课件9张PPT。数学配苏教版必修5目录1.1 正弦定理
1.2 余弦定理
1.3 正弦定理、余弦定理的应用解三角形 数列 2.1 数列的通项公式及性质
2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的概念及通项公式
2.2.2 等差数列的前n项和 数列 2.3 等比数列
2.3.1 等比数列的概念及通项公式
2.3.2 等比数列的前n项和不等式 3.1 不等关系
3.2 一元二次不等式不等式 3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式及不等式组表示的平面区域
3.3.2 简单的线性规划问题不等式 3.4 基本不等式 (a≥0，b≥0)
3.4.1 基本不等式的证明3.4.2 基本不等式的应用祝您学业有成课件26张PPT。1．1 正弦定理 解三角形 在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼”(战士语)，即准确地发现敌台的位置．在该项目训练中，追寻方的安排都是两个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两条线(即两台探测器分别探出了敌台的方向)一交叉就把敌人给叉出来了，想藏想跑，门都没有．其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题，还隐藏了一个数学问题，即两个探寻小组之间的位置是已知的，它们和敌台构成了三角形，在战士探明了敌台方向的时候，也就是知道了该三角形的两个内角，再利用正弦定理就可以算出敌人的准确位置．1．△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用小写字母________、________、________来表示．
2．在Rt△ABC中，c是斜边，则C＝____；sin C＝______.
3．若三角形的三边分别是a＝3，b＝4，c＝5，则sin A＝________；sin B＝________；sin C＝________.
4．在Rt△ABC中，c是斜边， ＝_____， ＝______， ＝______；此时的c是Rt△ABC的外接圆的______．5．如右图，CD＝a·sin B＝b·
_______，＝_______.
6．三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的________．
7．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________．
8．三角形中，大边所对的角________．9．△ABC中，公式 称为______，其比值又等于△ABC的外接圆半径的______倍．
10．已知三角形的任意两个角与________边，或已知三角形中的任意________边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以求出这个三角形的其余的边和角．
11．△ABC中，若∠A<90°，且b
(1)若所得值不在(0,1]内，则此三角形不存在；
(2)若所得值在(0,1]内，①若是特殊角的三角函数值，求出所对应的角，注意用∠A＋∠B<180°判断解的个数；②若所求角的三角函数值不是特殊值，则利用单位圆中的三角函数线判断解的个数． 在△ABC中，已知a＝ ，b＝ ， A＝45°，求B，C及c.分析：这是已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的问题，可运用正弦定理求解，首先求得这两边中另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对解的情况加以讨论．名师点评：已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判断是否有解，例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，
则 问题就无解，如果有解，是一解，还是两解．变式迁移1．在△ABC中已知a＝20，b＝28，A＝30°，求sin B.利用正弦定理进行边角转换2.如右图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线为AD，求证： .变式迁移三角形形状的判断 在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝－lg ，并且∠B为锐角，试判断此三角形的形状特征．分析：判断三角形形状的问题是一类典型问题．其基本思路是以变形为基本方法，将它化为边的等式，或者化为角的等式，不论化为哪一种形式，都应该用方程的思想看待得到的等式．名师点评：(1)欲判断三角形的形状，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？三个角相等？有无直角？有无钝角？
(2)解题的思想方法是，从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)，进行代换、转化、化简、运算，暴露出边与边的关系，角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确判断．3．已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，∠A，∠B为a，b的对角，试判断△ABC的形状．解析：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理得
x1＋x2＝bcos A，x1x2＝acos B，
由题意得bcos A＝acos B，
由正弦定理得2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，
即sin(A－B)＝0，
在△ABC中，∵∠A、∠B为其内角，∴0∴A－B＝0，即∠A＝∠B.∴△ABC为等腰三角形．变式迁移基础巩固祝您学业有成课件35张PPT。1.2 余弦定理解三角形 前节学习正弦定理，可以解决三角形中的两类问题：已知两角及一边，求其余边角；已知两边和其中一边的对角，求其余边角．那么在三角形中的其他情况和由三边能否求其余边角？由两边和夹角呢？△ABC中，已知边a，b及∠C.
1．若∠C＝90°，则c2＝________.
2．若∠C是锐角，如下图，作AD⊥BC于D，于是AD＝_____·sin C，CD＝b·_______，BD＝a－_______.1．a2＋b2 2.b cos C bcos C3．若∠C为钝角，如上图作AD⊥BC，与BC的延长线相交于D，此时AD＝________·sin(π－C)＝b·________，CD＝b·cos________＝－bcos C.
4．在△ABC中，已知边a、b及∠C，由c2＝a2＋b2－2abcos C可得cos C＝________.
5．结论“三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”，称为________．6．根据cos C＝ 可知，当a2＋b27．若△ABC是锐角三角形，则a2＋b2____c2.>钝角余弦定理证明材料中利用几何法通过构造直角三角形，利用勾股定理证明了余弦定理．对定理的证明还可通过向量法、解析法等．证法二：(解析法)如右图(2)以A点为原点，以△ABC的边AB所在直线为x轴，以过A与AB垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，由两点间的距离公式得BC2＝(bcos A－c)2＋(bsin A－0)2，
a2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证：b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.证法三：(用正弦定理证明)
因为b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
所以b2＋c2－2bccos A＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin Bsin Ccos A)
＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sin Bsin Ccos(B＋C)]
＝4R2[sin2B＋sin2C－2sin2Bsin2C＋2sin Bsin Ccos Bcos C]
＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋sin2C(1－sin2B)＋2sin Bsin Ccos Bcos C]
＝4R2(sin2 Bcos2C＋2sin Bsin Ccos Bcos C＋sin2 Ccos2B)
＝4R2sin2 (B＋C)＝4R2sin2A＝a2.
同理可证b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.余弦定理及其应用在解三角形问题时，需掌握的三角关系式在△ABC中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时，经常用到，要记准、记熟、灵活地加以运用．
A＋B＋C＝π；
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；已知边角解三角形分析：已知三边，可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三个角．
使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60°，最小角大于60°，可知三角形无解．变式迁移 已知三角形ABC中，b＝3，c＝3 ，B＝30°，则a＝______.名师点评：本题是在已知两边及其中一边对角的条件下解三角形．一般情况下，利用正弦定理先求出∠C，再求∠A，最后求a，需要讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求得a，比较解法一、解法二，解法二比较简单．变式迁移2．在△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，求c.利用余弦定理判断三角形形状 在△ABC中，若tan A∶tan B＝a2∶b2，试判断△ABC的形状．分析：可从问题已知条件出发，寻找三角形的边与边或角与角之间的关系，然后判断之．名师点评：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两种思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
本题的两种解法，就是通过两种不同的转化来实现的．变式迁移3．若△ABC的三个内角满足sin A ∶ sin B ∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形方程思想的应用 如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝ ，求BC边上的高． 分析：由已知设AB＝7x，
AC＝8x，故要求AD的长只要求出x，△ABC中已知三边只需再有一个角，根据余弦定理便可求x，而用正弦定理正好可求角C.名师点评：比例式的设法是一种解题技巧，如a∶b∶c＝3∶4∶5，可设a＝3x，b＝4x，c＝5x，这种设法可使运算方便，必须学会．变式迁移4.在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD之长为 ，求边长a.基础巩固祝您学业有成课件34张PPT。1.3 正弦定理、余弦定理的应用 解三角形 2006年10月12日，中国宣布了自己的探月计划：中国将在2007年把“嫦娥一号”绕月卫星送入太空，2012年实现发射软着陆器登陆月球．路透社报道：中国将在2024年把人送上月球．
登陆月球如此困难，除了存在很多科学难题外还因为月球与地球相距很远，有38万公里．很久以前，数学家们就测量计算出了这个距离．你知道他们是如何计算的吗？这就要利用解斜三角形的知识．1．(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图1.
(2)方位角：从指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角，如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．
(3)方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角，如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图2所示．(4)李强出校门向东，前进200米，再向北走200米便回到家中，李强家在学校的哪个方向？
答案：东偏北45度方向200米处．
2．地面上三个点A、B、C，若B在A正北方向上，C在A北偏东20°方向上，C在B东偏北25°方向上，则C在A东偏北70°方向上，C在B北偏东65°方向上，A在C西偏南70°方向上，B在C西偏南25°方向上，B在C南偏西65°方向上．
3．(1)山下B点望山上A点仰角为30°，则山上A点望山下B点俯角为30°.
