课件10张PPT。数学配苏教版必修2目录立体几何初步 1．1 空间几何体
1．1.1 棱柱、棱锥和棱台
1．1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
1．1.3 中心投影和平行投影
1．1.4 直观图画法立体几何初步 1．2 点、线、面之间的位置关系
1．2.1 平面的基本性质
1．2.2 空间两条直线的位置关系
1．2.3 直线与平面的位置关系
1．2.4 平面与平面的位置关系立体几何初步 1. 3 空间几何体的表面积和体积
1．3.1 空间几何体的表面积
1．3.2 空间几何体的体积 平面解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.1 直线的斜率
2．1.2 直线的方程
2．1.3 两条直线的平行与垂直 平面解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.4 两条直线的交点
2．1.5 平面上两点间的距离
2．1.6 点到直线的距离 平面解析几何初步 2．2 圆与方程
2．2.1 圆的方程
2. 2.2 直线与圆的位置关系
2．2.3 圆与圆的位置关系平面解析几何初步 2. 3 空间直角坐标系
2．3.1 空间直角坐标系
2．3.2 空间两点间的距离祝您学业有成课件29张PPT。立体几何初步 1．1 空间几何体
1．1.1 棱柱、棱锥和棱台有诗云：“锥顶柱身立海天，高低大小也浑然；平行垂直皆风景，有角有棱足壮观．”在我们生活的大千世界中，各式建筑物中都蕴含着形状各异的棱柱、棱锥和棱台等多面体，它们各自具有不同的几何结构特征．1．一般地，我们把由______________叫做多面体．
____________叫做多面体的面；_________________叫做多面体的棱；_________________________________叫做多面体的顶点．
2．把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面都在这个平面的同一侧，这样的多面体叫做__________．1．一些平面多边形围成的几何体 围成多面体的各个多边形 相邻两面的公共边 棱与棱的公共点
2．凸多面体3．有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做__________．两个互相平行的面叫做__________，简称底；其余各面叫做棱柱的__________；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的________；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的__________．
4．棱柱按照底面边数分类：底面是________、________、________、的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
5．棱柱的结构特征：①_________；②_________；③棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形．3．棱柱 底面 侧面 侧棱 顶点
4．三角形、四边形、五边形……
5．①有两个面(底面)互相平行 ②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行6．一般地，一个面是多边形，其余各面都是____________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．多边形面叫做棱锥的__________；有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的__________；各侧面的公共顶点叫做棱锥的__________；相邻侧面的公共边叫做棱锥的__________．
7．棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做__________、__________、__________.6．有一个公共顶点 底面 侧面 顶点 侧棱
7．三棱锥 四棱锥 五棱锥8．棱锥的结构特征：①___________________；
②_____________________________________.
9．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，______叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的________；其余各面叫做棱台的________；底面与侧面的公共点叫做棱台的__________；相邻侧面的公共边叫做棱台的________；棱台按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台……8．①有一个面(底面)是多边形 ②其余的各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形
9．底面和截面之间的部分 下底面和上底面 侧面 顶点 侧棱棱柱的结构特征棱柱的结构特征有：①有两个面(底面)互相平行；②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行；③棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形．
学习时要从相关概念、表示及分类上进行，特别要注意平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体这五种特殊棱柱的区别与联系．谨记：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱；棱柱的任何两个平面并不都可以作为棱柱的底面．棱锥的结构特征棱柱的结构特征有：①有一个面(底面)是多边形；
②其余的各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
理解、掌握棱锥的结构特征时要从认识侧面、顶点、侧棱、底面、高入手，以棱锥的记法、棱锥的分类进行归纳整理，类比平面几何的相关性质对知识和方法进行拓宽，如由多边形相似的定义，容易得到：截面与底面面积的比等于相似比的平方，等于所截得的小棱锥与大棱锥对应高的比的平方．同学们要谨记：①正棱锥的定义：棱锥的底面是正多边形，并且顶点在过正多边形中心且垂直于底面的直线上；
②“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的多面体不一定是棱锥．棱台的结构特征正棱锥被平行于底面的平面所截，截得的棱台是正棱台，主要结构特征有：①两个底面平行；②侧棱(母线)延长线相交于一点．
理解棱台的结构特征要从棱台的定义及相关概念、棱台与棱锥的转化关系两个方面展开．判断棱柱、棱锥、棱台的结构特征说出下图所示的几何体的结构特征．分析：本例主要考查棱台的概念和结构特征．
解析：上图中的几何体ABCD－A1B1C1D1是四棱台．以下从棱台的结构特征来作具体描述．
①面ABCD和面A1B1C1D1是四棱台的两个底面，都是四边形．其中四边形A1B1C1D1是上底面，四边形ABCD是下底面．②四棱台的侧面A1B1BA，B1C1CB，C1D1DC，D1A1AD都是梯形．
③AA1，BB1，CC1，DD1叫做四棱台的侧棱．
④A，B，C，D，A1，B1，C1，D1叫做四棱台的顶点．
规律总结：要认识一个几何体的结构特征，就是要从“形”的各个角度进行描述．主要从它的面(侧面、底面)、棱、顶点等角度描述，棱柱、棱锥、棱台的结构特征都是用一些平面几何中的点、线、平面几何图形来表述的．变式训练1．观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？观察六棱柱模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？解析：观察长方体模型，有3对平行平面，能作为棱柱底面的有3对；观察六棱柱模型，有4对平行平面，能作为棱柱底面的有1对．2．观察下图中的几何体，它们具有怎样的共同特征？ 解析：图中几何体的共同特征是：①均由平面图形围成；②其中一个面为多边形；③其他各面都是三角形；④这些三角形有一个公共顶点，它们都是棱锥．3．判断如下图所示的物体是不是棱台，为什么？分析：一个几何体是不是棱台，只要想想棱台是怎样得到的即可．
解析：以上两图都不是棱台．(1)AA1，DD1交于一点，而BB1，CC1交于另一点，此图不能还原成锥体，故不是棱台；(2)中面ABCD与面A1B1C1D1不平行，故也不是棱台．棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 请画出下图所示的多面体的表面展开图．解析：将立体图形沿着某些棱剪开，然后伸展到平面上．
答案：展开图如下图所示．规律总结：要画一个多面体的表面展开图，可以先用硬纸做一个相应的多面体的实物模型，然后沿着某些棱把它剪开，并铺成平面图形，进而画出相应的平面图形．将多面体的表面展开成平面图形，有利于我们解决与多面体表面有关的问题．变式训练4．如右图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体由哪些简单几何体组成？游泳池装满水后形成的几何体是一个棱柱(两底面水平放置)，但这个棱柱可看成由一个长方体补上一个三棱柱得到(如下图(1))；也可由长方体切割下一个三棱柱得到(如下图(2))．有关量的计算 如图所示，正四棱台AC′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．解析：由于棱台是由棱锥平行于底面的平面截得的，因此正棱锥中的有关直角三角形对应到正棱台中将转化为直角梯形，只要找出包含侧棱和斜高的直角梯形即可求解．解析：设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′、BC的中点分别是E′、E.连接O′O、E′E、OB、O′B′、O′E′、OE，则梯形OBB′O′、OEE′O′都是直角梯形．
在正方形ABCD中，规律总结：正棱台中两底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线，侧棱和两底面相应的对角线的一半组成一个直角梯形；斜高、侧棱和两边长的一半组成一个直角梯形．正棱台的计算问题，实际上就是这几个直角梯形中的计算问题．变式训练5．若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高．基础巩固棱柱的结构特征1．下列命题正确的是______．
①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱；
②棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；
③棱柱的侧面是平行四边形，底面不是平行四边形；
④棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形．解析：根据棱柱的定义可知④正确．
答案：④能力升级空间图形与平面图形的转化8．把下图中正三角形按虚线折起，可以得到一个________．解析：想象或试着做一下模型均可．
答案：三棱锥祝您学业有成课件26张PPT。立体几何初步 1．1 空间几何体
1．1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 在我们生活的世界中，从土木建筑到家居装潢，从机械设计到商品包装，从航空测绘到零件视图，……，无不存在着形状各异的物体，它们蕴含着形状各异的圆柱、圆锥、圆台和球等空间图形，它们各自具有不同的几何结构特征，空间图形与我们的生活息息相关，因此对空间图形的研究和应用非常重要．1．______________的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的________；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的_______；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的________，其结构特征是______________．
2．_________的旋转体叫做圆锥；__________叫做圆锥的轴；_____________叫做圆锥的底面；______叫做圆锥的侧面；_______叫做圆锥的母线，其结构特征是______．1．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成 轴 底面 侧面 过圆柱的轴截面都是全等矩形
2．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成 旋转轴 垂直于轴的直角边旋转而成的圆面 斜边旋转而成的曲面 斜边 圆锥的轴截面都是全等的等腰三角形3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，____叫做圆台．原圆锥的_____分别叫做圆台的下底面和上底面．
4．_________的几何体叫做球体，简称球；半圆的圆心叫做球的________；半圆的半径叫做球的________；半圆的直径叫做球的________．
5．___________________叫做旋转体．3．底面和截面之间的部分 底面和截面
4．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成 球心 半径 直径
5．由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体6．柱体：____、___；锥体：____、____；台体：____、___；___是七种最基本的简单几何体，日常生活中见到的各种几何体则是由它们所组合成的_____．
7．______的几何体叫做简单组合体．简单组合体的构成有两种基本形式：一种是______；一种是_____．
8．简单组合体包括：________的组合、________的组合、________的组合；在画简单组合体时，要把遮住的部分用虚线来表示或不画．6．棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台 球体 简单组合体
7．由一些简单的几何体组合而成 由简单几何体拼接而成 由简单几何体截去或挖去一部分而成
8．多面体与多面体 多面体与旋转体 旋转体与旋转体圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征圆柱的结构特征：①两底面是全等的圆面；②所有母线长相等且互相平行；③过圆柱的轴截面都是全等矩形．
圆锥的结构特征：①平行于底面的截面都是相似的圆；②所有母线长相等且相交于一点；③过圆锥的轴截面都是全等的等腰三角形．
圆台的结构特征：①平行于底面的截面都是相似的圆；②所有母线长相等且延长线相交于一点；③过圆台的轴截面都是全等的等腰梯形．球的结构特征：①过球心的截面都是全等的圆；②球的直径垂直截面，所截得的都是相似的圆．
理解和掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，要学会从直观感受空间旋转体的形成过程，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台和球的定义，以定义展开，多进行类比、归纳和整理，通过比较四者间的异同点加强记忆．圆柱、圆锥、圆台的截面包括：平行于底面的截面和过轴的截面(简称轴截面)两类，球的截面有大圆和小圆之分，谨记其截面的形状是关键．旋转体的结构特征 直角三角形ABC，AB＝3，BC＝4，AC＝5，以AB所在直线为轴旋转一周，分析所形成的几何体的结构特征．解析：本例主要考查圆锥的概念及其结构特征．主要涉及圆锥的母线和轴的问题．
答案：在Rt△ABC中，以边AB所在直线为轴旋转一周所得的几何体，如右图所示的圆锥，它的底面是半径为4的圆面，母线长为5.规律总结：圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其一条特定边(弦)旋转而成的几何体——旋转体，解决旋转体问题主要研究母线和底面圆等，其主要的数量关系集中在其轴截面上．变式训练1．给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中说法正确的是________．解析：圆柱的底面是圆面而不是圆，∴命题①不正确；圆柱的任意一条母线都与圆柱的轴平行，圆柱的任意两条母线互相平行且相等，又圆柱的母线与底面垂直，∴命题②、④正确；连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，∴命题③不正确．
答案：②④2．判断右图所表示的几何体是不是圆台？为什么？解析：根据定义直接判断．
答案：不是圆台．图中⊙O与⊙O1不平行，故不是圆台．3．已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积是36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是________．旋转体中相关量的计算 圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．分析：充分利用圆台的性质，特别是轴截面中有关直角三角形的问题．
解析 ：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如右图∠ASO＝30°，在Rt△SO′A′中，规律总结：解有关圆台的基本元素问题，一般画圆台的轴截面或将圆台还原为圆锥，有关元素之间的关系就体现出来了．4．圆台的高是12，母线长是13，两底面半径之比为8：3，求圆台的全面积．如右图所示，设两底面半径分别为8r和3r，又圆台的高是12，母线长为13，可列式：(8r－3r)2＋122＝132，解得r＝1，故两底面半径分别为8和3，代入表面积公式：S圆台全＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)＝216π.变式训练简单组合体 一个直角三角形绕某斜边旋转会得到一个什么样的空间图形？并画出该空间图形．解析：作图并根据特定旋转体的特征进行分析求解．
答案：如下图，作CD⊥AB于D，则△BCD与△ADC均是直角三角形，且BD、AD均分别为直角边，因而绕它们旋转后所得的均是圆锥，它们是一对具有相同底的对合圆锥．变式训练5．如右图，正方体内接于圆锥．
(1)试说明几何体的结构特征；
(2)若圆锥的高为40 cm，底面半径为30 cm，试求正方体的棱长．(1)几何体是由一个圆锥与一个正方体组合而成的．
(2)如右图所示，作出轴截面图．基础巩固圆柱、圆锥和圆台的结构特征1．圆柱、圆锥、圆台的轴截面(过旋转轴的截面)分别是________、________、________.解析：根据圆柱、圆锥、圆台的定义．
答案：矩形 等腰三角形 等腰梯形能力升级空间旋转体的组合与分割9．说出下图中几何体的主要结构特征．解析：根据圆锥定义知②中应改为以一条直角边旋转．
答案：②祝您学业有成课件28张PPT。立体几何初步 1．1 空间几何体
1．1.3 中心投影和平行投影古人有诗云：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这首诗告诉我们，要注意从不同角度观察事物，下面的三个图形是从不同方向观察某一物体的形象，你能分析出它代表什么吗？分析的依据是什么？1．由于光的照射，在不透明的物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做________，其中光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做________．
2．____________的投影称为中心投影，或看作由点光源照射形成的投影；____________的投影称为平行投影，或看作由平行光照射形成的投影．1．投影 投影面
2．投影线交于一点 投影线相互平行3．平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为____和____两种；两种投影的区别在于①平行投影的投影线_____、中心投影的投影线_____；②同一个几何体在平行投影与中心投影下有不同的图形结构；_____形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体，______形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征．
4．平行投影的主要性质有(1)直线或线段的平行投影是________或________；(2)平行直线的平行投影是平行或重叠的________；(3)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段________且________；(4)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形________；(5)在同一条直线或平行直线上的两条线段的投影平行且投影比________这两条线段之比．3．斜投影 正投影 互相平行 交于一点 中心投影 平行投影
4．直线 线段 直线 平行 等长 全等 等于5．视图是指将物体按_______所得到的图形；光线自物体由前向后投射所得投影称为______；光线自物体由上向下投射所得投影称为______；光线自物体由左向右投射所得投影称为________．几何体的正视图、左视图、俯视图统称为几何体的________．
6．长方体的三视图______，正方体的三视图都是____(有一面正对观察者)；直立圆锥的主视图与左视图________，俯视图是______；直立圆柱的主视图与左视图________，俯视图是________；圆台的主视图与左视图________，俯视图是________；球的三视图________．5．正投影向投影面投射 主视图或正视图 俯视图左视图 三视图
6．都是矩形 正方形 都是等腰三角形 圆 都是矩形圆 都是等腰梯形 两个同心圆 都是圆7．三视图画法规则是①高平齐即____________;
②长对正即_____________________；
③宽相等即______________；画几何体的三视图时，看见的
线画成______，被遮住看不见的线要画成_____．主视图与左视图的高要保持平齐 主视图与俯视图的长应对正 俯视图与左视图的宽度应相等 实线 虚线投影的分类与区别投影分为中心投影和平行投影两种．两种投影的区别在于
1.平行投影的投影线互相平行、中心投影的投影线交于一点．
2.同一个几何体在平行投影与中心投影下有不同的图形结构：中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体、平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征．平行投影的性质1.直线或线段的平行投影是直线或线段；
2.平行直线的平行投影是平行或重叠的直线；
3.平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
4.与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
5.在同一直线或平行线上的两条线段的投影平行且投影比等于这两条线段之比．三视图1.几何体的主视图、左视图、俯视图统称为几何体的三视图；
