC都相交．
2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点．l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则
(1)________，平面π与圆锥的交线为椭圆．
(2)________，平面π与圆锥的交线为抛物线．
(3)________，平面π与圆锥的交线为双曲线．1．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α
2．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α 研究圆锥的截线，说明双曲线为β＜α时，平面π与圆锥的交线．解析：当β＜α时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.
在截口上任取一点P，连接PF1、PF2.过点P和圆锥的顶点O作母线，分别与两个球相切于点Q1、Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝PQ2，所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2.
由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长，因此Q1Q2的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为常数． 如图所示，平面ABC是圆锥面的正截面，PAB是圆锥的轴截面，已知∠APC＝60°，∠BPC＝90°，PA＝4.
(1)求二面角A－PC－B的余弦值．
(2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离． 已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为
π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．1．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
2．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线A B C 4．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________、________、________和________．
5．用平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是______、________.4．圆 椭圆 抛物线 双曲线
5．圆 圆或椭圆6．已知一圆锥面S的轴线为Sx，轴线与母线的夹角为30°，在轴上取一点O，使SO＝3 cm，球O与这个锥面相切，求球O的半径和切圆的半径．7．已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30°，在轴线上取一点C，使SC＝5，通过点C作一截面δ使它与轴线所成的角为45°，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和．8.顶角为90°的圆锥面中，有一个半径为2的内切球，以该球为Dandelin球作一个截面，截线为抛物线，建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的方程.?
解析：如图是几何体的轴截面，其中点P为抛物线的顶点，点Q为抛物线的焦点，以PQ所在直线为x轴，P为坐标原点建立平面直角坐标系.?9．顶角为60°的圆锥面中有一个半径为2的内切球，以该球为焦球作一截面，使截线为抛物线，求该抛物线的顶点到焦点的距离 和截面与轴的交点到圆锥顶点的距离．解析：如图所示是圆锥的截面的轴面，其中P为抛物线的顶点，Q为抛物线的焦点，M为截面与轴的交点．
设A、B为球与圆锥的母线的切点．10．已知圆锥面S，母线与轴线所成的角为45°，在轴线上取一点C，使SC＝5，过点C作一平面与轴线的夹角等于30°，所截得的曲线是什么样的图形？求两个焦球的半径． 1．圆锥面
锥面：设空间有一条定曲线Σ和不在Σ上的一定点A，动点P在Σ上运动时，直线AP上的点的轨迹，叫做以A为顶点．以Σ为准线的锥面，每条直线AP都叫做此锥面的母线．
如甲图所示，为一锥面，其中曲线
Σ为锥面的准线，定点A为锥面的顶点，
准线上任一点P与点A的连线都是锥面的
母线．
圆锥面：若锥面的准线为一圆，锥
面的顶点在过圆心且垂直于圆所在平面的
直线上，则此锥面叫做圆锥面．过圆锥面的顶点和它的准线圆的圆心的直线，叫做此圆锥面的轴线．
如乙图所示，为一圆锥面，其准线为⊙O，顶点为A，过点A和点O的直线是圆锥面的轴线，且圆锥面上只存在母线的直线，直线l垂直于⊙O所在的平面，由旋转面和圆锥面的关系知：圆锥面可以看作是两条相交直线，其中一条直线a绕另一条直线l旋转而得到，于是也可将圆锥面定义为： 一条直线绕着与它相交成定角θ 的另一条
直线旋转一周，形成的曲面叫做圆锥面，这条直线叫做圆锥面的母线．另一条直线叫做圆锥面的轴．
性质1：圆锥面的轴线和每一条母线的夹角相等；轴线上任一点到每条母线的距离相等．
如丙图所示，设⊙O为圆锥面的准线，
B、C是⊙O上任两点，则AB、AC为圆锥面
的母线，由OB＝OC，OA＝OA，
∴Rt△AOB≌Rt△AOC，
∴∠OAB＝∠OAC，即轴线与每一条母
线的夹角相等．又设M为轴线l上任一点，MN⊥AB于点N，∠OAB＝α，则MN＝AMsin α.
