2023年高考数学押题卷(二)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2＝2x}，集合B＝{x∈Z|－2
A．{0，2} B. {－1，0，1，2}
C. {x|0≤x<2} D. {x|－22．已知复数z满足|z|z＝3＋4i，则|z|＝( )
A. 1 B. C. D. 5
3. “－5A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．已知sin ＝，则cos (α－π)＝( )
A． B． C. － D. －
5．已知单位向量a和b满足|a－b|＝|a＋b|，则a与b的夹角为( )
A． B. C. D.
6．已知直线x＋y－a＝0与圆C：2＋2＝2a2－2a＋1相交于点A，B，若△ABC是正三角形，则实数a＝( )
A．－2 B．2 C．－ D．
7.
河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金、木、水、火、土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为( )
A． B. C. D.
8．已知函数y＝f(x)的定义域为R，f(x)>0且f′(x)＋xf(x)>0，则有( )
A．f(x)可能是奇函数，也可能是偶函数 B. f(－1)>f(1)
C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是( )
A．已知随机变量X服从二项分布X～B(4，)，则D(X)＝
B．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)且P(X≤5)＝0.85，则P(1C．已知随机变量X的方差为D(X)，则D(2X－3)＝4D(X)－3
D．以模型y＝cekx(c>0)去拟合一组数据时，设z＝ln y，将其变换后得到回归直线方程z＝2x－1，则c＝
10．已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则( )
A．a＋b的最大值是 B．ab的最大值是
C．a－b的最小值是－1 D．的最小值为－
11．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A．△ABF2的周长为6 B．椭圆的长轴长为2
C．|AF2|＋|BF2|的最大值为5 D．△ABF2面积最大值为3
12．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，PD＝AB，则( )
A．AC⊥PB
B．直线AE与平面PAB所成角的正弦值是
C．异面直线AD与PB所成的角是
D．四棱锥P ABCD的体积与其外接球的体积的比值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线C的一条渐近线方程为l：y＝2x，且其实轴长小于4，则C的一个标准方程可以为________．
14．在(－x)n的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中x5的系数为________．
15．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△ABD沿BD折叠，使平面ABD⊥平面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为________．
16．已知三棱锥O ABC，P是平面ABC内任意一点，数列{an}共9项，a1＝1，a1＋a9＝2a5且满足＝(an－an－1)2－3an＋3(an－1＋1)(2≤n≤9，n∈N*)，满足上述条件的数列共有________个．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知等差数列{an}的公差为正实数，满足a1＝4，且a1，a3，a5＋4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，若b1＝1，且________，求数列{an·bn}的前n项和为Tn，以下有三个条件：①Sn＝2n－1，n∈N*；②Sn＝2bn－1，n∈N*；③Sn＋1＝2Sn－1，n∈N*从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列{bn}为等比数列，并根据题意解决问题．
18．(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin C＝c sin .
(1)求角A的大小；
(2)若点D在边BC上，且CD＝3BD＝3，∠BAD＝，求△ABC的面积．
19.
(12分)如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为BC1与B1C的交点．
(1)求证：平面DEF⊥平面CDD1C1；
(2)若DD1＝AD，求二面角D1 DE F的余弦值．
20．(12分)食品安全问题越来越受到人们的重视．某超市在进某种蔬菜前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，该种蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响．
(1)求每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率；
(2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利200元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有3箱这种蔬菜，求这3箱蔬菜总收益X的分布列和数学期望．
21．(12分)已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
22．(12分)已知函数f(x)＝x－sin x－ln x＋1.
(1)当m＝2时，试判断函数f(x)在(π，＋∞)上的单调性；
(2)存在x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，求证：x1x22023年高考数学押题卷(二)
1．解析：易知A＝{x|x＝0或x＝2}，B＝{－1，0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2}．故选B.
答案：B
2．解析：将等式|z|z＝3＋4i两边同时取模，有||z|z|＝|3＋4i|＝＝5，
即||z|z|＝|z|2＝5，所以|z|＝.故选B.
答案：B
3．解析：函数y＝x2－kx－k的值恒为正值，
则Δ<0 k2＋4k<0 －4∵(－4，0)?(－5，0)，
∴“－5答案：B
4．解析：cos (α－π)＝－cos α＝2sin 2－1＝－.故选D.
答案：D
5．解析：由题设，|a－b|2＝3|a＋b|2，则a2－2a·b＋b2＝3(a2＋2a·b＋b2)，
∴a2＋4a·b＋b2＝0，又a和b为单位向量，
∴cos 〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝.故选B.
答案：B
6．解析：设圆C的半径为r，由2a2－2a＋1＝22＋>0可得，r＝.
因为△ABC是正三角形，所以点C(－1，1)到直线AB的距离为r，
即＝，
两边平方得＝，a＝.故选D.
答案：D
7．解析：由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水，
2，7属性为火，5，10属性为土，
从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，
包含的基本事件个数n＝C(CC＋CC)＝20，
这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：
m＝C(CC＋CC)＝8，
∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率P＝＝＝.故选C.