2.三视图画法规则是：高平齐(即主视图与左视图的高要保持平齐)、长对正(即主视图与俯视图的长应对正)、宽相等(即俯视图与左视图的宽度应相等)．中心投影与平行投影 给出下列命题：
①正方体的三视图都是正方形；
②球的三视图都是圆；
③正方体的平行投影一定是菱形；
④平行四边形的平行投影可以是正方形；
⑤当物体与投影面的相应位置固定不变时，投影大小与投射中心与物体的距离间存在一种“反比例”的关系，即距离越远，投影越小，距离越近，投影越大；⑥正投影一个平面图形时，投影的大小与原图形的大小一样；
⑦梯形的平行投影还是梯形；
⑧正三角形的平行投影可以是直角三角形；
⑨当三角形的平行投影仍为三角形时，则三角形的中位线还是投影三角形的中位线．
以上所有正确命题的序号为____________．(要求把正确命题的序号都填上)分析：本题是一道有关基本概念与基础知识的选填题．求解时，必须准确理解诸如三视图、投影等概念，在投影中还要理解平行投影与中心投影的区别，正投影与斜投影的异同．
解析：三视图取决于观察视角的正面．当正面不是正方体的某个表面时，所画的三视图中可能含有非正方形的视图，因而命题①是错误的．但由于球的特殊性，从任意角度看都是圆的形状，因而无论以何角度作为观察的正面．其各种视图均为圆，因而②是正确命题．
对于平行投影，投影与物体的形状问题，取决于投射线以及物体与投影面的相对位置，因而命题③⑥均是错误的，而命题④⑧是正确的．对于中心投影，投射中心与物体的距离越远时，投射线越接近于平行线，因而投影越接近于实物的大小；而当投射中心与物体的距离越近时，投射线发散的角度越大，因而投影越大，故命题⑤是正确的命题．
由于两平行线的投影不一定平行或为同一条直线，所以在同一平面内的两条不平行的直线的投影一定不是平行直线，故命题⑦⑨为正确命题．
综上所述，本题的正确命题的序号为：②④⑤⑦⑧⑨.方法点拨：任何新知识的学习，首先离不开对概念的理解与掌握．概念，即定义，是一切知识的基础，学习时务必首先理解概念，在真正理解并弄通概念的内涵与外延的基础上，再进行后继知识的学习，这样所学的知识才比较扎实且牢固．
一个投影的大小取决于物体与投影面的相对位置，也取决于投射线的方向．例如当一个物体(视作为一个平面时)与投影面垂直时，这时若用正投影则投影只可能为一条线段(或直线)．
审题时，必须弄清“一定”“可以”“都”等关键词语．如命题③改为：正方形的平行投影可以是菱形，命题①改为：正方形的三视图可为正方形，则它们都是正确命题．变式训练1．画出正方体的中心投影图(投影点在正面)．分析：中心投影是一个点光源把图形投影的结果，因此，要找好点光源所对应的点．
解析：如下图所示为正方体的中心投影图．简单几何体的三视图画出下图所示组合体的三视图．分析：这是一个轴承架的模型(有轴承孔)，它由两个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半圆柱同心的圆柱(形成圆孔)．它的视图是轴对称图形，轴承架上的圆孔，在主视图和俯视图中为不可见轮廓线，用虚线画出．答案：它的三视图如下图．方法点拨：在绘制三视图时，应注意：不可见轮廓线用虚线画出，例如上图中的虚线．变式训练2．四个正方体放置成如下图所示的形状，其中涂色部分为我们观察的正面．画出该物体的三视图．分析：根据三视图的作图规则来进行画图．
解析：如下图．由三视图还原成实物图 根据下图所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．分析：由三视图的特征，结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推．
解析：上图所给出的实物如下图所示．
规律总结：(1)由三视图画立体图是培养我们立体感的又一方法，做题时，要认真想象立体图的样子，再仔细分析三视图．
(2)想象力的培养与多观察实物相结合是解决此类题目的关键．基础巩固中心投影与平行投影1．有下列说法：
①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．
其中正确的命题有________．解析：由投影的相关知识知，四个命题均正确．
答案：①②③④能力升级几何体的投影与三视图的综合理解9．下列实例中，不是中心投影的是________．
①工程图纸；②小孔成像；③相片；④人的视觉．解析：由中心投影和平行投影的定义知，小孔成像，相片，人的视觉为中心投影，工程图纸为平行投影．
答案：①祝您学业有成课件32张PPT。立体几何初步 1．1 空间几何体
1．1.4 直观图画法如下图所示的建筑物是江南著名古镇之一的乌镇，它是由不同的几何体组合而成的，建筑工人在建造时要依据工程设计的图纸进行施工，工程师是利用什么方法画出图纸呢？1．____________________叫做空间图形的直观图．
2．斜二测画法是一种画直观图的方法，是一种特殊的平行投影画法，其步骤为：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'＝________，它们确定的平面表示水平面；②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成______或______的线段；③已知图形中________的线段，在直观图中保持原长度不变，________的线段，长度变为原来的一半．1．表示空间图形的平面图形
2．45°或135° 平行于x'轴 y'轴 平行于x轴
平行 于y轴3．画水平放置图形的步骤：①在水平放置的图形中建适当的直角坐标系x-O-y，使图形中的点尽可能地在________；②画出直观图中的坐标系x'-O'-y'，使∠x'O'y'＝________；③在原图中取关键点，得到____________线段；④按照画法规则，____________，在直观图的坐标系中取出相应的点，得到相应的直观图．坐标轴上或关于坐标轴对称 45°或135° 在坐标轴上或与坐标轴平行的 平行于x轴的线段长度不变，与y轴平行的减半4．画空间几何直观图的步骤：①取相互垂直的Ox、Oy轴，再取Oz轴，使______________；②画O'x'、O 'y'、O'z'，使____________________；③画底面：平行于x轴的线段在直观图中长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度________；④画侧棱(或高)：平行于z轴的线段在直观图中长度________；⑤成图：顺次连接各个线段的端点，构成直观图(注意实线与虚线)．∠xOz＝90°且∠yOz＝90° ∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90° 不变 减半 不变用斜二测画法画水平放置图形的步骤1.在水平放置的图形中建适当的直角坐标系x-O-y，使图形中的点尽可能地在坐标轴上或关于坐标轴对称；
2.画出直观图中的坐标系x‘-O’-y‘，使∠x’O‘y’＝45°或135°；
3.在原图中取关键点，得到在坐标轴上或与坐标轴平行的线段；
4.按照画法规则，平行性不变，长度与y轴平行的减半，在直观图的坐标系中取出相应的点，得到相应的直观图．用斜二测画法画空间几何体直观图的步骤1.取互相垂直的Ox、Oy轴，再取Oz轴，使∠xOz＝90°；且∠yOz＝90°；
2.画O'x'、O'y'、O'z'，使∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90°；
3.画底面：平行于x轴的线段在直观图中长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度减半；
4.画侧棱(或高)：平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变；
5.成图：顺次连接各个线段的端点，构成直观图(注意实线与虚线)．斜二测画法画直观图 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图． 分析：用斜二测画法画直观图，要先将图形上的各点转化到平行于坐标轴的线段上或坐标轴上，再利用斜二测画法的规则求出对应的点．
解析：(1)画轴，如下图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面，以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm，分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱，过A、B、C、D各取分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图如上图(2)．规律总结：(1)用斜二测画法作空间图形(立体图形)的直观图，原图形的高在直观图中不变．
(2)不同的选取方法意味着解题的难易，为了保证画图既快又准，应充分注意以下两点：
①充分利用图形的对称性；②尽可能让更多的顶点在坐标轴上．
在应用斜二测画法画直观图时，首先要观察分析，选取恰当的坐标系，再应用斜二测画法画直观图．变式训练1．用斜二测画法画水平放置的边长为12厘米、15厘米、21厘米的三角形的直观图．分析：首先应先建立坐标系，可以以点B为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，再用斜二测画法画水平放置的三角形的直观图．
解析：步骤：(1)在已知图形中取直线BC为x轴，垂直BC的直线为y轴，两轴相交于点B，如下图(1)，画对应的x′轴和y′轴，两轴交于点D，使∠x'Dy′＝45°，如下图(2)．(2)过点A作BC的垂线，垂足为G，在x′轴上截取DH＝BG，截取DE＝BC，过H作直线HF平行于y′轴，在直线HF上截取线段HF等于线段AG的一半．
(3)连接DF、EF，△FDE即为水平放置的△ABC的直观图．由三视图画直观图 根据下图的三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．分析：由常见几何体的三视图及三视图的画法，再画实物图．
解析：(1)由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，它的实物草图如下图(1)．
(2)由三视图知，该物体下部分是一个长方体，上部分的表面是两个等腰梯形和两个等腰三角形，它的实物草图如下图(2)．规律总结：由三视图想象几何体的实物图，要分清组合体中每一部分是什么几何体，三视图在机械制造、工程建设中起到主要作用．变式训练2．画出一个正三棱台的直观图(尺寸为：上、下底面边长为1 cm、2 cm，高1 cm)． (1)画轴：如下图，画x轴、y轴、z轴三轴相交于O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画下底面：在y轴的负半轴上取一点D,使OD＝ cm，过D作x轴的平行线AB，使AB＝2 cm，在y轴的正半轴上取一点C使OC＝ cm.连接BC、CA，则△ABC为正三棱台的下底面．
(3)画上底面：在z轴上取线段OO′，使OO′＝1 cm，过O′点作O'x'∥Ox，O'y'∥Oy.建立坐标系x'O'y'，在x'O'y′中，重复(2)的步骤，使A′B′＝1 cm，得上底面A′B′C′.
(4)连线成图：连接AA′、BB′、CC′，则三棱台ABC－A′B′C′为要求的三棱台的直观图．由直观图还原实际图形 下图(1)为一个平面图形的直观图，请画出它的实际形状．分析：先建立45°角的坐标系，再建立直角坐标系，然后还原成实际图形．
解析：建立如下图(1)所示的坐标系x'A'y'，再建立一个直角坐标系，如下图(2)所示．在x轴上截取线段AB＝A′B′，在y轴上截取线段AD，使AD＝2A′D′.
过B作BC∥AD，过D作DC∥AB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD为A′B′C′D′的实际图形．
规律总结：将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段长度不变，而平行于y轴的线段长度为原来的2倍．变式训练3．如右图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．过B′作B′D′∥y′轴交O′A′于D′，取直角坐标系xOy；选取OA＝O′A′，OD＝O′D′，作DB∥y轴，且DB＝2D′B′，连接BO、BA，则△BOA即为原图形．如右图所示．水平面放置的平面图形的面积 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．解析：先根据题意，画出直观图，然后根据直观图
△A′B′C′的边长及夹角求解．规律总结：求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可．变式训练4．对于一个底边在x轴上的正三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的________倍．直观图的斜二测画法1．利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是________．解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，故③、④不正确．
答案：①②能力升级平面图形、空间几何体的直观图的画法7．画出水平放置的等腰梯形的直观图．画法：
(1)如图(1)，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，画出对应的直观图中的坐标系O'x'y'，使∠x'O'y'＝45°(或135°)；
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝ OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴并使C′D′＝CD；(3)连接B′C′、D′A′，如图(2)，所得到的四边形A′B′C′D′即是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．祝您学业有成课件32张PPT。立体几何初步 1．2 点、线、面之间的位置关系
1．2.1 平面的基本性质我们在日常生活中常见到一些物体如湖面、黑板面、桌面、玻璃面，都给我们以平面的感觉．那么我们能够将这些面定义为平面吗？测量中的平板仪、望远镜或照相机等都用三条腿的架子支撑在地面上，你知道其中的道理吗？1．我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是(1)A∈α，读作：“________”；B?α，读作：“________”；(2)A∈l，读作：“__________”；B?l，读作：“__________”(3)l?α，读作：“__________”；l?α，读作：“__________”；__________的两条直线叫做异面直线．
2．公理1.(1)文字语言：如果_______________，那么__________________．
(2)符号语言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α?_____.1．(1)点A在平面α内 点B在平面α外 (2)点A在直线l上 点B在直线l外 (3)直线l在平面α内 直线l在平面α外 不同在任何一个平面内
2．(1)一条直线上的两点在一个平面内 这条直线上所有的点都在这个平面内 (2)l?α3．公理2.(1)文字语言：如果两个平面______，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是______．
(2)符号语言：P∈α，P∈β?_________.
4．公理3.(1)文字语言：经过_____的三点，_____________一个平面．
(2)符号语言：A∈l，B∈l，C?l?________.3．(1)有一个公共点 经过这个公共点的一条直线
(2)α∩β＝l，P∈l
4．(1)不在同一条直线上 有且只有
(2)三点A、B、C确定唯一平面α5．推论1：经过____________，______________一个平面．
6．推论2：经过______________，____________一个平面．
7．推论3：经过_____________，_____________一个平面．5．一条直线和这条直线外的一点 有且只有
6．两条相交直线 有且只有
7．两条平行直线 有且只有基本性质1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
该公理是判定直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，即只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内即可．基本性质2公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
公理2主要用于判定或证明两个平面相交及三点在同一条直线上．证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内)，这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上．证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线．基本性质3及其三个推论公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道．点、线共面 (1)不共面的四点可以确定几个平面？
(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？
(3)共点的三条直线可以确定几个平面？分析：(1)可利用公理2判定．
(2)可利用公理3的推论3判定．
(3)需分类讨论进行判定．解析：(1)不共面的四点可以确定四个平面．
(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定3个平面．
(3)共点的三条直线可以确定1个或3个平面．
规律总结：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，要做到不重不漏．平面的确定问题主要是根据已知条件和公理3及其3个推论来判平面的个数．变式训练1．在下列各种面中，不能认为是平面一部分的应该为________．
①黑板面； ②乒乓球桌面； ③篮球的表面； ④平静的水面．解析：“平面”的各部分都是“平”的，不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面，乒乓球桌面，平静的水面可作为平面的一部分．而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分．
答案：③点共线问题 正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M三点共线．分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可．
证明：如下图所示，A1A∥C1C?确定平面A1C.方法点拨：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点．这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上．线共点问题 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且 (如右图所示)，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．分析：欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，
且该交点在第三条直线上．∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.
∵P∈直线EF，EF?平面ABC，
∴P∈平面ABC.
同理P∈平面ADC，
∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上．
故EF、GH、AC三直线交于一点．方法点拨：平面几何中证多线共点的思维方法适用于空间，只是在思考中应考虑到空间图形的新特点．变式训练2．如下图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.
求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．
∴AB，CD必定相交于一点，
设AB∩CD＝M.
又∵AB?α，CD?β，∴M∈α，且M∈β.M∈α∩β.
又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．公理3的三个推论求证：两两相交且不共点的四条直线共面．分析：首先应分析两两相交且不共点的四条直线有几种情况，本题四线不共点，但有可能三线共点，或没有三线共点，所以应分两种情况证明．
第一种，四条直线中每三条直线都不交于一点．
第二种，四条直线中有三条直线交于一点．证明：证法一：设a、b、c、d为两两相交且不共点的四条直线(如右图)．
若a、b、c共点且交点为P，d与a、b、c分别交于S、R、Q.
∵a∩d＝S，
∴a、d确定一个平面，设为α(公理3的推论2)．
∵Q∈d，P∈a，a、d?α，
∴Q、P∈α，
∴c?α(公理1)．
同理，b?α，∴a、b、c、d共面．
若a、b、c、d每三条都不交于一点，如右图，a∩d＝P，b∩d＝Q，c∩d＝R，a∩b＝S，a∩c＝M，b∩c＝N.
∵a∩d＝P，
∴a、d确定一个平面，设为α.
∵Q∈d，S∈a，a、d?α，
∴Q、S∈α，
∴b?α，同理c?α，∴a、b、c、d共面．证法二：若a、b、c相交于P点．
∵a∩b＝P，∴a、b确定一平面α.
∵d∩a＝S，∵d∩b＝R，∴S、R∈α，∴d?α.
∵b∩c＝P，b、c确定一平面β.
∵d∩c＝Q，d∩b＝R，
∴R、Q∈β，∴d?β.
∴存在两相交直线b、d既在α内，又在β内，
∴α与β重合，∴a、b、c、d共面．若a、b、c、d无三线交于一点，
由a、b确定平面α，d、c确定平面β，
∵c∩a＝M，c∩b＝N，d∩b＝Q，
∴M∈α，N∈α，Q∈α.
∵M、N、Q不共线，
∴α、β有三个不共线的点，
∴α、β重合，即a、b、c、d共面．规律总结：四条直线两两相交且不交于一点与三条直线两两相交且不交于一点不同，后者只是一种情况，前者是两种情况．
证共面用上述方法即先用已知确定一平面，再证其余元素在此平面内．变式训练3．如右图，经过直线a外一点A，引三条直线分别与a相交于点B、C、D.
求证：a、AB、AC、AD四线共面．证明：∵点A是直线a外的一点，
∴由推论1可知：经过直线a和点A的平面有且只有一个，设为平面α.
∵B、C、D∈a，∴B、C、D∈α，又∵A∈α，
∴直线AB、AC、AD均在平面α内，
∴a、AB、AC、AD四线共面．基础巩固平面的概念及符号表示1．下列命题中，正确的个数为________个．
①一个平面长4 m，宽2 m；②2个平面重叠在一起比一个平面厚；③一个平面的面积是25 cm2；④一条直线的长度比一个平面的长度大．解析：根据平面定义，4个命题均不正确．
答案：0能力升级点共线的问题10．平面α∩平面β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β，且C?l，又AB∩l＝R，过A、B、C三点确定的平面记作γ，则β∩γ是________．解析：∵AB∩l＝R，∴R∈l.又α∩β＝l，∴R∈β.∵AB?平面ABC，∴R∈平面 ABC，即R∈γ.又C为平面β与γ的公共点，∴β∩γ＝CR.