故点M到每一条母线的距离为定值．
2．垂直截面
轴截面：经过圆锥面的轴的平面叫做圆锥面的轴截面．
与轴截面相交的两条母线的夹角叫做圆锥面的顶角．轴与母线的夹角叫做圆锥面的半顶角．
如果一平面垂直于圆锥面的轴线，那么这个平面叫做圆锥面的正截面．
性质2：圆锥面的顶点到正截面之间所截的母线上的线段相等；正截面截圆锥的截线是圆，其半径等于d tan α，这里d是圆锥面的顶点到正截面的距离，α是圆锥面的半顶角．3．一般截面
若平面π不和圆锥面的轴线垂直，称π为圆锥面的斜截面，过轴线并垂直于π的平面叫做π的轴面．
性质3：圆锥面的斜截面的轴面，垂直于它和正截面的交线．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件30张PPT。2.1 圆周角定理 1．理解圆周角定理．
2．理解圆心角定理及其推论．
3．能正确应用以上定理解决几何问题．1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________．
应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着__________，它们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理：圆心角的度数________它所对弧的度数．
3．圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧________．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．1．一半 同一条弧 2.等于
3.相等 也相等 直角 直径 在半径为5 cm的圆内有长为5 cm的弦AB，求此弦所对的圆周角． 解析：如图所示， 点评：弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°而导致错误．另外，求圆周角时应用到解三角形的知识． 如图所示，已知在⊙O中，∠AOB＝2∠BOC，求证：∠ACB＝2∠BAC.
证明：∵∠ACB＝ ∠AOB，∠AOB＝2∠BOC，
∴∠ACB＝∠BOC.
∵∠BAC＝ ∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC.
点评：只要是在圆中考查角的关系，那么就要考虑弧的中介作用． 已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证：∠BAE＝∠DAC.
分析：题目中出现圆的直径，想到直径所对的圆周角是直角．因此，连结BE，得到∠ABE＝90°，同时，在△ABE与△ADC中，又有同弧所对的圆周角∠C与∠E相等，从而结论得以证明．证明：如图，连接BE，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°.
∵AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ABE.
∵∠E＝∠C，
∴∠BAE＝180°－∠ABE－∠E，
∠DAC＝180°－∠ADC－∠C，
∴∠BAE＝∠DAC.1.下列命题中，真命题的个数是（??）?
①顶点在圆周上的角是圆周角；?
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；?
③90°的圆周角所对的弦是直径;?
④直径所对的角是直角；?
⑤圆周角相等，则它们所对的弦也相等；?
⑥同弧或等弧所对的圆周角相等.?
?A .1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个A2.已知点O是△ABC的外心，∠A=α，则∠BOC为（ ）?
?A. 2α?
B. 360°-2α?
?C. 2α或360°-2α?
D. 180°-2α?C3．如图所示，若圆内接四边形的对角线交于点E，则图中相似三角形有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对B 4．如图所示，D是 的中点，与∠ABD相等的角的个数是( )
A．7个
B．3个
C．2个
D．1个解析：由同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC，故与∠ABD相等的角有3个．
答案：B5．已知D、C是以AB为直径的圆弧上的两点，若 所对的圆周角为25°， 所对的圆周角为35°，则 所对的圆周角为( )
A．30° B．40°
C．30°或80° D．80°C 6．如图所示，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么 等于( )
A．sin∠BPD B．cos∠BPD
C．tan∠BPD D.B 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝2 ，则此三角形外接圆半径为( )
A. B．2
C．2 D．4
8．如图所示，⊙O直径MN⊥AB于点P，∠BMN＝30°，则∠AON＝________.B 60° 9．如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，则∠AEC＝________.75° 10．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于点D.若AD＝4，则AE＝________.9 11．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.
求证：∠E＝∠C.证明：如图，连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，
所以OD∥AC，
于是∠ODB＝∠C.
因为OB＝OD，
所以∠ODB＝∠B.
于是∠B＝∠C.
因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，
故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.12．△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明：△ABE∽△ADC.
