课件8张PPT。数学配人教A版选修4-5目录不等式和绝对值不等式1.1 不等式
1.1.1 不等式的基本性质 1.1.2 基本不等式 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式 不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式
1.2.1 绝对值三角不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法(1) 1.2.3 绝对值不等式的解法(2)证明不等式的基本方法 2.1 比较法 2.2 综合法与分析法2.3 反证法与放缩法3.1 二维形式的柯西不等式柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式3.3 排序不等式数学归纳法证明不等式4.2 用数学归纳法证明不等式4.1 数学归纳法祝您学业有成课件28张PPT。1.1 不等式
1.1.1 不等式的基本性质不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质．
2．灵活应用比较法比较两个数的大小．
3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：
a＞b?a－b＞0；
a＝b?a－b＝0；
a＜b?a－b＜0.
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．
练习1：比较大小：x2＋3________x2＋1. ＞2.不等式的基本性质
(1)如果a＞b，那么b＜a，如果b＜a，那么a＞b.(对称性)
(2)如果a＞b，且b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c?a＞c.(传递性)
(3)如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，即a＞b?a＋c＞b＋c.
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.即a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(4)如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc.
(5)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，且n＞1)．＞＞分析：要判断上述命题的真假，依据就是实数的基本性质及实数运算的符号法则，以及不等式的基本性质，经过合理的逻辑推理即可判断．也可令式中字母取一些特殊值，以检验不等式是否成立．跟踪训练 若a＞b，c＞d，且a与d都是负数．
求证：ac＜bd.证明：因为a＞b，两边都乘以负数d，得ad＜bd.
又因c＞d，两边都乘以负数a，得ac＜ad.由不等式的传递性，得ac＜bd. 设f(x)＝ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤2，
2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．一层练习CDDB二层练习CB(－135°，135°)＜b＜0＜a三层练习10．若0＜x＜1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．11．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．13．已知f(x)＝mx2－n，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．1．不等关系与不等式
(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．
(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．
2．不等式的性质
对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是、或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．
3．比较两个实数的大小
要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．祝您学业有成课件38张PPT。1.1 不等式
1.1.2 基本不等式不等式和绝对值不等式1．会用基本不等式证明一些简单问题．
2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的极值，从而学会解决简单的应用问题．1．定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．
练习1：利用定理1有：x2＋32≥________其中符号成立的条件是：x＝________.≥ 6x
34．重要结论
已知x，y都是正数，则：
(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值________；
(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值________．
练习3：已知x，y都是正数，积xy是定值100，那么当x＝y时，和x＋y有最________值________；
已知x，y都是正数，和x＋y是定值3，那么当x＝y时，积xy有最________值________．跟踪训练 一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均 件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应是多少？分析：应用基本不等式或函数y＝x＋ 解决实际问题的一般步骤：
①设变量，定函数；②建立函数关系式；③在定义域内求最值；④写出正确答案．一层练习DAD二层练习DBBD大4－10三层练习10. (2013·广州二模) 设a>0,b>0,则以下不等式中，不恒成立的是 （?）?
?B13．某种汽车购买时费用为10万元，每年的保险、汽油费用共9 000元，汽车的年维修费以等差数列递增，第一年为2 000元，第二年为4 000元，…，如果把汽车的所有费用(包括购车款)平摊到运行后的每一年，叫做年平均消耗．问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均消耗最低)?(2)关于不等式c≥d及c≤d的含义
不等式“c≥d” 的含义是“或者c＞d，或者c＝d”，等价于“c不小于d”，即若c＞d或c＝d有一个正确，则c≥d正确．
不等式“c≤d”读作c小于或等于d，其含义是“c
(3)这两个公式都是带有等号的不等式，因此，对定理“当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab当且仅当a＝b时等号成立”的含义要搞清楚．它的含义是：
①当a＝b时，a2＋b2＝2ab；
②当a2＋b2＝2ab时，a＝b； 函数图象如下图所示．
另外，在证明或应用基本不等式解决一些较为复杂的问题时，需要同时或连续使用基本不等式，要注意保证取等号条件的一致性．祝您学业有成课件32张PPT。1.1 不等式
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式 不等式和绝对值不等式1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．
2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的极值，从而学会解决简单的应用问题．≥几何平均数算术几何13 92．(1)几何平均数 (2)算术 几何 练习2： ≥ 设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.跟踪训练当且仅当a=b=c时等号成立 一层练习1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是( )DA＜14 423 6二层练习A98. 已知0(3)“三相等”取“＝”的条件是a1＝a2＝…＝an不能只是一部分相等．
2．重要不等式a2＋b2≥2ab与a3＋b3＋c3≥3abc的运用条件不一样，前者a，b∈R，后面a，b，c∈R＋要注意区别．
3．注意基本不等式中的变形与拼凑方法．祝您学业有成课件28张PPT。1.2 绝对值不等式
1.2.1 绝对值三角不等式不等式和绝对值不等式1．理解绝对值的几何意义．
2．能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.1．解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式．主要的依据是绝对值的意义．
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值．
练习1：求下列各数的绝对值：
(1)3 (2)－8 (3)0练习1：(1)3 (2)8 (3)02．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
(1)|a|＋|b|≥|a＋b|；
(2)|a|－|b|≤|a＋b|；
(3)|a|·|b|＝|a·b|；练习2：说出下列不等式等号成立的条件
(1)|a|＋|b|≥|a＋b|；
(2)|a|－|b|≤|a＋b|.