答案：直线CR祝您学业有成课件31张PPT。立体几何初步 1．2 点、线、面之间的位置关系
1．2.2 空间两条直线的位置关系在天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交，也不平行，它们具有怎样的位置关系呢？旗杆与天安门广场、天安门广场与地面又有怎样的位置关系呢？1．空间的两条直线有如下三种关系：
①相交直线：_______________；②平行直线；同一平面内，__________公共点；③异面直线：__________在任何一个平面内，没有公共点．__________和__________统称为共面直线．
2．公理4：文字语言：____________________的两条直线互相平行；符号语言：设a、b、c是三条直线，a∥b，c∥b?________.1．同一平面内，有且只有一个公共点 没有 不同 相交直线 平行直线
2．平行于同一条直线 a∥c3．空间中的等角定理：空间中，如果两个角的__________，那么这两个角__________________．
4．异面直线所成的角：已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____________叫异面直线a与b所成的角(夹角)．3．两边分别对应平行 相等或互补
4．锐角(或直角)空间两条直线的位置关系①共面：空间的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．共面的两条直线位置关系又分平行和相交两种．
②异面直线：把既不相交也不平行的直线叫做异面直线，异面直线判定方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
空间的两条直线的位置关系的判定是以平面的基本性质和推论为重要依据的，位置关系的表示则是通过相关符号语言实现的，以下几种常用的符号语言同学们要记牢．①点A在直线b上，记作A∈b，点B不在直线b上，记作：B?b；②点B在平面α内，记作B∈α，点B不在平面α内，记作：B?α；③直线a在平面α内，记作a?α，直线a不在平面α内，记作a?α等．公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行；用数学符号表示为：设a、b、c是三条直线，a∥b，c∥b?a∥c.
公理4将平面内两条直线的传递性推广到了空间中，是证明线线平行的重要依据之一，但要注意：并不是所有平面内的结论都能推广到空间中来．等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
等角定理的实质是空间中角的平移，定理实际上是以下两个结论的组合：①如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且两边的方向分别相同，那么这两个角相等；②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且有一组边的方向相同，另一组边的方向相反，那么这两个角互补．其中“角的两边分别平行”这个条件要特别注意，谨记等角定理的逆命题不成立．异面直线所成的角已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(夹角)．
异面直线a与b所成角的大小是由其平面所成角的大小来度量的，求异面直线所成角的一般步骤是：
①根据定义作出或找出两异面直线所成的角；②使该角为某个三角形的内角；③解这个三角形求角，其中通过平移法作出其平面角是关键，解答相关题目时要谨记异面直线所成角的取值范围．千万不要把相交直线所成的钝角作为异面直线所成的角．若求出的是钝角，应取它的补角作为异面直线所成的角．异面直线的判断与证明 如右图，在空间四边形ABCP中，连接AC、PB，D、E是PC上不重合的两点，F、H分别是PA、PB上的点，且与点P不重合．
求证：EF和DH是异面直线．分析：根据两直线异面的定义，要直接证明两直线异面是比较困难的，因而往往从问题的反面入手，即采用反证法，当然，还可以直接使用异面直线的判定定理：“过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线”，而进行直接的证明．证明：证法一：假设EF、DH不是异面直线，则由两直线的位置关系知，它们必在同一个平面α内．
∴E∈α，D∈α，∴ED?α，即PC?α.
∴P∈α，C∈α.又∵H∈α，∴PH?α.
∵B∈PH，∴B∈α.
同理，由F∈α可得：A∈α.
由此可知，P、A、B、C四点都在平面α内，这与四点是空间四边形的四个顶点相矛盾．
故假设不真，于是EF与DH是异面直线．证法二：∵PA∩PC＝P，
∴PA、PC确定一个平面，不妨记平面为α.
∵E∈PC，F∈PA，∴E∈α，F∈α.
∴EF?α.
∵D∈PC，
∴D∈α，且D?EF.
∵PB∩α＝P，H∈PB，
∴H?α.
∴EF与DH是异面直线．规律总结：(1)异面直线的判定方法一般要有两种：①利用异面直线的判定定理；②反证法．
(2)证明两直线异面，常用反证法．反证法也是常用的一种重要的思维方式和数学方法，它在立体几何中有着广泛的应用．反证法的一般步骤为：
①反设：即作出与命题结论相反的假设；
②归缪：以所作的假设为依据，通过严格的逻辑推理，导出矛盾；
③结论：判断产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的，因而原命题正确．导出逻辑矛盾时常出现以下几种情形：
①与定义、公理、定理、推论及性质等的矛盾；
②与已知条件的矛盾；
③与假设的矛盾；
④自相矛盾．变式训练1．如右图所示，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c.求证：AD与BC是异面直线．证明：(反证法)假设AD与BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内．∴直线a、b、c都在平面α内，此与已知条件a、b、c不共面相矛盾．∴AD和BC是异面直线．求异面直线所成的角 如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求：
(1)异面直线AB与A1D1所成的夹角；
(2)AD1与DC1所成的夹角．分析：依据异面直线所成的角(或夹角)的定义来求．
解析：(1)∵A1B1∥AB，而A1D1⊥A1B1，
∴A1D1⊥AB，∴AB与A1D1所成的夹角为90°.(2)连接AB1，B1D1，∵AB1∥DC1，
∴AB1与AD1所成夹角即为DC1与AD1所成的夹角．
又AD1＝AB1＝B1D1，
∴△AB1D1为正三角形．
∴AD1与AB1所成夹角为60°.
∴AD1与DC1所成夹角为60°.
规律总结：(1)求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法将异面直线转化成同一平面内的直线所成的角，放到同一三角形中求解．
(2)要多角度的平移，不能局限于一个平面．变式训练2．如右下图，空间四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BC＝AD＝2EF，求直线EF与直线AD所成的角．解析：因为E是BD中点，F是AC中点，故联想三角形中位线定理，取CD中点G，将AD平移至FG，故EF与FG所成的角(∠EFG)就是平面直线EF与AD所成的角．由BC＝AD＝2EF，得EF＝EG＝FG，所以△EFG为正三角形，所以∠EFG＝60°，即EF与AD所成的角为60°.平行公理的应用 如右图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且AC与BD所成的角为90°.
求证：四边形EFGH是矩形．分析：充分利用平行线的传递性和推论3以及确定矩形的条件．
证明：证明：∵E、H分别为AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，且EH＝ BD.同理FG∥BD，且FG＝ BD，
∴EH∥FG，且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
又∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，又FG∥BD，
∴∠EFG为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
规律总结：平行公理的本质是线线平行的传递性．变式训练3．如右图所示，三棱锥A－BCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若AC＝BD，求证：四边形EFGH为菱形；
(3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？(3)当AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．
∵EF∥AC，EH∥BD，
∴∠FEH为AC、BD所成的角，即∠FEH＝90°，由(2)知，四边形EFGH为正方形．基础巩固空间两条直线之间的位置关系1．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是________．解析：首先把平面图形还原为正方体，如下图，根据图形可以很容易的看出△ABC是等边三角形．
答案：相交成60°角能力升级两直线位置关系的判断与证明7．如下图，这是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有________对．解析：还原为正方体后观察．
答案：3祝您学业有成课件67张PPT。立体几何初步 1．2 点、线、面之间的位置关系
1．2.3 直线与平面的位置关系取一块形状为平行四边形ABCD的木板，将平行四边形ABCD木板的一边AB紧靠桌面并绕AB转动，当AB的对边CD转动到任意一个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？为什么？1．一条直线和一个平面的位置关系：
(1)直线在平面内——__________________；
(2)直线和平面相交——________________；
(3)直线和平面平行——___________________.
2．直线与平面平行的判定定理
语言叙述：______，那么这条直线和这个平面平行．该定理常表述为：“线线平行，则线面平行．”符号语言：若____________，且________∥________，则l∥α.1．有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
2．如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行
l?α，m?α l m3．该定理的作用：__________.用该定理判断直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：①_________；②__________；③___________.三个条件缺一不可．
4．直线和平面平行的性质定理
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．简称为：“____________________”．
(2)符号语言：若______∥________，______，________，则l∥m.
(3)直线和平面平行的性质定理中有三个条件：①_________；②_________；③__________.这三个条件是缺一不可的条件．3．证明线面平行 直线a不在平面α内，即a?α 直线b在平面α内，即b?α 两直线a、b平行，即a∥b
4．(1)若线面平行，则线线平行
(2)l α l?β α∩β＝m
(3)直线l和平面α平行 平面α和平面β相交于直线m 直线l在平面β内5．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面a内的____________________，我们就说直线a与平面α互相垂直．
6．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，同样，____________________.
7．从平面外一点引平面的垂线，____________________，叫做这个点到这个平面的距离．5．任意一条直线都垂直
6．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
7．这个点和垂足间的距离8．直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的______，那么这条直线垂直于这个平面．
(2)符号语言：若________，________，________，________，________，则l⊥α.
9．直线和平面垂直的性质定理
(1)文字语言：如果两条直线________，那么这两条直线平行．即垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)符号语言：已知直线a，b和平面α，若________，________，那么a∥b.8．(1)两条相交直线垂直
(2)l⊥m l⊥n m∩n＝B m?α n?α
9．(1)垂直于同一个平面 (2)a⊥α b⊥α10．直线和平面相交包括________和________两种，后者叫做这个平面的斜线，其交点叫斜足，斜线上任意一点与斜足间的线段，叫做这个点到平面的斜线段．
11．直线和平面所成角：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别：①当一直线垂直于平面，所成的角是________；②当一直线平行于平面或在平面内，所成角为________角；③直线和平面所成角的范围是________；④直线和平面所成角是斜线与该平面内直线所成角的________．
12．求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)____________；(2)__________________；(3)__________________．10．直线与平面垂直 直线与平面不垂直
11．直角 0° 最小值
12．(1)找出斜线在给定平面内的射影
(2)指出并论证斜线与平面所成的角
(3)在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角直线和平面的位置关系空间的直线与平面有如下三种位置关系：(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点．为便于掌握三者间的从属关系可分类为：
同学们在学习时要借助于直线与平面的三种位置关系的画法和符号表示加强理解和掌握．判断直线在平面内的常用方法是：①公理1；②反证法．判断直线和平面相交的常用方法是：①证明直线和平面有且只有一个公共点；②反证法．直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．该定理常表述为：“线线平行，则线面平行．”数学语言为：若l?α，m?α，且l∥m，则l∥α.
这一定理告诉我们“证明线面平行的实质是证明线和平面内的一条直线平行”．请同学们谨记：线线平行和面面平行都具有传递性，但线面平行却没有传递性，即命题“a∥b，b∥α?a∥α”是假命题．
直线与平面平行的判定方法除了(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)利用公理4这三种方法外；还可利用后面将要学习的面面平行的性质，即两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和已知平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行，简称“若线面平行，则线线平行”．该定理的实质是由线面平行推出线线平行，常用于证明线线平行问题．但要谨记“线”的特殊性——是过已知直线的平面与已知平面的“交线”．虽然由线面平行，能得到线与平面内的无数条直线平行，但并不是和平面内的每一条直线都平行，若直线和平面平行，则这条直线与平面内的直线的位置关系包括平行和异面．直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
该定理是证明线面垂直的重要方法，应用时要谨记“两条相交直线”这一条件．定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．直线和平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．即垂直于同一个平面的两条直线平行．
定理的证明运用了“反证法”，同学们要在老师的指导下完成定理的证明并由此掌握反证法的使用条件及操作过程．该定理既给出了“线面垂直”和“面面垂直”之间的相互转化关系，同时也给出了证明线线平行的又一方法．因此，利用该定理即可以证明线线垂直，也可以证明线线平行．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．包括0°角、直角、锐角，因此直线和平面所成角的范围是 .求斜线与平面所成的角一般步骤：
①找出斜线在给定平面内的射影；②指出并论证斜线与平面所成的角；③在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角．直线和平面所成角是通过其相应的平面角的大小来表示的，教材中由直线与平面垂直的定义及斜线和射影来定义直线和平面所成的角，在学习直线与平面垂直的定义时要区分“任意”与“无数”两个词的不同含义，命题“如果直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直”是假命题．直线与平面的位置关系 下列命题中正确的命题的个数为________．
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．解析：对于①，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线其位置关系除了平行之外，还有
异面，如右图．正方体ABCD－A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCD，A1B1与BC的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A1B1与BC所成的角为90°，因此命题①是错误的．对于③，如右图，∵A1B1∥AB，A1D1∥AD且AD、AB?平面ABCD，A1D1、A1B1?平面ABCD，∴A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是无数多条，可以想象，经过面A1B1C1D1内一点A1的任一条直线，与平面ABCD的位置关系都是平行的．∴命题③也是错误的．对于④，我们可以继续借用正方体ABCD－A1B1C1D1来举反例，如右图，取AD、BC的中点分别为E、F，A1D1、B1C1的中点G、H，连接EFHG，∵E、F、H、G分别为AD、BC、B1C1、A1D1的中点，∴可以证明，EFHG为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A、D两个点到该截面的距离相等，且AD∩平面EFHG＝E，∴命题④也是错误的．
对于②，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直．
∴正确命题的个数只有一个．
答案：1个规律总结：正方体(或长方体)是立体几何中的一个重要的、又是最基本的模型，而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题①③④就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．变式训练1．下列说法中正确的是________．
①直线l平行于平面α内无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；
④若直线a∥b，直线b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．解析：对于①，∵直线l虽然与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α.
∴①错误．
对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行．∴②错误．
对于③，∵直线a∥b，直线b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，
∴a不一定平行于α.∴③错误．
对于④，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，
∴a能与平面α内的无数条直线平行，从而填④.
答案：④直线与平面平行的判定定理 已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，求证：平面EFG和AC平行，也和BD平行．分析：欲证明AC∥平面EFG，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC平行于平面EFG内的一条直线，由图可知，只需证明AC∥EF.
证明：如右图，连接AC、EG、EF、GF.
在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
∴AC∥EF，AC?平面EFG，EF?平面EFG.
于是AC∥平面EFG.
同理可证，BD∥平面EFG.
方法点拨：由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的程序是：①寻求两直线的平行关系；②证明这两条直线一条在平面内，另一条在平面外；③由判定定理得出结论．这个证明线面平行的步骤可概括为：过直线，作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．变式训练2．P是?ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于点O，如右图．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝OC.
连接OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线，
∴PC∥OQ.
∵PC在平面BDQ外，但OQ?平面BDQ，
∴PC∥平面BDQ.直线与平面平行的性质定理 过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.分析：本题是考查线面平行的判定定理和性质定理的应用，同时考查了同学们的空间想象能力，综合推理能力等．
证明：如右图所示，∵CC1∥BB1，
∴CC1∥平面BEE1B1(直线和平面平行的判定定理)．
又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，
∴CC1∥EE1(直线和平面平行的性质定理)．
由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1.方法点拨：(1)本题应用了两个定理和一个公理，是对所学知识的一个初步综合，利用线面平行的判定定理和性质定理，完成了平面问题和空间问题的相互转化．
(2)利用线面平行的性质定理解题的步骤：①确定(或寻找)一条直线平行一个平面；②确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；③确定交线；④由定理得出结论．变式训练3．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.证明：如右图，连接AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，则PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH.直线与平面垂直的概念 过一点与已知直线垂直的平面只有一个．
已知：点A和直线a.(如下图)
求证：过点A和直线a垂直的平面只有一个．分析：必须证明存在性和唯一性．
证明：不论点A是否在直线a上(如上图)，设过点A与直线a垂直的平面为α.如果还有一个平面β过点A且与直线a垂直，且α∩β＝l.设过点A和直线a且不过l的平面为γ，且α∩γ＝b，β∩γ＝c.
∵a⊥α，a⊥β，∴a⊥b，a⊥c.
这样在同一平面γ内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的．所以，过点A和直线 a垂直的平面只有一个．规律总结：(1)由直线与平面垂直的定义可知，“若直线a⊥平面α，则a垂直于α内任一条直线”，它也可作为定理来运用．
(2)本例的结论以及课本上例题的结论“过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条”都可作为定理来运用．
(3)反证法是证明唯一性问题的有效方法．变式训练4．给出以下结论：
①若直线a垂直平面α内的无穷多条直线，则直线a垂直平面α；②无论直线a与平面α是否垂直，a总垂直平面α内的无穷多条直线；③若直线a垂直平面α内的两条直线，则直线a垂直平面α；④若直线a垂直平面α内的所有直线，则直线a垂直平面α.