(2)若△ABC的面积S＝ AD·AE，求∠BAC的大小．1．在圆周角定理的证明中，运用了数学中分类讨论和化归的思想以及归纳的证明方法．这个定理是从特殊情况入手研究的，当角的一边过圆心时，得到圆周角与同弧上的圆心角的关系，然后研究当角的一边不经过圆心时，圆周角与同弧上的圆心角之间的关系，在角的一边不经过圆心时，又有两种情况：一是圆心在圆周角内；二是圆心在圆周角外．经过这样分不同情况的讨论，最后得到不论角的一边是否经过圆心，都有定理中的结论成立．在几何里，许多定理的证明，都需要像这样分情况进行讨论，后面还会遇到这种分情况证明的定理．2．通过圆周角定理的分析、证明，我们可以看到，在几何里讨论问题时，常常从特殊情况入手，因为在特殊情况下问题往往容易解决，如下图中，中间一种情况为圆周角的一边经过圆心，此时∠AOB＝2∠C很容易证明．特殊情况下的问题解决之后，再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题，如下图左图和右图的情况，通过辅助线，把它们变成中间那样的两个角的和或差，这样利用特殊情况下的结论，便可使一般情况下的结论得证．3．圆周角定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．
4．圆周角定理及其推论是进一步推导圆及其他重要性质的理论依据，而且为角的计算，推证角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见问题提供了十分简便的方法，学习中要注意体会．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件30张PPT。2.2 圆内接四边形的性质与判定定理 1．理解圆内接四边形的性质定理1和性质定理2.
2．理解圆内接四边形判定定理及其推论．
3．理解圆内接四边形判定定理及其推论.?
4．能用定理和推论解决相关的几何问题.1．在圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形的对角________．
圆内接四边形性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的______．
2．圆内接四边形的判定定理
(1)定理：如果一个四边形的对角________，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(2)符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°或∠A＋∠C＝180°，那么四边形ABCD内接于圆．
3．判定定理的推论
如果四边形的一个外角等于它的内角的________，那么这个四边形的四个顶点共圆．1．互补 对角 2.(1)互补 3.对角 在圆内接四边形ABCD中，已知∠A、∠B、∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．
解析：设∠A、∠B、∠C的度数分别为4x、3x、5x，则由∠A＋∠C＝180°，可得4x＋5x＝180°，∴x＝20°.
∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，
∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°. 如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB和DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，求∠Q的度数．
解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠QCD＝∠A＝50°
又∠P＝30°
∴∠CDQ＝∠P＋∠A＝80°.
∴∠Q＝180°－80°－50°＝50°. 如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．
分析：连接EF，由∠B＋∠AEF＝180°，∠B＋∠C＝180°，可得∠AEF＝∠C.证明：如图，连接EF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＋∠C＝180°.
∵四边形ABFE内接于圆，
∴∠B＋∠AEF＝180°，
∴∠AEF＝∠C，
∴点C、D、E、F四点共圆．1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中，正确的个数有( )
①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．圆内接平行四边形一定是( )
A．正方形 B．菱形
C．等腰梯形 D．矩形B D 3．判断下列各命题是否正确．
(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个．
(2)矩形有唯一的外接圆．
(3)菱形有外接圆．
(4)正多边形有外接圆．解析：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．如图所示，PA为⊙O直径，PC为⊙O的弦，过 的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B.若HB＝6，BC＝4，则⊙O的直径为( )
A．10
B．13
C．15
D．205．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )
A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2
C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对
6．若△ABC与△BDC同时内接于圆O，则圆心O是这两个三角形的( )
A．重心 B．垂心
C．外心 D．重心和垂心B C 7．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )
A．20°
B．40°
C．80°
D．100°C 8．如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝________，∠BCD＝________.30° 150° 9．如图，⊙O的内接四边形BCED，延长ED,CB交于点A，若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3.则DE=________CE=________．答案：5 120° 60° 12．已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.
(1)求证：D、E、F、G四点共圆.
(2)求证：G、B、C、F四点共圆．证明：(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等．
∴D、E、F、G四点共圆
(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，
知DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B.
又由(1)中D、E、F、G四点共圆，
∴∠ADE＝∠GFE，
∴∠GFE＝∠B，
∴点G、B、C、F四点共圆．13．如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于点E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于点F、G.求证：∠CFG＝∠DGF.分析：已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE＝∠BAD，又EG平分∠BEC，故△CFE∽△AGE.下边易证∠CFG＝∠DGF.
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ECF＝∠EAG.
又∵EG平分∠BEC，
即∠CEF＝∠AEG，
∴△EFC∽△EGA.
∴∠EFC＝∠EGA.
而∠EGD＝180°－∠EGA，
∠CFG＝180°－∠EFC，
∴∠CFG＝∠DGF1．判定四点共圆的方法
(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．
(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)． 2．圆内接四边形判定定理的推论的证明．
已知：如图所示，四边形ABCD，
延长AB到E，∠EBC＝∠CDA.
求证：A、B、C、D四点共圆．
证明：因为∠EBC＝∠CDA，且
∠EBC＋∠ABC＝180°，
所以∠CDA＋∠ABC＝180°.