3．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|≥a、|a|≥－a及绝对值的和的性质．
练习3：当|a|>a时，a∈________；当|a|>－a时，a∈(0，＋∞)练习2：(1)等号成立的条件是：ab≥0；
(2)等号成立的条件是：ab≤0且a≥b.
练习3：(－∞，0) 若|a－b|＞c，|b－c|＜a，求证：c＜a.
证明：由|a－b|＞c，及|b－c|＜a得
c－a＜|a－b|－|b－c|≤|(a－b)＋(b－c)|
＝|a－c|＝|c－a|.
由c－a＜|c－a|知c－a＜0，故c＜a.分析：将2x＋3y－2a－3b写成2(x－a)＋3(y－b)的形式后利用定理1和不等式性质证明．证明：|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|
≤|2(x－a)|＋|3(y－b)|
＝2|x－a|＋3|y－b|跟踪训练设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：
m≥|a|、m≥|b|、m≥1. 某段铁路线上依次有A、B、C三站，AB＝5 km，BC＝3 km.在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站出发，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站．在实际运行中，假设列车从A站正点发车在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度v km/h正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度v km/h匀速行驶．列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．
(1)分别写出列车在B、C两站的运行误差；
(2)若要求列车在B、C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围．一层练习1．若a、b∈R，则以下命题正确的是( )
A．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
B．|a|－|b|＜|a－b|＜|a|＋|b|
C．当且仅当ab＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|
D．当且仅当ab≤0时，|a－b|＝|a|－|b|A2．设a，b是满足ab＜0的实数，则下列不等式中正确的是( )
A．|a＋b|＞|a－b| B．|a＋b|＜|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|＜|a|＋|b|
3．若|a＋b|＜－c，则下列不等式：①a＜－b－c；②a＋b＜c；③a＋c＜b；④|a|＋c＜|b|；⑤|a|＋|b|＜－c.其中，一定成立的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个BBA5. 函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为（??）?
?A.2
?B.
?C.4
?D.6
6. 方程 的解集为______________?
不等式 的解集为_______________
A答案： {x|-30} {x|x>2或x<0}二层练习7．不等式 ≥1成立的充要条件是________．
8．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．
9．若1＜a＜8，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是________．(－3,8)|a|＞|b|5 110. 求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.?
解析：∵||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,
∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4.?
即ymax=4, ymin=-4.
三层练习11．已知a＞b＞c，求函数y＝|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值．解析：由绝对值的几何意义知|x－a|＋|x－b|＋|x－c|表示数轴上任意一点P(x)到定点A(a)，B(b)，C(c)三点距离的和，即y＝|x－a|＋|x－b|＋|x－c|＝|PA|＋|PB|＋|PC|.
因为a＞b＞c，所以由数轴知
当x＝b时，(|PA|＋|PB|＋|PC|)min＝a－c
所以函数y＝|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为a－c，此时x＝b.分析：将xy－ab配凑成xy－ay＋ay＋ab的形式，利用定理2及不等式性质证明．
证明：|xy－ab|＝|xy－ay＋ay－ab|≤|xy－ay|＋|ay－ab|
＝|y(x－a)|＋|a(y－b)|＝|y||x－a|＋|a||y－b|.
＝mε.3．含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如：
|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|；
|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|；
|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
4．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时一定要注意符号成立的条件：
|a＋b|＝|a|＋|b|(ab≥0)；
|a－b|＝|a|＋|b|(ab≤0)；
||a|－|b||＝|a＋b|(ab≤0)；
||a|－|b||＝|a－b|(ab≥0).祝您学业有成课件31张PPT。1.2 绝对值不等式
1.2.2 绝对值不等式的解法(1)不等式和绝对值不等式会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
①|ax＋b|≤c；
②|ax＋b|≥c.含有绝对值的不等式有两种基本的类型
第一种类型：设a为正数．根据绝对值的意义，不等式|x|＜a的解集是{－a＜x＜a}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间(－a，a)，如下图所示．
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解．
练习1：|x|＜1的解集为：________________. {x|－1＜x＜1}第二种类型：设a为正数．根据绝对值的意义，不等式|x|＞a的解集是{x|x＞a或x＜－a}．
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(－∞，－a)，(a，＋∞)的并集，如下图所示．
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解．
练习2：|x|＞1的解集为：_________________. {x|x＜－1或x＞1}跟踪训练一层练习C1. 不等式 的实数解为?____________
答案：DC5．若2－m与|m|－3异号，则m的取值范围是( )
A．m＞3 B．－3＜m＜3
C．2＜m＜3 D．－3＜m＜2或m＞3D二层练习6．不等式|x2＋2x－1|≥2的解集是_____________________．
7．不等式|x＋2|≥|x|的解集是_____________．
8．不等式|2x－1|－x＜1的解集是_____________．{x|0＜x＜2}{x|x≤－3或x＝－1或x≥1}{x|x≥－1}9．(2012年山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.10. 解不等式x2-2|x|-3>0.?
