人教版八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除（第1课时）教案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除（第1课时）教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 36.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-17 21:46:59 | ||
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文档简介
16.2 二次根式的乘除
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.理解=(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.
2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.
【过程与方法】
1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.
2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
【情感态度与价值观】
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.
【教学难点】
二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺、插图等.
学生：三角尺、铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
某手机操作系统的图标为圆角矩形，长为cm，宽为cm，则它的面积是多少呢？
学生列式：×
教师提出问题：想想如何计算这个式子呢？
（二）探索新知
1.探究二次根式的乘法法则（出示课件4-6）
教师依次展示下列问题：
（1） =____×_____=____;=_______=____.
（2） =____×____=____;=_______=____.
（3） =____×____=____;=_______=____.
学生独立思考后回答：
学生1答：
（1） =_2_×_3_=_6;== _6__.
学生2答：
（2） =_4_×_5=_20;==__20__.
学生3答：
（3） =_5×_6_=_30_;==_30_.
教师问：观察计算结果,你能发现什么规律
学生依次回答：观察三组式子的结果，我们得到下面的等式：
学生1答： （1）=.
学生2答：（2）.
学生3答：（3）=.
教师问：你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
学生回答：=(a≥0,b≥0)
教师问：想一想：成立吗？
学生回答：不成立.
教师问：为什么呢？
学生回答：因为没有意义！
教师问：因此被开方数a，b需要满足什么条件？
学生回答：a，b是非负数，即a≥0,b≥0.
师生一起归纳总结：（出示课件7）
二次根式的乘法法则是:=(a≥0,b≥0)
二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.
教师追问：你能用语言描述一下二次根式的乘法法则吗？
学生回答：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
教师强调：a,b都必须是非负数.
考点1：简单的二次根式的乘法运算
计算：（出示课件8）
（1） ;（2）
师生共同讨论解答如下：
解： （1） =;
（2） ===3
教师追问：下边的式子如何运算？
师生共同分析如下：可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
学生解答如下：
解：
=（= =
师生共同总结如下：（出示课件9）
只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（ =(a≥0,b≥0……k≥0)）
出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.
考点2：因数不是1二次根式的乘法运算
计算:(出示课件12)
（1）2 ;（2）4 ）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：（1）2 =（2×3）（）=6;
（2）4 ）=4 ）×（）=-2×9=-18
教师总结点拨：（出示课件12）
当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项
式的法则计算，即=(a≥0,b≥0).
教师强调：（出示课件13）
二次根式的乘法法则的推广：
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
=(a≥0,b≥0……n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即=(a≥0,b≥0).
出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正.
考点3：二次根式的大小比较
比较大小:（出示课件15-16）
（1） ;（2）- ;
学生独立思考后，师生共同解答.
解：
学生1解答：
(1)方法一：
∵=，=
又∵20＜27，∴＜,即.
学生2解答：
（1）方法二：
∵（）2=22×（）2 =4×5=20，（）2=32×（）2 =9×3=27，
又∵20＜27，∴（）2＜（）2,即.
学生3解答：
(2)∵=，=
又∵52＜54，∴＜, ∴＞,
即.
教师问：比较二次根式大小的方法有哪些？
师生共同归纳：（出示课件17）
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较．
出示课件18，学生自主练习，教师给出答案。
2.探究二次根式的乘法法则的逆用（出示课件19）
教师依次展示下列问题：
（1）=_______=____； =____×_____=____.
（2）=_______=____； =____×___=____.
（3）=_______=____； =____×____=___.
依次展示下列问题答案：
学生1答：
（1）==_6___； =_2_×_3_=_6.
学生2答：
（2）==__20__； =_4_×_5=_20.
学生3答：
（3）==_30_； =_5×_6_=_30_.
教师问：观察计算结果,你能发现什么规律
学生分题号回答如下：
学生1答：（1） .
学生2答：（2） .
学生3答：（3） .