其中正确的结论为________(写出序号即可)．解析：①是错的，如果这无数条直线都是互相平行的，即使直线a垂直于这些直线，直线a也不一定垂直平面α，可能是斜交；③也是错的，也可能是与①一样的情形．
答案：②④直线与平面垂直的判定定理 如右图，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD.分析：若证AH⊥平面BCD，只需利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可．
证明：取AB中点F，连CF、DF，
∵AC＝BC，∴CF⊥AB.
又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDE，
∴AB⊥CD.
又BE⊥CD，且AB∩BE＝B，
根据直线与平面垂直的判定定理，直线CD⊥平面ABE.∴CD⊥AH.
而AH⊥BE，∵BE∩CD＝E∴AH⊥平面BCD.
方法点拨：利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的程序是：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．变式训练5．如右图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心．
求证：PH⊥平面ABC.证明：∵H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC.
∵AP⊥PB，AP⊥PC，且PB∩PC＝P，
∴AP⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AP⊥BC，AP∩AH＝A.
∴BC⊥平面APH，∴BC⊥PH.
同理，AB⊥PH.又AB∩BC＝B.
∴PH⊥平面ABC.直线与平面垂直的性质定理 设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线(与两异面直线都垂直且相交的直线)．
(1)若a，b都平行于平面α，则AB⊥α；
(2)若a，b分别垂直于平面α、β，且α∩β＝c，则AB∥c.分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系很多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c.证明：(1)如右图，在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a′，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b′.
∵a∥α，b∥α，∴a∥a′，b∥b′.
又∵AB⊥a，AB⊥b，∴AB⊥a′，AB⊥b′，∴AB⊥α.(2)如右图，过B作BB′⊥α，
则BB′∥a，∴AB⊥BB′.
又∵AB⊥b，
∴AB垂直于由b和BB′确定的平面．
∵b⊥β，∴b⊥c，
又∵BB′⊥α，∴BB′⊥c.
∴c也垂直于由BB′和b确定的平面．
故c∥AB.规律总结：由第(2)问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如本题中，通过作出辅助线BB′，构造出平面，即由相交直线b与BB′确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证得．变式训练6．如右图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1)求证：E、B、F、D1四点共面；
(2)若点G在BC上，BG＝ ，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1.证明：(1)如右图，在DD1上取点N，使DN＝1，连接EN、CN，则AE＝DN＝1，CF＝ND1＝2.
因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形．从而EN綊AD，FD1綊CN.
又因为AD綊BC，所以EN綊BC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE.
因此，E、B、F、D1四点共面．(2)如图(2)所示，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BGM＝∠CFB，BM＝BG·tan∠BGM＝BG·tan∠CFB＝
因为AE綊BM，所以四边形ABME为平行四边形，
从而AB∥EM.
又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1.直线与平面垂直的性质 如右图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.分析：本题是证线线垂直问题，可通过证线面垂直来实现．结合上图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面SBC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证．
证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，
∴SA⊥BC.
∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE.
又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF.
∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.
方法点拨：上述直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．7．如右图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，求证：OO1⊥平面ABCD.证明：证法一：连接O1A，O1C，
在正方体中，
∵AA1⊥A1B1，AA1⊥A1D1，且A1B1∩A1D1＝A1，
∴A1A⊥平面A1C1，
∵A1C1?面A1C1，
∴A1A⊥A1C1，变式训练同理CC1⊥A1C1，
又∵A1O1＝O1C1，AA1＝CC1，
∴△AA1O1≌△CC1O1，∴O1A＝O1C.
∵O为AC中点，∴OO1⊥AC.
同理OO1⊥BD，
AC∩BD＝O.
∴OO1⊥平面ABCD.证法二：在正方体中，
AA1⊥AB，AA1⊥AD，
∵AB∩AD＝A，
AA1⊥平面ABCD，
∵AA1綊BB1，BB1綊CC1，
∴AA1綊CC1
∴四边形AA1C1C为平行四边形．
又∵O、O1分别为AC、A1C1的中点，
∴OO1∥AA1，
∴OO1⊥平面ABCD.直线与平面所成的角 已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在平面α内的射影之间的距离为 ，求直线AB和平面α所成的角．分析：平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，首先应想到A、B两点与平面α所处的位置关系．A、B两点与平面α的位置不外乎有以下两种情形：(1)点A、B位于平面α的同侧； (2)点A、B位于平面α的异侧．应按这两种情形来解答直线AB与平面α所成角的大小．解析：(1)当点A、B位于平面α的同侧时，如右图所示，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1.则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ .由点A向BB1作垂线，垂足为H，则AB与平面α所成的角即为AB与AH所成的角，即∠BAH为AB和平面α所成的角．
Rt△BHA中，AH＝A1B1＝ ，BH＝BB1－AA1＝1.
∴直线AB与平面α所成的角为30°.(2)当点A、B位于平面α的异侧时，如下图所示，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1.AB与平面α相交于点C，A1B1为AB在平面α上的射影．
∴∠BCB1或∠ACA1为直线AB与平面α所成的角．
在Rt△BCB1中，BB1＝2.
在Rt△AA1C中，AA1＝1.
∵△BCB1∽△ACA1，方法点拨：(1)根据问题的具体情况，想到问题可能出现的各种情况，然后分类处理，是解好本题的关键．
(2)求斜线与平面所成的角的程序：
①作图：作(或找)出斜线在平面的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
②证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
③计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．变式训练8．如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．解析：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a，
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，
∴A1B1⊥平面BCC1B1.
∴A1B1⊥BC1.又BC1⊥B1C，
∴BC1⊥平面A1B1CD.基础巩固直线与平面平行的判定定理和性质定理1．如果点M是两条异面直线a、b外的一点，则过点M且与a、b都平行的平面________．解析：过点M分别作直线a、b的平行线，则 只有这两条相交直线确定的平面与a、b都平行，故只有一个．
答案：只有1个能力升级直线与平面平行的综合应用10．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是________．解析：当A、B在平面α同侧时，直线AB和平面α平行；当A、B在平面α异侧时，直线AB和平面α相交．
答案：平行或相交祝您学业有成课件46张PPT。立体几何初步 1．2 点、线、面之间的位置关系
1．2.4 平面与平面的位置关系木工师傅用气泡式水准仪在桌面上交叉放两次，如果水准仪的气泡都是居中的，就可以判定这个桌面和水平面平行，想一想，这是依据什么道理？
如下图，检查工件的相邻两个平面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否是和这个面密合就可以了，你知道这是为什么吗？1．两个平面之间有两种位置关系：(1)两个平面平行——__________；(2)两个平面相交——______________.
2．(1)画两个平行平面时，表示平面的平行四边形______________；
(2)画两个相交平面时，先画表示平面的平行四边形的相交两边，再画出表示两个平面相交的线段，然后在各点引同向且相等的线段，成图时注意：不可见的部分画成______________．1．(1)没有公共点 (2)有一条公共直线
2．(1)对应边平行 (2)虚线或不画3．两个平面平行的判定定理
文字语言：如果_____，那么这两个平面平行；
符号语言：若______________，则β∥α.
4．利用判定定理证明两个平面平行，必须具备的两个条件是：①______________；②______________.
5．由两个平面平行的判定定理可以得到推论：如果___________，那么这两个平面平行．即a∥a′，b∥b′，a∩b＝P，a?α，b?α，α'?β，b'?β?α∥β.3．一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面
a?β，b?β，a∥α，b∥α，a∩b＝P
4．有两条直线平行于另一个平面 这两条直线必须相交
5．一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线6．两个平面平行的性质定理
(1)文字语言：如果____________，那么所得的两条交线平行，简记为：“若面面平行，则线线平行”．
(2)符号语言：若__________________，则a∥b.
(3)若两个平面平行，则其中一个平面内的__________，简记为：“若面面平行，则线面平行”．用符号表示是：若______________，则______________．
(4)若两个平面平行，则夹在两个平行平面间的____．(1)两个平行平面同时和第三个平面相交
(2)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
(3)任一直线必平行于另一个平面α∥β，a?α a∥β
(4)平行线段长度相等7．________________________叫做这两个平行平面的公垂线；__________________叫做这两个平行平面的公垂线段；______________叫做这两个平行平面的距离．
8．二面角的概念：_____的图形叫二面角．7．与两个平行平面都垂直的直线 公垂线夹在这两个平行平面间的线段 公垂线段的长度
8．一条直线和由这条直线出发的两个半平面所成9．(1)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作_______叫做二面角α－l－β的平面角．二面角的范围是________，其中当两个半平面重合时，平面角为0°；当两个半平面合成一个平面时，平面角为180°.
(2)作出二面角的平面角时应抓住三个要素：①______；②______________；③______________.
(3)求二面角的平面角的大小步骤是：①__________；②______________；③______________.(1)垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB [0°，180°] (2)确定二面角的棱上一点 经过这点分别在两个面内引射线 所引的射线都垂直于棱
(3)作出(或找出)二面角的平面角 证明这个角是二面角的平面角 作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角10．两平面垂直的判定定理
(1)文字语言：如果一个平面经过另一个平面的______________，那么这两个平面互相垂直．简称：若线面垂直，则面面垂直．
(2)符号语言：若____________________，则α⊥β.(1)一条垂线
(2)直线AB?平面α，AB⊥平面β，垂足为B11．两个平面垂直的性质定理
(1)文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内______________的直线垂直于另一个平面．
(2)符号语言：若____________________．则AB⊥β.
(3)该定理成立的条件：①______________；②______________，这两个条件缺一不可．(1)垂直于它们交线
(2)平面α⊥β，α∩β＝CD，AB?α且AB⊥CD于B
(3)线在平面内 垂直于交线的直线两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
该定理是证明两个平面平行的重要方法，定理告诉我们“欲证明两个平面平行只需证明一个平面内的两条相交直线同时与另一个平面平行即可，而证明线面平行只需要证明线线平行”，其证明思路为：线线平行?线面平行?面面平行．同学们要注意在面面平行的证明中要善于和线线平行、线面平行的概念、判定进行类比总结，要特别注意转化思想的灵活应用．两个平面平行的判定定理的推论是：
(1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．用数学符号表示为a∥a′，b∥b′，a∩b＝P，a?α，b?α，a′?β，b′?β?α∥β；
(2)如果两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行．简称“若面面平行，则线线平行”．
该定理给出了两个平行平面所具备的性质，是证明线线平行和线面平行的重要依据．结合线面平行的判定定理我们可以得出两个平面平行的另一条性质，即“若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面”，“两个平行平面内的所有直线并不一定相互平行，也可能是异面．”这一点同学们要谨记．二面角的平面角在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角．二面角的范围是[0°，180°]．
二面角大小的度量方法是通过二面角的平面角来表示的，应当特别指出的是∠AOB的特征是：①“OA⊥l，OB⊥l”；②∠AOB的大小与点O在l上的位置无关．两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为直线与平面垂直的问题进而转化为线线垂直的问题．定理体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”互相转化的数学思想．另外，利用定义证明两平面垂直也是一种常用的方法，即通过计算给出证明．两个平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
从性质定理可以看出，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直．而由判定定理可以看出，由直线与平面垂直可以得到平面与平面垂直其转化关系可表示为：这种相互转化关系是解决空间图形问题的重要思想方法．该定理也可以视为直线和平面垂直的判定定理，运用该性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直．判定两平面的位置关系 在以下四个命题中，正确的命题是_______．
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；
③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；
④平面α内的两条相交直线和平面β内的两条相交直线分别平行，则α与β平行．分析：需要对四个命题一一作出真假判断，而判断时要应用两个平面平行的定义，因此要严格对照定义，不满足定义的则应从反面进行思考，即举反例进行判断．
解析：如下图(1)，正方体ABCD－A1B1C1D1中对于①平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E、F，连EF，则知EF∥平面A1B1C1D1但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错．对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1中的面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行而是相交于直线A1D1，故②是错的．
对于③，如上图(2)，平面α∩平面β＝l，△ABC?平面α，A、B、C三点到平面β的距离有可能相等，但α与β不平行，故③是错的．对于④，命题是正确的，故填④.
规律总结：利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系的有关命题的真假，因此我们要善于灵活地运用这个“百宝箱”来判定两个平面的位置关系．另外像判定直线与直线、直线与平面位置关系一样，反证法也是判定两个平面位置关系的有效方法，特别是在刚刚接触它时．变式训练1．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是________．解析：如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形．
答案：平行或相交两平面平行的判定 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.分析：有两种方法可行。①由于M、N、P都为中点，故添加B1C、B1D1作为联系的桥梁．②易证AC1⊥平面PMN.
答案：证法一：如图(1)，连接B1D1、B1C.
∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN?面A1BD，
∴PN∥平面A1BD.
同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，
∴平面PMN∥平面A1BD.证法二：如图(2)，连接AC1、AC.
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴AC⊥BD.又CC1⊥面ABCD，
∴AC为AC1在面ABCD上的射影，
∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，
∴AC1⊥平面A1BD.
同理可证AC1⊥平面PMN，
∴平面PMN∥平面A1BD.
规律总结：本例的证明体现了证明面面平行的两种常用方法，解决此类问题的关键是选择或添加适当的辅助线(或辅助面)，使问题转化为证线面平行或线线平行．变式训练2．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点．
求证：平面DEF∥平面SAB.证明：∵EF为△SBC的中位线，
∴EF∥SB.
∵EF?平面SAB，SB?平面SAB，
∴EF∥平面SAB.
同理DF∥平面SAB，EF∩DF＝F.
∴平面SAB∥平面DEF.两平面平行的性质定理 如右图，已知两条异面直线a、b分别与三个平行平面α、β、γ相交于点A、B、C和点P、Q、R，又AR、CP与平面β分别相交于点N、M.
求证：四边形MBNQ为平行四边形．分析：要证四边形MBNQ为平行四边形，只需证明两组对边分别平行即可，而四边形的两组对边分别为两个平面的交线，可以由面面平行的性质定理解决．证明：连接AP.∵α∥β，
平面ACP∩平面α＝AP，平面ACP∩平面β＝BM，
∴BM∥AP.同理QN∥AP.
∴BM∥QN.同理可证BN∥MQ.
∴四边形MBNQ为平行四边形．规律总结：(1)通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．利用面面平行的关键是要找到过已知的直线和与已知直线平行的平面．
证明线线平行现在主要有以下几种方法：①定义法；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理以及性质定理的几个推论，在以后还将学习到线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两直线平行．
(2)利用面面平行的性质定理判定两直线平行的程序是：①先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；②判定这两个平面平行；③再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；④由定理得出结论．变式训练3．已知：如下图，平面α∥平面β，直线a、b是异面直线，a与α、β分别交于A、B两点，b与α、β分别交于C、D，E、F分别为AB、CD的中点．
求证：EF∥平面α.证明：如右图，过点E作GH∥CD，G、H分别在平面α、β内，连接GC、HD，则四边形GHDC是一个平面四边形，
∵平面GHDC∩平面α＝CG，平面GHDC∩平面β＝HD，
又α∥β，∴CG∥HD，
故四边形GHDC是平行四边形．
∵E、F分别是GH、CD的中点，
∴EF∥GC.
∵GC?α，EF?α，∴EF∥平面α.利用二面角解决相关问题 如右图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．平面与平面垂直的性质及其应用 已知：如下图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．分析：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来解．
证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC，PA?平面PAC，∴DF⊥AP.
作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.
DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．变式训练4．如下图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．证明： (1) ∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，
∴AD⊥侧面BB1C1C.
∴AD⊥CC1.
(2)延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.
∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.
∵A1C1＝A1N＝A1B1，
∴C1N⊥侧面BB1C1C.