解析：当x≥0时，原不等式可化为x2-2x-3>0,?
∴不等式的解为x>3.?
当x<0时，原不等式可化为x2+2x-3>0,?
∴不等式的解为x<-3.?
综上可得,原不等式的解集为:?
{x|x>3或x<-3}.? 11．解下列不等式：
(1)2|x|＋1＞7；
(2)|x－a|≤b(b＞0)；
(3)|x－a|≥b(b＞0)；
(4)|x－a|＜|x－b|(a≠b)．解析：(1)不等式的解集为{x|x＞3或x＜－3}．
(2)不等式的解集为{x|a－b≤x≤a＋b}．
(3)不等式的解集为{x|x≤a－b或x≥a＋b}．三层练习分析：按解绝对值不等式的方法求解．
解析：（1）解法一当x2-3x-4≤0?
即-1≤x≤4时,?
|x-x2-2|>x2-3x-4恒成立.?
当x2-3x-4>0?
即x>4或x<-1时，原不等式等价于：x-x2-2>x2-3x-4或x-x2-2<-(x2-3x-4),?
∴1- -3.?
∴{x|x>4或-3综上可得：原不等式的解集为{x|x>-3}.?
解法二
∵|x-x2-2|=|x2-x+2|，?
而x2-x+2=，?
∴|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2，故原不等式等价于x2-x+2＞x2-3x-4x＞-3.?
∴原不等式的解集为{x|x＞-3}.? 13．已知f(x)＝－x2，x∈[0,1]，对于x1、x2∈[0,1]，求|f(x1)－f(x2)|的最大值．解析：∵x∈[0,1]，f(x)＝－x2，
∴－1≤－x2≤0，
∴－1≤f(x1)≤0，－1≤f(x2)≤0，
∴|f(x1)－f(x2)|≤1，即所求最大值为1.解含有绝对值的不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解，依据的是同解性，对同解性应理解为：“|x|”中的x可以是任何有意义的数学式子f(x)，因此从结论上说，|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解；|f(x)|＞g(x)与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)同解，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键，数形结合法解不等式是另一个重要的解题途径，为此要熟练掌握函数|f(x)|的图象和画法．祝您学业有成课件35张PPT。1.2 绝对值不等式
1.2.3 绝对值不等式的解法(2)不等式和绝对值不等式会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|x－c|＋|x－b|≥a.|x－c|＋|x－b|≤a.1．求解不等式：|x－c|＋|x－b|≥a，|x－c|＋|x－b|≤a.的第一种方法分讨论去绝对值．
练习1：不等式|x－2|＋|x－1|≥5的解集为：________
2．求解不等式：|x－c|＋|x－b|≥a，
|x－c|＋|x－b|≤a.的第二种方法用几何意义直接求边界值，再利用几何意义写出解集．
练习2：不等式|x|＋|x＋1|＜2的解集为：________解不等式|x＋2|＋|x－1|≤4.分析：可用三种方法求解.数轴上与－2、1对应的点把数轴分成了三部分，在每部分里分别讨论不等式的解，然后把它们综合在一起就得到不等式的解集.（2)此不等式也可利用绝对值的几何意义来解.（3）从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集.解法二（几何法）x为不等式|x+2|+|x-1|≤4的解x是与数轴上的点A（-2）及B（1）两点距离之和小于等于4的点.
A，B两点的距离为3，因此线段AB上任何一点到A，B距离之和都等于3，因此都是原不等式的解.但我们需要找到原不等式解的全体，于是关键在于找到A，B距离之和为4的点.??解关于x的不等式|logaax2|＜|logax|＋2.分析：换元求解，令logax＝t.
解析：原不等式化为|1＋2logax|＜|logax|＋2，
令t＝logax，所以|2t＋1|＜|t|＋2，
两边平方得：
4t2＋4t＋1＜t2＋4|t|＋4?3t2＋4t－4|t|－3＜0，
当t≥0时，3t2－3＜0?t2＜1?－1＜t＜1，
所以0≤t＜1；当t＜0时，3t2＋8t－3＜0?－3＜t＜ ，
所以－3＜t＜0；
综上所述－3＜t＜1.
因为t＝logax，所以－3＜logax＜1.
