课件6张PPT。数学配人教A版选修4-4目 录一 平面直角坐标系
二 极坐标系
三 简单曲线的极坐标方程
四 柱坐标系与球坐标系简介一 曲线的参数方程
第一课时 参数方程的概念
第二课时 圆的参数方程及参数方程与普通方
程的互化
二 圆锥曲线的参数方程
第一课时 椭圆的参数方程 第二课时 双曲线的参数方程
第三课时 抛物线的参数方程
三 直线的参数方程
四 渐开线与摆线感谢您的使用，退出请按ESC键本部分内容结束课件33张PPT。一 平面直角坐标系 1．体会直角坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中刻画点的位置的方法和坐标法的解题步骤．
2．会运用坐标法解决实际问题与几何问题．
3．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况及作用．1．数轴
它使直线上任一点P都可以由唯一的实数x确定．
2．平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．它使平面上任一点P都可以由唯一的实数对(x，y)确定．练习 3．定义
设P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
的作用下，点P(x，y)对应P′(x′，y′) 称为平面直角坐标系中的伸缩变换．练习B 到直角坐标系两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是____________．答案：y＝x或y＝－x 平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，求|OP|的最小值．
解析：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图，∵|PA|-|PB|=3＜|AB|，则点P的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的右支上．由题意知2c＝4，∴c＝2. 把方程y＝sin x变为y′＝ sin 4x′的伸缩变换公式为________． 把圆X2＋Y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2＋ ＝1，则坐标变换公式是________．
分析：利用平面直角坐标系中的坐标伸缩变换公式求解．1．在?ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是(－1,2)、(3,0)、(5,1)，则点D的坐标是( )
A．(9，－1) B．(－3,1)
C．(1,3) D．(2,2)C B A 4.两个定点距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹 .?
答案：x2+y2=4?5．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，求点A的轨迹方程为________．6．已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离为4，A，B是圆上的两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．解析：如右图所示，以圆心O为原点，OP所在直线为x轴建立直角坐标系，则圆的方程为x2＋y2＝36，P(4,0)．7．求函数g(x)＝| － |的最大值．8．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换． 9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经
过伸缩变换 后的图形是什么形状？
(1)y2＝2x；
(2)x2＋y2＝1. 10．通过平面直角坐标系中的平移与伸缩变换，可以把
椭圆 ＋ ＝1变为中心在原点的单位圆，求上述
平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换．12．有一种大型商品，A，B两地都有销售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后，每千米回运A地的费用是B地的3倍．已知A，B两地相距10 km，顾客选A地或B地购买这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低，求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．分析：将问题看作数学中的不等关系，建立适当的坐标系，利用坐标法列式求解．
解析：如下图所示，以A、B所确定的直线为x轴，A、B中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－5,0)、B(5,0)．设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品较便宜，并设A地的回运费为3a元/千米，B地的回运费为a元/千米．13．求函数g(x)＝ ＋ 的最小值．解析：g(x)＝ ＋ ，于是问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使它分别到A(2,3)与B(5,1)的距离之和即|PA|＋|PB|为最小值．
如上图所示，点B(5,1)关于x轴的对称点是B′(5，－1)，故最小值为|AB′|，即g(x)的最小值为|AB′|＝ ＝5，而P点的位置就是直线AB′与x轴的交点．1．直角坐标系可以有不同的建立方法，根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点.
(2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴.
(3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
2．坐标系的建立是为了确定点的位置，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．3．坐标伸缩变换φ 注意变换中的系数均为正数；在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件36张PPT。三 简单曲线的极坐标方程1．理解极坐标方程的意义．
2．能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程．
3．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．1．定义
如果曲线C上的点与方程f(ρ，θ)＝0有如下关系：
(1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(ρ，θ)＝0.
(2)方程f(ρ，θ)＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上，则曲线C的方程是f(ρ，θ)＝0.
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α).3．圆的极坐标方程
圆心为M(ρ0，θ0)、半径为r的圆方程为
ρ2－2ρ0ρcos (θ－θ0)＋ －r2＝0.
