人教版八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除（第2课时）教案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除（第2课时）教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 33.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-17 21:47:41 | ||
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文档简介
16.2 二次根式的乘除
第2课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.会进行简单的二次根式的除法运算.
2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
【过程与方法】
1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.
2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.
【情感态度与价值观】
在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
【教学难点】
二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2-3）
站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为d=8 .
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即时，他看到的水平线的距离d1是多少？
学生答：d1=8=16
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
学生答：d1=8=16
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
教师提出问题：乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？
（二）探索新知
1.探究二次根式的除法（出示课件5）
教师依次出示下列问题：
计算下列各式：
（1） =___÷___=__;=_____;
（2） =___÷___=__;=______;
（3） =___÷___=__;=_______;
学生依次解答如下：
学生1答：（1） =2÷3=;=;
学生2答：（2） =4÷5=;=;
学生3答：（3） =6÷7=;=;
教师问： 观察两者有什么关系？
出示课件6： 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
依次展示学生答案：
学生1答：（1） =;
学生2答：（2） =;
学生3答：（3） =
教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？（出示课件7）
学生回答： =
教师问：在前面发现的规律 = 中，a,b的取值范围有没有限制呢？
学生讨论回答：a≥0，b＞0
师生一起归纳总结：（出示课件8）
二次根式的除法法则:
=（a≥0，b＞0）
教师问：你能利用文字描述二次根式的除法法则吗？
学生答：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
教师追问：当二次根式根号外的因数(式)不为1时，如何处理呢？
学生答：类比单项式除以单项式法则进行化简.
教师总结如下：
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得 =（a≥0，b＞0,n≠0）
考点1：利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式
计算：（出示课件9）
（1）;（2）;
师生共同讨论解答如下：
解：（1） ==;
（2）=;
教师追问：像（2）除式中有分数或分式时，如何化简呢？
学生答：先要转化为乘法再进行运算.
出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.
考点2：利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式
计算: （出示课件11）
（1）;（2）2;
学生独立思考后，师生共同解答.
解：（1） =;
（2）2=;
教师问：类似（2）中被开方数中含有带分数的怎样计算呢？
学生答：应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.
2.探究商的算术平方根的性质
从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式：
（1） ;
（2） ;
（3） .
教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？
学生回答:.
教师问：在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限制呢？
学生回答：a≥0，b＞0
师生一起归纳总结：（出示课件13）
二次根式的商的算术平方根的性质:
（a≥0，b＞0）
教师问：你能利用语言描述商的算术平方根的性质吗？
学生答:商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
考点1：商的算术平方根的性质的应用
化简:（出示课件14-15）
（1） ;（2） ; （3） ;
（4） (x>0); （5） .
学生独立思考后，师生共同解答.
展示学生答案如下：
学生1解：（1） =;
学生2解：（2） =;
学生3补充解法： =.
学生4解：（3） = =;
学生5解：（4） ==;
学生6解：（5） = =.
教师问：像（5）可以如何计算的呢？
学生答：可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.
出示课件16，学生自主练习，教师给出答案。
3.出示课件17，探究最简二次根式的定义
教师依次展示下列问题：
计算：（1）;（2） ;（3）
学生讨论后分别解答：
学生1解：（1）==;
学生2解：（2） ===;
学生3解：（3） =
教师问：观察上面各小题计算的最后结果并思考：
（1）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？
学生回答：是最简.
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？
教师引导学生归纳总结（出示课件19）
最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式；
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式.
教师强调：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式.
考点1：分母有理化
计算:（出示课件20）
（1）;（2） ;（3）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：（1）=;
（2） ===;
（3） =
总结点拨：
分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根号.
方法点拨：（出示课件21）
师生总结归纳：化成最简二次根式的一般方法:
(1)将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 =;
(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 = =
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进行化简,如 = = .
出示课件22，学生自主练习，教师给出答案。
4.二次根式的应用
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=2，b=，求a的值.（出示课件20）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：∵S=ab,
∴a= ===;
出示课件24，学生自主练习，教师给出答案。
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。
（三）课堂练习（出示课件25-29）
练习课件第19-23页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件30）
二次根式的除法 内容
二次根式的除法法则 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即 =（a≥0，b＞0）.
商的算术平方根的性质 商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.即（a≥0，b＞0）.
最简二次根式 最简二次根式满足两个条件：被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
（五）课前预习
预习下节课（16.3第1课时）的相关内容.
知道二次根式加减运算的法则.
七、课后作业
教材第10页练习第1,2,3题.
八、板书设计
二次根式的乘除 第2课时
1.二次根式的除法
考点1 考点2
2.商的算术平方根的性质
考点1
3.最简二次根式
考点1
4. 二次根式的应用
5.练习
九、教学反思
成功之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探究过程中注意观察知识产生、发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.
存在问题：由于本节课内容较多,练习量大,学生基本掌握了二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,但一些学生在计算时,没有把结果化成最简二次根式.
补救措施：在总结二次根式乘法一课的学习方法之后,进一步放手让学生自学本节内容,让学生观察、归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,重点进行计算练习,提高二次根式乘除运算的能力.