(2)方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角．若水平面上点A处测得点B的方位角是120°，则点B在点A东偏南30°方向上．
4．(1)A点望B、C的视角是指∠BAC的大小．
(2)在△ABC中，A＝105°，B＝30°，则C点望A、B的视角为45°.
5．(1)坡度是指斜坡所在平面与水平面的夹角．
(2)沿坡度为30°的斜坡直线向上行走100米，实际升高了50米．
6．东北方向是指东偏北45°的方向．10．设Rt△ABC的两直角边长为a，b，则它的内切圆半径r＝(a＋b－)．
11．设△ABC的周长为2p，内切圆半径为r，则△ABC的面积＝pr.
12．S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
解斜三角形应用题的步骤(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等．
(2)根据题意画出图形．
(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练、计算准确，最后作答．在实际应用中的有关名称、术语 实际应用问题中有关的名称、术语
(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．
(2)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角．
(3)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．三角形中有关公式还需要熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式．需注意问题(1)会在各种应用题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，灵活选用正、余弦定理解之．
(2)搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和相等关系．
(3)理解各种应用问题中的有关名词、术语，如坡角、俯角、仰角、方向角、方位角等．
(4)会利用经纬仪器及皮尺等测量工具进行实地测量，会按照要求写实习报告，会用计算器计算测量结果，提高动手操作能力及数学语言表达能力．求不可到达两点间距离 隔河有两目标A与B但不能到达，在岸边选取相距 km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)．求两目标A，B之间的距离．分析：由题意作出平面示意图(如右图所示)，在四边形ABCD中，需由已知条件求出AB的长．由图形可知，在△ACD与△BCD中，利用正弦定理可求得AC与BC，然后在△ABC中，由余弦定理可求出AB.名师点评：如果涉及解多个三角形的问题，在解题中就应注意解题过程的优化．如求AB的长，也可选择在△ABD中应用余弦定理求解，但此时必须求出AD与BD的长，显然求AD不如求AC容易，另外，本题没有要求取近似值，故不应将写成2.236.变式迁移在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O东偏南α角方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？正、余弦定理在追击问题中的应用分析：在解题前必须画出示意图，但应该明确以下几个概念：其一是方位角；其二是沿什么方向追，即按什么方位角航行；其三是最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等．在此基础上，通过解三角形，即可求出CD的方位角及由C到D所需的航行时间． 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为( －1) km的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以10 km/h的速度追截走私船．此时走私船正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．名师点评：解题时应明确，方位角是相对每一点而言的，因此，从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把方位角看活，否则在理解题意上将可能产生失误．变式训练 2.如右图所示，一缉私艇
在A处发现在北偏东45°方向，
距离12 n mile的海面上有一走
私船C正以10 n mile/h的速度
沿东偏南15°方向逃窜．
缉私艇的速度为14 n mile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值．正、余弦定理的综合运用 如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m，求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ.(提示：cos 42.94°＝ －1)分析：设山对于地平面的斜度的倾斜角∠EAD＝θ，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于θ的三角函数等式，进而解出θ角．名师点评：解应用题，首先要增强应用数学的意识．解应用题可分两步：第一步，先分析问题，抓住实际问题中的数量关系，将其转化成一般数学问题；第二步，利用所学知识和方法解决这个数学问题，其中的关键在于如何将实际问题数学化，也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题．变式训练 3.如图所示，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．祝您学业有成课件33张PPT。2．1 数列的通项公式及性质 数列 1．2010年第16届广州亚运会中国代表团夺得金、银、铜牌数分别为：199,119,98.
2．2006年世界几个主要大国：美国、日本、德国、英国、中国、法国、意大利的GDP(万亿美元)分别为：14.5,4.66,2.73,2.23,2.05,1.97,1.71.
3．2010年7月国内某企业一科室7人的工资如下：(单位：元)
2500,2600,2700,2800,2900,3000,3100.
以上这些例子中的数字有规律吗？1、2与3有共同点吗？不同点是什么？1．设A、B是两个集合，按照某一法则f，对于集合A中的每一个元素，集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么，法则f叫做集合A到集合B的________．
2．设函数f(x)＝x(x∈R)，则函数f(x)的图象是一条________．
3．设函数f(x)＝x(x∈N*)，则函数f(x)的图象是一系列的________，它们分布在第________象限，且位于直线________上．1．映射 2.直线 3.点 一 y＝x4．设函数f(n)＝ (n∈N*)，则函数f(n)的图象是分布在函数f(x)＝______(x＞0)的图象上的一系列的点．
5．记an＝ (n∈N*)，则an就是以n为自变量的________，若将n＝1,2,3,4，…的函数值一一列出，这样的一列数就是一个________．
6．按照一定次序排列起来的一列数叫做_______．
7．数列 …中，是数列中的第____项，这个数4就称为_____数，该数列中项数是5的项是____．8．数列a1，a2，a3，a4…，an，…，简记为________，其中排在数列第一位的数a1称为数列的________项，an是数列中的第________项，称为数列的________项．
9．项数________的数列叫做有穷数列，项数________的数列叫做无穷数列．
10．如果an＋1＞an(n＜∈N*)，则该数列为________．
11．如果数列的每一项都是同一个常数，这样的数列叫做________数列．
12．数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做数列的________公式．8．{an} 首 n 通 9.有限 无限
10.单调递增数列 11．常 12.通项 13．数列与函数的关系：数列可以看作________．
14．数列的表示方法．
(1)数列的表示方法：________、________、________.
(2)数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以______为横坐标，________为纵坐标描点画图，其图象是一些________，它们位于________．
15．数列单调性的判断，依据an＋1与an的大小，当________时，为递增数列；当________时，为递减数列．13.以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值． 14.(1)通项公式法 列表法 图象法 (2)序号n 相应的项an 孤立的点 第一象限或第四象限或x轴的正半轴
15．an＋1＞an an＋1＜an数列的定义、表示及有关问题(1)数列的定义：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….
(2)数列的表示：数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号．如第5项可记为a5；a10就表示数列的第10项．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项，我们常把一般形成的数列简记作{an}，如数列1,3,5,7，…，可以简记为{2n－1}．(3)注意问题：①{an}与an的关系：{an}与an是两个不同的概念，an是{an}中的第n项．②数列的项与项数：数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n.③数列与集合的区别：集合中的元素具有确定性、无序性和互异性．与集合中的元素相比较，数列中的项也有三个性质：(a)确定性：一个数是不是数列中的项是确定的；(b)有序性：一个数列不仅由“数”构成，而且与这些数的排列次序有关．次序对于数列来讲是十分重要的，几个相同数列，如果它们的排列次序不同，构成的数列就不是相同的数列．如数列1,2,3,4与数列3,4,2,1是不同的数列，而集合{1,2,3,4}＝{3,4,2,1}；(c)可重复性：数列中的数可以重复．如1，－1,1，－1,1，…；2,2,2,2，….数列的通项公式如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．例如数列4,5,6,7,8,9,10.其通项公式是an＝n＋3(n≤7)，这里n≤7表示n取不大于7的正整数，这是因为该数列只有7项；如数列 …的通项公式是an＝ ，这里n取所有正整数，该数列有无穷多项；再如数列－1,1，－1,1，…其通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成 an＝ 这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列．正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式，有的数列，虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的．仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一．如某数前四项为1,2,3,4，其通项公式可以归纳为an＝n，也可写成an＝(n－1)(n－2)(n－3)·(n－4)＋n.再如某数列前3项为2,4,8，其通项公式可写成an＝2n，也可写成an＝n2－n＋2.由于表示数列的公式不同，由公式写出的后续项也就不一样了．因此通项公式的归纳不仅要看数列的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式没有通用的方法可循．警示 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式；
(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项．数列的函数性质数列作为一种特殊的函数，也具备一些函数所具有的性质，如图象、单调性、有界性、最值等．
(1)由于an＝f(n)中，n∈N*，故函数的图象是一群孤立的点．
(2)递增数列、递减数列：按照数列的项与项之间的关系an＋1＞an或an＋1＜an分，数列可分为递增数列或递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列．
(3)有界性：按照数列的任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分，数列可分为有界数列、无界数列．
(4)最值：由数列的通项公式可以确定数列中的最大(小)项．数列定义及其通项公式 以下通项公式中，不是数列3,5,9，…的通项公式的是( )解析：可以用验证法，分别令n＝1,2,3逐一代入验证，便可知an＝2n＋1不是所给数列的通项公式．
答案：D名师点评：本题主要是巩固数列通项公式的概念，由本题也可看出，给出的前n项数列的通项公式可能不唯一．变式迁移 已知数列 …，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个分析：此题应先写出数列的通项公式，然后假设0.98，0.96,0.94是数列的第n项，根据通项公式列出关于n的方程．解之，求得的n若是自然数，相应的数值就是此数列中的项，若不是则相反．名师点评：由于n＝ ?N*，就可判断0.94不是这个数列的项的道理一定要搞清．变式迁移判断一个数列增减性 写出数列 …的通项公式，并判断它的增减性．分析：用观察法得到数列的通项公式，判断前一项an与an＋1之间的关系，用作差法．名师点评：(1)对于数列{an}来说：
①若an＜an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为递增数列．
②若an＞an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为递减数列．
③若an与an＋1大小关系不定，交替变化，则称数列{an}为摆动数列．
④若an＝an＋1，则数列{an}是常数列，
(2)数列是一个特殊的函数，因此，判断函数单调性的方法同样适用于数列．变式迁移3．数列的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)－60是否是这个数列的一项？
(2)当n为何值时，an＜0?(1)－60是第10项 (2)n＞6数列的图象及最值 已知数列{an}中an＝ ，其中1≤n≤20(n∈N*)，则{an}中的最大项与最小项分别是( )
A．a1、a20 B．a1、a9
C．a9、a10 D．a10、a9 解析：将数列通项公式变形，分离常数．
若将an看作n的函数，则图象的对称轴为n＝ ，由其图象知，在n＝ 的左边，越靠近 ，其值越小，则最小值为a9；在n＝ 的右边，越靠近n＝ ，其值越大，则最大值为a10.
