人教版七年级数学下册 8.1 二元一次方程 教案

8.1 二元一次方程组
一、教学目标
【知识与技能】
1.了解二元一次方程（组）及其解的概念.
2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.
3.会设两个未知数并列出简单的二元一次方程或二元一次方程组表示实际问题中的等量关系，能根据简单的实际问题列出二元一次方程组.
【过程与方法】
经历分析实际问题中数量关系的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型。类比一元一次方程认识二元一次方程、二元一次方程组，通过自由思考与小组合作交流，培养学生的探究能力.
【情感态度与价值观】
培养学生的发现意识和探究习惯，体会方程组刻画现实数量关系的优越性和数学的应用价值.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.掌握二元一次方程、二元一次方程组及其的解的概念；
2.判断一组未知数的值是不是某个二元一次方程、二元一次方程组的解.
【教学难点】
引导学生运用“实际问题——数学问题” 的建模意识来理解和探索二元一次方程的解.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部10场比赛中得16分，那么这个队胜负场数应分别是多少
教师问：这个问题中有几个未知数，你能用学过的一元一次方程解决此问题吗？
（二）探索新知
1.出示课件4，探究二元一次方程的概念
教师问：说一说这个题目该如何进行解答？
学生回答：列方程解答.
教师问：想一想，如果设一个未知数(比如设胜x场,) ,根据题意该怎样列方程？
师生一起解答：用胜的场数来表示负的场数
解：设胜x场，则负（10- x）场，分析如下表
胜 负 合计
场数 x （10-x） 10
积分 2x （10-x） 16
教师问：根据上表你能列出方程吗？
学生答： 2x+（10-x）=16.
教师问：思考能不能直接设两个未知数(比如设胜x场,负y场) ,让列方程更容易呢？ （出示课件5）
师生一起解答：
解：设胜x场，负y场，分析如下表
胜 负 合计
场数 x y 10
积分 2x y 16
教师问：根据上表你能列出方程吗？
学生答：由题意得到方程：x+y=10，2x+y=16.
教师问：观察这两个方程是一元一次方程吗？为什么？（出示课件6）
学生答：不是. 因为方程中有两个未知数x和y，而一元一次方程应该只有一个未知数.
教师问：说一说这两个方程有什么共同特点？
学生1答：这两个方程含有两个未知数。
学生2答：方程中含有未知数的项的次数都是1。
教师提出表扬并总结：像这样，含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.
教师问：接下来同学们想一想二元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处呢？
学生1答：两种方程里含未知数的项的次数都是1。
学生2答：含未知数的个数不同。一元一次方程只有一个未知数，一元二次方程里面含有两个未知数.
教师提出表扬并总结：两位同学总结的很好！二元一次方程与一元一次方程的不同点：含未知数的个数不同；相同点：都是一次方程
考点1：二元一次方程的判断（出示课件7）
判断下列方程是否为二元一次方程：
（1）3y-2x =z+5；
（2） y+x;
（3）x2+y=0;
（4）x=+1;
（5）=0;
（6）3-2xy=1;
（7）4x+π=0;
（8）2x=1-3y.
师生共同讨论解答如下：
解：
二元一次方程是含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程。
（1）含有三个未知数，不是。
（2）不是等式，不是。
（3）x的次数是2，不是。
（4）整理化解后为xy=2+y，xy项的未知数次数为2，不是。
（5）符合二元一次方程的定义，是。
（6）-2xy项的次数是2，不是。
（7）只含有一个未知数，不是。
（8）符合二元一次方程的定义，是。
总结点拨：（出示课件8）
判断一个方程是否为二元一次方程的方法：
一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；
二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.
出示课件9，学生自主练习后口答，教师订正.
考点2：根据二元一次方程的定义求字母的值（出示课件10）
已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．
教师问：怎么根据二元一次方程的定义解决此题呢？
学生答：若是二元一次方程，则方程中未知数的系数不能为0，并且含有未知数的项的次数都是1。
学生独立思考后，师生共同解答.
解析：
根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，
解得m＝－1，n＝1，
所以m＋n＝0.
答案：0.
教师总结此类题目解题方法：
由方程是二元一次方程可知： (1)未知数的系数不为0； (2)含有未知数的项的次数都是1.
教师：根据这类问题解题方法完成下面练习题（出示课件11）
学生自主练习后口答，教师订正.
2.探究二元一次方程组的定义（出示课件12）
教师出示问题：篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队想在全部16场比赛中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少
你能找出题目中的等量关系吗？
学生1答：胜的场数+负的场数=总场数；
学生2答：胜场积分+负场积分=总积分。
教师问：你能试着列出方程吗？
学生答：设该队胜了x场，负了y场,根据题意可得方程：
x+y=16，2x+y=28.
教师问：在这两个方程中,x的含义相同吗 y呢
学生答：两个方程 x都表示胜的场数和y都表示负的场数.
教师总结：因为未知数的含义相同，所以我们可以这样联立起来，得到如下形式：，这样我们得到了一个新的方程形式。
教师问：你能试着给出描述这种方程形式吗？
学生答：两个二元一次方程放在一起就是二元一次方程组.
总结点拨：像这样,把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.