当0＜a＜1时，a＜x＜a－3，
当a＞1时，a－3＜x＜a，
所以原不等式的解集为：
当0＜a＜1时{x|a＜x＜a－3}，
当a＞1时，{x|a－3＜x＜a}． 设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法以及函数最值的求法，考查综合运用数学知识解决问题的能力．一层练习2．不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是( )
A．0 B．－1
C．1 D．2BA4．|x＋log3x|＜|x|＋|log3x|的解集为( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)CA5．对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，则k的取值范围是( )
A．k＜3 B．k＜－3
C．k≤3 D．k≤－3B二层练习
7．(2012年江西卷)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|
≤6的解集为______________． 6. 已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|答案： {a|a>5}8．解不等式(1)|x2－2x＋3|＜|3x－1|，
(2)|x＋7|－|x－2|≤3.解析：(1)原不等式?(x2－2x＋3)2＜(3x－1)2
?[(x2－2x＋3)＋(3x－1)][(x2－2x＋3)－(3x－1)]＜0
?(x2＋x＋2)(x2－5x＋4)＜0
?x2－5x＋4＜0(因为x2＋x＋2恒大于0)
?1＜x＜4.
所以原不等式的解集是{x|1＜x＜4}．9．在[－2,2]上作函数y＝2|x＋1|＋|x|＋|x－1|的图象，并解不等式2|x＋1|＋|x|＋|x－1|＞5.三层练习10．(2011年江苏卷)解不等式x＋|2x－1|＜3.11．解不等式|log2x|＋|log2(2－x)|≥1.解析：因为两对数log2x，log2(2－x)有意义，
故0＜x＜2.
令log2x＝0，log2(2－x)＝0?x＝1.
当0＜x＜1时，原不等式等价于
－log2x＋log2(2－x)≥112．已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.
(1)若不等式有解；
(2)若不等式解集为R.
分别求m的取值范围．分析：求出|x＋2|－|x＋3|的取值范围即可．
解析：利用绝对值不等式性质
||x＋2|－|x＋3||≤|x＋3－2－x|＝1，
∴－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1；
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立．m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1.13．解不等式|2x＋1|－2|x－1|>0.1．本小节讲述了|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
2．分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解，即也即x∈R，x为非负数时，|x|为x；x为负数时，|x|为－x，即x的相反数．利用这一性质，在解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)时，不妨设a＜b，则是在(－∞，a]，(a，b)，[b，＋∞)上得到|x－a|＋|x－b|的不同的解析表达式，将问题转化为解三个不等式组原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集．?|x-a|+?|x-b|≥c型不等式可类似处理.? 3．|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的图象解法和画出函数的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段解析表达式，不妨设a＜b，于是
f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c
这种解法体现了函数与方程结合、数形结合的思想．祝您学业有成课件23张PPT。3.1 二维形式的柯西不等式柯西不等式与排序不等式 1.利用柯西不等式证明不等式.
2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．
3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式．理解它们的几何意义．
(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.
(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 1．定理1：(二维形式的柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则______________________其中等号当且仅当________时成立．
2．定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个平面向量，则________，其中等号当且仅当两个向量__________________时成立． 1．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，ad＝bc
2．|α|·|β|≥|α·β| 方向相同或相反(即两个向量共线) 已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1.
求证：|ax＋by|≤1.分析：利用柯西不等式的代数形式证明．
证明：由柯西不等式得
(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1，
∴|ax＋by|≤1.跟踪训练分析：利用二维柯西不等式，可以先平方，再开方，变形的目的是为了能利用柯西不等式．一层练习BD（ ）D二层练习答案：3 7．若2x＋3y＝1，求x2＋y2的最小值及最小值点．三层练习8．在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形．1．本节学习的是不等式中的又一个(基本不等式已学过)经典不等式，而二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，柯西不等式的几种形式间是等价的，但要注意结构形式的变化对数值的要求．
2．柯西不等式与基本不等式作对比，柯西不等式中的字母数较多，不容易记忆，这就要求认真理解代数推导过程和向量形式，三角形式的推导过程，从形和数两方面来理解和记忆．对等号“＝”取到的条件要从推导过程中来理解.祝您学业有成课件32张PPT。3.2 一般形式的柯西不等式柯西不等式与排序不等式 1.利用柯西不等式证明不等式.