答案：D名师点评：利用函数观点解答数列问题时，要合理利用函数性质进行求解．变式迁移4．数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n(n∈N*)，画出它在x轴上方的图象，请根据图象求出an的最大值，并在同一坐标系中画出函数f(x)＝－2x2＋13x的图象，根据图象求出f(x)的最大值，并与an的最大值进行比较，若用函数来求an＝-2n2＋13n的最大值应如何处理？基础巩固1．下列命题中错误的是( )
A．f(n)＝2n－1(n∈N*)是数列的一个通项公式
B．数列通项公式是一个函数关系式
C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示
D．数列中有无穷多项的数列叫做无穷数列C解析：考查数列的定义与特点．2．下列命题中正确的是( )
A．{1,0,1}与1,0，－1表示同一个数列
B．1,2,3与3,2,1表示同一数列
C．数列{n}就是{1,2,3…}
D．数列1,2,3，…，就是数列{n}D解析：考查数列的定义．祝您学业有成课件29张PPT。2．2 等差数列
2．2.1 等差数列的概念及通项公式数列 相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说，据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297＋81495＋81693＋…＋100899.当布特纳刚写完这道题时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上，你知道高斯是如何计算的吗？1．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于________常数，那么这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的________．
2．如果数列{an}是公差为d的等差数列，则a2＝a1＋________；a3＝a2＋________＝a1＋________，
3．等差数列的通项公式为________．
4．等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d＝a2＋________d＝a3＋________d，因此等差数列的通项公式又可以推广到an＝am＋________d(n＞m)．1．同一个 公差 2.d d 2d
3.an＝a1＋(n－1)d 4.(n－2) (n－3) (n－m)5．由an＝am＋(n－m)d，得d＝，则d就是坐标平面内两点A(n，an)，B(m，am)连线的________．
6．如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A可以用a，b表示为________，A称为a，b的________．
7．如果数列{an}的通项公式an＝a·n＋b，则该数列是公差为________的等差数列．8．等差数列的性质
若{an}是等差数列，公差为d，则
(1)an，an－1，…，a2，a1亦构成等差数列，公差为________．
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…(m∈N＋)也构成等差数列，公差为________．
(3)λa1＋μ，λa2＋μ，…，λan＋μ，…(λ，μ是常数)也构成等差数列，公差为________．(1)－d (2)md (3)λd(4)an＝am＋(n－m)d，(m，n∈N＋)这是等差数列通项公式的推广，它揭示了等差数列中任意两项之间的关系，还可变形为d＝ .
(5)若m，n，k，l，∈N*，且m＋n＝k＋l，则am＋an＝________，即序号之和相等，则它们项的和相等，
例如：a1＋an＝a2＋an－1＝…ak＋al 等差数列如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数(an＋1－an＝d，n∈N＋，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列．例如，数列1,4,5,6,7,8,9,10就不是等差数列，而去掉第1项后，剩下的数组成的数列就是等差数列；(2)如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列不一定是等差数列，因为这个常数可能不唯一；
(3)一个等差数列的公差d是这个数列的后一项与前一项的差．因为等差数列具有d＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1的特点，所以求公差可以用an＋1－an，也可以用an－an－1，还可以用a2－a1等．公差d可以是任何实数，当d＝0时，数列是常数列；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列；
(4)等差数列的定义还可表述为：在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数，则{an}是等差数列，常数d为公差．等差数列的判定方法(1)an＋1－an＝d(常数)?{an}是等差数列．
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差数列．
(3)an＝kn＋b(k，b为常数)?{an}是等差数列．等差数列的常用性质(6){an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝…
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
(8)若{bn}为等差数列，则{an±bn}，{kan＋bn}(k，b为非零常数)也是等差数列．解答等差数列有关问题时应注意的问题(1)抓住首项与公差，是解决等差数列问题的关键．
(2)等差数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，d，知任意三个就可以列方程求另外一个．
(3)熟练掌握并灵活运用定义、通项公式是解决等差数列问题的基础．
(4)寻求条件与结论的共用式以便进行整体代换，使运算更为迅速和准确．
(5)学会运用函数的思想和方法解题．等差数列定义及其应用 在等差数列中，am＝n，an＝m(m≠n)，则am＋n为( )
A．m－n B．0 C．m2 D．n2分析：a1，d是等差数列的基本元素，可先求出基本元素，再用它们去构成其他元素进行解答；或利用数列是特殊的函数这一点进行求解；或利用选择题的特点进行求解．解析：解法一：设首项为a1，公差为d，则
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0，
故选B.解法二：设am＋n＝y，
则由三点共线有＝ ?y＝0.解法三：由am＝n，an＝m知在直角坐标平面上A(m，n)、B(n，m)两点关于直线y＝x对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等差数列中的项，∴A、B、C在同一直线上且斜率为－1，∴ ＝－1，∴am＋n＝0.解法四：因结论唯一，故只需取一个满足条件的特殊数列：2,1,0，便可知结论，选B.
答案：B名师点评：解法一是常规解法，解法二较巧，解法三更巧，在解选择题时，我们要尽量做到小题小解或小题巧解．变式迁移1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101＝________.52 利用“对称值”解题 等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，
求a5＋a8.分析：利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a1＋11d的值．
解析：解法一：根据题意，有
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，
∴4a1＋22d＝36，故2a1＋11d＝18.
而 a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，
因此，a5＋a8＝18.解法二：根据等差数列性质，可得
a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.
名师点评：解法一设出了a1，d但并没有求出a1，d，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想，解法二实际上运用了等差数列的性质：若p＋q＝m＋n，p，q，m，n∈N＋，则ap＋aq＝am＋an.变式迁移2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．21 C．28 D．35解析：由等差数列的性质得a3＋a4＋a5＝3a4＝12，有a4＝4，则a1＋a2＋…＋a7＝ ＝7a4＝28.
答案：C如何判断数列为等差数列 已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？分析：在a＋c＝2b条件下，是否有以下结果：
a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(a＋c)?
