人教版八年级数学下册 19.2.3 一次函数与方程、不等式 教案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册 19.2.3 一次函数与方程、不等式 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 131.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-17 22:00:36 | ||
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文档简介
19.2.3 一次函数与方程、不等式
一、教学目标
【知识与技能】
1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系.
2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.
3.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解.
【过程与方法】
通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究,引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维能力.
【情感态度与价值观】
在探究活动中,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美,以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心.
课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系.
2.掌握用图象求解方程、不等式的方法.
【教学难点】
根据一次函数的图象求解方程和不等式.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时 “x+y=5” 来了.
想一想：“x+y=5”属于二元一次方程还是一次函数呢？下面我们开始今天的学习。
（二）探索新知
1.出示课件4-6，探究一次函数与一元一次方程
教师问：我们先来看下面两个问题：
（1）解方程2x+20=0.
（2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？
教师追问：对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么相同和不同？
学生答：2x+20=0是一元一次方程，y=2x+20是一次函数.
教师问：从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？
师生一起解答：
问题(1)解方程2x+20=0， 得x=-10.
问题(2)就是要考虑当函数y=2x+20的值为（0）时，所对应的（自变量x）为何值？
实质上这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10.因此，这两个问题实际上是同一个问题.
教师问：从图象上看：请作出函数y=2x+20的图象.
学生答：作图如下：
教师问：函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0
学生答：与x轴的交点(-10,0).
教师问：方程2x+20=0的解是多少？
学生答：x=-10.
教师问：有上面的问题可以得到什么呢？
学生答：即当x=-10时，函数y=2x+20的值为0，这说明方程2x+20=0的解是x=-10.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.
教师问：由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0（a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？
师生一起解答：由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致.
由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值y为0时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.
总结点拨：（出示课件7）
一次函数与一元一次方程的关系
从数的角度看
从形的角度看
出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正.
考点1：利用一次函数、方程及图象解答问题
一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答) （出示课件9）
师生共同讨论解答如下：
学生1解答：
解：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17, 解得x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
学生2解答：解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5.
由2x+5=17,得 2x－12=0.
由图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
学生3解答：解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5.由图可以看出当y=17时，x=6.
出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.
2.出示课件13-15，探究一次函数与一元一次不等式
教师问：观察下面3个不等式有什么共同点与不同点？
（1）3x+2>2; (2)3x+2<0; (3)3x+2<-1.
学生答：3个不等式相同的特点是：不等号左边都是3x+2；
不同点是：不等号及不等号右边分别是2，0，1.
教师问：你能从函数的角度对以上3个不等式进行解释吗？
学生答：这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别为大于2、小于0、小于-1时，求自变量x的取值范围.
教师问：结合函数图象如何解释呢？
学生答：在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足条件大于2、小于0、小于-1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.
教师总结点拨：（出示课件16）
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax +b＞0或ax +b＜0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax +b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.
总结归纳：（出示课件17）
一次函数与一元一次不等式的关系见课件流程图
考点1：利用一次函数的图象解一元一次不等式
画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3 （出示课件18-19）
学生独立思考后，师生共同解答.
教师依次展示学生解答过程：
学生1解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).
学生2解：（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位于x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
学生3解：（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
出示课件20-21，学生自主练习后口答，教师订正.
3.出示课件22-26，探究一次函数与二元一次方程组
教师出示问题：1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．
(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y(m)与气球
上升时间 x(min)的函数关系．
学生1答： 气球1 海拔高度：y=x+5；
学生2答：气球2 海拔高度：y =0.5x+15．
教师问：一次函数与二元一次方程有什么关系？
师生一起解答：
一次函数y=0.5x+15
用方程观点看：二元一次方程y-0.5x=15
用函数观点看：二元一次方程y=0.5x+15
从式子（数）角度看：一次函数二元一次方程
教师问：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
学生答：由函数图象的定义可知：直线y=0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y=0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.
教师问：(2)什么时刻，1号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数的方面分别加以研究.
学生答：
从数的角度看：解方程组. 就是求自变量为何值时，两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15的函数值相等，并求出函数值．
教师问：从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
学生答：二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．
总结归纳：（出示课件27）
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
出示课件28，学生继续自主练习，教师给出答案.
