人教版七年级数学下册8.4 三元一次方程组的解法 教案
文档属性
| 名称 | 人教版七年级数学下册8.4 三元一次方程组的解法 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 33.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-17 21:41:16 | ||
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文档简介
8.4 三元一次方程组的解法
一、教学目标
【知识与技能】
1.了解三元一次方程组的概念.
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.
3.会解较复杂的三元一次方程组.
【过程与方法】
在学习解三元一次方程组的过程中，感受消元转化的思想
【情感态度与价值观】
让学生学会“举一反三”的学习方法，体会数学的魅力.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
三元一次方程组的解法；2.三元一次方程组的应用.
【教学难点】
三元一次方程组的应用.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
化二元为一元
【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？
（二）探索新知
1.出示课件4-7，探究三元一次方程组的概念
出示问题：小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？
教师问：题目中有几个条件？
学生答： 题目中共有3个条件.
教师问：问题中有几个未知量？
学生答：问题中有3个未知量.
教师问：题目中有哪些数量关系呢？
教师依次展示学生答案：
学生1答：1元面值+2元面值+5元面值=22元.
学生2答：1元张数+2元张数+5元张数=12张.
学生3答：1元张数=2元张数×4.
教师总结如下：
（1）1元面值+2元面值+5元面值=22元.
（2）1元张数+2元张数+5元张数=12张.
（3）1元张数=2元张数×4.
教师问：你能利用表格表示上面的数量关系吗？
学生答：（三个量关系）每张面值 × 张数=钱数
面值 张数 钱数
1元 x x
2元 y 2y
5元 z 5z
合 计 12 22
注 1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，即x=4y
教师问：观察上表，你能得到几个方程呢？
师生一起解答：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、 z张，根据题意可以得到下列三个方程:x+y+z=12,x+2y+3z=22,x=4y.
教师问：根据等量关系你能列出方程组吗？
学生答：对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成
教师问：这个方程组含有几个未知数呢？
学生答：这个方程组中含有3个未知数.
教师问：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是几呢？
学生答：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是1.
教师问：仿照前面学习的二元一次方程组的定义，你能给这个方程组下定义吗？
学生答：含有三个一次方程并且有三个一次未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
总结点拨：（出示课件8）
由此，我们得出三元一次方程组的定义
含有三个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
考点1：三元一次方程组的判断
下列是三元一次方程组的是( )（出示课件9）
A. B.
C. D.
师生共同讨论解答如下：
解析：A选项中，方程x +y＝5中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中不是整式，故B选项不是；C选项中,方程xyz＝1中含未知数的项的次数为3，不符合三元一次方程组的定义，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
答案：D.
总结点拨：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．
出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.
2.出示课件11，探究三元一次方程组的解法
教师问：类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 怎样解三元一次方程组呢
例如：
学生答：通过消元转化一元一次方程来解答.
教师问：能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
学生答：可以的，利用代入法和加减法把“三元”化成“二元”，再像以前解二元一方程一样，通过消元转化为一元一次方程来解答即可.
考点2：三元一次方程组的解法
解三元一次方程组（出示课件12-13）
师生共同分析：
方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一个只含x, z的方程, 与方程①组成一个二元一次方程组.
学生独立思考后，师生共同解答.
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④
与④组成方程组
解这个方程组，得
把 x＝5，z＝-2 代入②，得y=.
因此，三元一次方程组的解为
总结点拨：（出示课件14）
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正.
考点3：三元一次方程组求字母的值
在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.（出示课件16-17）
学生独立思考后，师生共同解答.
解:根据题意，得三元一次方程组
－①， 得 a＋b=1; ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 a＝3，b＝-2 代入①，得c=.
因此，三元一次方程组的解为
即a,b,c的值分别为3，-2，-5.
出示课件18，学生自主练习，教师给出答案.
考点4：利用三元一次方程组解答实际问题
幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）（出示课件19）
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.（出示课件20）
学生独立思考后，师生共同解答.
解: (1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，根据题意，得三元一次方程组
(2)②-①×4,③-①,得
⑤+④,得
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
出示课件22，学生自主练习，教师给出答案.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.
（三）课堂练习（出示课件24-29）
练习课件第24-29页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件30）
三元一次方程组 三元一次方程组的概念 含有三个未知数 每个方程中含未知数的项的次数都是1 一共有三个方程
三元一次方程组的解法 通过代入消元法或加减消元法转化为二元一次方程组
三元一次方程组的应用
（五）课前预习
预习下节课（9.1.1第1课时）的相关内容.
知道不等式、不等式的解、解集、解不等式的定义
课后作业
教材第106页练习第1,2题.
板书设计：
1.知识梳理
三元一次方程组
2.考点讲解
考点1 考点2 考点3 考点4
教学反思：
成功之处：本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力.
不足之处：解三元一次方程组，运算量大，变化较多，学生需要首先预判消去哪个未知数，所以在实际解题时容易出现消元选错未知数，重新消元，消元时出现符号错误，这些都是需要多练习多讲解的地方，还需要学生在课下多探究多找规律才能掌握.