特别当圆心与极点重合时，圆的方程为ρ=r.?练习几个特殊位置的直线的极坐标方程．
①直线过极点且过点M(ρ0，θ0)的极坐标方程为____________．
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴的极坐标方程为____________．
③直线过点M 且平行于极轴的极坐标方程为____________．2．①θ＝θ0 ②ρcosθ＝a ③ρsinθ＝b练习(1)几个特殊位置的圆的极坐标方程：
①当圆心位于极点、半径为r的圆的极坐标方程为_______．
②当圆心位于M(r,0)、半径为r的圆的极坐标方程为______．
③当圆心位于M 、半径为r的圆的极坐标方程为_________．
3.ρcos θ＝3，ρ＝5，ρsinθ＝2，θ＝ π分别表示什么曲线？答案：ρcosθ＝3，ρ＝5，ρsinθ＝2，θ＝ π(ρ>0)分别表示直线、圆、直线、射线． 求： (1)求过点A 且平行于极轴的直线．
(2)过A 且和极轴成 的直线．分析：(1)在直线上任意取一点M，根据已知条件想办法找到变量ρ，θ之间的关系．我们可以通过直角三角形来解决，因为已知OA的长度，还知∠AOx＝ .
(2)在三角形中，利用正弦定理来找到变量ρ，θ之间的关系．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化． 分析：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上一点的位置方法，都是研究平面图形的重要工具．在实践中，由于问题的需要和研究的方便，常需把这两种坐标系进行换算，我们有必要掌握这两种坐标间的互化．在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合．1．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( )
A．2 B. C．1 D.D 2．极坐标方程ρ＝cos 所表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．抛物线 D．圆D C 解析：把圆的极坐标方程化为直角坐标系方程为x2＋y2＋2y＝0，得圆心的直角坐标为(0，－1)，故选B.
答案：B6．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ ， 则曲线C1与C2交点的极坐标为________． 7.（2012·安徽卷）在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ= （ρ∈R）的距离是 .?8.（2012.江西卷）才曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0?.以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为____________.解析：利用公式法转化求解.?
直角坐标方程x2+y2-2x=0 可以为x2+y2=2x，将ρ2=x2+y2,x=ρcosθ代入整理得：ρ=2cosθ.?
答案：ρ=2cosθ9．(2012年湖南卷)在极坐标系中，曲线C1：ρ( cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上，则a＝________.10．(2012年陕西卷)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．11．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ2cos 2θ＝1.
(2)ρ＝tan θ·sec θ.
(3)ρ＝2cos .分析：本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，通常把方程先配凑，然后把ρcos θ换成x，ρsin θ换成y，ρ2换成x2＋y2而得出．12．设过原点O的直线与圆C：(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解析：(1)圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(2)设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)．
∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ.
将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.
∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示圆心在 点 ，半径为 的圆． 1.极坐标系和直角坐标系都可以建立点与数组、曲线
与方程之间的对应关系.并且在某些情况下，应用极坐标
系解题比应用直角坐标系更为简洁.所以必须掌握用极坐
标系解决问题的方法，熟悉极坐标系与直角坐标系的互相
转化关系.?
首先，我们应注意到极坐标系与直角坐标系存在着不
同点，这是因为极坐标系中点与数之间的对应关系不是一
一映射的.?
2.建立曲线的极坐标方程的方法步骤.?
（1）在曲线上任取一点P（ρ,θ）.?
（2）建立起直角三角形（或斜三角形），利用锐角的三
角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起ρ、θ的方程.?
（3）证明所求曲线方程为曲线的方程（在此省略）.? 3.利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，
尤其是涉及线段间数量关系的问题.求极坐标系下的轨迹
方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致.如定义
法、直接法、参数法等.?
4.不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极
坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单
的极坐标方程.反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐
标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线在直角坐标
系内的方程.这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系，使解题过程大为简化.?
5.处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路：?
（1）化极坐标方程为直角坐标方程再处理；?
（2）根据ρ、θ的几何意义进行旋转或伸缩变换.感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件33张PPT。二 极坐标系 1．理解极坐标的概念．
2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．1．极坐标系的建立
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox称为极轴)．
2．极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做M的极坐标．特别强调：由极径的意义可知，ρ≥0；当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)建立一一对应的关系．
3．负极径的规定
在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角．
当ρ<0时，点M(ρ，θ)位于极角终边的反向延长线上，且OM＝|ρ|.
一般地，极坐标（ρ,θ）与（ρ,θ+2kπ）（k∈Z）表示同一个点，和直角坐标系不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.?
约定：极点的极坐标是ρ＝0，θ可以取任意角．4．直角坐标与极坐标的互化
以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
或 5.互化公式的前提条件：?