考点3：一次函数的图象与二元一次方程组
如图，求直线l1与l2 的交点坐标.（出示课件29）
师生共同分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
学生独立思考后，师生共同解答.
解：因为直线l1过点(-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y =2x+2.同理可求得直线l2的解析式为y=-x+3.
解方程组，得
即直线l1与l2 的交点坐标为（，）.
出示课件31，学生自主练习，教师给出答案.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.
（三）课堂练习（出示课件32-39）
练习课件第32-39页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件40）
从函数值看 从函数图象看
一次函数与一元一次方程 解一元一次方程 ax+b =k 就是求当函数（y=ax +b）值为k时对应的自变量的值； 解一元一次方程 ax+b =k 就是求函数（y=ax +b）图象上纵坐标为k的点的横坐标；
一次函数与一元一次不等式 求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集即求函数y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围； 求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集即确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的横坐标的范围.
一次函数与二元一次方程组 每个一次函数都对应一个二元一次方程 求两直线的交点坐标，即求对应的二元一次方程组的解.
（五）课前预习
预习下节课（19.3第1课时）的相关内容.
知道方案选择的方法与步骤.
七、课后作业
教材第98页练习和第99页习题19.2第12题.
八、板书设计
19.2.3 一次函数与方程、不等式
1.一次函数与一元一次方程
考点1
2.一次函数与一元一次不等式
考点1
3.一次函数与二元一次方程组
考点1
4.例题讲解
九、教学反思
成功之处：本节内容的本质是通过研究一次函数与方程、不等式的关系解决与一次函数相关的实际问题. 把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——总结升华”为主线,使学生亲身经历一次函数与方程、不等式的探索,培养学生的数形结合的能力,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.
不足之处：在教学过程中,学生对与一次函数与方程、不等式的关系理解有一定的困难,对用函数的观点去解释一次函数与方程、不等式的关系的阐述上不是太清晰,在用图象解决实际问题的方法掌握不牢固.
补救措施：在问题处理环节设计上给学生一个充分从事数学活动的机会,应充分体现学生是数学学习的主人的理念.让学生能充分地参与到探究活动中,大胆发表见解,通过讨论交流深入理解一次函数与方程、不等式的关系,并掌握解决问题的方法.
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一、教学目标
【知识与技能】
1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系.
2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.
3.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解.
【过程与方法】
通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究,引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维能力.
【情感态度与价值观】
在探究活动中,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美,以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心.
课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系.
2.掌握用图象求解方程、不等式的方法.
【教学难点】
根据一次函数的图象求解方程和不等式.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时 “x+y=5” 来了.
想一想：“x+y=5”属于二元一次方程还是一次函数呢？下面我们开始今天的学习。
（二）探索新知
1.出示课件4-6，探究一次函数与一元一次方程
教师问：我们先来看下面两个问题：
（1）解方程2x+20=0.
（2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？
教师追问：对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么相同和不同？
学生答：2x+20=0是一元一次方程，y=2x+20是一次函数.
教师问：从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？
师生一起解答：
问题(1)解方程2x+20=0， 得x=-10.
问题(2)就是要考虑当函数y=2x+20的值为（0）时，所对应的（自变量x）为何值？
实质上这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10.因此，这两个问题实际上是同一个问题.
教师问：从图象上看：请作出函数y=2x+20的图象.
学生答：作图如下：
教师问：函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0
学生答：与x轴的交点(-10,0).
教师问：方程2x+20=0的解是多少？
学生答：x=-10.
教师问：有上面的问题可以得到什么呢？
学生答：即当x=-10时，函数y=2x+20的值为0，这说明方程2x+20=0的解是x=-10.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.
教师问：由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0（a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？
师生一起解答：由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致.
由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值y为0时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.
总结点拨：（出示课件7）
一次函数与一元一次方程的关系
从数的角度看
从形的角度看
出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正.
考点1：利用一次函数、方程及图象解答问题
一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答) （出示课件9）
师生共同讨论解答如下：
学生1解答：
解：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17, 解得x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
学生2解答：解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5.
由2x+5=17,得 2x－12=0.
由图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
学生3解答：解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5.由图可以看出当y=17时，x=6.
出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.