由圆内接四边形的判定定理知A、B、C、D四点共圆． 3.圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了用反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法.反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导出与题设或定理或公理矛盾，从而证明原命题正确的方法.感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件31张PPT。2.3 圆的切线的性质及判定定理 1．理解圆的切线的性质及其判定定理．
2．能正确应用圆的切线的性质及其判定定理．1．直线与圆有________公共点，称直线与圆相交；直线与圆只有________公共点，称直线与圆相切；直线与圆________公共点，称直线与圆相离．
2．切线的性质定理：圆的切线________经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过________．
3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________．1．两个 一个 没有 2.垂直于 切点 圆心
3．切线 已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，点C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA=AO=OB=1.?
(1)求∠P的度数.?
(2)求DE的长.?
解析：(1)如图，连接OC.?
∵点C为切点，?
∴OC⊥PC，△POC为直角三角形.?
∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2,?
∴?sin?∠ ,
∴∠P=30°?.?(2)∵BD⊥PD,?
∴在Rt△PBD中，由∠P=30°，?
PB=PA+AO+OB=3,得BD= .?
如图，连接AE，则∠AEB=90°，
∴AE∥PD.?
∴∠EAB=∠P=30°，?
∴BE=AB?sin 30°=1,?
∴DE=BD-BE= .? 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切．
分析：要证AC与⊙O相切，只需证明圆心O到直线AC的距离等于⊙O的半径即可．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为E.
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，且OD等于圆的半径．
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴∠B＝∠C，OB＝OC.
又∵∠ODB＝∠OEC＝90°，
∴△ODB≌△OEC.
∴OE＝OD，
即OE是⊙O的半径，
即圆心O到直线AC的距离等于半径．
∴AC与⊙O相切． 如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线．证明：如图所示，连接OD.
∵OC∥AD，
∴∠3＝1，∠4＝∠2.
∵OD＝OA，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠3.
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△DOC≌△BOC.
∴∠CDO＝∠CBO.
∵AB是直径，BC是切线，∴∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴DC是⊙O的切线．1．下列说法正确的是( )
A．垂直于半径的直线是圆的切线
B．垂直于切线的直线必经过圆心
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于切线的直线必经过切点
2．已知圆的半径为6.5 cm，圆心到直线l的距离为4.5 cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．不能确定C C 3．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④C 4．如图所示，AB是圆O的直径，直线MN切半圆于点C，CD⊥AB，AM⊥MN，BN⊥MN，则下列结论错误的是( )
A．∠1＝∠2＝∠3
B．AM·CN＝CM·BN
C．CM＝CD＝CN
D．△ACM∽△ABC∽△CBNB 5．如图所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E、F、G，P是 上任意一点，则∠EPF的度数等于( )
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°C 6．如图所示，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于( )A 7．如图所示，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC是半圆O的切线，切点为D，BC⊥AC于C，若BC＝6，AC＝8，则AE＝________.8．(2012年广东卷)如图所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.9．PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝5，在劣弧 上取一点C，过C作⊙O的切线， 分别交PA、PB于D、E两点，则△PDE的周长等于________．10 10．如图所示，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于点R，求证：RP＝RQ.分析：已知QR是⊙O的切线，可利用切线的性质定理，即OQ⊥RQ，另外，要证RP＝RQ，只要证∠RPQ＝∠RQP即可，只要证∠BPO＝∠PQR即可，再结合OQ⊥RQ.证明：连接OQ.
∵QR是⊙O的切线，
∴OQ⊥QR.
∵OB＝OQ，
∴∠B＝∠OQB.
∵BO⊥OA，
∴∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ，
∠PQR＝90°－∠OQP，
∴∠RPQ＝∠PQR，
∴RP＝RQ11．如图所示，已知直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA＝OB，CA＝CB，求证：直线AB是⊙O的切线．分析：如图所示，由于直线AB经过⊙O上一点C，所以连接OC，只要证明OC⊥AB即可．
证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC是等腰△OAB底边AB上的中线．
∴AB⊥OC.
又∵点C在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线12．如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
(1)证明：A、P、O、M四点共圆．
(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明：连接OP、OM，如图．
∵AP与⊙O相切于点P，
∴OP⊥AP.
∵点M是⊙O的弦BC的中点，
∴OM⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA＝180°，由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补，∴A、P、O、M四点共圆．
(2)解析：由(1)得A、P、O、M四点共圆，
所以∠OAM＝∠OPM.