解析：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，
∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，
∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．名师点评：如果a，b，c成等差数列，常转化成a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果求证a，b，c成等差数列，常改证a＋c＝2b.有时应用概念解题，需要运用一些等值变形技巧，才能获得成功．变式迁移3．数列{an}中，a1＝1， 则an＝________.1．若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为5的等差数列
D．不是等差数列A解析：利用通项公式an，求a1，d.2．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则( )
A．a＝2，b＝5 B．a＝－2，b＝5
C．a＝2，b＝－5 D．a＝－2，b＝－5A解析：考查项数与d之间关系．祝您学业有成课件32张PPT。2．2 等差数列
2．2.2 等差数列的前n项和 数列 数学史上有一颗光芒四射的巨星，他与阿基米德、牛顿齐名，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他就是18世纪德国著名的数学家——高斯．
高斯在上学时，就能很快地算出1＋2＋3＋…＋100的结果．高斯是这样算出：1＋2＋3＋…99＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.他的这种算法，就是等差数列求和的方法．等差数列的前n项和的公式②式可以改写成： 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含有常数项，所以可以借助二次函数的有关性质(如单调性、极值性等)来处理等差数列前n项和Sn的有关问题，它的图象是抛物线 上横坐标为正整数的一群孤立的点．
若d＝0，则Sn＝na1.
数列{an}为等差数列的充要条件是：数列{an}前n项和可以写成Sn＝an2＋bn的形式(其中a，b为常数)且公差为2a.等差数列前n项和公式的性质(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍然是等差数列．
(2)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1) (an，an＋1为中间两项)，且S偶－S奇＝nd， 若项数为2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an(an是中间项)，且S奇－S偶＝an，
下面对它们做简要证明：
①若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－…－a2n－1＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝d＋d＋d＋…＋d＝nd.1注意：(1)熟悉解题基本方法．在等差数列中，涉及5个元素a1，d，n，an，Sn，其中a1，d称为基本元素．因为等差数列的首项a1，公差d已知，则此数列完全确定，故等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题．
(2)熟悉并掌握性质，往往能找到简捷明快、优美灵活的解题技巧．(3)要灵活地处理求和问题．
对于有的问题，如果利用等差数列前n项和公式，问题完全可以得解，但是如果根据等差数列有关性质，灵活地加以处理，不使用前n项和求和公式，反而使问题解答得更加简单、快捷，对于这类问题也要引起注意，以便提高我们解题质量和效果．如已知等差数列{an}中， a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.因为S5＝5a3＝40.则a3＝8.a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得d＝3.∴a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.此解法比常规解法优越得多．等差数列前n项和与函数 设函数f(n)的定义域为正整数N*，且满足f(m＋n)＝f(m)＋f(n)＋mn，且f(1)＝1，求f(n)．分析：正确理解函数符号和函数方程的赋值法，然后利用等差数列求和公式求出结果．解析：当m＝1时，有f(n＋1)＝f(1)＋f(n)＋n，
即f(n＋1)－f(n)＝n＋1，令n＝1,2,3，…，k－1得：
f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，f(4)－f(3)＝4，…
f(k)－f(k－1)＝k，将这k－1个等式相加，得：
f(k)－f(1)＝2＋3＋4＋…＋k，.名师点评：将f(n＋1)－f(n)＝n＋1赋值得出k－1个等式后再累加，充分利用了n＋1，n的两个函数式之差这一具体特征．变式迁移 1．已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，求项数．Sn中的最值问题 等差数列{an}中，a1＜0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？分析：写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．解法三：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0，
∴3a11＝0，∴a11＝0.∵a1＜0，
∴前10项或前11项和最小．解法四：∵S9＝S12，∴Sn的图象所在的抛物线的对称轴为x＝ ＝10.5，又a1＜0，
∴数列{an}的前10项或前11项和最小．名师点评：本例四种解法从四个侧面解前n项和最值问题，方法迥异，殊途同归．
解等差数列的前n项和最大(最小)问题的常用方法有：
(1)二次函数法：由于 是关于n的二次式，因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值，但要注意这里的n∈N*.
(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn达到最大(或最小)．
(3)通项法：由于Sn＝Sn－1＋an，所以当an≥0时，Sn≥Sn－1；当an≤0时，Sn≤Sn－1，因此当a1＞0且d＜0时，使an≥0最大的n的值，使Sn最大；当a1＜0，d＞0时，满足an≤0最大的n的值，使Sn最小．变式迁移2．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．
(1)求数列的公差；
(2)求前n项和Sn的最大值；
(3)当Sn＞0时，求n的最大值．求数列{|an|}的前n项和 已知数列{an}的前n项和 求数列{|an|}的前n项和Tn. 分析：由 知Sn是n的缺常数项的二次函数式，所以数列{an}为等差数列，可求出通项an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.名师点评：此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化为an的求和．另外，本题在利用前n项和Sn求an时，易忽视分n＝1和n≥2两种情况讨论，应引起注意．变式迁移3．已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列bn的前n项之和Tn的表达式．基础巩固1．等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10等于( )
A．12 B．24 C．36 D．48B解析：考查Sn与an关系．2．在等差数列{an}中，已知前15项的和S15＝90，则a8等于( )
A．3 B．4 C．6 D．12C解析：a1＋a15＝2a8.祝您学业有成课件31张PPT。2．3 等比数列
2．3.1 等比数列的概念及通项公式数列 传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，国王决定要重赏西塔，西塔说：“我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了．”区区小数，几粒麦子，这有何难，“来人．”国王令人如数付给西塔．
计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第2格内放2粒，第3个格内放22粒，…还没有到第二十格，一袋麦子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言．1．从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫做等比数列的________．
2．等比数列{an}的通项公式an＝________.
3．如果a、G、b三个数满足G2＝ab.则G为a与b的________．1．公比 2.a1·qn－1(q≠0) 3.等比中项4．等比数列的性质．
(1)若{an}为等比数列，则an _______ amqn－m.
(2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q，则_____．
(3)若{an}为等比数列，则a2，a5，a8也成______．
(4)若{an}为等比数列，且公比为q，则a1a2，a2a3，a3a4也成公比等于________的等比数列．(1)＝ (2)am·an＝ap·aq (3)等比数列 (4)q2等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示．
这一定义常被简述为若 ＝q(n∈N＋)，则数列{an}是等比数列．关于定义理解应注意：(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能是0；(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”；(3) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒；(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n＞3，n∈N*)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，则此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或从第n－1项起是一个等比数列；(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列；(6)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列，当常数列各项不为0时，它就是等比数列．等比数列的判定方法(1)an＝an－1·q(n≥2，q是不为零的常数，an－1≠0) ?{an}是等比数列．
(2)an2＝an－1·an＋1(n≥2；an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比数列．
(3)an＝c·qn(c、q均是不为零的常数)?{an}是等比数列．主要性质(设an＝a1qn－1，a1、q≠0)(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，{an}是摆动数列．
(2)an＝am·qn－m(m、n∈N*)．
(3)当m＋n＝p＋q(m、n、q、p∈N*)时，有am·an＝ap·aq.
(4)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列；数列 是公比为 的等比数列；{|an|}是公比为|q|的等比数列．(5)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lg an}是公差为lg q的等差数列．
(6){an}中，公比q≠1，则连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列．
(7)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时，am、an、ap成等比数列．学习本节内容应注意的问题
(1)熟练运用直接依据等比数列的定义思考并解决等比数列的问题．
(2)注意灵活选设未知数．例如：三数成等比数列，可设这三数分别为 、a、aq；当四数成等比数列时，可设这四个数为
(3)在要求的几个数中，若有若干个数成等差数列，若干个数成等比数列，应尽可能先考虑用等差数列的条件设未知数．
(4)学习时注意与等差数列进行对比，学会用类比、方程的思想解决问题．等比数列的判断 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}( )
A．是等比数列
B．当p≠0时是等比数列
C．当p≠0，p≠1时是等比数列
D．不是等比数列分析：利用等比数列的概念进行判断．
解析：由Sn＝pn(n∈N*)，有a1＝S1＝p，并且当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝(p－1)pn－1.
故a2＝(p－1)p，因此数列{an}成等比数列
故满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D.
答案：D名师点评：此题易得出错误的判断，排除错误的办法是熟悉数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*)，还要注意对任意n∈N*，n≥2， 都为同一常数是其定义规定的准确含义．变式迁移1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．由a1，q确定an 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8，求an.分析：由等比数列通项公式，首先要求出a1和q，由于a1a3＝a，所以a2＝2，再由已知条件易求得a1和q；利用a2＝a1q，a3＝a1q2，将已知等式化归成a1与q的关系进行求解；由题设，可得a1＝ ，a3＝a2q代入已知条件进行求解．下面给出第一种思路的解答，请读者自己完成第二、三种思路的解答．名师点评：解答中易产生的错误是在求得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1后，由a3＝a1q2分别得出q＝±2或q＝± ，故所求得的an＝2n－1或an＝(－2)n－1或an＝23－n或an＝(－2)3－n.