①极点与直角坐标系原点重合；?
②极轴与直角坐标系正半轴重合；?
③两种坐标系的单位长度相同.?练习点A________；点B________；点C________.(1)写出图中各点的极坐标.(2)回答下列问题：
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由什么引起的？答案：(1)不是 (2)无数种表示方法 (3)由极角的多值性引起D 练习把点M的极坐标 化成直角坐标． 答案：(－4,4 )写出图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 分析：根据极坐标定义：若M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．B C B C 5．把点M的极坐标 化为直角坐标形式．6．已知圆C：(x＋1)2＋(y－ )2＝1，则圆心C的极坐标为________(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
7．极坐标系中，点A的极坐标是 ，则：
(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是________.
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是________.
(3)点A关于直线θ＝ 的对称点的极坐标是_____． (限定ρ>0，θ∈[0,2π).)8．直线l过点A ，B ，则直线l与极轴的夹角等于________．
9．把点M的直角坐标(1，-1)化为极坐标形式(限定r≥0，-p(1) . (2) .(3)(5，π)．11．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
(1)( ，3). (2)(－1，－1). (3)(－3,0)．12．在极轴上求与点A 的距离为5的点M的坐标．13．已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．
(1)点P是点Q关于极点O的对称点.
(2)点P是点Q关于直线θ＝ 的对称点．分析：通过数形结合，确定P点的极径与极角．
解析：(1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径|OP|=|OQ|，极角相差(2k+1)p(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(r，(2k+1)p+q)或(-r，(2kp+q)(k∈Z)．
(2)由P、Q关于直线q+ 对称，得它们的极径|OP|= |OQ|，点P的极角q′满足
q′=p-q+2kp(k∈Z)，
所以点P的坐标为：
(r，(2k+1)p-q)或(-r，2kp-q)(k∈Z)．1.极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；?④角?度单位和它的正方向.四者缺一不可.?
2.由极径的意义，知ρ≥0.当极角θ的取值范围是［0,2π）时，平面上的点（除去极点）与极坐标（ρ,θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系.约定：极点的极坐标是极径ρ=0时,极角可以取任意角.?
3.极坐标与直角坐标的重要区别是多值性.在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极点是“一对多”的关系.但不同的极坐标可以写出统一的表达式.如果（ρ,θ）是点M的极坐标，那么（ρ,θ+2kπ）或（-ρ,θ+（2k+1）π）（k∈Z）都可以作为点M的极坐标，但这样建立的极坐标系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系.感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件27张PPT。四 柱坐标系与球坐标系简介 1．了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法．
2．了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式．体会它们的区别.1．球坐标系
建立空间直角坐标系O－xyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为 ，P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，点P的位置可以用有序数组(r， ，θ)表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)．
有序数组(r， ，θ)叫做点P的球坐标，其中r≥0，0≤ ≤π，0≤θ<2π.
空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r， ，θ)之间的变换关系为： 2．柱坐标系
建立空间直角坐标系O－xyz，设P是空间任意一点，在Oxy平面的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系．有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变 换关系为：练习设点的球坐标为 ，它的直角坐标为____________． 如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的边长为AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB，AD，AA1分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标和球坐标．分析：本题考查空间直角坐标、柱坐标、球坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找出它们的相同和不同来．
如图所示，点C1的(x，y，z)分别对应着CD，BC，CC1；点C1的(ρ，θ，z)分别对应着CA，∠BAC，CC1；点C1的(r，φ，θ)分别对应着AC1，∠A1AC1，∠BAC. 设点M的直角坐标为(1,1,3)，求它的柱坐标．
分析：利用空间直角坐标与柱坐标的变换公式． 设点M的直角坐标为(1,1， )，求它的球坐标．
分析：利用球坐标公式求解．C B 3．已知点M的球坐标为 ，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是______________．
4．设点M的柱坐标为 ，则它的直角坐标为________．(－2,2,2 ) ( ，1,7) 5．在球坐标系中，方程r＝1表示________________，方程 ＝ 表示空间的________________________．
6．在柱坐标系中，长方体ABCD－A1B1C1D1的一个顶点在原点，另两个顶点坐标分别为A1(8,0,10)，C1 ，则此长方体外接球的体积为________．5．球心在原点、半径为1的球面 顶点在原点、轴截面顶角为 的圆锥面
6.B 10．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区、二区……十六区．设圆形体育场第一排与体育中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，求点A的坐标．求出来：12．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标． 1．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．
2．球坐标系在地理学、天文学中有着广泛应用，在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r， ，θ)的方位角，90°－ 称为高低角．
3．注意柱坐标P(ρ，θ，z)中各坐标分量的取值范围．ρ≥0,0≤θ<2π，－∞ 球坐标P(r， ，θ)，其中r≥0,0≤ ≤π，0≤θ<2π.