由(1)得OP⊥AP.
由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°.
∴∠OAM＋∠APM＝90°1．分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个：①垂直于切线；②过切点；③过圆心．于是，在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径．
2．圆的切线还有两条性质应当注意：一是切线和圆只有一个公共点；二是切线和圆心的距离等于圆的半径．在许多实际问题中，我们也利用它们来解决．
3．在切线的判定定理中，要分清定理的题设和结论，强调“经过半径外端”和“垂直于这条半径”，这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，如下图的例子就不同时满足两个条件，所以都不是圆的切线．4．用判定定理证明一直线与圆相切时，必须满足两个条件：①过半径的外端；②垂直于这条半径．因此在解决相关问题时，若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证这条直线与此半径垂直，否则需先向这条直线作垂线，再证此垂线段是圆的半径．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件32张PPT。2.4 弦切角的性质1．理解弦切角的定义．
2．掌握弦切角的性质定理，并能应用它们进行简单的计算和证明.1．弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆________，另一边和圆________的角叫做弦切角．
2．弦切角的性质定理：__________________________ _________________.1．相交 相切
2．弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角已知MN是⊙O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于点E.
求证：AC2＝AE·AB.点评：此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等，再利用三角形相似证比例中项，这样的类型题较常见． 已知四边形ABCD内接于⊙O，点D是 的中，BC和AD的延长线相交于点E，DH切⊙O于点D，求证：DH平分∠CDE.
证明：如图，连接BD.
∵D是 的中点，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵DH切⊙O于点D，
∴∠CDH＝∠CBD＝∠ABD.
又∠CDE＝∠ABC，
∴∠HDE＝∠ABD，
∴∠CDH＝∠HDE，
∴DH平分∠CDE.已知DE切⊙O于点A，AB、AC是⊙O的弦，若 ＝ ，那么∠DAB和∠EAC是否相等？为什么？ 分析：由 于 与分别是两个弦切角∠DAB和∠EAC所夹的弧，而 = ，连接BC，易证∠B=∠C，于是得到∠DAB=∠EAC.
解析：如图，连接BC.
∵ = ，∴∠ACB=∠ABC.
又∵∠BAD=∠ACB，且∠CAE=∠ABC，
∴∠BAD=∠CAE.1．如图所示，AB为⊙O直径，CD切⊙O于点D，AB的延长线交CD于点C.若∠CAD＝25°，则∠C为( )
A．45°
B．40°
C．35°
D．30°解析：连接BD，∵AB为直径，
∴∠BDA＝90°.
又∵CD为⊙O的切线，切点为D，由弦切角定理可知∠BDC＝∠CAD＝25°，
∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.
在△ACD中，
∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.
答案：B2．如图所示，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若∠CAP＝40°，∠ACP＝100°，则∠BAC所对的弧的度数为( )
A．40°
B．100°
C．120°
D．30°C 3．如图所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )
A．2
B．3
C．2
D．4C 4．已知⊙O的内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，∠BCD＝120°，过点D的切线PD与BA的延长线交于点P，则∠APD的度数是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．如图所示，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于B，C、D为⊙O上的点，∠CBE＝40°， ＝ ，则∠BCD的度数是( )
A．110°
B．115°
C．120°
D．135°B B 6．如图所示，AD切⊙O于点F，FB、FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角________________________．答案：∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB 7．45° 135° 45° 90° 8.如图所示，已知AB和AC分别是⊙O的弦和切线，点A为切点，AD为∠BAC的平分线，且交⊙O于点D，BD的延长线与AC交于点C，AC=6，AD=5，则CD= .
答案：49．(2012年广东卷)如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.10．如图所示，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠BAC＝20°， ＝ ，DE是⊙O的切线，则∠EDC的度数是________．35°11．如图所示，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：
(1)AC·BD＝AD·AB；
(2)AC＝AE.证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.
从而 ，即AC·BD＝AD·AB.
(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD.
又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.
从而 ，即AE·BD＝AD·AB.
结合(1)的结论知，AC＝AE.12．如图所示，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于点E、F.
(1)求证：AB2＝AE·BC.
(2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长．1．弦切角的定义
(1)角的顶点在圆上，实际上就是角的顶点是圆的一条切线的切点．
(2)角的一边是过切点的一条弦(所在的射线)，角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线.