上述错误的原因在于忽视了由于a2＝2，a1＞0必有q＞0这一隐含条件的限制．变式迁移2．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝ ，求n.等差数列与等比数列的综合应用 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．分析：因为所求三数成等差数列，且其和已知，故可设这三数为a－d，a，a＋d，再根据已知条件寻找关于a，d的两个方程，通过解方程组即可获解．
解析：设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设得
∴所求三数为3,5,7.名师点评：此类问题一般设等差数列的数为未知数，然后利用等比数列知识建立等式求解，另外，对本题若设所求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将繁冗些．因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少．变式迁移3．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数．等比数列的应用题 从盛满a升(a＞1)纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于10%?分析：这是一道应用题，解决问题的关键是建立数学模型，使实际问题数学化．注意到开始浓度是1，操作一次后溶液的浓度是a1＝ ，操作两次后溶液浓度是a2＝a1( )，…，由此可知，每次操作后溶液浓度构成等比数列，由此便建立了数列模型．名师点评：数学应用题的解答步骤一般有：
①通过阅读，理解题意；
②寻找数量关系，建立数学模型；
③运用数学知识、方法，解决数学模型；
④回答实际问题．变式迁移4．某工厂去年的产值是100万元，计划今后3年内每年比上一年增长10%，从今年起到第3年这个工厂的年产值是多少万元？(精确到万元)解析：设去年的产值为a1，今年的产值为a2，以后各年的产值依次为a3，a4，….
因为每年比上一年增长10%，所以a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＝100，q＝1＋10%，因此，
a4＝100×(1＋10%)3＝133.1≈133(万元)．
答：从今年起到第3年这个工厂的年产值是133万元． 基础巩固1．数列a，a，a，…a，…(a∈R)必为( )
A．等差数列但不是等比数列
B．等比数列但不是等差数列
C．即是等差数，又是等比数列
D．以上都不正确D解析：a＝0时为等差数列，a≠0时为等比且等差数列．B解析：由a1，q确定an.祝您学业有成课件37张PPT。2．3 等比数列
2．3.2 等比数列的前n项和 数列 九章算术有一道“耗子穿墙”的问题：今有垣厚5尺，两鼠相对，大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？各穿几何．
在实际上是一个等比数列求和的问题，他的解法也很简单，答案是两天不足，三天有余．这节内容，我们就来探讨等比数列前n项和的求法，推导出公式后运用它去计算诸如此类的问题．前n项和公式的导出 注意问题(1)上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会．
(2)公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论．
(3)当已知a1，q，n时，用公式Sn＝ ，当已知a1，q，an时，用公式 .
(4)在解决等比数列问题时，如已知a1，an，n，q，Sn的任意三个，可由通项公式或前n项和公式求解其余两个．前n项和重点性质的证明Sn的简单应用 在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.分析：利用等比数列的性质，将a2·an－1转变成a1·an，从而易求得a1和an，然后再求n和q的值．名师点评：(1)解此类问题一般思路为列方程组解出相关量，但运用等比数列的性质就会使问题由繁化简，此题若按一般解法就会很烦琐，因此解题中注意灵活运用性质．
(2)当已知a1，q(q≠1)，n时，用公式Sn＝ 求和方便，如果已知a1，q，an，用公式 较为方便．等比数列的性质应用在等比数列{an}中，Sm＝20，S2m＝60，求S3m.分析：运用等比数列前n项和的有关性质进行求解．
解析：∵{an}为等比数列，∴Sm，S2m－Sm，S3m－S2n，即20,60－20，S3m－60成等比数列，∴S3m－60＝80，
∴S3m＝140.名师点评：等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…为等比数列，对此性质要熟悉，要注意灵活运用．此题如不用此性质来解，而用求和公式来解过程十分烦琐．变式迁移1．已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，a1，a7，a4成等差数列．
求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列．求等比数列前n项和 求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项的和．分析：采用错位相减法进行求和．
解析：当a＝0时，Sn＝1.当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，
则Sn＝ ＝n2.
当a≠1时，有
Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an，②名师点评：(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用这一思路和方法．
(2)要善于识别题目类型，特别是等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意．
(3)在写出“Sn”与“qSn”的表达时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．等比数列的综合应用 已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1)设bn＝an＋1－2an，求证数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝ ，求证数列{cn}是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式及前n项和公式．分析：(1)利用Sn＋1＝4an＋2及等比数列定义证明；(2)利用等比数列的定义证明；(3)借助(2)的结果及Sn＋1＝4an＋2求解．
解析：(1)∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2.以上两式等号两边分别相减，
得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，
即an＋2＝4an＋1－4an，
变形得an＋2－2an＋1＝2(aa＋1－2an)，
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＋1＝2bn.
由上可知，数列{bn}是公比为2的等比数列，
且由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，得a2＝5，
故b1＝a2－2a1＝3，故bn＝3·2n－1.
∴an＝2ncn＝(3n－1)·2n－2.
当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n－1＋2.
由于S1＝a1＝1也适合此公式．
故所求{an}的前n项和公式为Sn＝(3n－4)2n－1＋2.名师点评：本题第(3)问中求数列{an}的前n项和Sn时，应避免利用通项公式an＝(3n－1)2n－2逐项相加求和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(3×1－1)·21－2＋(3×2－1)·22－2＋(3×3－1)·23－2＋…＋(3n－1)·2n－2，因为如若这样，将使计算过程陷入烦琐，同时，根据已知等式Sn＋1＝4an＋2，即然已知an＝(3n－1)·2n－2，也完全没有必要逐项相加求和．变式迁移等比数列的实际应用 某地现有居民住房的总面积a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．
(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？(可取1.110≈2.6)
(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)名师点评：本题主要考查阅读能力、分析能力，解题思维障碍主要是对“10%的住房增长率”搞不清楚，要知道，它实际上是上一年住房的增长率．变式迁移3．某林场原有木材量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材总存量翻两番，求每年砍伐量的最大值(lg 2＝0.3)．基础巩固1．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是( )
A．179 B．211 C．243 D．275B2．等比数列{an}中，a1＝2，前3项和S3＝26，则公比q为( )
A．3 B．－4 C．3或－4 D．－3或4C解析：S3＝a1＋a2＋a3＝26，即2＋2q＋2q2＝26.祝您学业有成课件23张PPT。3．1 不等关系 不等式 生活中“为什么糖水加糖会更甜呢？”转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a＞b＞0)．若再加m(m＞0)克糖，则糖水更甜了，为什么？如何用不等式表示上面的不等关系？不等关系准确应用不等号列不等式(组)解决实际问题，将实际问题转化为不等式模型需明确以下问题：
1．准确理解不等号的含义．
(1)不等号．
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的．我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系．
“＝”表示相等关系，如a＝b表示a与b相等；“a≠b”则应包含“a＞b”或“a＜b”．(2)关于a≤b或a≥b的含义．
不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者a＜b，或者a＝b”等价于“a不大于b”，即若a＜b或者a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．
如2＜3正确，则2≤3没有逻辑错误，因为2、3是具体数值，“2＜3”比“2≤3”更确切．
2．抓住题意中的关键词，明确基本数量关系，类比列方程的方法，准确表示不等式．用不等式表示不等关系 “六·一”节日期间，某商场儿童柜台打出广告，儿童商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：(如下表所示)依据上述方法，顾客可以获得双重优惠．试问：
对于标价在[500,800]内的儿童商品，顾客购买标价为多少元的儿童商品，可得到不小于的优惠率？(只用不等式表示)错解：设商品的标价为x元，则500≤x＜800，由已知，得
错解分析：商品的标价为x元，而消费额在[500×0.8,800×0.8]之间，而不是在[500,800]之间．正确答案：设商品的标价为x元，则500≤x≤800，消费额：400≤0.8x≤640.
由已知，得名师点评：准确理解题意，用不等式模型表示不等关系时，不等号两边的数量性质相同，具有相同意义．变式迁移 1．以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹，t秒后的高度x米可由x＝at－4.9t2确定，已知发射5秒后子弹高245米，请表示子弹保持在245米以上(含245米)高度时的不等关系．解析：已知x＝at－4.9t2.①
由题意知，t＝5时，x＝245，将其代入①式得245＝a×5－4.9×52，所以a＝73.5，代入①式得x＝73.5t－4.9t2.