4．柱坐标、球坐标与空间直角坐标的变换关系.感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件24张PPT。一 曲线的参数方程
第一课时 参数方程的概念1．弄清曲线参数方程的概念．理解参数在方程中的意义.
2．能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程．2．关于参数几点说明
(1)参数方程中参数可以是有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．
(2)同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样．
(3)在实际问题中要确定参数的取值范围．
3．参数方程的意义
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标．4．参数方程求法
(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)
(2)选取适当的参数
(3)根据已知条件和图形的几何性质、物理意义，建立点P的坐标与参数的函数式．
(4)证明这个参数方程就是所求的曲线的方程．
5．关于参数方程中参数的选取
选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比明显关系相对简单．
与运动有关的问题选取时间t作为参数；
与旋转有关的问题选取角θ作为参数；
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等． 设飞机以匀速v＝150 m/s做水平飞行，若在飞行高度h＝588 m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度)．
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程．
(2)试问：飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标？
分析：这是物理学中的平抛运动，选择合适的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．
解析：(1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0,588)，B为目标，坐标为(x0,0)．记炸弹飞行的时间为t，在点A时t＝0.设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得 已知某条曲线C的参数方程为 (其中t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上．
(1)求常数a.
(2)求曲线C的普通方程．
分析：点M(5,4)在该曲线上，则点M的坐标应适合曲线C的方程，从而可求得其中的特定系数，进而消去参数得到普通方程． 把参数方程 (k为参数)化为普通方
程，并说明它表示什么曲线． D D B A C －5或3 C 9．边长为a的等边△ABC的两个端点A，B分别在x轴和y轴两正半轴上移动，顶点C和原点O分别在AB两侧，记∠CAx＝α，求顶点C的轨迹方程．求曲线参数方程的主要步骤
第一步设点：画出轨迹草图．设M(x，y)在轨迹上任意一点的坐标，画图时注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．
第二步，选参：选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数，在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，表示、结论：根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．2.将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方法. ?
(1)代入法.先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程.?
(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数，例如对于参
数方程 如果t是常数，θ是参数，那么可
以利用公式sin2θ+cos2θ=1消参；如果θ是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用（m+n）2-（m-n）2=4mn消参.感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件29张PPT。一 曲线的参数方程
第二课时 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 1．掌握圆的参数方程，能根据参数方程确定圆的圆心和半径，在解题中灵活运用；会把圆的参数方程与普通方程进行互化．
2．掌握确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判别方法．
3．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法．1．参数方程化为普通方程的步骤
第一步：消掉参数(代入消元、三角变形、配方消元)．
第二步：写出定义域(x的范围)．
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y前后的取值范围保持一致．2．圆的参数方程
点P的横坐标x，纵坐标y都是t的函数：
(t为参数）
我们把这个方程叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程．练习1.圆x2＋y2＝16的参数方程为____________． 2.圆（x-6）2+y2=4的参数方程为：
已知曲线的参数方程 (0≤t ≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形．
分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的一致性． 圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|＝|BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值．
分析：本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立平面直角坐标系，将点P坐标用圆的参数方程的形式表示出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值．
解析：以AB所在直线为x轴，以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系(如图所示)．解析：解法一：如图所示，消去θ，得x2＋y2＝1.因为曲线是一个单位圆，其圆心在原点，半径为1，所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1，且不会恒等于1(这是因为直角三角形两直角边之和大于斜边)，最大值必大于1，可排除A，B，C，故选D.1．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆
(θ为参数)的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．圆(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为( )
A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ)
C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)B D A C B 6 9．写出圆心在点(－1,2)，半径为3的圆的参数方程． 10．圆的方程为x2＋y2＝2y，写出它的参数方程．11．（2012.广东卷）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和曲线C2的参数方程分别为C1: (θ为参数 ,)和C2: (t为参数)，则曲线C1和曲线C2的交点坐标为 ．解析：化参数方程为普通方程，然后解方程组求解.