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.基础巩固平面与平面平行的判定定理和性质定理 1．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面的位置关系可能为________．解析：过直线的平面有无数个，考虑两个面的位置要全面．
答案：平行、相交能力升级平面与平面平行的综合应用7．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．解析：分点P在两面中间和点P在两面的一侧两种情况来计算．
答案：祝您学业有成课件44张PPT。立体几何初步 1.3 空间几何体的表面积和体积
1．3.1 空间几何体的表面积在人类的生存空间中存在着各种各样的几何体，有时为了工作，需要度量几何体的表面积和体积．如对建筑物装饰时，需要知道建筑物的表面积；为了计算建筑物的容纳量需计算建筑物的体积；又如在机械制造时，为了下料需计算物体的表面积等等．例如粉碎机的下料斗是正四棱台形，(如下图所示)，它的两底面边长分别为80 mm和440 mm，高为200 mm，制造这样一个下料斗需多少铁板？1．棱柱的侧面展开图是______________的平面图形；棱锥的侧面展开图是______________的平面图形；棱台的侧面展开图是______________的平面图形．
2．______________叫做多面体的表面积(又称全面积)．特别：①S柱体＝__________(c是底周长，h是高)；② S锥体＝__________(c为底周长，h′为斜高)；③S台体＝__________(c′为上底周长，c为下底周长，h′为斜高)．3．圆柱的侧面展开图是________；圆锥的侧面展开图是________；圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的________．特别：
①S圆柱表＝2πR2＋2πRl＝________(R为底面圆的半径，l为圆柱的母线长)；
②S圆锥表＝πR2＋πRl＝________(R为底面圆的半径，l为圆锥的母线长)；
③S圆台表＝__________(R为下底面圆的半径，r为上底面圆的半径，l为圆台的母线长)．矩形 扇形 一个扇环 2πR(R＋l) πR(R＋l)
π(R2＋r2＋Rl＋rl)多面体与旋转体的侧面展开图①多面体：棱柱的侧面展开图是由平行四边形构成的平面图形；棱锥的侧面展开图是由三角形构成的平面图形；棱台的侧面展开图是由梯形构成的平面图形．
②旋转体：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的一个扇环．
特别：多面体与旋转体的侧面展开图是计算其侧面积和表面积的基础，同学们在学习中一定要借助图形来加强理解和记忆．棱柱、棱锥体、棱台的表面积我们知道表面积是侧面积与底面积的和，因此理解和记忆柱体、锥体、台体、球的表面积时，要学会将直棱柱、正棱锥、正棱台侧面展开在一个平面上，得到它们的侧面展开图；从各个侧面的多边形的几何特征上推导出公式．切忌机械化记忆公式，不能灵活运用．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式①S圆柱表＝2πR2＋2πRl＝2πR(R＋l)(R为底面圆的半径，l为圆柱的母线长)；
②S圆锥表＝πR2＋πRl＝πR(R＋l)(R为底面圆的半径，l为圆锥的母线长)；
③S圆台表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)(R为下底面圆的半径，r为上底面圆的半径，l为圆台的母线长)．
熟练掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是记忆和应用公式的关键，要谨记：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的一个扇环．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 记忆公式时要借助于球的圆进行记忆，即球面面积等于它的大圆面积的4倍，另外公式的推导中应用了“分割、求近似值、再由近似值转化为所求”的方法，这是一种重要的数学方法——割补法，同学们在学习中要深刻领会．
柱体、锥体、台体展开图的画法，沿侧面行程的距离最短问题 如下图(1)所示，三棱锥P－ABC的侧棱的长度均为1，且侧棱间的夹角均为40°，动点M在棱PB上移动，动点N在棱PC上移动，求AM＋MN＋NA的最小值．分析：求空间线段长度和的最小值问题，在很多情形下可以转化为平面几何中的最短路程问题，通常是将空间图形展开后加以处理．解析：将三棱锥P－ABC的展开成如上图(2)所示，则AM＋MN＋NA＝AN＋MN＋A1M.
又∵AN＋MN＋A1M≥AA1，
∴当A，M，N三点共线时，取到最小值．在图中，
∵∠A1PB＝∠BPC＝∠CPA＝40°.
∴在图中∠APA1＝120°.
∴在△APA1中，AA1＝ ，
∴A1M＋MN＋NA的最小值为 .规律总结：简单的多面体可以沿着它的某些棱剪开展成平面图形，同样，圆柱、圆锥及圆台也可以沿着其母线剪开展成平面图形．借助这些几何体的平面展开图，我们不仅可以计算它们的表面积而且可以讨论一些最短路线问题．变式训练1．长方体AC1的长宽高分别为5、4、3，一个能爬不能飞的小虫由长方体的表面沿顶点A到顶点C1所走的最短路程为________．分析：小虫能爬不能飞，暗示着小虫只能沿着表面行走．利用长方体的平面展开图知识进行求解．
解析：将图所示的长方体相邻两个面展开有三种情形．(注：将右侧面剪开，即剪开棱BB1、B1C1、C1C，可得图(1)．其余类同．)柱、锥、台体的表面积 如下图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．分析：本题给出的是一个复杂的空间组合体，该几何体由一个圆柱挖去一个圆锥构成．表面积为圆环、圆柱侧面积、底面圆、圆锥侧面积几个部分构成．方法点拨：这是一个组合体表面积的计算问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系． 如右图，底面为菱形的直棱柱ABCD－A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积为6和8，则棱柱侧面积为______．分析：关键是求出底面周长c和高h的值(或其乘积)．
解析：设底面边长为x，高为h，则有规律总结：解决与直棱柱侧面积有关的问题，其关键是抓住棱柱的侧面积公式；其次要注意利用直观图形的形象直观的分析问题，要注意方程思想、“设而不求”等思想方法的灵活运用．变式训练 已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，如右图，求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位： cm2)分析：利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式．
解析：正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.规律总结：求正棱锥的侧面积关键是求侧面等腰三角形的高(称为斜高)，这就需要充分利用棱锥的高、边心距(底面中心到各边的距离)和斜高所构成的直角三角形来求解．变式训练3．设三棱锥S－ABC的三个侧棱与底面ABC所成角都是60°，又∠BAC＝60°，且SA⊥BC.
(1)求证：S－ABC是正三棱锥；
(2)若SA＝a，求S－ABC的全面积．证明：(1)如右图所示作三棱锥S－ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D.
∵SA⊥BC，
∴AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心．
OD为BC的垂直平分线，
∴AB＝AC.∴OB＝OC，又OD⊥BC，∠BAC＝60°，故△ABC为正三角形，且O为其中心，所以S－ABC为正三棱锥． 一个正四棱台两底面边长分别为m、n，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为______．分析：利用直角梯形，转化成直角三角形，结合面积公式求解．
解析：如右图，设O1、O分别为棱台上、下底面中心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1，规律总结：在正四棱台中有两个直角梯形值得注意：一是O1OMM1，二是O1OBB1.它们都可以转化成直角三角形，利用三角形知识求解．变式训练4．正四棱台上、下底面边长为6和12，高为3 ，求该四棱台的全面积．如下图，设上底面的中心为O1，下底面的中心为O. 设圆锥底面半径为R，高为h，求其内接圆柱的侧面积的最大值．分析：圆锥、圆柱都是旋转体，为此，先作它们的轴截面(见下图)．
∵PO＝h，AO＝OB＝R，设GD＝OF＝r，CE＝DF＝h′.
则S侧＝2πrh′，这是含有两个变量r、h′的函数，为此，要找出r与h′的关系，设∠OPB＝α，规律总结：解决与圆柱、圆锥、圆台的侧面积有关的问题，既要熟练掌握它的侧面面积公式，更要注意作出它们的轴截面，将立体问题转化为平面问题．变式训练5．把底面半径为8 cm的圆锥，放倒在平面内，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点O滚动，当这个圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________，表面积等于________．解析：设圆锥的母线长为l，依题意：2πl＝2.5×2π×8，∴l＝20 cm.S表面积＝S底＋S侧＝π×82＋8π×20＝224π cm2.
答案：20 cm 224π cm2球的截面的有关计算 在表面积为2500π cm2的球内有两个平行截面，其面积分别为49π cm2和400π cm2，球面在这两个平行截面间的部分叫球带，求这个球带的表面积S.分析：这是一个新定义型的题目，通过题目告诉的条件，需要注意两个平行截面的位置关系．在球中，两个平行截面，其面积分别为49π cm2和400π cm2有两种情况：①当球心在两截面之外；②当球心夹在两截面之间．分别讨论可得．解析：①当球心在两截面之外时(如图(1))，过球心O作垂直于两个平行截面的大圆，其直径MN和两个截面分别相交于C1、C，AB、A1B1是两个平行截面的直径，则C1、C是两截面的圆心．则由已知，得②当球心夹在两截面之间时(如图(2))，
CC1＝OC1＋OC＝39 cm，
∴S球带＝2πR·CM－2πR·C1M
＝2πR·CC1＝1950π cm2.
综合①②，所得球带表面积为450π cm2或1950π cm2.
方法点拨：本题的分类讨论很重要，另外求球带的面积时用到了S球冠＝2πRh(h为球冠的高，R为球的半径)，球与其他几何体的切接问题“要仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面”，以使空间问题平面化．变式训练6．用一张a×b的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积(接头忽略不计)是多少？解析：基础巩固棱柱、棱锥、棱台的表面积1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为________．能力升级几何体表面积公式的综合应用9．如下图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如下图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为________．祝您学业有成课件39张PPT。立体几何初步 1.3 空间几何体的表面积和体积
1．3.2 空间几何体的体积 空间几何体的度量是几何研究的重要内容之一，在生活中有着重要应用的是度量几何体的表面积和体积，如右图，在一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？在实际操作中如何解答呢？1．几何体的体积是几何体占有空间部分的大小，其主要性质有：①完全相同的几何体的体积________；②体积相等的几何体叫________；③两个等积体的几何体的形状________相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积________．
2．①棱柱的体积公式：V柱体＝_______(S为底面面积，h为柱体的高)；
②棱锥的体积公式：V锥体＝_________(S为底面面积，h为棱锥的高)；
③台体的体积公式：V台体＝________(S′、S为两底面面积，h为台体的高)．3．①圆柱的体积公式：V柱体＝________(R为底面圆的半径，h为圆柱的高)；
②圆锥的体积公式：V圆锥体＝________(R为底面圆的半径，h为圆锥的高)；
③圆台体的体积公式：V圆台体＝______(r、R为两底面圆半径，h为台体的高)．
4．球的体积公式：V球＝____(R为球半径)，表面积公式为：S球＝______.棱、锥、台和球的体积公式祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”是推出以上公式的基础，由此我们不难概括出多面体和旋转体的体积性质：
①完全相同的几何体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个等积体的几何体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积相等，等积转化是今后求相关几何体的体积的重要策略．
对于柱、锥、台的体积公式可以从它们间的转化关系上加强记忆：对于球体的体积公式可以类比锥体的体积公式形象地记忆为 (4πR2)·R.柱体的体积 棱柱ABC－A′B′C′的侧面AA′C′C的面积为S，且这侧面与它相对的侧棱BB′之间的距离为a，求这棱柱的体积．分析：此题若直接求底ABC的面积及其上的高，将是困难的，能否考虑采取补充或截割的办法，以已知面积的侧面为底来解呢？如右图设法补上一个与原三棱柱全等的三棱柱，成为一个平行六面体，再将面AA′C′C看作底求出．解析：如右图过侧棱BB′、CC′分别作侧面AC′、AB′的平行平面，DD′是交线；再伸展两底面，得到平行六面体ABDC－A′B′D′C′.
∵侧面AA′C′C的面积为S，设此面为底面，则平行六面体BDD′B－ACC′A′的高为a.规律总结：这里几何体虽然是柱体，但在已知条件下不易求体积，此解法中将三棱柱补成平行六面体后便于求体积，要认真领会．锥体的体积 如右图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P－ABC的体积V.规律总结：锥体的高实质上是与锥体底面垂直的线段，由前面知识可知，只要一条直线与一个平面的两条相交直线垂直，则它就与这个平面垂直．本例中，由于PA⊥PB且PA⊥PC，而PB与PC相交于点P，所以PA垂直平面PBC，即PA为三棱锥A－PBC的高，从而顺利地求出其体积．
本例中，不是先求出以ABC为底面的三棱锥的高，而是把它转化为三棱锥A－PBC的高，这种方法的依据是：三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当做底面来处理．这一方法叫做体积转移法(或称等积法)，随着知识的增多，它的应用越来越广，因此必须熟练掌握．变式训练1．已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．解析·：台体的体积 三棱台ABC－A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为________．解析：如右图，三棱锥A1－ABC的顶点看做A1，底面看做ABC；三棱锥C－A1B1C1的顶点看做C，底面看做A1B1C1；三棱锥B－A1B1C可看做棱台减去两个三棱锥A1－ABC和C－A1B1C1后剩余的几何体，分别求几何体的体积，然后相比即可．规律总结：(1)求台体体积的常用方法有三：一是利用台体的体积公式来求解，这就需要知道台体的上、下底面积和高；二是抓住台体是由锥体截割而来的这一特征，把它还原成锥体，利用锥体体积公式来求其台体的体积；三是利用割补法来求其体积．(如本例)
(2)三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积，在立体几何中，割补法是重要的思想方法．变式训练2．已知一正四棱台的上底边长为4 cm，下底边长为8 cm，高为3 cm，求其体积．解析：球体的体积 三个球的半径之比是1：2：3，求证：最大球的体积等于其他两个球体积和的三倍．分析：由三个球的半径之比为1：2：3，可设三个球半径分别为r、2r和3r，则三个球的体积都可以表示成r的代数式，然后再研究它们体积的数量关系．规律总结：解决球的体积问题，首先要熟练掌握球的体积公式，它可以想象成以球的半径为半径，球的直径为高的圆柱的体积的三分之二．在求球的体积时，其关键是求球的半径．变式训练3．一平面截一球得直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是________．球的表面积 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．分析：要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的轴截面(过球的直径的球的平面)．
解析：如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：规律总结：球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．变式训练4．用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆半径为r1＝24 cm，r2＝15 cm，两截面间的距离为d＝27 cm，求球的表面积．解析：显然，两平行平面所截得的两截面圆应在球心的异侧，设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A1B1、A2B2，上述大圆垂直于A1B1的直径交A1B1、A2B2于O1、O2，如下图所示．有关组合体的表面积和体积求体积为V的正方体的外接球的表面积和体积．分析：如右图所示，显然正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的截面，则其截面为圆内一正方形(正方形的各顶点均在内，而不是在圆上)．因此这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系．注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即可．解析：如上图，过正方体的对角面ACC1A1作球的截面，则球心为AC1的中点，设正方体的棱长为x，则规律总结：正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图，平时学习时最好是自己动手做实物模型，由模型作出相应的轴截面即可．变式训练5．如右图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝ ，EF与面AC的距离为2，求该多面体的体积．分析：这个多面体是一个不规则的图形，其形状犹如木工常用的木楔，立体几何中把这种几何体称为楔体，所以必须运用割补的方法，将其化归为棱柱或棱锥进行体积计算．方法点拨：(1)本题充分结合图形的特征，强化割补的思想方法，考查多面体体积的计算以及空间想象能力和运算能力．
(2)某些立体几何问题，如果直接根据原有的图形解题困难时，那么不妨将此图形巧妙地分割或补形，转化为我们熟悉的柱、锥等比较规则的或易于研究的几何体来处理，从而实现化繁为简、化难为易，便于解决问题．
(3)等积转化，亦称等积变换，通常是指用不同的方式求同一几何体的体积(或同一平面图形的面积)．基础巩固棱柱、棱锥和棱台的体积2．已知高为3的直棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B1－ABC的体积为________．能力升级多面体体积的综合应用10．在三棱锥A－BCD中，P、Q分别在棱AC、BD上，连接AQ、CQ、BP、PQ，若三棱锥A－BPQ、B－CPQ、C－DPQ的体积分别为6、2、8，则三棱锥A－BCD的体积为________．解析：如右图，
VA－BPQ：VB－CPQ＝6：2，
VB－APQ：VB－CPQ＝S△APQ ：S△CPQ＝6：2，
类似地VA－DPQ：VC－DPQ＝VD－APQ：VD－CPQ
＝S△APQ：S△CPQ＝6：2.
其中VC－DPQ＝8.∴VA－DPQ：8＝6：2，
∴VA－DPQ＝24，∴VA－BDC＝6＋2＋8＋24＝40.
答案：40祝您学业有成课件24张PPT。2．1 直线与方程
2．1.1 直线的斜率平面解析几何初步 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度．如右图，沿着这条道
路从A点前进到B点，在水平方向前
进的距离为AD，竖直方向上升的高
度为DB(如果是下降，则DB的值为
负实数)，则坡度 坡度k＞0表示这段道路是上坡，k值越大上坡越陡，如果k太大，车辆就爬不上去，还容易出事故；k＝0表示是平路；k＜0表示下坡，|k|值越大说明下坡越陡，|k|太大同样也容易出事故．因此在道路规划铺设时必须充分考虑这一点，那么，如何设计道路的坡度，才能避免事故发生？这就是我们下面所要学习的内容．1．当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，__________的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°.故α取值范围是__________．
2．我们将一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值tanα，称为__________，通常用k表示．即k＝tanα.由定义知，倾斜角为90°的直线__________．
3．求直线斜率的两种常用方法是：(1)定义k＝tanα (α≠90°)；(2)斜率公式__________．4．平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角α__________；倾斜程度不同的直线，其倾斜角α不相等．因此，我们可用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的__________．
5．在平面直角坐标系中，已知直线上的一个定点__________确定一条直线的位置．同样，已知直线的倾斜角α，__________确定一条直线．但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角________一条直线．因此，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点和它的倾斜角，二者缺一不可．4．相等 倾斜程度
5．不能 也不能 可以唯一确定6．倾斜角不等于90°的直线都有斜率，而且倾斜角不同，直线的斜率也__________．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．
7．任何一条直线都有__________的倾斜角，但是任何一条直线并不是都存在斜率．
8．若直线l的方程为y＝x·tanα＋2，则直线的斜率是__________，但α__________直线l的倾斜角．6．不同
7．唯一
8.tan α 不一定是直线的斜率公式经过两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的直线的斜率公式：k＝ ，其适用范围是x1≠x2.