2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．
3．认识柯西不等式的几种不同形式．理解它们的几何意义． ≥≥跟踪训练已知a1，a2，…，an都是实数．
求证：(a1 ＋ a2 ＋…＋ an)2≤n(a ＋ a ＋…＋ a)．分析：与柯西不等式的结构想比较，发现它符合柯西不等式的结构，因此可用柯西不等式来证明．点评：准确把握柯西不等式的结构特征，通过恰当变形，构造两组柯西数组是运用柯西不等式的关键所在．一层练习BC3．已知a2＋b2＝1，求证：|acosθ＋bsinθ|≤1.证明：因为a2＋b2＝1，cos2θ＋sin2θ＝1，故由柯西不等式得(acos θ＋bsin θ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)＝1，
即得|acos θ＋bsin θ|≤1.4．已知a，b为正数，a＋b＝1，t1，t2为正数，求证：(at1＋bt2)·(bt1＋at2)≥t1t2.二层练习9．三角形三边a，b，c对应的高为ha，hb，hc，r为三角形内切圆半径．若ha＋hb＋hc的值为9r，试判断此三角形的形状．10．把一条长是m的绳子截成三段，各围成一个正方形，怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？1．在证明一般形式的柯西不等式过程中构造了二次函数，利用配方法，通过讨论相应的判别式来证明不等式，教学中要求学生掌握等号成立的充分必要条件．
2．由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构与特征，对不等式成立的条件及等号取到的条件更要对比来研究．
3．一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，因此，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活应用.祝您学业有成课件39张PPT。3.3 排序不等式柯西不等式与排序不等式 1．用向量递归方法讨论排序不等式．
2．了解排序不等式的基本形式，用排序不等式解决简单的数学问题． 1．基本概念
一般地，设有两组数：a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：根据上面式子猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：
同序和a1b1＋a2b2＋a3b3最大，反序和a1b3＋a2b2＋a3b1最小．
练习：计算下列各组数并找出其中最大最小的数：练习：220 205 215 195 185 180同序和a1b1＋a2b2＋a3b3＝220最大，反序和a1b3＋a2b2＋a3b1＝180最小．
2．排序不等式的一般情形
一般地，设有两组实数：a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn，且它们满足：
a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，
若c1，c2，c3，…，cn是b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列，则和数a1c1＋a2c2＋…＋ancn
在a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn同序时最大，反序时最小，即：
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1c1＋a2c2＋…＋ancn≥a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，等号当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时成立．分析：观察不等式找出数组，并比较大小，并用排序原理证明．跟踪训练点评：在证明不等式的过程中，往往将“n个互不相同的正整数”进行排序，这种排序并不失一般性，是证明中常常使用的一个技巧．本题较难之处是如何想到构造新的排列b1，b2，…，bn，这需要考生从正确的方向进行分析，根据分析的发展逐步想到，充分利用问题的条件，挖掘条件背后更深的内容，为使用已有经典不等式创造条件．证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，
则由排序原理得
a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1b2＋a2b3＋…＋anb1，
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1b3＋a2b4＋…＋an－1b1＋anb2，
……一层练习A1．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4 min,8 min,6 min,10 min,5 min，每台机床停产1 min损失5元，经合理安排损失最少为( )
A．420元 B．400元 C．450元 D．570元
2．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则最少和最多花的钱数为( )
A．19元，24元 B．20元，19元
C．19元，25元 D．25元，27元C5．有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i＝1，2，…，10)个人的水桶需要ti分钟，假定这些ti各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？分析：这是一个实际问题，需要将它数学化，即转化为数学问题．若第一个接水的人需t1分钟，接这桶水时10人所需等候的总时间是10t1分钟；第二个接水的人需t2分钟，接这桶水时9人所需等候的总时间是9t2分钟；如此继续下去，到第10人接水时，只有他一个在等，需要t10分钟．所以，按这个顺序，10人都接满水所需的等待总时间(分钟)是10t1＋9t2＋…＋2t9＋t10.
这个和数就是问题的数学模型，现要考虑t1，t2，…，t10满足什么条件时这个和数最小．解析：等待总时间(分钟)是10t1＋9t2＋…＋2t9＋t10.
根据排序不等式，当t1＜t2＜…＜t9＜t10时总时间取最小值．这就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10人等候的总时间最少，这个最少的总时间是10t1＋9t2…＋2t9＋t10，其中t1＜t2＜…＜t9＜t10.6．设a1，a2，…，an为实数，且a1≤a2≤a3≤…≤an，用排序不等式证明：a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a＋a＋…＋a，其中c1，c2，…，cn为a1，a2，…，an的任一排列．二层练习9．已知a，b，c为正数，且两两不相等，求证：2(a3＋b3＋c3)＞a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．三层练习11．设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.证明：(1)x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，
由排序原理得
1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn，①
又因为x，x2，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，∴1·x＋x·x2＋…＋xn－1xn＋xn·1
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
∴x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn，②
①＋②得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.③
(2)当0＜x＜1时，1＞x≥x2≥…≥xn，①②仍成立，
∴③也成立．1．排序不等式也是基本而重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要不等式可以借助排序不等式得以证明．
2．排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按a数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就不按“常规”的顺序了，对于排序定理的记忆，我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系，比如教材上的例子．
3．对于排序不等式取等号的条件不难理解，a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn，但对于我们解决某些问题则非常关键，它是命题成立的一种条件，所以要牢记．祝您学业有成课件28张PPT。2.1 比较法 证明不等式的基本方法 1．使同学了解用做差比较法证明不等式．
2．使同学了解用做商比较法证明不等式．
3．提高综合应用知识解决问题的能力．要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
a＞b?a－b________0
a＝b?a－b________0
a＜b?a－b________0＞
＝
＜练习1：比较下面两个代数式值的大小：
x2与x2－x＋1；
练习2：比较下面两个代数式值的大小：
x2＋x＋1与(x＋1)2.解析：当x＝1时x2＝x2－x＋1；
当x＞1时x2＞x2－x＋1；
当x＜1时x2＜x2－x＋1；解析：当x＝0时x2＋x＋1＝(x＋1)2；
当x＞0时；x2＋x＋1＜(x＋1)2；
当x＜0时x2＋x＋1＞(x＋1)2； 已知a＜b＜c，求证a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.