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一、教学目标
【知识与技能】
1.了解三元一次方程组的概念.
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.
3.会解较复杂的三元一次方程组.
【过程与方法】
在学习解三元一次方程组的过程中，感受消元转化的思想
【情感态度与价值观】
让学生学会“举一反三”的学习方法，体会数学的魅力.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
三元一次方程组的解法；2.三元一次方程组的应用.
【教学难点】
三元一次方程组的应用.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
化二元为一元
【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？
（二）探索新知
1.出示课件4-7，探究三元一次方程组的概念
出示问题：小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？
教师问：题目中有几个条件？
学生答： 题目中共有3个条件.
教师问：问题中有几个未知量？
学生答：问题中有3个未知量.
教师问：题目中有哪些数量关系呢？
教师依次展示学生答案：
学生1答：1元面值+2元面值+5元面值=22元.
学生2答：1元张数+2元张数+5元张数=12张.
学生3答：1元张数=2元张数×4.
教师总结如下：
（1）1元面值+2元面值+5元面值=22元.
（2）1元张数+2元张数+5元张数=12张.
（3）1元张数=2元张数×4.
教师问：你能利用表格表示上面的数量关系吗？
学生答：（三个量关系）每张面值 × 张数=钱数
面值 张数 钱数
1元 x x
2元 y 2y
5元 z 5z
合 计 12 22
注 1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，即x=4y
教师问：观察上表，你能得到几个方程呢？
师生一起解答：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、 z张，根据题意可以得到下列三个方程:x+y+z=12,x+2y+3z=22,x=4y.
教师问：根据等量关系你能列出方程组吗？
学生答：对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成
教师问：这个方程组含有几个未知数呢？
学生答：这个方程组中含有3个未知数.
教师问：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是几呢？
学生答：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是1.
教师问：仿照前面学习的二元一次方程组的定义，你能给这个方程组下定义吗？
学生答：含有三个一次方程并且有三个一次未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
总结点拨：（出示课件8）
由此，我们得出三元一次方程组的定义
含有三个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
考点1：三元一次方程组的判断
下列是三元一次方程组的是( )（出示课件9）
A. B.
C. D.
师生共同讨论解答如下：
解析：A选项中，方程x +y＝5中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中不是整式，故B选项不是；C选项中,方程xyz＝1中含未知数的项的次数为3，不符合三元一次方程组的定义，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
答案：D.
总结点拨：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．
出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.
2.出示课件11，探究三元一次方程组的解法
教师问：类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 怎样解三元一次方程组呢
例如：
学生答：通过消元转化一元一次方程来解答.
教师问：能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
学生答：可以的，利用代入法和加减法把“三元”化成“二元”，再像以前解二元一方程一样，通过消元转化为一元一次方程来解答即可.
考点2：三元一次方程组的解法
解三元一次方程组（出示课件12-13）
师生共同分析：
方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一个只含x, z的方程, 与方程①组成一个二元一次方程组.
学生独立思考后，师生共同解答.
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④
与④组成方程组
解这个方程组，得
把 x＝5，z＝-2 代入②，得y=.
因此，三元一次方程组的解为
总结点拨：（出示课件14）
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正.
考点3：三元一次方程组求字母的值
在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.（出示课件16-17）
学生独立思考后，师生共同解答.
解:根据题意，得三元一次方程组
－①， 得 a＋b=1; ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 a＝3，b＝-2 代入①，得c=.
因此，三元一次方程组的解为
即a,b,c的值分别为3，-2，-5.
出示课件18，学生自主练习，教师给出答案.
考点4：利用三元一次方程组解答实际问题
幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）（出示课件19）
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.（出示课件20）
学生独立思考后，师生共同解答.
解: (1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，根据题意，得三元一次方程组
(2)②-①×4,③-①,得
⑤+④,得
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
出示课件22，学生自主练习，教师给出答案.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.
（三）课堂练习（出示课件24-29）
练习课件第24-29页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件30）
三元一次方程组 三元一次方程组的概念 含有三个未知数 每个方程中含未知数的项的次数都是1 一共有三个方程
三元一次方程组的解法 通过代入消元法或加减消元法转化为二元一次方程组
三元一次方程组的应用
（五）课前预习
预习下节课（9.1.1第1课时）的相关内容.
知道不等式、不等式的解、解集、解不等式的定义
课后作业
教材第106页练习第1,2题.
板书设计：
1.知识梳理
三元一次方程组
2.考点讲解
考点1 考点2 考点3 考点4
教学反思：
成功之处：本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力.
不足之处：解三元一次方程组，运算量大，变化较多，学生需要首先预判消去哪个未知数，所以在实际解题时容易出现消元选错未知数，重新消元，消元时出现符号错误，这些都是需要多练习多讲解的地方，还需要学生在课下多探究多找规律才能掌握.
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