教师问：你发现了什么规律？
学生回答：两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.
教师问：你能用字母表示你所发现的规律吗？
学生回答：(a≥0,b≥0)
考点1：利用二次根式的乘法法则的逆用计算
化简：（出示课件20）
（1）（2）
解： （1）
=
=4×9
=36;
（2）
=
=2a
=2a
=2ab
总结点拨：（出示课件21）
化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来.
出示课件21，学生自主练习，教师给出答案。
考点2：利用二次根式的乘法法则及逆用计算
计算：（出示课件22）
（1） ;（2）3 ；（3）
学生独立思考后，师生共同解答.
依次展示学生答案：
学生1解：
（1）==7;
学生2解：
（2）3 =3 ×====30
学生3解：
（3） ====x.
教师问：你能说一下化简二次根式的步骤吗？
引导学生回答并总结如下：（出示课件23）
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 ，把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 .
出示课件24，学生自主练习，教师给出答案。
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。
（三）课堂练习（出示课件25-33）
练习课件第28-34页题目，约用时20分钟
（四）课堂小结（出示课件34）
二次根式的乘法 内容
二次根式的乘法法则 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即
积的算术平方根的性质 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.即(a≥0,b≥0)
二次根式的乘法法则拓展 多个二次根式相乘时此法则也适用，即 =(a≥0,b≥0……n≥0)
=(a≥0,b≥0)
（五）课前预习
预习下节课（16.2第2课时）的相关内容.
知道最简二次根式的定义及其二次根式的除法法则
七、课后作业
教材第7页练习第1,2,3题.
八、板书设计
二次根式的乘除
第1课时
1.二次根式的乘法
考点1 考点2 考点3
2.二次根式乘法法则的逆用
考点1 考点2
3.例题讲解
九、教学反思
优点之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标. 学生基本掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应将被开方数进一步分解因数,以便把开得尽方的因数移到根号外面,从而使计算简便.
自我反思：进一步放手让学生自学本节内容,让学生在观察、归纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上,重点进行计算和化简方面的练习,让学生先练,教师后教.
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第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.理解=(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.
2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.
【过程与方法】
1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.
2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
【情感态度与价值观】
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.
【教学难点】
二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺、插图等.
学生：三角尺、铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
某手机操作系统的图标为圆角矩形，长为cm，宽为cm，则它的面积是多少呢？
学生列式：×
教师提出问题：想想如何计算这个式子呢？
（二）探索新知
1.探究二次根式的乘法法则（出示课件4-6）
教师依次展示下列问题：
（1） =____×_____=____;=_______=____.
（2） =____×____=____;=_______=____.
（3） =____×____=____;=_______=____.
学生独立思考后回答：
学生1答：
（1） =_2_×_3_=_6;== _6__.
学生2答：
（2） =_4_×_5=_20;==__20__.
学生3答：
（3） =_5×_6_=_30_;==_30_.
教师问：观察计算结果,你能发现什么规律
学生依次回答：观察三组式子的结果，我们得到下面的等式：
学生1答： （1）=.
学生2答：（2）.
学生3答：（3）=.
教师问：你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
学生回答：=(a≥0,b≥0)
教师问：想一想：成立吗？
学生回答：不成立.
教师问：为什么呢？
学生回答：因为没有意义！
教师问：因此被开方数a，b需要满足什么条件？
学生回答：a，b是非负数，即a≥0,b≥0.
师生一起归纳总结：（出示课件7）
二次根式的乘法法则是:=(a≥0,b≥0)
二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.
教师追问：你能用语言描述一下二次根式的乘法法则吗？
学生回答：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
教师强调：a,b都必须是非负数.
考点1：简单的二次根式的乘法运算
计算：（出示课件8）
（1） ;（2）
师生共同讨论解答如下：
解： （1） =;
（2） ===3
教师追问：下边的式子如何运算？
师生共同分析如下：可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
学生解答如下：
解：
=（= =
师生共同总结如下：（出示课件9）
只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（ =(a≥0,b≥0……k≥0)）
出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.