证明：因为a＜b＜c，
所以a－b＜0，b－c＜0，a－c＜0，
所以(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)
＝(a2b－ca2)＋(b2c－bc2)＋(ac2－ab2)
＝(b－c)[a2－a(b＋c)＋bc]
＝(b－c)(a－b)(a－c)＜0，
所以a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2. 已知a、b∈R＋，求证：
(1)aabb≥(ab) ；
(2)(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)(n∈N＋)
分析：(1)不等式两边都是正数，且均为积与幂的形式，故选用商比法．(2)用差比法．(2)(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝an(b－a)＋bn(a－b)＝(a－b)(bn－an)
又∵a、b∈R＋，n∈N＋
∴当a≥b时，a－b≥0，bn－an≤0，
∴(a－b)(bn－an)≤0，
∴(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
当a＜b时，a－b＜0，bn－an＞0，
∴(a－b)(bn－an)＜0，
∴(a＋b)(an＋bn)＜2(an＋1＋bn＋1)．跟踪训练分析：因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用求差法进行证明．又因为a≥1，所以不等式两边都大于0，故还可以用作商法进行证明．点评：根据左、右两边都含无理号的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，否则要改变不等号． 设a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ . 分析：要证a＋b＋c≥ ，只要证(a＋b＋c)2≥3，然后再用差比法．
证明：因为(a＋b＋c)2－3
＝(a＋b＋c)2－3(ab＋bc＋ca)
＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ca
＝ [(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
所以(a＋b＋c)2≥3.
又a，b，c∈R＋，a＋b＋c＞0，
所以a＋b＋c≥ .一层练习1．设m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则( )
A．m＞n B．m≥n
C．m＜n D．m≤nD2．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b＞a B．a＞c≥b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
3．已知下列不等式：①x2＋3＞2x(x∈R)；②a5＋b5＞a3b2＋a2b3(a，b∈R)；③a2＋b2≥2(a－b－1)．其中正确的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个AC5．设a，b，c∈R，且a，b，c不全相等，则不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一个充要条件是( )
A．a，b，c全为正数 B．a，b，c全为非负实数
C．a＋b＋c≥0 D．a＋b＋c＞0AC二层练习B9．设a，b均为正数，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是______________．≤aabb＞abba 10. 若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则abc与 的大小关系
答案：abc≤三层练习比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的差比法(即利用a＞b?a－b＞0)，还有商比法(即要证明a＞b，而b＞0，只要证明 ＞1)．差比法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．为便于判断差式的符号，通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等．多项式不等式或分式不等式或对数不等式常用差比法证明．商比法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．判断过程应详细叙述．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论.祝您学业有成课件40张PPT。2.2 综合法与分析法证明不等式的基本方法 1. 理解综合法和分析法的实质，掌握分析法、综合法 和证明不等式的步骤
2．使同学了解用分析法证明不等式．
3．使同学了解用综合法证明不等式．
4．提高综合应用知识解决问题的能力． 1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法是“由因及果”． 3. 分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中.分析法是“执果索因”.打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”. 3.以前得到的结论，可以作为证明的根据.如A+B≥
（A＞0，B＞0），A2+B2≥2AB等常常要用到的一些重要不等式.? 已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：
(1)(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc，
(2)ab＋bc＋ac≤ . 设△ABC的边长分别是a，b，c且m＞0，求证：跟踪训练分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母一层练习1．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的( )
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．必要或充分条件BC3．若x＞y＞1,0＜a＜1，则下列式子中正确的是( )
A．ax＞ay B．logax＞logay
C．xa＜ya D．x－a＜y－aD≥a＋b二层练习三层练习12．用正方形铁板围成一粮囤，证明：底面是圆的粮囤比底面是正方形的粮囤容积大．2．分析法就是从求证的不等式出发，执果索因，找出使这个不等式成立需具备的充分条件，直至能肯定所需条件已经具备．证明的关键是推理的每一步都必须可逆．对思路不明显，从条件看感到无从下手的问题宜用分析法．
用分析法证明“若A则B”的模式为：
欲证命题B成立，
只需证命题B1成立，……
只需证命题B2成立，……
……只需证明A为真
今已知A为真，故B必真．
可以简单写成：
B?B1?B2?……?Bn?A.