子弹保持在245米以上(含245米)，即x≥245，
即73.5t－4.9t2≥245，t2－15t＋50≤0，即5≤t≤10.2．国家计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)，为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，税率降低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.请用不等式表示上述不等关系．用不等式组表示不等关系 某企业生产A、B两种产品，A产品的单位利润为60元，B产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h和2.4 h，每件B产品在两个车间都需经过1.6 h，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h，装配车间最大生产时间为288 h．请用不等式或不等式组把此实例中的不等关系表示出来．解析：设该企业分别生产A产品x件、B产品y件，
则名师点评：解好本题的关键是将文字语言转换成数学语言，理解“最大”加工时间为240 h及“最大”生产时间为288 h的含义，准确应用不等号，注意定义域．变式迁移3．某工厂要安排生产一种产品，该产品有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号，生产这种产品需要两种主要资源：原材料和劳动力，每件产品所需资源数量以及每件产品出售价格如下表所示：
每天可利用的原材料为120千克，劳动力为100小时．请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来．解析：用x1、x2、x3分别表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的日产量，
则C解析：本题易错选A，原因是忽略了总面积的限制．解析：糖增加了t克，糖水重量也增加了t克，浓度加大了，故更甜了．祝您学业有成课件34张PPT。3．2 一元二次不等式不等式 某项体育活动中，甲小组有n人(n＞5)，游戏规则是每人在规定时间内从A地跑到B地可得(n－4)分，经测试甲小组至多有5人不能在比赛时完成这个任务，甲小组在比赛中得分要多于56分，问至少应有多少人参赛？
你能解决这个问题吗？学完一元二次不等式后你将很容易地解决这类问题．1．一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为________的整式不等式，叫做一元二次不等式．
2．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次方程f(x)＝0的解集，就是使二次函数值________0时自变量x的取值的集合．
3．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)＞0的解集，就是使二次函数值________0时自变量的取值的集合．
4．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点，则说明方程f(x)＝0无________，此时，一元二次方程的判别式的值Δ________0.1．二次 2.等于 3.＞ 4.实数解，＜5．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)判别式的值Δ＜0，则说明一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴没有交点，若a＞0，则意味着不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是________．
6．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)判别式的值Δ＞0，则说明一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个交点x1，x2，设x1＜x2，若a＞0，则使y＝f(x)的函数值为负值的自变量x的取值的集合为{x|________}，此集合即为不等式ax2＋bx＋c＜0的________．
7．若ax2＋bx＋c≥0的解集是空集，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向______，且与x轴_____交点．5.全体实数，空集 6.x1＜x＜x2，解集 7.下，没有8．若ax2＋bx＋c＞0的解集是实数集R，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向________，且二次三项式的判别式Δ________0.
9．应用不等式解实际问题的步骤：①________，②________，③________，④________，⑤________.
10．周长为l的矩形的面积的最大值为________，对角线长的最小值为________．
11．b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，糖水的浓度为________，若再加入m克糖，则糖水更甜了，此时糖水的浓度为________．8.上，＜ 9．建立数学模型，设变量，建立数学关系式，解不等式，检验12．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)判别式的值Δ＝0，则说明二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相切于 ；若a＞0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是______，不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是______．
13．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴有两个交点，要求出不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)的解集，只要求出方程________________的根即可．
14．若一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则可以判定a________0，方程ax2＋bx＋c＝0的根分别为________．几种不等式的解法1．一元一次不等式的解法
步骤：(1)化标准形ax＞b或ax＜b；(2)求解集．
2．一元二次不等式的解法
步骤：(1)化标准形：ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0.
(2)判断Δ，进一步求方程的根．
(3)根据Δ及a的正负，写出解集．3．一元高次不等式的解法
这里只研究能分解成若干个一次因式积的形式的一元高次不等式，其步骤如下：
(1)化为标准型：设f(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)则化成f(x)＞0(≥0)或f(x)＜0(≤0)．
(2)在序轴(简化的数轴)上标根(n个)，将序轴分成n＋1个区间．
(3)判断f(x)在这n＋1个区间上的正负，从而得到解集．这种方法叫做穿根法．4．分式不等式的解法
步骤：(1)化标准形式：
g(x)是关于x的代数式)
(2)同解变形为f(x)·g(x)＞0或f(x)·g(x)＜0.
(3)通过一元高次不等式的求解步骤完成． 和一元二次不等式间的主要关系 二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程 一元二次不等式及简单分式高次不等式解法解下列不等式：(1)－x2＋5x＞6；(2)3x2－5x＋4＞0.分析：先把不等式变成标准形式，然后利用一元二次不等式的解法进行求解．
解析：(1)原不等式变形为：x2－5x＋6＜0，
因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1＞0，
解方程x2－5x＋6＝0，得x1＝2，x2＝3，
∴原不等式的解集为{x|2＜x＜3}．
(2)因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，而a＝3＞0，
故原不等式的解集为R.名师点评：(1)解不等式是求不等式解集的过程，求得的结果要用集合(如本例的结果用集合表示)或区间表示，要避免错误的写法，如(1)的解写成：x∈{x|2＜x＜3}．
(2)解二次不等式，要注意熟练掌握一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系．变式迁移1．解不等式：(x＋2)(x＋1)3(x－1)2x＜0.解析：令y＝(x＋2)(x＋1)3(x－1)2x
各因式的根分别为－2，－1,1,0.其中－1为3重根，1为2重根，结合图形(如下图)，可得原不等式的解集为(－∞，－2)∪(－1,0)．含有字母参数的不等式解法设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0.名师点评：解不等式时，由于m∈R，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当m＝0时，原不等式化为－3＜0，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m＝0与m≠0两种情况来讨论．变式迁移2．已知A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|x2＋2x－8＞0}， C＝{x|x2－4ax＋3a2＜0}．若(A∩B)?C，求实数a的取值范围．解析：由x2－x－6＜0得－2＜x＜3，
∴A＝{x|－2＜x＜3}．
由x2＋2x－8＞0得x＜－4，或x＞2，
∴B＝{x|x＜－4，或x＞2}．
∴A∩B＝{x|2＜x＜3}．
由x2－4ax＋3a2＜0，得(x－a)(x－3a)＜0.二次方程根的分布问题 若关于x的方程22x＋2x·a＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．分析：因为2x＞0，故问题等价于关于2x的二次方程有正根时，求实数a的取值范围，故可利用一元二次方程与二次函数之间的关系进行求解．解析：设t＝2x，f(t)＝t2＋at＋a＋1，问题转化为求函数f(t)在t轴的正方向上至少有一个交点的条件，所以名师点评：(1)对于含字母的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的实根分布的问题，通常可根据图象具有的特征列出字母参数应满足的条件求解．
(2)注意换元法及转化法的运用．变式迁移3．设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1、x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，求a的取值范围．综合应用 已知A＝{x|x2－5x＋4≤0}，B＝{x2－2ax＋a＋2≤0}，且B?A，求实数a的取值范围．分析：根据一元二次不等式解法，先求出集合A，再由B?A确定集合B的情况，即不等式x2－2ax＋a＋2≤0解的情况，最后由二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者间关系确定系数的条件，列出不等式组即可．解析：∵A＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|(x－4)(x－1)≤0}＝{x|1≤x≤4}，又∵B?A，
∴当B＝?时，即Δ＝4a2－4(a＋2)＜0，即－1＜a＜2时，满足B?A；
当B≠?时，∵B?A，设方程x2－2ax＋a＋2＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)， 则B＝[x1，x2]?[1,4]．
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，其图象与x轴的交点在区间[1,4]之内，如下图，结合图象知，必须满足．名师点评：(1)对于B?A易丢掉B＝?导致出错．