2．弦切角定理的证明与圆周角定理的证明相仿，也分三种情况，第一种情况是特殊情况，其他两种是一般情况，通过作辅助线可转化为第一种情况．
3．弦切角是与圆有关的又一种角，要能在图形中准确地识别，并能正确应用弦切角定理及其推论．它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据，常常与圆周角、圆心角性质联合应用来进行证明、求解. 4．如图1中的∠ACD和∠BCD都是弦切角.
需要注意弦切角定义的两点：
(1)弦切角必须具备三个条件：
①顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)．
②一边和圆相切(即一边所在直线为圆的切线)．
③另一边和圆相交(即另一边为圆的过切点的弦)． 三者缺一不可．例如在图2中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD与圆相交；∠BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．(2)弦切角也可以看作圆周角的一边绕其顶点旋转到与圆相切时所成的角．因此，弦切角与圆周角存在密切关系．
5．需要注意的几个问题：
(1)弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧，如图1，弦切角∠BCD所夹的弧是 ,弦切角∠ACD所夹的弧是 .
(2)弦切角定理的证明同圆周角定理的证明极相似，同样是按圆心与角的位置关系分情况(如下图)进行证明．①圆心在弦切角∠BAC一边上；②圆心在弦切角∠BAC外部；③圆心在弦切角∠BAC内部．
(3)由定理可得：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件32张PPT。2.5 与圆有关的比例线段 1．掌握相交弦定理．
2．掌握割线定理．
3．掌握切割线定理与切线长定理．1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积________．
2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的________．
4．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角．1．相等 3.比例中项 4.相等 平分 如图所示，已知AD为Rt△ABC斜边上的高，过C和D两点的圆交AC于点E，连接BE交圆于H，连接AH.求证：
(1)AB2＝BH·BE；
(2)∠AHB＝90°.证明：(1)∵在Rt△ABC中，AD⊥BC，
∴AB2＝BD·BC(射影定理)．
∵BD·BC＝BH·BE，
∴AB2＝BH·BE.
(2)∵AB2＝BH·BE，
∴ ＝ .
又∠ABH＝∠EBA，
∴△ABH∽△EBA，
∴∠AHB＝∠EAB＝90°. 已知圆中有两条弦相交，第一条弦被交点分为12 cm和16 cm两段，第二条弦的长为32 cm，求第二条弦被交点分成的两段线段的长．
分析：相交弦定理的应用．
解析：设第二条弦长被交点分成的两段线段的长分别为x cm和(32－x) cm.根据相交弦定理，可得
12×16＝(32－x)x，解得x＝8(cm)或x＝24(cm)． 如图所示，已知AC切⊙O于点C，CP为⊙O的直径，AB切⊙O于点D，与CP的延长线交于点B，若AC＝PC.
(1)求证：BD＝2BP.
(2)求证：PC＝3BP.1．圆内两条相交弦，其中一弦长为8 cm，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是( )
A．2 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cmC 2.已知⊙O的割线PAB交⊙O于点A、B，PA=7 cm,AB=
5 cm,PO=10 cm,则⊙O的半径为（? ?）?
? A. 4 cm? ? B. 5 cm??
? C. 6 cm? D. 7 cm??A 3.（2013年广州一模）如下图（左），AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC=3，AD=165，则AB的长为 .?
答案：4第3题图第4题图 4.（2013年惠州二调）如上图（右），从⊙O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=23，AC=6，⊙O的半径为3，则圆心O到AC的距离为 .?
答案：5 5.（2013年惠州一模）如图⊙O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=? .?
答案：?6．如图所示，AB是⊙O的弦，点P是AB上一点，若AB＝10 cm，PA＝4 cm，OP＝5 cm，则⊙O的半径为( )
A. cm
B．7 cm
C．14 cm
D．9 cmB 7．如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PA＝8，割线PCB交圆于点C、B，且PC＝4，AD⊥BC于点D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，连接AB、AC，则 的值等于( )
A.
B.
C．2
D．4B 8．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为________．12 9．如图所示，已知P是·⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4 ，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________．430°10．(2012年湖南卷)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．解析：利用割线定理求解．
设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，
∴PB＝PA＋AB＝3.
延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.
设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.
由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，
∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ .
答案：11．如图所示，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝ ，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．12．如图所示，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝ ，∠OAP＝30°，则CP＝________.13．如图所示，已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3 cm、4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则 ＝__________.14．如图所示，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2＝EC·EB.证明：因为AE是圆的切线，所以∠ABC＝∠CAE.