2.出示课件13-15，探究一次函数与一元一次不等式
教师问：观察下面3个不等式有什么共同点与不同点？
（1）3x+2>2; (2)3x+2<0; (3)3x+2<-1.
学生答：3个不等式相同的特点是：不等号左边都是3x+2；
不同点是：不等号及不等号右边分别是2，0，1.
教师问：你能从函数的角度对以上3个不等式进行解释吗？
学生答：这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别为大于2、小于0、小于-1时，求自变量x的取值范围.
教师问：结合函数图象如何解释呢？
学生答：在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足条件大于2、小于0、小于-1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.
教师总结点拨：（出示课件16）
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax +b＞0或ax +b＜0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax +b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.
总结归纳：（出示课件17）
一次函数与一元一次不等式的关系见课件流程图
考点1：利用一次函数的图象解一元一次不等式
画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3 （出示课件18-19）
学生独立思考后，师生共同解答.
教师依次展示学生解答过程：
学生1解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).
学生2解：（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位于x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
学生3解：（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
出示课件20-21，学生自主练习后口答，教师订正.
3.出示课件22-26，探究一次函数与二元一次方程组
教师出示问题：1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．
(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y(m)与气球
上升时间 x(min)的函数关系．
学生1答： 气球1 海拔高度：y=x+5；
学生2答：气球2 海拔高度：y =0.5x+15．
教师问：一次函数与二元一次方程有什么关系？
师生一起解答：
一次函数y=0.5x+15
用方程观点看：二元一次方程y-0.5x=15
用函数观点看：二元一次方程y=0.5x+15
从式子（数）角度看：一次函数二元一次方程
教师问：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
学生答：由函数图象的定义可知：直线y=0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y=0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.
教师问：(2)什么时刻，1号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数的方面分别加以研究.
学生答：
从数的角度看：解方程组. 就是求自变量为何值时，两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15的函数值相等，并求出函数值．
教师问：从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
学生答：二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．
总结归纳：（出示课件27）
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
出示课件28，学生继续自主练习，教师给出答案.
考点3：一次函数的图象与二元一次方程组
如图，求直线l1与l2 的交点坐标.（出示课件29）
师生共同分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
学生独立思考后，师生共同解答.
解：因为直线l1过点(-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y =2x+2.同理可求得直线l2的解析式为y=-x+3.
解方程组，得
即直线l1与l2 的交点坐标为（，）.
出示课件31，学生自主练习，教师给出答案.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.
（三）课堂练习（出示课件32-39）
练习课件第32-39页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件40）
从函数值看 从函数图象看
一次函数与一元一次方程 解一元一次方程 ax+b =k 就是求当函数（y=ax +b）值为k时对应的自变量的值； 解一元一次方程 ax+b =k 就是求函数（y=ax +b）图象上纵坐标为k的点的横坐标；
一次函数与一元一次不等式 求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集即求函数y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围； 求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集即确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的横坐标的范围.
一次函数与二元一次方程组 每个一次函数都对应一个二元一次方程 求两直线的交点坐标，即求对应的二元一次方程组的解.
（五）课前预习
预习下节课（19.3第1课时）的相关内容.
知道方案选择的方法与步骤.
七、课后作业
教材第98页练习和第99页习题19.2第12题.
八、板书设计
19.2.3 一次函数与方程、不等式
1.一次函数与一元一次方程
考点1
2.一次函数与一元一次不等式
考点1
3.一次函数与二元一次方程组
考点1
4.例题讲解
九、教学反思
成功之处：本节内容的本质是通过研究一次函数与方程、不等式的关系解决与一次函数相关的实际问题. 把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——总结升华”为主线,使学生亲身经历一次函数与方程、不等式的探索,培养学生的数形结合的能力,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.
不足之处：在教学过程中,学生对与一次函数与方程、不等式的关系理解有一定的困难,对用函数的观点去解释一次函数与方程、不等式的关系的阐述上不是太清晰,在用图象解决实际问题的方法掌握不牢固.
补救措施：在问题处理环节设计上给学生一个充分从事数学活动的机会,应充分体现学生是数学学习的主人的理念.让学生能充分地参与到探究活动中,大胆发表见解,通过讨论交流深入理解一次函数与方程、不等式的关系,并掌握解决问题的方法.
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