考点2：因数不是1二次根式的乘法运算
计算:(出示课件12)
（1）2 ;（2）4 ）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：（1）2 =（2×3）（）=6;
（2）4 ）=4 ）×（）=-2×9=-18
教师总结点拨：（出示课件12）
当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项
式的法则计算，即=(a≥0,b≥0).
教师强调：（出示课件13）
二次根式的乘法法则的推广：
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
=(a≥0,b≥0……n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即=(a≥0,b≥0).
出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正.
考点3：二次根式的大小比较
比较大小:（出示课件15-16）
（1） ;（2）- ;
学生独立思考后，师生共同解答.
解：
学生1解答：
(1)方法一：
∵=，=
又∵20＜27，∴＜,即.
学生2解答：
（1）方法二：
∵（）2=22×（）2 =4×5=20，（）2=32×（）2 =9×3=27，
又∵20＜27，∴（）2＜（）2,即.
学生3解答：
(2)∵=，=
又∵52＜54，∴＜, ∴＞,
即.
教师问：比较二次根式大小的方法有哪些？
师生共同归纳：（出示课件17）
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较．
出示课件18，学生自主练习，教师给出答案。
2.探究二次根式的乘法法则的逆用（出示课件19）
教师依次展示下列问题：
（1）=_______=____； =____×_____=____.
（2）=_______=____； =____×___=____.
（3）=_______=____； =____×____=___.
依次展示下列问题答案：
学生1答：
（1）==_6___； =_2_×_3_=_6.
学生2答：
（2）==__20__； =_4_×_5=_20.
学生3答：
（3）==_30_； =_5×_6_=_30_.
教师问：观察计算结果,你能发现什么规律
学生分题号回答如下：
学生1答：（1） .
学生2答：（2） .
学生3答：（3） .
教师问：你发现了什么规律？
学生回答：两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.
教师问：你能用字母表示你所发现的规律吗？
学生回答：(a≥0,b≥0)
考点1：利用二次根式的乘法法则的逆用计算
化简：（出示课件20）
（1）（2）
解： （1）
=
=4×9
=36;
（2）
=
=2a
=2a
=2ab
总结点拨：（出示课件21）
化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来.
出示课件21，学生自主练习，教师给出答案。
考点2：利用二次根式的乘法法则及逆用计算
计算：（出示课件22）
（1） ;（2）3 ；（3）
学生独立思考后，师生共同解答.
依次展示学生答案：
学生1解：
（1）==7;
学生2解：
（2）3 =3 ×====30
学生3解：
（3） ====x.
教师问：你能说一下化简二次根式的步骤吗？
引导学生回答并总结如下：（出示课件23）
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 ，把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 .
出示课件24，学生自主练习，教师给出答案。
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。
（三）课堂练习（出示课件25-33）
练习课件第28-34页题目，约用时20分钟
（四）课堂小结（出示课件34）
二次根式的乘法 内容
二次根式的乘法法则 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即
积的算术平方根的性质 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.即(a≥0,b≥0)
二次根式的乘法法则拓展 多个二次根式相乘时此法则也适用，即 =(a≥0,b≥0……n≥0)
=(a≥0,b≥0)
（五）课前预习
预习下节课（16.2第2课时）的相关内容.
知道最简二次根式的定义及其二次根式的除法法则
七、课后作业
教材第7页练习第1,2,3题.
八、板书设计
二次根式的乘除
第1课时
1.二次根式的乘法
考点1 考点2 考点3
2.二次根式乘法法则的逆用
考点1 考点2
3.例题讲解
九、教学反思
优点之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标. 学生基本掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应将被开方数进一步分解因数,以便把开得尽方的因数移到根号外面,从而使计算简便.
自我反思：进一步放手让学生自学本节内容,让学生在观察、归纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上,重点进行计算和化简方面的练习,让学生先练,教师后教.
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