C1：x2+y2=5(x≥0，y≥0)
C2：x-y-1=0.
解方程组得：
即C1和C2的交点坐标为(2,1).
答案： (2,1).12．(2012年福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)， ，圆C的参数方程 为 (θ为参数)．
(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系．13．如图所示，已知定点A(2,0)，点Q是圆C：x2＋y2＝1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程．14．(2012年新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程 是 (φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且，A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 .
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件30张PPT。三 直线的参数方程 1．了解直线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程．
2．举例说明某些直线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．1．过定点M0(x0，y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值.当t＞0时， 的方向向上；当t＜0时， 的方向向下；，当点M与点M0重合时，t＝0. 经过点M0(1,5)、倾斜角是 的直线l的参数方程为
____________．练习 已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)和点N(－2,6)的距离． 直线过点A(1,3)，且与向量(2，－4)共线．
(1)写出该直线的参数方程．
(2)求点P(－2，－1)到此直线的距离．
分析：已知直线与向量(2，－4)共线，可得直线的斜率k＝ . 过点P 作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值．D B C 4.（2013·茂名一模）已知曲线C的参数方程为
（θ为参数）.则曲线C上的点到直线3x-4y+4=0的距离的
最大值为 .?
答案：3?
5．(2012年北京卷)直线 (t为参数)与曲 线 (α为参数)的交点个数为________．(2,1)解析：由|PM0|＝ ，知t＝± ，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程，得t＝1或t＝－1.
答案： ±19．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4sin θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是 (t为参数)，
点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最小值．解析：曲线C的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.
直线l的方程为x－y－4＝0.
所以，圆心到直线l的距离d＝
所以，|PQ|的最小值为3 －2.10．设直线l1过点A(2，－4)，倾角为 π.
(1)求l1的参数方程．
(2)设直线l2：x－y＋1＝0，l2与l1的交点为B，求点B与点A的距离．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件28张PPT。二 圆锥曲线的参数方程
第一课时 椭圆的参数方程1．弄清曲线参数方程的概念．
2．能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程．
3．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法．
4.利用椭圆的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题，通过椭圆参数方程的推定过程，培养学生数形结合思想、化归思想.?1．平面上点P到定点F1，F2距离之和等于|F1F2|，则点P的轨迹是________；到定点F1，F2距离之和大于|F1F2|，则点P的轨迹是________；到定点F1、F2距离之和小于|F1F2|，则点P的轨迹________．练习1．线段F1F2 椭圆 不存在分析：要求直线OM的倾角α，应先求出直线OM的斜率，也就是要先求出点M的坐标． 在椭圆 ＋ ＝1中有内接矩形，问：内接矩形的最大面积是多少？
分析：先找到内接矩形面积的表达式，再求解． 已知A，B分别是椭圆 ＋ ＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
分析：△ABC的重心G取决于△ABC的三个顶点的坐标，为此，需要把动点C的坐标表示出来，要考虑用参数方程的形式．A B 3．当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )
A．点(2,3) B．点(2,0)
C．点(1,3) D．点B 4.P是椭圆 （θ为参数）上一点，且
在第一象限，OP（O为原点）的倾斜角为 ，则点P的坐标为（??）?
?A?.（2，3）? B?. ?
?C?.（2 ， ）? D?.（4，3）
B5．二次曲线 (θ是参数)的左焦点的坐标是________．
6．点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则x＋y的最大值为______，最小值为________．(－4,0) 分析：如果利用原式4x2＋y2＝4变形代换，会出现开方形式，不利于求x＋y的最大值与最小值．根据已知条件，可以借助于椭圆的参数方程来表示点P的坐标，再借助正弦、余弦的有界性把问题解决．5
9.曲线 （θ为参数）上一点P到点?
A （-2，0），B（2，0）的距离之和为 .?
答案：8?10．设P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，求x＋2y的取值范围．3.利用椭圆的参数方程来确定最值，解决有关轨迹问题.