①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示，比利用几何法由倾斜角求斜率更方便．
②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．
③如果y2＝y1(x1≠x2)，则直线与x轴平行或重合，k＝0；如果x1＝x2，y1≠y2，则直线与x轴垂直，倾斜角α＝90°，斜率k不存在．直线的倾斜角和斜率的概念(1)直线的倾斜角的定义分为两个部分：一是与x轴相交的直线，其倾斜角是用旋转角来定义的；二是与x轴平行和重合的直线，其倾斜角是规定的．
关于与x轴相交的直线的倾斜角的理解，要抓住3个要素：
①将x轴绕着交点旋转到和直线重合；
②按逆时针方向旋转；
③α为最小正角．(2)平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角α，其范围是0°≤α＜180°，倾斜角是一个几何概念，它直观地表示了直线相对x轴正方向的倾斜程度．
(3)直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。倾斜角不是90°的直线都有斜率，当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时直线垂直于x轴，斜率k＝tanα(α≠90°)表示直线相对于x轴的倾斜程度．求直线的斜率 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1)(1，－1)，(－3,2)；
(2)(1，－2)，(5，－2)；
(3)(3,4)，(－2，－5)；
(4)(3,0)，(3， )．规律总结：在应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点连线必与x轴垂直，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率，事实上此时，若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在．其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标．变式训练1．已知直线l1过点A(3,6)，B(－1,2)，直线l2过点C(1，－1)，D(0,3)，则kl1＝__________，kl2＝__________，直线__________更陡一些． 1
－4 l2.求直线的倾斜角 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为__________．分析：解答此题应紧扣直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，还需注意与x轴相交的直线的倾斜角不能为0°.解析：倾斜角的范围是[0°，180°)，因此，只有当α＋45°∈[0°，180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如上图)．∴应填：当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°.
规律总结：注意直线的倾斜角α的取值范围是：
0°≤α＜180°，其中直线与x轴平行或重合时 α＝0°.变式训练2．在下图中，α能表示直线l的倾斜角的是__________．(填上所有正确图形的序号)解析：由直线倾斜角的概念可知，①③中的α为直线l的倾斜角．故填①③.
答案：①③直线倾斜角与斜率的关系 如右图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1、l2的斜率．规律总结：(1)本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线l1与l2的倾斜角之间的关系是解题的关键．
(2)公式tan(180°－α)＝－tan α是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切．由这个公式可知，若α为直线l的倾斜角，k为直线l的斜率，则有：0°＜α＜90°?k＞0；90°＜α＜180°?k＜0；α＝0?k＝0；α＝90°?k不存在．
(3)当已知α的一个三角函数值求tan α时还要注意0°≤α＜180°.基础巩固直线的斜率1．经过点M(1，－2)，N(－2,1)的直线的斜率是__________．能力升级直线的斜率与倾斜角的关系应用10．直线l经过第二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则kcos α__________0.解析：∵直线l过第二、三、四象限，∴倾斜角α为钝角，
∴cos α＜0，tan α＜0，∴kcos α＝tan α·cos α＞0.
答案：＞祝您学业有成课件49张PPT。2．1 直线与方程
2．1.2 直线的方程 平面解析几何初步 飞逝的流星形成一条美丽的弧线，这条弧线可近似看做是什么图形呢？若在平面直角坐标系中，能否确定出它的位置呢？如何确定呢？平面几何中两点确定唯一的一条直线，在平面直角坐标系内若确定一条直线，应知道哪些条件？你有几种确定方法？1．一般地，如果一条直线l上_________________，且__________________，我们就把这个方程称为直线l的方程．
2．如果直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k.设点P(x，y)是直线l上的任意一点，据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，k＝，即__________(1)，我们称(1)式的方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．1．任一点的坐标(x，y)都满足一个方程 满足该方程的每一个实数对(x，y)所确定的点都在直线l上
2．y－y0＝k(x－x0)3．直线的点斜式方程只适用于斜率存在的直线，不能表示____________________．当直线的倾斜角为0°时，由y－y0＝0得____________________；当直线的倾斜角为90°时，此时直线的斜率不存在，直线与y轴平行或重合，其方程不能用点斜式表示．因为直线上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是__________．
4．经过点P(x0，y0)的直线有__________条，它们可分为两类：(1)斜率存在的直线，方程为__________，(2)斜率不存在的直线，方程为__________．3．垂直于x轴的直线 y＝y0 x－x0＝0或x＝x0
4．无数 y－y0＝k(x－x0) x＝x05．如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则该直线的点斜式方程为__________，将该方程化简得__________，即为直线l的斜截式方程．
6．我们把直线l：y＝kx＋b与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做__________．
7．若一条直线l的方程能写成点斜式或斜截式，则直线l必满足条件：直线l不与x轴垂直，即直线l的斜率存在．这就是说：______________________________.5．y－b＝k(x－0) y＝kx＋b
6．直线l在y轴上的截距
7．直线的点斜式方程和斜截式方程都是在斜率存在的前提下才能使用8．已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中(x1≠x2，y1≠y2)，由点斜式可得直线的方程为________，当y1≠y2时，方程可以写成________________，我们称其为直线的两点式方程，简称两点式．
9．若直线l与x轴的交点A(a,0)，与y轴的交点B(0，b)，其中a≠0，b≠0，称__________为直线的截距式方程，其中l与x轴、y轴的截距分别为__________．10．如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
(1)若x1＝x2，则直线l与x轴垂直，此时直线l的方程为__；
(2)若y1＝y2，则直线l与y轴垂直，此时直线l的方程为__；
(3)若x1≠x2，y1≠y2，则直线l方程为__________．
11．(1)当_________时，直线方程不能用两点式．
(2)直线的截距式方程＋＝1中，a≠0，b≠0，因此直线l的截距式方程不能表示__________的直线，也不能表示平行于坐标轴的直线．12．关于x和y的一次方程_________表示一条直线．我们把方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)叫做直线方程的一般式．若A＝0，则_______，_______；若B＝0，则_______，_____；若A，B全不为0，________.
13．(1)一般式化斜截式的步骤：①移项By＝______；②当B≠0时，得y＝_____.
(2)一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边Ax＋By＝__________；②当C≠0时，方程两边同除以－C，得__________，即＋＝1.14．(1)直线方程的一般式可以表示__________；
(2)点斜式、斜截式、两点式、截距式都可化为__________，但是直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都不能完全表示__________；
(3)一般式__________都能化为点斜式、斜截式、两点式或截距式．(1)任何一条直线
(2)一般式 任一条直线
(3)不一定直线的点斜式方程若直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．
同学们在学习中要注意以下三点：①点斜式方程y－y0＝k(x－x0)是由k＝ 变形而得到的，但二者是有区别的，其区别是前者包括点(x0，y0)，而后者不包括点(x0，y0)，即后者的轨迹上比前者的轨迹上多了一个点．②该直线方程不能够表示经过点P0(x0，y0)且垂直于x轴的直线x＝x0，因此，使用点斜式方程求直线方程时必须以直线的斜率存在为前提，这一点同学们一定要谨记；③直线方程的斜截式y＝kx＋b表示斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)的直线，该方程是由点斜式方程y－y0＝k(x－x0)变形得到的，是点斜式方程的一种特殊情形，它与一次函数是统一的．斜截式方程y＝kx＋b的几何意义是：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．直线的两点式方程直线方程的一般式直线方程的一般式为：Ax＋By＋C＝0(其中A、B不全为0)．
直线方程的一般式是由前面所学习的四种直线方程的形式概括形成的，它克服以点斜式、斜截式、两点式、截距式四种“特殊式”的局限性．由于直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0(其中A、B不全为0)是关于x、y的二元一次方程，因此平面上的直线与二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不全为零)是一一对应的．由于直线方程的一般式可以表示任何一条直线，故点斜式、斜截式、两点式、截距式都可化为一般式．但是由于直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都不能表示任一条直线，故一般式不一定能化为点斜式、斜截式、两点式、截距式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式各有特点，分别适用于不同条件下的直线．直线的点斜式方程 根据条件写出下列直线的方程：
(1)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°；
(2)经过点C(4,2)，倾斜角为90°；
(3)经过坐标原点，倾斜角为60°；
(4)在y轴上的截距为－5，倾斜角为120°.解析：根据倾斜角求出直线的斜率，再根据点斜式求出直线的方程．
答案：(1)由题意知，直线的斜率为－1，所以直线方程为y－4＝－(x＋1)．
(2)由题意知，直线垂直于x轴，所以直线的方程为x＝4.
(3)由题意知，直线的斜率为 ，所以直线的方程为y＝ x.
(4)由题意知，直线的斜率为tan120°＝－tan60°＝－ ，所以直线的方程为y＝－ x－5.规律总结：利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率k是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标；③代入公式．变式训练1．已知直线l过点(1,0)，且与直线y＝ (x－1)的夹角为30°，求直线l的方程．直线两点式方程的应用 已知三角形的三个顶点A(－2,2)，B(3,2)，C(3,0)，求这个三角形的三边所在的直线方程以及AC边上的高线所在的直线方程．分析：已知两点坐标，故可根据两点式直接求得方程，要注意斜率为0和斜率不存在的情况．整理可得2x＋5y－6＝0，这就是所求直线AC的方程．
直线AB经过A(－2,2)，B(3,2)，由于其纵坐标相等，可知其方程为y＝2.
直线BC经过B(3,2)，C(3,0)，由于其横坐标相等，可知其方程为x＝3.
由于A(－2,2)，C(3,0)，规律总结：已知直线上两点坐标，应检验两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，本题也可用点斜式方程或斜截式方程求解．变式训练2．三角形的顶点A(5,0)，B(3,3)，C(0,2)，求这个三角形三边所在直线的方程．解析：利用两点式求解，但要注意隐含条件．
答案：∵直线AB过点A(5,0)，B(3,3)，
化简整理得3x＋2y－15＝0，这就是直线AB的方程．
同理可得直线BC的方程x－3y＋6＝0，直线AC的方程为2x＋5y－10＝0. 已知直线经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．直线截距式方程的应用解析：直线在两坐标轴的截距相等分截距为0和不为0两种情况．答案：设直线l在两坐标轴上的截距均为a.
(1)若a＝0，则直线l过原点，此时l的方程为：
2x＋3y＝0；规律总结：对于该题，容易产生如下的错误解法：
错解一：由于直线l的截距相等，故直线l的斜率为±1.
若k＝1，则直线方程为：y＋2＝x－3，即为x－y－5＝0；
若k＝－1，则直线方程为：y＋2＝－(x－3)，即为x＋y－1＝0.错解二：由题意，直线在两坐标轴上的截距相等，可设直线的方程为： 由于直线过点(3，－2)，则有 所以a＝1.即所求的方程为x＋y－1＝0.
在上述两种错解中，错解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0，当k＝1时，直线x－y－5＝0在两轴上的截距分别为5和－5，它们是不相等的．另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形；错解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解．变式训练3．过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，求直线的方程．解析：求直线的一般式方程 根据下列条件求解直线的一般式方程：
(1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)；
(2)斜率为 ，且在y轴上的截距为4；
(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；
(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.规律总结：利用直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式求解直线的方程时，一定要注意每种方程的适用范围，要注意对斜率是否存在，截距是否为0进行分类讨论，将最后的方程形式转化为一般式．变式训练4．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是 ，且经过点A(5,3)；
(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.直线方程各种形式的灵活运用 已知定直线l：y＝4x和定点P(6,4)，点Q为第一象限内的点且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于M，求当△OMQ的面积最小时Q点的坐标．分析：因为点在直线上，所以设点的坐标，
把面积表示成关于某未知量的函数关系式．
解析：如图，因为Q点在y＝4x上，
故可设Q点坐标为(t,4t)， 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．规律总结：由于截距可以为零，原点不属于任何象限，所以本例求解时，一定要进行讨论，否则将出现漏解的错误．注意第(2)问中对直线过原点的情况也要讨论．变式训练5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2＋2m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，求m的值．6．已知直线(3a－1)x－(a－2)y－1＝0不经过第二象限，求a的取值范围．解析：基础巩固直线方程的点斜式1．方程y＝k(x－2)表示经过点__________且__________的一切直线．解析：直线的点斜式方程表示过定点且斜率存在的一切直线．
答案：(2,0) 不垂直于x轴能力升级直线方程几种形式的互化8．过点A(3，－1)，B(5,4)的直线方程的两点式为__________，化成一般式为__________，化为截距式为__________，斜截式为__________．祝您学业有成课件34张PPT。2．1 直线与方程
2．1.3 两条直线的平行与垂直 平面解析几何初步 如图，在平面四边形ABCD中，由∠A＋∠B＝90°＋90°＝180°可知AD∥BC，因为∠B＝90°，可知AB⊥BC；还可由∠A＝90°，得到AD⊥AB，依据“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”得到AD∥BC.在平面几何中，我们可依据几何图形的性质来证明直线相交、平行、重合或垂直．
那么，在解析几何中，又如何证明
或判断直线的这些关系呢？1．通过初中的学习我们知道“两直线平行，则两直线的倾斜角相等”，同样，两条直线平行，如果它们的_____，则它们的______．反之也成立，即：已知直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2?______，且b1≠b2.这个结论成立的前提是两条直线______．特别，若两不重合直线的斜率不存在，由于它们的倾斜角都是_____，所以它们______．
2．当直线l1，l2都垂直于x轴且不重合时，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，可推得：__________，因此，两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1和l2的斜率都__________或__________且b1≠b2.1．斜率都存在 斜率相等 k1＝k2 不重合并且斜率都存在 90° 互相平行
2．l1∥l2 不存在 k1＝k23．两直线的斜率都存在时，若两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝______，反之也成立，即：l1⊥l2 ?k1k2＝－1，特别，若两直线中一条直线的斜率为零，另一条直线的斜率不存在，则这两直线一定________．
4．两条直线l1，l2，若一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0，则两条直线__________．这样，两条直线垂直的判定的一般结论就是：一条直线的斜率__________，同时另一条斜率为__________或k1k2＝__________.3．－1 互相垂直
4．垂直 不存在 0 －1两条直线平行与垂直的判定设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则
①两条直线平行的条件为：l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；
②两条直线垂直的条件为：l1⊥l2?k1k2＝－1；
③两条直线l1与l2重合?k1＝k2且b1＝b2.