(2)借助数形结合使问题浅显易懂，同时一元二次不等式的解集与一元二次方程的根和二次函数图象的相互转化是至关重要的．变式迁移4．设a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a，设不等式f(x)＞0的解集为A，又知集合B＝{x|1＜x＜3}，A∩B≠?.求a的取值范围． 基础巩固1．不论x为何值，二次三项式ax2＋bx＋c恒为正值的条件是( )
A．a＞0，b2－4ac＞0 B．a＞0，b2－4ac≤0
C．a＞0，b2－4ac＜0 D．a＜0，b2－4ac＜0C解析：需a＞0且Δ＜0.解析：结合三个二次的关系．B祝您学业有成课件25张PPT。不等式 3．3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式及不等式组表示的平面区域营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少克？1．一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域： y＞kx＋b表示________的平面区域；y＜kx＋b表示________的平面区域．
2．在平面直解坐标系中，二元一次不等式________表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________；我们把直线画成虚线以表示________，当我们在坐标系中画不等式________所表示的平面区域时，此区域应________，则把边界画成实线．1．直线上方；直线下方
2.Ax＋By＋C＞0；平面区域；区域不包括边界；Ax＋By＋C≥0；包括边界3．确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是________，若直线不过________，通常选择________代入检验．
4．二元一次不等式组表示的平面区域，是组内各不等式表示平面区域的________．
5．满足不等式x＞1的区域位于直线l：x＝1的________侧；满足不等式x－y－1＞0的区域位于直线l：x－y－1＝0的________；这两个区域的公共部分是不等式组________的解所对应的点的集合．二元一次不等式表示的平面区域1．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．
不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．
2．对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半面的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C＞0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C＜0.3．可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．
4．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．学习中要注意的问题1．在平面直角坐标系中，直线Ax＋By＋C＝0将平面内所有的点分为三类：一类在直线Ax＋By＋C＝0上，另外两类分居直线Ax＋By＋C＝0两侧的两个半平面内．其中一个半平面内的点的坐标适合不等式Ax＋By＋C＞0，而另一个半平面内的点的坐标适合不等式Ax＋By＋C＜0，即直线Ax＋By＋C＝0划分平面所成两个半平面的点，分别由不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C＜0决定．因此，如同以前所学平面内的直线可以视为二元一次方程的几何表示一样，半平面就是二元一次不等式的几何表示．2．判断不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋C的符号的正负．当C≠0时，常选用原点(0,0)．
例如判断y－2x＋3＜0所表示的平面区域时，可选原点(0,0)，将其坐标代入，不适合此不等式，说明原点一定不在不等式y－2x＋3＜0所表示的区域内，于是不等式y－2x＋3＜0所表示的区域应是直线y－2x＋3＝0与原点异侧的半平面．
3．画不等式Ax＋By＋C＞0的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax＋By＋C≥0的平面区域时，边界直线应为实线．不等式表示的平面区域 已知点A(0,0)，B(1,1)，C(2,0)，D(0,2)．其中不在2x＋y＜4所表示的平面区域内的点是________．解析：不等式变形为2x＋y－4＜0，对应的直线为2x＋y－4＝0，A点是坐标原点，代入2x＋y－4得－4，为负值，即原点A在不等式所表示的区域内，把B、C、D点坐标依次代入2x＋y－4，由所得值的正负来判断点是否与A点位于直线2x＋y－4＝0的同侧或异侧，也就判断了B、C、D三点能否位于不等式2x＋y＜4所表示的平面区域内．
答案：C(2,0) 名师点评：此类型题的解法，就是将点的坐标代入二元一次不等式，若不等式成立，则可得点在二元一次不等式所表示的区域内，否则就不在二元一次不等式所表示的区域内．变式迁移1．画出不等式2x＋y－6＜0表示的平面区域．解析：先画直线2x＋y－6＝0(画成虚线)．取原点(0,0)，代入2x＋y－6，因为2×0＋0－6＝－6＜0，所以，原点在2x＋y－6＜0表示的平面区域内，不等式2x＋y－6＜0表示的区域如下图阴影所示．
即直线2x＋y－6＝0的左下方平面区域．二元一次不等式组表示的平面区域 △ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．分析：根据二元一次不等式表示平面区域的概念进行解答．
解析：由两点式得AB、BC、CA的直线方程并化简为：
AB：x＋2y－1＝0，
BC：x－y＋2＝0，
CA：2x＋y－5＝0，
由区域可得不等式组为名师点评：首先写出△ABC三边所在直线方程，∵原点(0,0)不在各直线上，∴把x＝0，y＝0代入到直线方程左端，结合式子符号可得不等式组．变式迁移解析：如下图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域． 设m为实数，若
则m的取值范围是________．分析：不等式组表示的平面区域在圆内．
解析：由题意知，可行域应在圆内，如右图：如果－m＞0，则可行域趋向于－∞，不能在圆内；
故－m≤0，即m≥0.
当mx＋y＝0绕坐标原点旋转时，名师点评：本题主要考查线性规则、数形结合的思想，以及分析问题、解决问题的能力．变式迁移3．已知点M(a，b)在不等式组 确定的平面区域内，画出点N(a＋b，a－b)所在的平面区域．基础巩固1．不在3x＋2y＜6表示的平面区域内的点是( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)D解析：特殊点代入法验证．2．不等式x－y＜0所表示的平面区域在直线x－y＝0的( )
A．上方(不含直线)
B．下方(不含直线)
C．上方(含直线)
D．下方(含直线)A解析：找准直线，代入点验证．祝您学业有成课件24张PPT。3．3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题 不等式 某家具厂有方木90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木0.1 m3，五合板2 m2.生产书橱每个需要方木0.2 m3，五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使利润最大？1．在平面直角坐标系中，动点P(x，y)运动范围受到一定限制，则称变量x、y受到________约束．
2．目标函数为z＝ax＋by，当b≠0时，将其变化为 y＝ 说明直线z＝ax＋by在y轴上的截距为_____，若b＞0，直线越往上移，截距________，目标函数为z的值就越大．
3．线性约束条件表示的________即可行域．
4．求线性目标函数在线性约束条件下的________和________问题称作线性规划问题．5．解简单线性规划的应用题步骤是：弄清题意，设好________，建立关于未知量的________及________，将问题化为简单线性规划问题求解．
6．求线性目标函数z＝ax＋by的最大值或最小值，首先将直线变化为y＝ 再将该直线________移动，使直线和可行域有公共点，再观察在可行域中使 最大或最小时所经过的点，该点的坐标就是________解．5．未知量 目标函数 线性约束条件
6.平行 最优用图解法解决线性规划问题的一般步骤(1)分析并将已知数据列出表格；
(2)确定线性约束条件；
(3)确定线性目标函数；
(4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
(6)实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．学习中应注意的问题(1)用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类，列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数．
(2)可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(3)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点，到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断．
若围成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1＜k2＜…＜kn，而且目标函数的直线的斜率为k，则当ki＜k＜ki＋1时，直线li与li＋1相交的顶点一般是最优解．
特别地，当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时(k＝ki)，其最优解可能有无数个．(4)若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．
如果可行域中的整点数目很少，也可采用逐个试验法．
(5)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．求目标函数最值 已知3≤x≤6， x≤y≤2x，求x＋y的最大值和最小值．分析：要求x＋y的最值，可令x＋y＝b，则b为斜率为－1的平行直线在y轴上的截距，将已知条件转化为不等式组，作出平面区域(可行域．)
解析：设x＋y＝b，则y＝－x＋b，题设条件可转化为 作出它们在平面直角坐标系
内围成的区域如右图所示，则b是
斜率为－1的平行线在y轴上的截距．
当直线x＋y＝b往右平移时，
b随之增大，经过不等式组所表示
的平面区域的点(3,1)时，b取最小
值，即bmin＝3＋1＝4；当直线x＋y＝b经过点(6,12)时，b取最大值，即bmax＝6＋12＝18.
∴x＋y的最大值和最小值分别是18和4.名师点评：这类问题的解题思路是在直角坐标平面xOy内，根据条件确定平面区域，并将最值问题转化为直线在坐标轴上的截距问题来解决．变式迁移求z＝3x＋5y的最小值，使式中的x、y满足约束条件解析：画出约束条件表示的点(x，y)的可行域，如下图所示阴影部分(包括边界直线)．把直线l：3x＋5y＝0，向右上方平行移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时，l1：3x＋5y－z＝0的纵截距最小，且与原点距离最小．此时z＝3x＋5y取最小值．
解方程组 得M(1,1)．
故当x＝1，y＝1时，zmin＝8.关于简单线性规划的实际应用题 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15 t，已知生产甲产品1 t需煤9 t，电力4 kW，劳力3个(按工作日计算)；生产乙产品1 t需煤4 t，电力5 kW，劳力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300 t，电力不得超过200 kW，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能既保证完成生产任务，又能创造最多的财富？分析：先将已知数据列成下表 解析：设每天生产
甲产品x t，乙产品y t，总
产值S万元，依题意约束条件为：目标函数为S＝7x＋12y.