3．证明时省略掉“要证明”和“只需证明”的字样，就会颠倒因果关系而犯逻辑上的根本错误，但可用“?”取代那些必要的词语．应予以足够重视．4．分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的特点是利于思考，因为其方向明确，思路自然，易于掌握．综合法的优点是宜于表述、条理清楚、形式简洁、证明时常用分析法探索证明途径，后用综合法的形式写出证明过程，这是解数学问题的一种重要思想方法．分析与综合互为前提，相互渗透，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点，分析法和综合法要结合起来使用，也就是“两头凑”，会使问题较易解决．即在分析过程中有时进行到一定步骤不易进行下去，就要从已知条件出发，进行推理，直至综合法推出的结论与分析法追溯的充分条件同一为止，从而证明了不等式．这种：“由两头往中间靠”的方法可称为分析综合法．
5．一般来说，如果已知条件信息量较小，或已知与待证间的直接联系不明显，“距离”较大，用分析法来证明.祝您学业有成课件33张PPT。2.3 反证法与放缩法证明不等式的基本方法 1．使同学了解用反证法证明不等式．
2．使同学了解用放缩法证明不等式．
3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．反证法
前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法．也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立．但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法．所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的．其中，反证法是间接证明的一种基本方法．反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾．具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而判定原来的结论是正确的．
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 做出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立． 设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 .跟踪训练若a≥b＞0，n∈N＋，求证：n(a－b)bn－1≤an－bn ≤n(a－b)an－1. 证明：由于a≥b＞0，有an－bn＝(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋bn－1)
≤(a－b)(an－1＋an－2a＋…＋an－1)
＝n(a－b)an－1.
an－bn＝(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋bn－1)
≥(a－b)(bn－1＋bn－2b＋…＋bn－1)
＝n(a－b)bn－1.
∴n(a－b)bn－1≤an－bn≤n(a－b)an－1. 已知曲线Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝1,2，…)．从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn)．
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；
(2)证明：x1·x3·x5……x2n－1＜一层练习1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是( )
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个偶数BCBDB二层练习答案： 6. 7. 8.9. 已知x,y>0,且x+y>2.?
证明： 中至少有一个小于2.?三层练习1．用反证法证明不等式要把握三点：
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的．
2．放缩法的关键在于放大(或缩小)要适度．3．当要证明的不等式中含有分式时，我们把分母放大，则相应的分式的值缩小，反之，如果把分母缩小，则分式的值放大，这是一种常用的放缩方法．
4．放缩法放大缩小的限度不是唯一的，如果用某种放大的办法可以得到欲证结论，那么比此放大更“精细”的放大就应该更能得到所需结论．但是一般来讲，这种“风险”和“难度”是成正比的，放得越宽，能否证出命题的“风险”越大，但相对放大的“难度”就越低；反之，放大越精细，则能证出最终结论的可能性越大，但是“难度”也相对增大，这其中的平衡就需要从练习中去把握．祝您学业有成课件40张PPT。4.1 数学归纳法数学归纳法证明不等式1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．
2．会用数学归纳法证明一些简单问题．
3. 掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论.1．数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)(n∈N)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据．实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限．证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识．分析：要注意用数学归纳法证明时n的第一个取值不是1，而是2.N＊跟踪训练点评：用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N＊. 分析：对于多项式A、B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除，若C|A，C|B?A＋B，A－B也能被C整除．证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
(2)设n＝k(k≥1，k∈N＊)时，
ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对n∈N＊，命题成立．点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证． 用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数是 n(n－3)． 设正整数数列{an}满足：a2＝4，且对于任何n∈N*，有
(1)求a1，a3；
(2)求数列{an}的通项an.一层练习1．用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成( )
A．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)
B．6k(k＋1)(2k＋1)
C．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2
D．以上都不对CC3．如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2成立，又若P(n)对n＝2成立，则P(n)对所有( )
A．正整数n成立 B．正偶数n成立
C．正奇数n成立 D．大于1的自然数n成立BB6．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立CC二层练习8．观察等式1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，推测第n个等式应该是__________________________________________．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)22＋f(1)＝2f(2)10．函数f(x)由下表定义：
若a0＝5，an＋1＝f(an)，n＝0,1,2，…，则a2 012＝________.5三层练习分析：要注意书写格式：第一步怎么写？第二步怎么写？归纳假设是否用上？怎样用？最后的结论是否写上？点评：这里的(1)就是完成了数学归纳法证明的第一步，