以上给出了已知直线的斜截式方程条件下判定两条直线位置关系的又一常用方法．判断方法仅适用于两条直线都有斜率的直线．同学们要特别谨记：同时平行于同一坐标轴的两条直线互相平行，分别平行于两坐标轴的两条直线互相垂直．两直线平行 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过C(3，－3)，
D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过M(1， )，N(－2， －2 )；
(3)l1平行于y轴，l2经过P(0，－2)，Q(0,5)；
(4)l1经过E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过G(3,4)，H(2,3)．分析：根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况．
解析：(1)由题意知，
因为k1＝k2且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.规律总结：(1)判断两直线的平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等．课本中的条件只有在斜率都存在的情况下才可使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．
(2)判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件：同位角相等，则两直线平行．
(3)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合(如第(4)题)．变式训练1．判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3), N(2,0)；
(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．解析：两直线垂直 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．分析：两直线斜率都存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.据题目所给条件表示出k1，k2，进而求出a的值．规律总结：由C，D两点的横坐标可知l2的斜率一定存在，由A，B两点的横坐标可知l1的斜率可能存在也可能不存在，因此应注意a的取值范围的讨论．
(1)由l1∥l2比较k1，k2时，应首先考虑斜率是否存在．当k1＝k2时，还应排除两直线重合的情况．
(2)由l1⊥l2比较k2，k1时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0.变式训练2．判断下列各题中直线l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M (－2，－1)，N(2,1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．平行与垂直的综合运用 已知四边形ABCD的顶点为A(2,2＋2)， B(－2,2)，C(0,2－2)，D(4,2)，求证四边形ABCD为矩形．分析：证明四边形为矩形有两种方法，一是首先证明四边形是平行四边形，再证明有一对邻边互相垂直；二是直接证明四组邻边都互相垂直．规律总结：(1)很多时候我们都可以结合平行和垂直的充要条件确定多边形的形状，也可以由多边形的形状得到斜率之间的关系，最终求得多边形各顶点坐标．
(2)利用斜率判断三角形及四边形形状，首先要由各顶点坐标求出各边所在直线的斜率，再由斜率判断边与边的关系进而确定四边形形状． 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的方程使
(1)l′与l平行，且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4.分析：利用一般式下两直线平行与垂直的条件，求解出未知直线的斜率，然后根据所给条件求出直线的方程．规律总结：(1)一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A，B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0，这是常采用的解题技巧．我们称Ax＋By＋m＝0是与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程，参数m可以取m≠C的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax＋By＋C＝0平行的平行线系．当m＝C时，Ax＋By＋m＝0与Ax＋By＋C＝0重合．
(2)一般地，经过点A(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.(3)类似地有：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋m＝0(A，B不同时为零)．
(4)求解有关直线与坐标轴围成的三角形面积问题，我们可以设直线的截距式方程，直接利用截距写出三角形的面积，也可以利用设直线的其他形式的方程，求解出与坐标轴的交点坐标，然后写出三角形的面积．变式训练3．已知四边形ABCD的顶点为A(m，n)，B(6,1)，C(3,3)，D(2,5)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．基础巩固两条直线平行1．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为__________．能力升级平行与垂直的简单应用9．在直角坐标平面内有两个点A(4,2)，B(1，－2)，在x轴上有点C，使∠ACB＝ ，则点C的坐标是__________．祝您学业有成课件23张PPT。2．1 直线与方程
2．1.4 两条直线的交点 平面解析几何初步 如下图，在平面方格纸上有个上村庄A、B、C、D.现在要在相对的村庄所在直线的交线上建造一水厂M向四个村庄供水，则水厂应当建在什么地方？1．若直线l：Ax＋By＋C＝0，点A(a，b)，若点A在直线l上，则a、b的关系为__________．
2．在同一个平面内，两条直线有三种位置关系：____.相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解也有三种情况：______.设两条直线的方程l1：Ax1＋By1＋C＝0，l2：Ax2＋By2＋C＝0，则这两条直线的方程所组成的方程组为
①若方程组①无解，则两直线l1，l2______，反之也成立；若方程组①有无穷多解，则直线l1，l2_____，反之也成立；若方程组①有唯一解，则两直线______，该解组成的有序实数对就是两条直线的________．
3．用代数法求两条直线的交点坐标的基本思路就是：首先写出由两条直线的方程所组成的方程组；然后_____求出方程组的解；最后写出两条直线的______．1．Aa＋Bb＋C＝0
2．相交、平行、重合 有唯一解、无解、有无穷多解平行 重合 相交 交点坐标
3．解方程组 交点坐标该判断方法充分体现了直线交点的个数与相应二元一次方程组解的个数之间的一一对应关系，求两直线交点的一般步骤是：
①写出由两条直线的方程所组成的联立方程组；
②解方程组求出方程组的解；
③写出两条直线的交点坐标．
两条直线的交点即“形”的关系，可化归为方程组的解，即以“数”解“形”，这就是我们常说的数形结合思想．两条直线的交点问题 求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．分析：可先求出交点坐标，再利用点斜式求方程，也可利用直线系方程表示出所求的方程，再结合两直线平行的充要条件求解．规律总结：两条直线的交点坐标就是直线方程组的解．本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据平行直线斜率相等，由点斜式求解；而解法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.直接设出过两直线交点的方程，再根据平行条件求出待定系数即可．变式训练1．求过两条直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程．解析： 对称问题 △ABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B、∠C平分线的方程分别为x－2y＝0和x＋y－1＝0，求BC所在直线的方程．分析：该题求直线方程的条件不明显，如果能联想到初中平面几何有关角平分线的知识，就可以发现点A关于∠B、∠C平分线的对称点都在BC所在直线上，所以只要求出这两个对称点，利用两点式即可求出BC所在直线的方程．规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解，它是解答其他对称问题的基础．变式训练2．一条光线从点A(3,2)出发，经x轴反射，通过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．分析：设光线反射点为P，点A关于x轴的对称点为A′，根据光学上入射角等于反射角的原理可知点A′、P、B三点共线，因此，可用两点式求直线方程．基础巩固直线的交点1．直线3x＋5y－1＝0与直线4x＋3y－5＝0的交点是__________．解析：联立两直线方程解得交点坐标为(2，－1)．
答案：(2，－1)能力升级求过直线交点的直线方程10．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且过(4,0)点的直线方程为__________．祝您学业有成课件19张PPT。2．1 直线与方程
2．1.5 平面上两点间的距离 平面解析几何初步 在一条直线型的河流l的同侧有两个村庄A、B.现在要在河流旁边共建造一水厂C向两个村庄供水，要求从水厂向两个村庄铺设的管道最短，则水厂应当建在什么地方？我们知道平面上两点间的连线的长中线段的长最短，那么，应当铺设的管道最短是多少？1．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为：______________________________________.
特别，当直线P1P2平行于x轴时，__________；当直线P1P2平行于y轴时，__________；当P1，P2中有一个是原点时，则有__________．
2．利用两点间的距离公式解决相关平面几何问题的基本步骤可归纳为：第一步，____________________；第二步，____________________；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何关系．两点间的距离公式 两点间的距离公式可用来计算平面直角坐标系内任意两已知坐标点间的距离，公式的推导体现解析几何中常用的数学思想方法——坐标法．通过学习应当深刻理会用坐标法解决问题的基本思路两点间的距离问题 已知四边形ABCD各顶点坐标分别为A(－7，0)、B(2，－3)、C(5,6)、D(－4,9)，判断这个四边形是哪种四边形．分析：结合四边形的有关知识，判断边的长度以及边所在直线的斜率．规律总结：根据斜率判断对边是否平行，再根据对角线的长度、边的长度来确定是哪种四边形．变式训练1．已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求证：△ABC是等腰三角形．用解析法解决平面几何问题 已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC＝b，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等．分析：取直角边所在的直线为坐标轴建立坐标系，再写出各顶点坐标，给出证明．
解析：取边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如右图，则三个顶点的坐标分别为A(a,0)，B(0,0)，C(0，b)．规律总结：在建立坐标系时，适当的坐标系能使运算更加简便(如本例以两直角边为坐标轴建立坐标系)，故在建坐标系时要有效地利用条件中的垂直、对称等关系．2．A、B两个厂距一条河分别为400 m和100 m，A、B两厂之间距离500 m，把小河看做一条直线，今在小河边上建一座抽水站，供A、B两厂用水，要使抽水站到A、B两厂铺设的水管长度之和最短，问抽水站应建在什么地方？分析：这是一个对称问题，点A关于河的对称点A′与点B的连线，交小河于点P，则PA′＋PB＝PA＋PB，此点即为所求(证明略)．
解析：如右图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立直角坐标系，变式训练则点A(0,400)，点B(a,100)，过点B作BC⊥AO于点C.在△ABC中，AB＝500，AC＝400－100＝300，由勾股定理得BC＝400，∴B(400,100)．
点A(0,400)关于x轴的对称点A′(0，－400)，由两点式，得直线A′B的方程为 .令y＝0，得x＝320，即点P(320,0)．
故抽水站(点P)在距O点320 m处(如上图)时，到A、B两厂的水管长度之和最短．基础巩固两点间距离公式的正用1．平面上两点A(1，－2)，B(3,5)之间的距离为__________．能力升级两点间距离公式的综合应用6．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是__________．祝您学业有成课件29张PPT。2．1 直线与方程
2．1.6 点到直线的距离 平面解析几何初步 有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB＝AC＝a，BC＝2a，今计划合建一个中心医院，为同时方便三个城镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，若希望点P到三个城镇距离平方和为最小，点P应位于何处？1．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为_____，特别地：
①点P(x0，y0)到x轴的距离__________；
②点P(x0，y0)到y轴的距离__________；
③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离__________；
④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离__________．2．我们定义“夹在两条平行线间的公垂线段的长度称为两条平行线间的距离”．若两条平行线分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则它们之间的距离为__________．
特别地，若两直线中x，y的系数成比例时要先把它们化为系数一致才能用公式，如l1：x＋y＋1＝0，l2：3x＋3y＋9＝0，须把l2：3x＋3y＋9＝0化为l2：__________，然后再用公式求距离．点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为
点到直线的距离公式是解析几何中的又一基本公式，它解决了平面直角坐标系内任意一点到一已知直线的距离问题，此方法也可以用来判断点与直线的位置关系——点在直线外或是点在直线上，在学习中应当特别注意以下两点：①若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，然后再利用公式求距离．
②灵活应用点P(x0，y0)到几种特殊直线的距离公式，即①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|，同学们要谨记“若点P(x0，y0)在直线上，点P(x0，y0)到直线的距离为零，距离公式仍然适用”．平行线间的距离若两条平行线分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则它们之间的距离为
两条平行线间的距离公式的结构特征是：两平行线方程皆为一般式时，分子是两式中常数项的差的绝对值；分母为两系数平方和的算术平方根，这一结构特征更有助于同学理解和记忆公式．但是同学们在使用公式时谨记：①若两直线的方程不是一般式，要先把直线方程化为一般式，然后再利用公式求距离；②若两直线中x，y的系数成比例时要先把它们化为系数一致才能用公式，如l1：x＋y＋1＝0，l2：3x＋3y＋9＝0，须把l2：3x＋3y＋9＝0化为l2：x＋y＋3＝0，然后再用公式求距离．点到直线的距离问题 求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线方程．分析：先利用点M确定直线(含参数)，再利用点到直线的距离公式求解．
解析：解法一：当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.
规律总结：(1)待定系数法是本题用到的主要方法，但不管设直线方程的何种形式，最后都要化成一般式方程后才可用公式．
(2)待定系数法设方程时，要考虑到直线的适用范围，关键是考虑斜率是否存在．
(3)综合运用直线的相关知识，充分发挥几何图形的直观性，用运动观点看待点、直线，有时会起到事半功倍的作用．变式训练1．(1)已知点A(a,2)到直线3x－4y－2＝0的距离等于4，求a的值；
(2)在x轴上求与直线3x＋4y－5＝0的距离等于5的点的坐标．解析：两条平行线间的距离问题 求与直线2x－y－1＝0平行，且和2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．分析：(1)根据直线平行的性质特点设出所求直线方程，进而利用公式求解；
(2)设出所求直线上任意一点P(x，y)，利用条件和距离公式即可求解．解法：解法一：由已知可设要求的直线方程为2x－y＋C＝0，则两条平行直线间的距离为 规律总结：平行直线间的距离问题可用公式直接求解，也可转化为点到直线的距离问题．综合应用问题 如图，已知P是等腰△ABC的底边BC上一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析法证明PM＋PN为定值．分析：建立直角坐标系利用点到直线的距离公式求出PM和PN的长度．
证明：过点A作AO⊥BC，垂足为O，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，
设B(－a,0)，C(a,0)(a＞0)，
A(0，b)，P(x1,0)，a，b为定值，
x1为参数，－a≤x1≤a，
∴AB的方程是bx－ay＋ab＝0，
AC的方程是bx＋ay－ab＝0，规律总结：解析法(坐标法)即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化成代数问题，用处理代数问题的方法解决，这种方法是联系平面解析几何的纽带．求定值问题，应先表示出要证明为定值的式子，最后求出定值．变式训练2．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0, 由点斜式可得l2的方程y＝k(x－5), 即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：基础巩固点到直线的距离公式的正用1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是__________．能力升级用点到直线的距离公式解决有关问题9．直线x＋y＋2＝0上点到原点的距离的最小值为__________．解析：直线x＋y＋2＝0上点到原点的距离的最小值即原点到直线的垂线段的长度．故祝您学业有成课件37张PPT。2．2 圆与方程
2．2.1 圆的方程平面解析几何初步 1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
2．A、B两镇相距10 km，现要修建一游乐场，使其到两地距离的平方和为60，那么游乐场应修在何处？仅仅根据问题中的几个数据无法表示距离，如果将这个问题放在直角坐标系中来考虑，就很容易表示出各个距离了，首先以AB两镇所在的直线为x轴，以AB中点为原点建立直角坐标系，则A(－5,0)，B(5,0)，设P(x，y)为游乐场的位置，则有(x＋5)2＋y2＋(x－5)2＋y2＝60，化简得x2＋y2＝5，你能说明一下游乐场应建在哪吗？1．在平面直角坐标系中，当__________与__________确定后，圆就唯一确定了．因此，确定圆的最基本要素是__________．
2．在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心为A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程为____________，若点M(x0，y0)在圆上，则点M的坐标就适合方程，即__________；反之，若点M(x0，y0)的坐标适合方程，这就说明_________与________的距离为r，即点M在圆心为A，半径为r的圆上．1．圆心 半径 圆心和半径
2．(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M 圆心3．圆心在坐标原点，半径长为r的圆的方程为___________________________．
4．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内，则满足条件________；若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则满足条件_________；同理，若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内，则满足条件_____________；若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外，则满足条件_____________．3．x2＋y2＝r2
4．x＋y＜r2 x＋y＞r2 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r25．△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心，即________的交点；
△ABC内切圆的圆心是△ABC的内心，即__________的交点．
6．已知P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，以P1P2为直径的圆的方程为____________________，记忆规律：圆上动点横坐标与端点横坐标差的积＋圆上动点纵坐标与端点纵坐标差的积＝0，方程前后结构相同．5．△ABC三边垂直平分线 △ABC三内角平分线
6．(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝07．①D2＋E2－4F＞0 ②D2＋E2－4F＝0
③D2＋E2－4F＜0 8．D2＋E2－4F＞09．求圆的一般式方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的一般式方程的大致步骤是：
①_____________________________；
② _____________________________；
③ _____________________________；①根据题意，选择标准方程或一般方程
②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组
③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程圆的标准方程圆的标准方程是由圆心坐标和半径确定的，所以已知圆心坐标和半径就能直接写出圆的方程，反之已知圆的标准方程也可以直接得到圆心坐标和半径．点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断方法是将所给的点M与圆心C的距离跟半径R的大小比较．
若CM＝r，则点M在圆上；
若CM＞r，则点M在圆外；
若CM＜r，则点M在圆内．求圆的方程的方法求圆的方程有两种基本方法：
(1)直接法：即求出圆心坐标和半径，直接得到圆的标准方程．
(2)待定系数法：先设出圆的方程，再根据题目条件解出系数得到圆的方程．基本思路为：
①选用圆的方程两种形式中的一种(如果已知圆上的三个点的坐标，一般选用一般方程；如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系，一般选用标准方程)；
②根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；
③解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．求轨迹方程的基本步骤①建立适当直角坐标系(题目中已经涉及坐标系的不用建)；
②设所求轨迹上点的坐标M(x，y)；
③根据题意，列出方程f(x，y)＝0；
④化简方程；
⑤检验是否方程所有的解都满足题意，若有不满足的要删去多余的解，若有遗漏则应补上失去的解．转换法求轨迹方程①转换法一般是求与已知曲线相关曲线的方程，如求圆上一点与某一定点的中点的轨迹方程．
②转换法是利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的相关动点的关系，把所求动点转换为已知动点．圆的方程 设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的方程．分析：设圆心(a，b)、半径r ，然后利用平面几何知识解决问题．
解析：设所求圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.
由题设知圆P被x轴截得的劣弧所对的圆心角为90°，故圆P截x轴所得的弦长为r，所以∴5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)＝2b2－a2＝1，
当且仅当a＝b时，上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值．规律总结：(1)求圆的方程的一般步骤：
①选用圆的方程两种形式中的一种(如果已知圆上的三个点的坐标，一般选用一般方程；如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系，一般选用标准方程)；
②根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；
③解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
(2)本题是解析几何和代数的一个综合题，实质是根据已知条件求最值问题，有机地将代数和几何联系在一起，利用圆的有关性质是解决本题的关键．变式训练(1)x2＋y2＝9；
(2)(x－3)2＋(y－4)2＝5；
(3)解法一：∵圆的半径r＝CP＝ ＝5，圆心在点(8，－3)．
∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
解法二：∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，
又∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，
∴r2＝25.
∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.动点的轨迹问题 如下图，已知O为坐标原点，P在圆C：(x－2)2＋y2＝1上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．分析：点P运动引起M运动，而P点在已知圆上运动，点P的坐标满足方程(x－2)2＋y2＝1，建立点M与点P坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程，或利用圆的定义求出M点的轨迹方程．规律总结：(1)代入法和定义法，是求轨迹方程的常用方法，注意熟练掌握．
(2)直接法求点的轨迹方程的步骤：
①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M(x，y)；
②几何点集：写出满足题设的点M的集合P＝{M|P(M)}；
③翻译列式：将几何条件P(M)用坐标x，y表示，写出方程f(x，y)＝0；
④化简方程：通过同解变形化简方程；
⑤查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．
该方法常用于解答与圆相关的应用性问题．变式训练2．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l交圆于A、B两点，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．解析： 与圆有关的最值问题 若实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，则 的最大值为________．规律总结：研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地：
①形如 形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题；
②形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题． 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1，0)，点P为圆上的动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．分析：设出P点坐标转化为求函数最值题．
解析：若设P(x0，y0)，
则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，
欲求d的最值，只需求ω＝x＋y的最值，即求圆C上的点到原点的距离的平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求．
设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点，方法点拨：研究圆上的点到定点(或到定直线)的距离的最值问题，一般在点与定点的连线(点与直线的垂线)过圆心时寻求，解决这类问题除可充分利用圆与圆的几何性质外，还可以考虑用圆的参数方程进行三角代换，化成关于sinθ(或cosθ)的函数，再利用正、余弦函数的有界性求解．基础巩固点与圆位置关系的判定1．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围为__________．解析：由(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴2＋2a2<4，
∴a2<1.