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第2课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.会进行简单的二次根式的除法运算.
2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
【过程与方法】
1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.
2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.
【情感态度与价值观】
在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
【教学难点】
二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2-3）
站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为d=8 .
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即时，他看到的水平线的距离d1是多少？
学生答：d1=8=16
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
学生答：d1=8=16
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
教师提出问题：乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？
（二）探索新知
1.探究二次根式的除法（出示课件5）
教师依次出示下列问题：
计算下列各式：
（1） =___÷___=__;=_____;
（2） =___÷___=__;=______;
（3） =___÷___=__;=_______;
学生依次解答如下：
学生1答：（1） =2÷3=;=;
学生2答：（2） =4÷5=;=;
学生3答：（3） =6÷7=;=;
教师问： 观察两者有什么关系？
出示课件6： 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
依次展示学生答案：
学生1答：（1） =;
学生2答：（2） =;
学生3答：（3） =
教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？（出示课件7）
学生回答： =
教师问：在前面发现的规律 = 中，a,b的取值范围有没有限制呢？
学生讨论回答：a≥0，b＞0
师生一起归纳总结：（出示课件8）
二次根式的除法法则:
=（a≥0，b＞0）
教师问：你能利用文字描述二次根式的除法法则吗？
学生答：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
教师追问：当二次根式根号外的因数(式)不为1时，如何处理呢？
学生答：类比单项式除以单项式法则进行化简.
教师总结如下：
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得 =（a≥0，b＞0,n≠0）
考点1：利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式
计算：（出示课件9）
（1）;（2）;
师生共同讨论解答如下：
解：（1） ==;
（2）=;
教师追问：像（2）除式中有分数或分式时，如何化简呢？
学生答：先要转化为乘法再进行运算.
出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.
考点2：利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式
计算: （出示课件11）
（1）;（2）2;
学生独立思考后，师生共同解答.
解：（1） =;
（2）2=;
教师问：类似（2）中被开方数中含有带分数的怎样计算呢？
学生答：应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.
2.探究商的算术平方根的性质
从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式：
（1） ;
（2） ;
（3） .
教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？
学生回答:.
教师问：在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限制呢？
学生回答：a≥0，b＞0
师生一起归纳总结：（出示课件13）
二次根式的商的算术平方根的性质:
（a≥0，b＞0）
教师问：你能利用语言描述商的算术平方根的性质吗？
学生答:商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
考点1：商的算术平方根的性质的应用
化简:（出示课件14-15）
（1） ;（2） ; （3） ;
（4） (x>0); （5） .
学生独立思考后，师生共同解答.
展示学生答案如下：
学生1解：（1） =;
学生2解：（2） =;
学生3补充解法： =.
学生4解：（3） = =;
学生5解：（4） ==;
学生6解：（5） = =.
教师问：像（5）可以如何计算的呢？
学生答：可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.
出示课件16，学生自主练习，教师给出答案。
3.出示课件17，探究最简二次根式的定义
教师依次展示下列问题：
计算：（1）;（2） ;（3）
学生讨论后分别解答：
学生1解：（1）==;
学生2解：（2） ===;
学生3解：（3） =
教师问：观察上面各小题计算的最后结果并思考：
（1）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？
学生回答：是最简.
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？
教师引导学生归纳总结（出示课件19）
最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式；
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式.
教师强调：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式.
考点1：分母有理化
计算:（出示课件20）
（1）;（2） ;（3）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：（1）=;
（2） ===;
（3） =
总结点拨：
分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根号.
方法点拨：（出示课件21）
师生总结归纳：化成最简二次根式的一般方法:
(1)将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 =;
(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 = =
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进行化简,如 = = .
出示课件22，学生自主练习，教师给出答案。
4.二次根式的应用
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=2，b=，求a的值.（出示课件20）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：∵S=ab,
∴a= ===;
出示课件24，学生自主练习，教师给出答案。
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。
（三）课堂练习（出示课件25-29）
练习课件第19-23页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件30）
二次根式的除法 内容
二次根式的除法法则 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即 =（a≥0，b＞0）.
商的算术平方根的性质 商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.即（a≥0，b＞0）.
最简二次根式 最简二次根式满足两个条件：被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
（五）课前预习
预习下节课（16.3第1课时）的相关内容.
知道二次根式加减运算的法则.
七、课后作业
教材第10页练习第1,2,3题.
八、板书设计
二次根式的乘除 第2课时
1.二次根式的除法
考点1 考点2
2.商的算术平方根的性质
考点1
3.最简二次根式
考点1
4. 二次根式的应用
5.练习
九、教学反思
成功之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探究过程中注意观察知识产生、发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.
存在问题：由于本节课内容较多,练习量大,学生基本掌握了二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,但一些学生在计算时,没有把结果化成最简二次根式.
补救措施：在总结二次根式乘法一课的学习方法之后,进一步放手让学生自学本节内容,让学生观察、归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,重点进行计算练习,提高二次根式乘除运算的能力.
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