(2)就是完成了数学归纳法证明的第二步，而最后一句话总结了原命题证明的完成．一般说来，用数学归纳法证明的书写格式是：两步加上总结．分析：用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k条直线将平面分成的部分数与k＋1条直线将平面分成的部分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到n＝k＋1时的证明．1．由一系列有限的特殊事例经过观察、概括，总结得出一般结论的方法称为归纳法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法，由完全归纳法得出的结论是正确的，由不完全归纳法得出的结论有可能是错误的，但是不完全归纳法是人类研究科学、探索真理、发现客观规律的一种重要手段．
2．数学中有很多涉及到正整数的命题，由于正整数有无穷多个，因而不可能对所有的正整数一一加以验证．如果只对部分正整数加以验证，结论又不一定正确．数学归纳法的基本思想是先验证使结论成立的最小正整数n0，如果当n＝n0时命题成立(这是基础，是出发点)．再假设当n＝k(k≥n0，k为正整数)时命题正确，根据这个假设，如果能推出n＝k＋1时命题也成立(这是递推的依据)，那么就可以推出对于所有不小于n0的正整数n0＋1，n0＋2，…，命题都正确了．3．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
(1)证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证使命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
(2)证明了第二步，就获得了递推的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只完成第一步而缺少第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判定命题对n0＋1，n0＋2，…是否正确．第二步中，在推证之前，命题对n＝k是否成立是不清楚的，因此用“假设”两字，这一步的实质是证明命题对n＝k的正确性可以传递到n＝k＋1的情况，有了这一步，再由第一步知命题对n0成立，就可以知道命题对于n0＋1也成立，进而再由第二步可知命题对于n＝(n0＋1)＋1＝n0＋2也成立，…，这样递推下去，可以知道命题对于一切不小于n0的正整数都成立．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k＋1时的情况则有待利用命题的已知条件、公理、定理、定义加以证明．
完成一、二两步后，最后要对命题做一个总的结论．祝您学业有成课件47张PPT。4.2 用数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．
2．会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式．1．用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)(n≥1，n∈N﹡)；
练习：填空
已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2.求证：(1＋x)n＞1＋nx.
证明：(1)当n＝________时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫)
(2)假设n＝k时(k___________)，不等式成立，即_______________．
当n＝k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是 2≥2 k∈N﹡(1＋x)k＞1＋kx左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2；
右边＝1＋(k＋1)x.
因为________，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x.这就是说，原不等式当n＝k＋1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．
2．用数学归纳法证明不等式的关键是：假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重．当然第一步是证明的基础也是不能少的．kx2＞0﹡）.﹡).跟踪训练分析：在递归步骤中需用到2k＞k2这一步，但这只有当k≥5时，才能成立，故不能只证n＝1，命题成立后，便用归纳推理．
证明：(1)验证知n＝1,2,3,4,5时，命题都成立．
(2)设n＝k(k≥5)时命题成立，即
2k＋2＞2k＞k2，
则当n＝k＋1时，
2k＋1＋2＞2k＋1＝2·2k＞2·k2＞(k＋1)2，(*)﹡).故命题成立，因而对一切n∈N*命题成立．
其中(*)：当k≥5时2k＞k2，证明如下：
(ⅰ)当k＝5时，25＞52显然成立；
(ⅱ)设k＝i(i＞5)时，2i＞i2成立，
则当k＝i＋1时，
2i＋1－(i＋1)2＝2·2i－i2－2i－1＝2(2i－i2)＋(i2－2i＋1)－2＝2(2i－i2)＋(i－1)2－2，
∵2i＞i2，i＞5，∴(i－1)2－2＞0，故2i＋1＞(i＋1)2，
∴对一切k≥5有2k＞k2.*,*)时*,跟踪训练2．已知a≥2，不等式logax＋loga[(a＋1)ak－1－x]≥ 2k－1的解集为A，其中a∈N*，k∈N.
(1)求A.
(2)设f(k)表示A中自然数个数，求和Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)．
(3)当a＝2时，比较Sn与n2＋n的大小，并证明你的结论．*),一层练习1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1 (n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2kDCC4．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n与n2的大小并猜想( )
A．n≥1时，2n＞n2 B．n≥3时，2n＞n2
C．n≥4时，2n＞n2 D．n≥5时，2n＞n2D二层练习57. 已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对于一切n∈N*都成立，则a=______, b=_____,c=______.? 答案：*).*)时*成立 三层练习解析：(1)由a1＝2，得a2＝3，a3＝4，a4＝5，猜想
an＝n＋1.
(2)①当n＝1时，a1＝3≥1＋2，不等式成立．
假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即ak≥k＋2，
当n＝k＋1时，ak＋1＝a －kak＋1＋1＝ak(ak－k)＋1≥
(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3.
即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立．
∴an≥n＋2对于n∈N*都成立．分析：本题除了考查有关数列的知识之外，在比较大小时还可进行归纳、猜想，然后用数学归纳法进行证明．1．本节的主要内容是认知如何用数学归纳法证明，含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)．观察—猜想—证明是数学归纳法中经常用到的综合性数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的，猜想归纳能培养探索问题的能力，因此需重视本节内容的学习．
2．前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是n是无限的问题，因而难度更大一些．但仔细研究数学归纳法关键是由n＝k到n＝k＋1的过渡，也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重问题．(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均要灵活的运用．有个别较复杂的问题，第二个步骤再利用数学归纳法．
(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设当n≤k时成立，再证当n＝k＋1时成立，实质上，这就是第二数学归纳法．祝您学业有成