2021-2022学年山东省菏泽市郓城县第一中学高二下学期开学收心考试数学试题（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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2021-2022学年山东省菏泽市郓城县第一中学高二下学期开学收心考试数学试题
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于( )
A. B. C. D.
2. 已知空间向量，，则( )
A. B. C. D.
3. 如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
4. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6. 设，直线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
7. 我们把叫“费马数”费马是十七世纪法国数学家设，，设数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最小值是( )
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的右焦点为，若存在过原点的直线与的交点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知圆的半径为，圆的半径为，则( )
A. B.
C. 圆与圆外切 D. 圆与圆外离
10. 在正项等比数列中，已知，，则( )
A. B. C. D.
11. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足若直线的斜率，则下列结论正确的是( )
A. 准线方程为 B. 焦点坐标
C. 点的坐标为 D. 的长为
12. 如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，，则下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，若，则实数 ．
14. 已知三点，则为 三角形．
15. 中国古代著作张丘建算经有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为 ．
16. 设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的离心率为 ，的面积为
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知圆心的坐标为，且是圆上一点．
求圆的标准方程；
过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．
18. 本小题分
已知数列满足，
记，写出，，并求数列的通项公式．
求的前项和．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
20. 本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
21. 本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
证明：；
若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
22. 本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，是椭圆的离心率，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
若是椭圆上的动点，且与，不重合，直线垂直于轴，与直线，分别交于，两点，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．
由直线的倾斜角得知直线的斜率为，再利用斜率公式可求出的值．
【解答】
解：由于直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，
由斜率公式得，解得，
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题．
利用空间向量的加法运算求解．
【解答】
解：因为空间向量，，
所以，
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力，考查异面直线及其所成的角，属于基础题．
先取的中点，连接，，将平移到，则就是异面直线与所成角，在中利用余弦定理求出此角即可．
【解答】
解：取的中点，连接，，
，
就是与所成角，
设，则，，，
在中，．
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义，椭圆中的最值问题，属于一般题．
利用，将转化成，结合的范围即可求解．
【解答】
解：根据椭圆定义，得
所以，
又因为．
所以当时，有最大值．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的前项和取最大值时项数的求法，考查等差数列的通项公式、前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用等差数列的通项公式列方程组求出，，从而，由此能求出当或时，取最大值．
【解答】
解：等差数列的前项和为，，，
，解得，，
，
当或时，取最大值．
故答案选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两条直线平行的判定及应用，属于基础题．
根据直线平行求解即可．
【解答】
解：因为直线与直线平行，
所以，
即，经检验，满足题意．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等比数列的求和公式以及分组求和法．
求得，利用等比数列的求和公式可求得，利用分组求和法可求得，由已知条件可得出关于的不等式，即可得解．
【解答】
解：，则，
故数列是公比为的等比数列，
则，
所以，
，
由可得，
，所以，即．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的离心率问题，属于中档题．
【解答】
解：因为存在过原点的直线与的交点，，满足，
故以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，
所以，即，
又因为，
所以，即，
所以，
即．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
根据圆与圆的位置关系即可求解．
【解答】
解：圆的半径为，
圆的半径为，
故，故B对，错；
圆心距，
故圆与圆外切，故C对，错；
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的性质，属于基础题．
由题可得，再由，得到，即可求解．
【解答】
解：设数列的公比为，
由，
可得，
又由，所以AC错误，B正确；
因为
可得，
所以，解得，所以D正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的几何性质，属于中档题．
由抛物线方程判断，先求出点坐标再求点坐标，从而求出的长，进而可判断．
【解答】
解：由抛物线方程为，
焦点坐标，准线方程为，
直线的斜率为，
直线的方程为，
当时，，
，
，为垂足，
点的纵坐标为，可得点的坐标为，
根据抛物线的定义可知．
故选BC．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的加减和数乘计算，属于基础题．
【解答】
解：，故A选项错误
选项正确
，故C选项错误
，故D选项正确．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量平行，属于基础题．
利用列方程，即可求解．
【解答】
解：因为向量，且，
所以，
解得：．
故答案为：．

14.【答案】直角
【解析】
【分析】
本题考查判断三角形的形状，考查两条直线垂直斜率的关系，属于基础题．
根据直线斜率关系即得．
【解答】
解：由题可得边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形．
故答案为：直角．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的前项和公式，是较易题．
根据等比数列的通项公式和求和公式列方程即可求得结果．
【解答】
解：设第七天走的路程为，则第六天的行程为，
第五天的行程为，依次计算，
那么七天总共走的路程为，
解得．
故答案为：．

16.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的定义及条件．
设，根据双曲线的定义及条件可得，，进而即得．
【解答】
解：为正三角形，
设，则，，又双曲线，
，，离心率，
，
故的面积为．
故答案为：；．

17.【答案】解：由题意得：，
所以，圆的标准方程为．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线被圆所截得的弦长为，符合题意．
当直线的斜率存在时，设的方程为，即，
圆心到直线的距离，
由题意，得，解得，
直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
【解析】本题主要考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
计算圆的半径，写出圆的标准方程即可；
先分析斜率不存在时，是否满足题意，再分析斜率存在时，利用点到直线的距离求出斜率，即可得解．
18.【答案】解：因为，
所以，，，
所以，，
当时，，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以．
由可得，，
则，，
当时，也适合上式，
所以，，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前项和为
．
【解析】本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
由数列的通项公式可求得，，，从而可得求得，，由，可得数列是等差数列，从而可求得数列的通项公式；
由数列的通项公式可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．
19.【答案】证明：因为底面，，底面，
所以，，
又底面是正方形，所以，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设．
依题意得，，，．
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则有
即取，则，
因为平面，因此平面．
证明：依题意得，
因为，
所以．
由已知，且，平面，
所以平面．
解：依题意得，且，．
设平面的一个法向量为，
则
即，取．
易知平面的一个法向量为，
所以．
所以平面与平面的夹角为．

【解析】本题考查线面平行的向量表示，考查线面垂直的向量表示，考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明；
由，结合，利用线面垂直的判定定理证明；
求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解．
20.【答案】解：由题意知：，，设等差数列的公差为，
即：，化简得．
所以数列的通项公式；
因为，
所以，
，
，
，
化简得：．

【解析】本题考查了等差数列的通项公式，错位相减法求和，是中档题．
利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式；
利用错位相减，化简可得出答案．
21.【答案】解：证明：，为中点，
，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
．
作于，作于，连接，
由知平面，，所以，
则，所以平面，因为，所以，
又，且，，所以，
又因为，所以，
则为二面角的平面角， ，
因为，为正三角形，，
所以，且，
所以，
所以为直角三角形，，
因为，所以，
所以，则，所以，
则在中有，所以，
平面，
所以．

【解析】本题主要考查线面垂直的性质，面面垂直的性质，考查二面角，属于中档题．
利用面面垂直的性质得到平面，即可得到．
通过作于，作于，连接，得到为二面角的平面角， ，分别求出三棱锥的底面积和高，代入三棱锥体积公式及可求解．
22.【答案】解：由题意易知：，解得：
椭圆方程为：
由知，设直线，且
设，
由三点共线，有，
即；
同理可得，即．
所以．
而，
所以为定值．

【解析】本题考查椭圆中的定值问题，考查椭圆的标准方程，属于中档题．
由及点在椭圆上建立等式即可获得解答；
根据三点共线求出点的坐标，然后计算出并化简即可证明．
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