?感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件29张PPT。二 圆锥曲线的参数方程
第三课时 抛物线的参数方程 1．弄清曲线参数方程的概念．
2．能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程．
3．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法．
4.利用抛物线的参数方程求最值和有关点的轨迹.?1．抛物线y＝2x2的焦点坐标为________，准线方程是________．
抛物线x2＝2y的焦点坐标为________，准线方程是________．
2．抛物线y2＝2px(p＞o)的参数方程为 (t为参数). （t∈R）.练习抛物线y2＝4x的一个参数方程为________．(t为为参数） 设点A和B为抛物线y2＝4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示的是什么曲线． 设M为抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P为线段M0M的中点，(如图所示)求点P的轨迹方程．
分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，再寻求解题方法，这是本题的一种解题方法． 过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
分析：本题有多种解法，下面选取两种较典型方法．B A 3．(2012年天津卷)已知抛物线的参数方程为
(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.2C A 6．（2012·广州一模）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲
线C的参数方程分别为l： （s为参数）和?
（t为参数），
若l与C相交于A、B两点，求|AB|= .?
7. （2013·深圳一调）在直角坐标系xOy中，以原点O为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数
方程为 （t为参数）.曲线C2的极坐标方程为
ρsinθ-ρcosθ=3，则C1与C2交点在直角坐标系中的坐
标为 .?
答案：（2，5）?8．已知抛物线y2＝2px过顶点两弦OA⊥OB，求分别以OA，OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹．9．过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB(如图所示)．
(1)设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；
(2)求弦AB中点M的轨迹方程．10.已知方程y2－2x－6ysin θ－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0.
(1)证明：不论θ为何值，该抛物线顶点的轨迹方程一定为椭圆．
(2)求抛物线在直线x＝14上截得的弦长的取值范围，并求弦取得最值时相应的θ值．1．已知抛物线的标准方程，可转化为参数方程，也可由参数方程转化为普通方程．
2．在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中要注意参数的范围限制．
3．抛物线的参数方程是一、二次函数形式、抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件26张PPT。二 圆锥曲线的参数方程
第二课时 双曲线的参数方程 1．弄清曲线参数方程的概念．
2．能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程．
3．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法．
4.利用双曲线的参数方程求最值和有关点的轨迹问题.1．已知动点M和定点A(5,0)，B(－5,0)．
(1)若||MA|－|MB||＝8，则M的轨迹方程是__________________．
(2)若|MA|－|MB|＝8，则M的轨迹方程是____________________．
(3)若|MB|－|MA|＝8，则M的轨迹方程是____________________．练习 求点M0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M与点M0距离的最小值)．
分析：点M0与双曲线上任一点M距离可转化为一个函数关系式以进一步研究求解． 已知曲线C的方程为 ( 为参数)，则曲线C的中心坐标是________．分析：研究曲线的参数方程，要首先明确哪个量是参变量． A C D 答案：60°5．圆锥曲线 (θ为参数)的焦点坐标
是________________．(－4,0)，(6,0) C x2－4(y－3)2＝1 9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束课件28张PPT。四 渐开线与摆线 1．了解圆的渐开线的参数方程，了解摆线的生成过程及它的参数方程．
2．学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤． 给出圆的渐开线的参数方程
( 为参数)，根据参数方程可以看
出，该渐开线的基圆半径是________，当参数 取 时，对应的曲线上的点的坐标是________． 按照给出的渐开线的直观定义，用初等方法推导圆的渐开线的参数方程． 利用向量来建立摆线的参数方程．
解析：如图所示，设半径为a的圆在x轴上滚动，开始时定点M在原点O处．取圆滚动时转过的角度 (以弧度为单位)为参数．当圆滚过φ角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝ .1．下列关于渐开线和摆线的叙述中，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同C 2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①③④C C 6．如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是( )
A．3π
B．4π
C．5π
D．6πC 分析：首先根据所给的摆线方程，判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程．分析：首先根据条件可知，圆的半径是6，平移后的圆心为O(0,0)，根据圆心O到直线的距离，可以判断出直线和圆的位置关系．再由圆的半径写出圆的摆线方程．求摆线和x轴的交点只需令y＝0，求出对应的参数 ，再代入求出x值．12．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．
2．渐开线上任一点M的坐标由圆心角 (以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角 唯一确定．
3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既烦琐又没有实际意义．
4．分析上面建立曲线的参数方程的过程，总结用向量方法建立运动轨迹的参数方程的基本思路和步骤．
它们的推导过程类似：
(1)建立合适的坐标系；
(2)取定某个角度(以弧度为单位)为参数；
(3)用三角知识写出相关向量的坐标表达式；
(4)用向量运算得到 的坐标表达式，就得到了曲线的参数方程．感谢您的使用，退出请按ESC键本小节结束