又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD.
从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD.
因为∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，
所以∠ADE＝∠DAE.故EA＝ED.
因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，
EA2＝EC·EB，而EA＝ED，所以ED2＝EC·EB.15.如图所示，弦AD和CE相交于⊙O内一点F，延长EC与过点A的切线相交于点B，且AB＝BF＝FD，BC＝1 cm，CE＝8 cm，求EF和AF的长．分析：根据切割线定理与相交弦定理即可求得．
解析：AB2＝BC·BE，
AB2＝1×9， ∴ AB＝3(cm)＝BF＝FD.
∴CF＝2(cm)，FE＝6(cm)．
又∵AF·FD＝CF·FE，
∴AF×3＝2×6，
即AF＝4(cm)1．在相交弦定理的叙述和应用中，如果将半径、直径跟定理中的线段搞混，就会导致证明过程发生错误，因此务必要清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理．
2．切割线定理的灵活应用以及切割线定理与割线定理之间的联系是难点．3．四大定理的数学语言记忆：如图所示，
AB、CD为圆的弦且交于点P，延长BD与CA交于点Q，QB与QC是两割线，RD切⊙O于点D，交QC于点R，RS与⊙O切于点S，则有
相交弦定理：AP·PB＝DP·PC，
割线定理：QD·QB＝QA·QC，
切割线定理：RA·RC＝RD2，
切线长定理：RD＝RS.感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件20张PPT。习题课：直线与圆的位置关系 1.（2013年广东高考）如图AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC到D使BC=CD，过C点作⊙O的切线交AD于E.若AB=6，ED=2，则BC= . ?答案：2．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝ ，则线段CD的长为____．3. （2012年陕西卷）如右图所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF·DB= .解析：利用相交弦定理及射影定理求解．
由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.
∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.
在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，
∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.
答案：54．如图所示，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．解析：圆的半径一定，在Rt△ODC中解决问题．
当D为AB中点时，OD⊥AB，OD最小，此时DC最大，所以DC最大值＝ AB＝2.
答案：2 5.（2013年广东模拟）如下图（左）所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P，已知AC=4，AB=6，则MP·NP= .?
第5题图 第6题图
案答： 6.（2013年广州调研）如上页图（右）已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上的一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4，PB=2，则PC的长是 .?
答案：? 7.（2013年广州二模）如下图（左），PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= .?
答案：15?第7题图第8题图 8.（2012年惠州二调）如上图（右），在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC，则sin∠BCO= .?
答案：9.如图所示，设AD、CF是△ABC的两条高，AD、CF交于点H，AD的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点G，AE是⊙O的直径．
(1)求证：AB·AC＝AD·AE.
(2)求证：DG＝DH.证明：如图,(1)连接BE.由于AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径，故∠ADC＝∠ABE＝90°，∠ACD＝∠AEB，
∴△ABE∽△ADC.
∴ ＝ ，
即AB·AC＝AD·AE.
(2)连接CG.∵AD是BC边上的高，
∴∠GCD＝∠BAG＝90°－∠ABC.
∵CF是高，∴∠HCD＝90°－∠ABC.
∴∠GCD＝∠HCD.又CD⊥HG，CD为公共边，
∴△GCD≌△HCD.
∴DG＝DH10．如图，D、E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，
所以∠BGD＝∠BDG.
由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，
又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，
所以△BCD∽△GBD.11．如图所示，已知圆上的弧 ＝ ，过点C的圆的切线与BA的延长线交于点E.
(1)求证：∠ACE＝∠BCD.
(2)求证：BC2＝BE·CD.12．如图所示，已知 为90°的弧，B、C将 三等分，弦AD与半径OB、OC相交于点E、F.求证：AE＝BC＝FD.13．两圆相交于点A、B，过A作两直线分别交两圆于点C、D和点E、F.若∠EAB＝∠DAB，求证：CD＝EF.证明：如图所示，∵ABEC为圆内接四边形，
∴∠DAB＝∠CEB.
又∵∠EAB＝∠ECB，
且∠EAB＝∠DAB，
∴∠CEB＝∠ECB，
∴BC＝BE.
在△CBD与△EBF中，∠C＝∠E，∠D＝∠F，BC＝BE，
∴△CBD≌△EBF，
∴CD＝EF感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束