答案：（－1，1）能力升级
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表
示圆的条件及应用10．已知圆：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，求实数m的值．解析：将原点坐标(0,0)代入圆的方程，得2m2－6m＋4＝0，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.
当m＝1时，原方程为x2＋y2＝0，不表示圆的方程，故舍去．
当m＝2时，原方程为x2＋y2－2x＋2y＝0表示圆的方程，故所求的实数m的值为2.祝您学业有成课件39张PPT。2．2 圆与方程
2.2.2 直线与圆的位置关系平面解析几何初步 为了更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上安装了电子监测装置，从海岸放归点A处(如下图所示)把它入归大海，并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表(设鲸沿海面游动)．然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测．已知AB＝15 km，观测站B的观测半径为5 km.写出a，b近似满足的关系式，并预测：若按此关系式运动，那么鲸经过多长时间可进入观测站B的范围？1．直线与圆的位置关系有________、________、________三种．
2．(1)若直线与圆相交?圆心到直线的距离d________圆的半径r.
(2)若直线与圆相切?圆心到直线的距离d________圆的半径r.
(3)若直线与圆相离?圆心到直线的距离d________圆的半径r.1．相交 相切 相离
2．(1)< (2)＝ (3)>3．由方程组 消去y，可得关于x的一元二次方程2x2＋2bx＋b2－2＝0，方程的根的判别式Δ＝_____.
(1)当________时，Δ>0，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆相交；
(2)当________时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆相切；
(3)当________时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆相离．16－4b2 (1)－2(3)b<－2或b>24．若P(x0，y0)(y0≠0)是圆x2＋y2＝r2上一点，过P(x0，y0)的直线与圆相切，则切线的斜率为________，切线方程为____________．
5．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2外一点P(x0，y0)作圆的切线PT(T为切点)，则切线长PT＝________.直线与圆的位置关系①直线与圆相交，有两个公共点；
②直线与圆相切，只有一个公共点；
③直线与圆相离，没有公共点．判定直线与圆的位置关系的方法圆中的弦长公式直线与圆位置关系的判定 已知圆x2＋y2＝8，定点P(4,0)，问过P点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离．并写出过P点的切线方程．分析：(1)代数法：设出直线的点斜式方程，与圆的方程联立，根据直线与圆的位置关系确定Δ与0的关系，求出k的范围．
(2)几何法：设直线的点斜式方程，求出圆心到直线的距离d，根据直线与圆的位置关系确定d与r的大小，进而求出k的范围．解析：解法一：设过P点的直线的斜率为k(由已知k存在)，则其方程为y＝k(x－4)．
由
消去y，得x2＋k2(x－4)2＝8，
即(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0，
Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)．
(1)令Δ＝0，即32(1－k2)＝0，解得k＝±1.
∴当k＝±1时，直线与圆相切，切线方程为x－y－4＝0或x＋y－4＝0.(2)令Δ＞0，即32(1－k2)＞0，解得1－＜k＜1.
∴当－1＜k＜1时，直线与圆相交．
(3)令Δ＜0，即32(1－k2)＜0，解得k＞1或k＜－1.
当k＞1或k＜－1时，直线与圆相离．
解法二：设过P点直线的斜率为k(由已知k存在)．则其方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.变式训练1．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明直线l与圆相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时，直线l的方程．切线方程 求经过点(1，－7)与圆x2＋y2＝25相切的切线方程．分析：显然点(1，－7)在圆外，因此可用点斜式方程求解，同时也可以求切点，利用两点式求切线方程．
解析：点(1，－7)代入圆方程12＋(－7)2＝50＞25，过圆外一点与圆相切的切线方程求法有三种．解法一：设切线的斜率为k，由点斜式有y＋7＝k(x－1)．
即y＝k(x－1)－7，①
将①代入圆方程x2＋y2＝25得x2＋[k(x－1)－7]2＝25，
整理得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0，
Δ＝(2k2＋14k)2－4(k2＋1)·(k2＋14k＋24)＝0.
由此解出 再代回①可得切线方程为4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0，从过程可以看到：利用此法求切线方程，一般过程冗长，计算书写量大而繁杂，容易出现错误，通常情况下不用此法．解法三：设所求切线方程为x0x＋y0y＝25，将坐标 (1，－7)代入后得x0－7y0＝25.
故所求切线方程为4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
规律总结：求切线一般有三种方法：(1)设切点，用切线公式法；(2)设切线斜率，用判别式法；(3)设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径法．
一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．综合应用 根据气象台预报：在A市正东方向300 km的B处有一台风中心形成，并以40 km/h速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响，从现在起经过多长时间，台风将影响A市？持续时间多长(精确到0.1 h)?分析：解决实际问题的关键是如何把实际问题数学化，通常通过建系来实现．
解析：以A为圆心，
250 km为半径作⊙A.当台风中心移动所经过的直线l与⊙A相交或相切时，A市将受到台风影响．
建立如图所示的坐标系，那么点A、B的坐标分别为(0,0)、(300,0)，⊙A的方程为x2＋y2＝2502，直线l的方程为y＝－(x－300)，即x＋y－300＝0(y≥0)．规律总结：(1)在学习中要注意联系实际，重视数学在生产、生活及相关学科中的运用．
(2)解有关实际应用问题时，关键要明确题意，掌握建立数学模型的基本方法．
(3)数学实际应用问题，在多年来的高考中得到了重视，除了在选择、填空中出现外，近几年都有解答题出现，应引起重视，平时多做练习，以提高解决实际问题的能力．变式训练 2．设有半径为3 km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进，A出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度都一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？解析：由题意可设A、B两人的速度分别为3v km/h、v km/h，再设A出发后x0小时，在点P处改变方向，又经y0小时，在点Q处与B相遇，则P、Q两点的坐标分别为(3vx0,0)、(0，vx0＋vy0)．由于A从P到Q行走的时间是y0小时，于是由勾股定理有OP2＋OQ2＝PQ2，有关最值问题规律总结：涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，对于：
①形如u＝ 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如l＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为圆上的点到已知定点(a，b)的距离的平方的最大值和最小值问题．变式训练3．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是________．4基础巩固直线与圆的位置关系1．已知直线x＝a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是__________．解析：由已知|a－1|＝2，∴a＝3或a＝－1，又a＞0，∴a＝3.
答案：3能力升级直线与圆的位置关系的判定7．直线3x－4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置关系是__________．祝您学业有成课件29张PPT。2．2 圆与方程
2．2.3 圆与圆的位置关系 平面解析几何初步 “……把你的心、我的心串一串，串一株幸运草，串一个同心圆……”这是风靡一时的小虎队在一首歌中唱到的．那么你知道数学上是怎样理解同心圆的吗？两个同心圆是什么位置关系？设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，两圆的圆心距为d.
1．(1)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆__________．
(2)当d＝r1＋r2时，两圆__________．
(3)当d＝|r1－r2|时，两圆__________．
(4)当d＞r1＋r2时，两圆__________．
(5)当d＜|r1－r2|时，两圆__________．(1)相交 (2)外切 (3)内切 (4)外离 (5)内含2．(1)若⊙O1与⊙O2外离，两圆的公切线有__________条．
(2)若⊙O1与⊙O2外切，两圆的公切线有_____条．
(3)若⊙O1与⊙O2内切，两圆的公切线有_____条．
(4)若⊙O1与⊙O2相交，两圆的公切线有_____条．
3．若⊙O1与⊙O2相交，两圆的公共弦的垂直平分线方程就是直线__________．2．(1)四 (2)三 (3)一 (4)二
3．O1O24．已知⊙O1与⊙O2外离，P、Q分别是⊙O1、⊙O2上的两点，则PQ的最大值为__________，PQ的最小值为__________．
5．已知⊙O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与⊙O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0是相交的两圆，则⊙O1与⊙O2的公共弦的方程为__________．4．d＋r1＋r2 d－(r1＋r2)
5．(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系有五种：①外离，②外切，③相交，④内切，⑤内含．
(2)判定圆C1和圆C2的位置关系主要方法有：
方法一(代数方法)：解两个圆的方程组成的方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组无实数解，则两圆相离或内含．方法二(几何方法)：依据连心线d与半径r1和r2之间的关系判断．
①当d＞r1＋r2时，两圆外离；
②当d＝r1＋r2时，两圆外切；
③当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交；
④当d＝|r1－r2|时，两圆内切；
⑤当d＜|r1－r2|时，两圆内含．两圆位置关系的特征两圆位置关系的判断 a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：
(1)外切；(2)相交；(3)外离．分析：两圆位置关系的判断，应该先求两圆的圆心距．
解析：将两圆方程写成标准方程：
(x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5，或a＝2.
(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.
(3)当d＞5，或d＜1，即2a2＋6a＋5＞25，或2a2＋6a＋5＜1时，两圆外离，此时a＞2或a＜－5，或－2＜a＜－1.规律总结：判断两圆 的位置关系有两种方法，一是解由两圆方程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交．二是通过讨论两圆半径与圆心距的关系．
第一种方法在计算上比较繁琐，因此一般采用第二种方法．变式训练1．圆x2＋y2－2x＝0和x2＋y2＋4y＝0的位置关系是__________．求过两圆交点的圆的方程 求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程．分析：本题可采用三种方法求解，解法一求出圆心坐标及半径；解法二利用圆的一般方程求解；解法三利用圆系方程，确定未知数λ即可．解法二：同解法一，得两已知圆的交点坐标为(0,2)，(－4,0)，设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因此，圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.解法三：设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)．
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，
因为这个圆的圆心在直线x＋y＝0上，
解得λ＝－2，
∴圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.方法点拨：本例主要考查了直线和圆、圆与圆的位置关系．解答这类问题，要牢牢抓住几个阶段的转化：
(1)由题设转化为图形的具体位置关系，这常用到平面几何的基础知识；
(2)由图形的位置关系转化为数量关系，这需要使用解析几何中的基本原理或基本公式；
(3)由数量关系化简整理为所求的方程．在这类问题的思考过程中，要把握由题设探求位置关系，进一步揭示数量关系这样一个思考方向．综合应用题 如右图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E、F，求证：EF平分CD.分析：本题圆O没有给出方程，我们给出方程为x2＋y2＝1，且以AB为x轴，AB的中点为原点，AB方向为x轴的正方向．规律总结：解析法解决平面几何问题的关键是分析条件建立适当的模型，转化为解析几何问题利用代数方法给出解决．变式训练2．求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．
①过原点；
②圆面积最小．规律：基础巩固圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2＋6x＋4y＋9＝0和x2＋y2－6x－12y－19＝0的位置关系是________．能力升级与圆有关的最值问题10．若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，则mn的取值范围是________．解析：由直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，知直线过圆的圆心(2,1)，
∴2m＋2n－4＝0，m＋n＝2.
∴mn＝m(2－m)＝－(m－1)2＋1≤1.
答案：(－∞，1]祝您学业有成课件25张PPT。2.3 空间直角坐标系
2．3.1 空间直角坐标系平面解析几何初步 或许你没有看过浩瀚无边的大海， 但是你一定看过美国作家海明威的著 名小说《老人与海》，其生动地描写 了一位老人，在汹涌澎湃的海面上， 孤身一人，与鲨鱼搏斗，最后战胜鲨 鱼的过程，尽管老人只能拖回一副鱼 骨头，但是他告诉我们“一个人可以被 毁灭，但不能被打败”．这是强者的精神宣言，然而，你是否思考过：当船航行在茫茫无际的大海上时，四周只见水，不见物，那么，怎样知道船所在的位置呢？怎样知道船离目的地还有多远呢？1．如图，OABC－D′A′B′C′是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴．这时我们说建立了一个________O－xyz，其中点O叫做________；x轴、y轴、z轴叫做________，通过每两个坐标轴的平面叫做________，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴 坐标平面2．如图，设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P，Q和R.设点P，Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．有序实数组(x，y，z)叫做________，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的________，y叫做点M的________，z叫做点M的________．
3．若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A、B两点的中点坐标为_____________．空间直角坐标系①空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O－xyz.点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．
②右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
③空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，其相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数对(x，y，z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．④xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y,0)的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x,0，z)的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意的实数．
⑤x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x为任意实数；
y轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y为任意实数；
z轴是坐标形如(0,0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数．
空间直角坐标系中与平面直角坐标中重要结论对照表(设P为(x，y，z)或(x，y))空间直角坐标系 如右图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1.求E，F点的坐标．分析：以正方体顶点为坐标原点，建立坐标系．给出顶点D1、B1、B的坐标，利用中点坐标公式写出E、F点的坐标．
解析：建立如下图所示的坐标系．规律总结：(1)能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标的基础，因此一定要掌握如下方法：过点M分别作三个坐标平面的平行平面(或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，确定x、y、z.具体理解可以以长方体为模型来进行，要注意掌握一些特殊点(如落在坐标轴上的点和落在坐标平面上的点)的坐标表示的特征．
(2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的坐标表示的特征．变式训练1．如下图，在棱长为a的正方体OABC－D'A'B'C'中，对角线OB′与BD′相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴正半轴上，试写出点Q的坐标．解析：空间中点对称问题 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．分析：解决本题的关键是明确各坐标轴，各坐标平面对称的两点，其点的坐标的分量的关系，可借助于图形．解析：如右图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称，且C(1,2,1)．
过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)．
∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)；
A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．
规律总结：对称关系可简记为“关于谁对称谁不变，其余的均相反”．特别地，关于原点对称，三个坐标符号都要变．变式训练2．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2，3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．解析：(1)关于xOy平面的对称点坐标为(1，－2，－3)；
关于xOz平面的对称点坐标为(1,2,3)；
关于yOz平面的对称点坐标为(－1，－2,3)；
(2)关于x轴的对称点坐标为(1,2，－3)；
关于y轴的对称点坐标为(－1，－2，－3)；
关于z轴的对称点坐标为(－1,2,3)；
(3)关于原点的对称点坐标为(－1,2，－3)．空间直角坐标系的应用 晶体的基本单位称为晶胞，如下图(1)是食盐晶胞的示意图(可看成八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中黑点代表纳原子，如下图(2)，建立空间直角坐标系O－xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．基础巩固空间中点的位置的确定1．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系的位置是在________上．解析：∵xA＝0，∴A在yOz平面上．
答案：yOz平面能力升级求空间中点的坐标10．如右图三棱锥OABC为一个正方体截下的一角，OA＝a，OB＝b，OC＝c，建立如图所示的坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．祝您学业有成课件20张PPT。2.3 空间直角坐标系
2．3.2 空间两点间的距离 平面解析几何初步 如下图所示，一只小蚂蚁站在水泥构件O点处，在A，B，C，D，E处放有食物，建立适当的空间直角坐标系，可以告诉小蚂蚁食物的准确位置．你能告诉它怎样才能在最短的时间内取到食物吗？1．若在空间直角坐标系O－xyz中点P的坐标是 (x，y，z)，则P到坐标原点O的距离OP＝__________.
2．在空间直角坐标系O－xyz中，设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1与P2之间的距离P1P2＝__________.
3．在空间直角坐标系O－xyz中，点P(xo，y0，z0)到平面xOy的距离为__________，到x轴的距离为__________．空间两点间的距离公式②空间两点间的距离公式的推导思路：
思路一：当两点连线与坐标平面不平行时，过两点分别作三个坐标平面的平行平面，转化为求长方体的对角线长，从而只要写出交于一个顶点的三条棱长即可，而棱长可在平面内用平面上两点间的距离公式求得．
思路二：作线段在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．
③坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：a.在立体几何图形中建立空间直角坐标系；b.依题意确定各相应点的坐标；c.通过坐标运算得到答案．求几何体中两点间的距离 已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度．分析：本题是考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可．
解析：(1)由空间两点间距离公式得：规律总结：熟练运用距离公式求线段的长度，解决一些与长度有关的问题．变式训练1．如下图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标( )，点D在平面yOz上，且 ∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.求AD的长度．解析：空间坐标系中距离公式的几何意义 试解释方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意义分析：分析方程的结构可知，这是空间两点 (x，y，z)和(12，－3,5)距离的平方等于36.
解析：因为(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36，所以 ＝6，这表示动点(x，y，z)和(12，－3,5)的距离等于6，因此方程表示空间到定点(12，－3,5)的距离等于6的点的轨迹，即为球心是(12，－3,5)、半径为6的球面．规律总结：如何理解公式的内涵是学习公式时应值得关注的问题，应该说两点间距离公式提供了进行数形结合这种思维训练的平台，因此不仅要注意公式的外在表现形式，还要挖掘其内在的东西．当然本题中方程结构形式比较整齐，容易看出来，还应注意结构不整齐的情形，可尝试进行配方解决．变式训练2．与A(－1,2,3)、B(0,0,5)两点距离相等的点P(x，y，z)满足的条件为________，表示________．基础巩固空间中两点间的距离公式解析：由两点间距离公式可得．
答案：1能力升级空间中有关距离的计算问题9．已知点A(－3,1,4)关于原点的对称点为B，则线段AB的长为__________．祝您学业有成