约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边线上的点(如图阴影部分)．现在就要在可行域上找出使S＝7x＋12y取最大值的点(x，y)．作直线S＝7x＋12y，随着S取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为 ，且当直线的纵截距越大，S值也越大．
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．
解方程组得 A(20,24)．故当x＝20，y＝24时，S最大值＝7×20＋12×24＝428万元．
答：每天生产甲产品20 t，乙产品24 t，这样既能保证完成任务，又能创造最多的财富428万元．名师点评：(1)用图解法来解决线性规划问题时的注意事项是：①在寻求约束条件时，要注意挖掘隐含条件．例如：若将本例中的“每天各生产不少于15 t”去掉，则应注意隐含着“x≥0，y≥0”；②在确定最优解时，首先要赋予因变量(如本例中“S”)几何意义( 为直线7x＋12y＝S在y轴上的截距)，然后利用图形的直观性来确定最优解；③在确定最优解时，应注意用直线的斜率来定位．
(2)通过列表使量与量之间的关系一目了然，有助于我们顺利地找出约束条件和目标函数，特别是对于那些量比较多的问题．基础巩固1．若点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方，则一定有( )
A．Ax0＋By0＋C＞0
B．Ax0＋By0＋C＜0
C．当B＜0时，有Ax0＋By0＋C＞0
D．当B＞0时，有Ax0＋By0＋C＞0D解析：将点代入，如果满足Ax0＋By0＋C＞0，表明点在直线上方．2．线性规划中的最优解指的是目标函数在线性约束条件下取得的( )
A．最大值或最小值
B．可行域
C．最大值或最小值时x，y对应的值
D．最大值所对应的点的坐标C解析：最大值、最小值的定义．祝您学业有成课件28张PPT。不等式 3．4 基本不等式 (a≥0，b≥0)
3．4.1 基本不等式的证明如下图所示，以线段a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD、DB，则DC能否用a，b表示，DD′与AB的关系如何？由此你得到怎样的不等式？1．≥， ，a＝b 2.算术 3.几何
4.几何平均数，算术平均数5．如下图，在⊙O中，AB是圆的直径，CD⊥AB于D，由射影定理可知，CD2＝AD·DB，则CD＝ 叫做AD、DB的________平均数；OC＝ 叫做AD、DB的________平均数．
由右图可知，OC≥CD， 当△ABC是________直角三角形时， 有OC＝CD.
6．不等式 (a、b∈________)，在证明不等式，求函数的最大值、最小值时，有着广泛的应用，因此我们也称它为________不等式．5.几何，算术，等腰 6.R＋，基本基本不等式基本不等式的其他形式与拓展3．常用的几个不等式
(1)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立)．
(2)(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)(a、b、c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立)．利用基本不等式比较大小 若a＞0且a≠1，M＝(1＋an)(1＋a)n，N＝2n＋1·an(N∈N＋)，则M、N之间的大小关系是( )
A．M＞N B．M＜N
C．M＝M D．M、N大小关系不定分析：如果用公式的展开，计算量很大，且也不好比较大小，如何出现2n＋1·an呢？可利用基本不等式．名师点评：在利用基本不等式比较大小时，注意不等式性质的运用．变式迁移用基本不等式证明不等式若a、b∈R，求证：a2＋b2≥2|ab|.分析：利用基本不等式a2＋b2≥2ab及推论，联想到|a|2＋|b|2≥2|ab|≥2ab.可以用已证的基本不等式来证明．
解析：∵a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2 ＝2|ab|.
当且仅当|a|＝|b|时取“＝”号．名师分析：不等式等号成立的条件，往往是学生易忽视的，或有的学生在解答此题时把等号成立的条件写成a＝b.排除错误的办法是准确理解基本不等式中等号成立的条件，要在变量指定的取值范围内进行检验．变式迁移2．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：名师点评：证明本题易出现的思维障碍是：
①想利用三元重要不等式解决问题；
②不会利用重要不等式 的变式；
③不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两端的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．变式迁移4．若a、b、c是不全相等的正数，求证：5.已知a、b、c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c) (c＋a)≥8abc.基础巩固B解析：a、b同号时大于2，a、b异号时小于－2.C祝您学业有成课件39张PPT。不等式 3．4 基本不等式 (a≥0，b≥0)
3．4.2 基本不等式的应用在实际工作和生活中，有一类求最值的问题需要我们解决．如，某集团投资兴办甲、乙两个企业，1998年甲企业获得利润320万元，乙企业获得利润720万元，以后每年企业的利润：甲企业以上年利润的1.5倍的速率递增，而乙企业是上年利润的，预期目标为两企业年利润之和是1 600万元，从1998年年初起，问：哪一年两企业获利之和最小？
事实上：从1998年起，第n年获利为yn.
则：
这个函数的最小值问题将如何解决呢？学习了本节内容后，此问题就能比较简单地解决了．1．如果用x，y来分别表示矩形的长和宽，用l来表示矩形的周长，S来表示矩形的面积，则l＝________，S＝________.
2．在上题中，若面积S为定值，则由x＋y≥2 ，可知周长有最________值，为________．
3．在第1题中，若周长l为定值，则由 可知面积S有最________值，为________．基本不等式及其注意问题(2)对于基本不等式a2＋b2≥2ab和 要明确它们成立的条件是不同的．前者成立的条件是a与b都为实数；而后者成立的条件是a与b都为正实数，如a＝0，b＝0仍然能使 成立．
两个不等式中等号成立的条件都是a＝b.应用基本不等式求最值(1)当a＞0，b＞0且ab为定值时，有a＋b≥2 (定值)，当且仅当a＝b时，等号成立，此时a＋b有最小值；
当a＞0，b＞0且a＋b为定值时，有 (定值)，当且仅当a＝b时，等号成立．此时ab有最大值．说明：基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，或将“积式”转化为“和式”的放缩功能．在使用基本不等式求最值时，必须具有三个条件：①在所求最值的代数式中，各变量均应是正数；②各变量的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值；③等号能取到．以上三个条件简称为“一正、 二定、三相等”，它在解题中具有双重功能，既有条件的制约作用，又有解题的导向作用．另外，使用基本不等式证明问题时，有时要反复使用它们，然后再相加或相乘，这时字母应满足多次使用基本不等式中的等式一致成立的条件．若不一致，则不等式中的等号不能成立．用基本不等式证明 若a，b，c＞0，求证：分析：由于式子是关于a、b、c对称的，若将 比较就破坏了对称性，得不出要证明的结论，因此去证明名师点评：用基本不等式证明不等式时，要注意等号是否取到的条件．变式迁移1．若a，b，c∈R＋，求证： ≥ (a＋b＋c)．用基本不等式求最值分析：利用基本不等式求最小值．
解析：∵a＋b＝4，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab.
又a2＋b2≥2ab，
∴16－2ab≥2ab，即ab≤4.错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有a＝1和b＝1，但在a＋b＝4的条件下，这两个式子不会同时取等号(∵a＝1时，b＝3)．排除错误的办法是看同时取等号时，与题设是否有矛盾．变式迁移变式迁移3．已知实数x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，求 的取值范围．用基本不等式解应用题 某工厂每年需要某种材料3000件，设该厂对该种材料的消耗是均匀的，该厂准备分若干次等量进货，每进一次货需运费30元，且在用完时能立即进货，已知储存在仓库中的材料每件每年储存费为2元，而平均储存的材料量为每次进货量的一半，欲使一年的运费和仓库中储存材料的费用之和最省，问每次进货量应为多少？名师点评：解决此题的关键是，设出自变量x(每次进货量)之后，根据题意将一年的运费和仓库中储存材料的费用之和表示为x的函数，即构建所求最值的函数模型是解决这类应用问题的关键所在． 某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？分析：年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：购车费用、保险费、养路费、汽油费总和以及维修费用总和，因此应先计算总费用，再计算年平均费用．名师点评：在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下三点：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
(3)在求函数定义域时，应注意使每一个变量均有实际意义，在利用基本不等式求其最值时，应注意必须在定义域内求解．变式迁移5．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面为铁栅，每1 m长造价40元，两侧墙砌砖，每1 m长造价45元，顶部每1 m2造价20元．计算：
(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面的铁栅应设计为多长？基础巩固BB祝您学业有成