教师问：根据二元一次方程组的定义，说一说下列哪些是二元一次方程组？（出示课件13）
学生自主练习，教师给出答案。
教师总结：要判断一组中的每个等式是否为二元一次方程。
教师问：通过练习，请你说说二元一次方程组有哪些特点？（出示课件14）
师生一起总结：二元一次方程组有以下特点：
①方程组中共有2个不同未知数；
②方程组有2个一次方程；
③一般用大括号把2个方程连起来.
考点1：二元一次方程组的判断（出示课件15）
在方程组①
③ ⑥中，是二元一次方程组的有 ( )
A. 1个　 　B. 2个　 C. 3个 　 D. 4个
师生共同分析:
①②③方程组中每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是二元一次方程组；
④方程组中第一个方程中xy的次数是2，不是一次方程，所以不是二元一次方程组；
⑤方程组中每一个方程含未知数的项x，y的次数都是1，是二元一次方程组；
⑥方程组中第一个方程不是整式方程，所以不是二元一次方程组．
只有①②③⑤满足．故选D.
答案：D.
师生共同归纳：
识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：
一看方程组中的方程是否都是整式方程；
二看方程组中是不是只含两个未知数；
三看含未知数的项的次数是不是都为1.
出示课件16，学生自主练习，教师给出答案。
3.探究二元一次方程的解的定义（出示课件17）
教师出示问题：满足课堂开始篮球联赛问题中的方程 x+y=10，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中.
x
y
教师提示学生一次回答：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
教师问：如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？
学生1答：x,y还可取到小数,如x=0.5,y=9.5等；
学生2答：x,y还可取到一个正数和一个负数,如x=11,y=-1等.
教师问：这些值是有限的吗？
学生答：这些值是无限的，有无数组这样的值.
师生总结点拨：（出示课件18）
二元一次方程解的定义：
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
教师问：说一说，怎么判断一对数值是不是二元一次方程的解呢？
学生答：把这组数值代入到原方程对应的未知数中，看看是否满足。
教师提出表扬并总结：
判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法：
把这对数值分别代入方程的左右两边,若左边=右边,则这对数值是这个方程的解;若左边≠右边,则这对数值不是这个方程的解.
教师提示:一般情况下,二元一次方程有无数组解,但若对其未知数取值附加某些条件,那么也可能只有有限个解.
教师问：通过上面二元一次方程解的判断方法，能不能试着给二元一次方程的解下个定义？（出示课件19）
师生总结：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解.
教师问：二元一次方程的解有什么特点？
学生答：一般有无数多个。
教师：接下来做练习，判断x、y的值是否是方程的解。
学生自主练习，教师给出答案。
4.探究二元一次方程组的解的定义（出示课件20）
教师出示问题：方程①x+y=16中 ,符合实际意义的x ,y的值有哪些 把它们填入下面表格中.
x
y
学生依次回答：填写如下表：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
y 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
教师问：再找出方程②2x+y=28的符合实际意义的解,仿照上表填写。
x
y
学生依次回答：填写如下表：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
y 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
教师问：观察上表中哪对x，y的值还满足方程② 2x+y=28？（出示课件21）
学生答：x=12，y=4还满足方程②．
教师讲解：x=12，y=4即满足方程②，也满足方程①．
它是方程①x+y=16与方程②2x+y=28的公共解，记作.
师生总结：二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
出示课件22，学生自主练习，教师给出答案。
考点1：利用二元一次方程组的解求字母的值(出示课件23)
已知二元一次方程组的解是，求a与b的值。
教师问：要怎么解决这道题呢？
学生答：先把解代入原方程
学生独立思考后，师生共同解答.
解：把 代入到方程组,得：
,
解得a =2,b=11.
总结点拨：利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解。
出示课件24，学生自主练习，教师给出答案。
考点2：根据实际问题列二元一次方程组（出示课件25）
例5 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解。
加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
师生共同分析如下：
教师问：此题中的等量关系是什么？
学生思考后答：
第一道工序的人数＋第二道工序的人数＝总人数 ①；
第一道工序的件数＝第二道工序的件数 ②。
教师问：怎么列方程呢？
学生1答：设安排第一道工序x人，第二道工序y人，用方程把这些等量关系表示出来：①x+y=7, ②900x=1200y.
解： 所以可列方程组为
解得：.
答：安排第一道工序4人，第二道工序3人。
出示课件27，学生自主练习，教师给出答案。
（三）课堂练习（出示课件28-34）
练习课件第28-34页题目，约用时20分钟
（四）课堂小结（出示课件35）
二元一次方程组 二元一次方程（组）的概念 方程组中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
二元一次方程（组）的解的概念 一般地，二元一次方程组各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.
根据实际问题列二元一次方程组
（五）课前预习
预习下节课（8.2第1课时）的相关内容.
知道消元、代入消元法的定义和会利用代入消元法解二元一次方程组.
课后作业
教材第89页练习和第90页习题8.1第1,2题.
板书设计：
二元一次方程组
等量关系：
教学反思：
成功之处：通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，增加对数学较全面的体验和理解.
不足之处：对二元一次方程组的认识需要加强，有的学生认为两个方程必须都是二元一次方程才可以，需要让学生明白和都是二元一次方程组.
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