答案：C
8．解析：若f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
又因为f(x)>0，与f(－x)＝－f(x)矛盾，
所以函数y＝f(x)不可能是奇函数，故A错误；
令g(x)＝ef(x)，
则g′(x)＝xef(x)＋ef′(x)＝e(xf(x)＋f′(x))，
因为e>0，f′(x)＋xf(x)>0，
所以g′(x)>0，所以函数g(x)为增函数，
所以g(－1)所以f(－1)因为所以sin x>cos x，
故g(sin x)>g(cos x)，即ef(sin x)>ef(cos x)，
所以f(sin x)>ef(cos x)＝ef(cos x)，故C错误；
有g(0)答案：D
9．解析：对于A，由随机变量X服从二项分布X～B(4，)，
得D(X)＝4××(1－)＝，故A正确；
对于B，因为随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则对称轴为X＝3，
又P(X≤5)＝0.85，所以P(X≤1)＝0.15，
所以P(1对于C，因为随机变量X的方差为D(X)，则D(2X－3)＝4D(X)，故C错误；
对于D，模型y＝cekx(c>0)，则ln y＝ln c＋kx，
又因z＝ln y，z＝2x－1，
所以k＝2，ln c＝－1，所以c＝，故D正确．故选AD.
答案：AD
10．解析：由()2≤得a＋b≤，当且仅当a＝b＝时取等，A正确；
由ab≤得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等，B正确；
由正数a，b及a2＋b2＝1知0令＝k，则a＝k(b－2)，两边同时平方得k2(b－2)2＝a2＝1－b2，整理得(k2＋1)b2－4k2b＋4k2－1＝0，又存在a，b使＝k，故Δ＝(－4k2)2－4(k2＋1)(4k2－1)＝－12k2＋4≥0，解得－≤k≤，D正确．故选ABD.
答案：ABD
11.
解析：如图，由题可知，在椭圆＋＝1中，a＝2，b＝，c＝1，
△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故A项错误；
椭圆的长轴长为2a＝4，故B项错误；
因为|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，当且仅当AB⊥F1F2时，
|AB|最小，
代入x＝－1，解得y＝±，故|AB|＝3，所以|AF2|＋|BF2|的最大值为5，故C项正确；
根据椭圆的性质可得，当且仅当AB⊥F1F2时，△ABF2面积最大，
故S＝|AB|·|F1F2|＝3，故D项正确．故选CD.
答案：CD
12．解析：如图，连接BD.因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，又BD∩PD＝D，
所以AC⊥平面PBD，则AC⊥PB，故A正确．
由题意易证AD，CD，PD两两垂直，建立如图所示的空间坐标系D － xyz.
设AB＝2，则A，B，D，E，P，
从而＝，＝，＝，＝.
设平面PAB的法向量n＝，则，
令x＝1，得n＝.设直线AE与平面PAB所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝，故B正确．
设异面直线AD与PB所成的角为α，
则cos α＝＝＝，从而α≠，故C错误．
四棱锥P ABCD的体积V1＝，
由题意可知四棱锥P ABCD外接球的半径R＝＝，
则其体积V2＝πR3＝π×()3＝4π，
从而四棱锥P ABCD的体积与其外接球的体积的比值是＝，故D正确．
答案：ABD
13．解析：可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0)，
当λ>0时，双曲线的实轴为2，
则2<4，所以0<λ<4，
可取λ＝1，
则C的一个标准方程可以为x2－＝1.
答案：x2－＝1(答案不唯一)
14．解析：因为二项式的第3项和第6项的二项式系数相等，
所以C＝C，所以n＝7，
则二项式(－x)7展开式的通项为Tk＋1＝C()7－k·(－x)k＝(－)k·Cx，
令＝5，则k＝3，
所以展开式中x5的系数为C＝－.
答案：－
15．解析：如图，取BD中点O，连接AO、CO，
因为∠BAD＝60°，所以△ABD、△CBD为等边三角形，
因为O为BD中点，
所以AO⊥BD，CO⊥BD.
因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，
又OC，OD 平面BCD，
所以AO⊥OC，AO⊥OD.
以O为原点，OC、OD、OA为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
设菱形ABCD的边长为2，
则A(0，0，)，B(0，－1，0)，C(，0，0)，D(0，1，0)，
所以＝(0，－1，－)，＝(，0，－)，＝(0，1，－)，
设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，
则，即，
令x＝1，则y＝－，z＝1，即n＝(1，－，1)，
设AD与平面ABC所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，
所以AD与平面ABC所成角的正弦值为.
答案：
16．解析：因为P是平面ABC内任意一点，
所以P，A，B，C四点共面，
因为＝(an－an－1)2－3an＋3(an－1＋1)(2≤n≤9，n∈N*)，
所以(an－an－1)2－3an＋3(an－1＋1)＝1，即(an－an－1)2－3(an－an－1)＋2＝0，
解得an－an－1＝1或an－an－1＝2，
当an－an－1＝1时，
则数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以an＝n，
则a1＋a9＝10＝2a5，符合题意；
当an－an－1＝2时，数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以an＝2n－1，
则a1＋a9＝18＝2a5，符合题意，
所以满足上述条件的数列共有2个．
答案：2
17．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0，
因为a1，a3，a5＋4成等比数列，
所以a＝a1(a5＋4)，即(4＋2d)2＝4(4d＋8)，
解得d＝±2(负值舍去)，所以d＝2，
所以an＝2n＋2.
(2)选①，由Sn＝2n－1，n∈N*，
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2n－1，
当n＝1时等式也成立，
所以bn＝2n－1，又∵＝2，∴数列{bn}为以1为首项2为公比的等比数列．
则an·bn＝(2n＋2)·2n－1＝(n＋1)·2n.
所以Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n，
则2Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n＋(n＋1)2n＋1，
两式相减得－Tn＝4＋22＋23＋24＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1
＝4＋－(n＋1)·2n＋1
＝2n＋1－(n＋1)·2n＋1
＝－n·2n＋1.
所以Tn＝n·2n＋1.
选②，由Sn＝2bn－1，n∈N*，
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2bn－2bn－1，
所以＝2，
所以数列{bn}为以1为首项2为公比的等比数列，
所以bn＝2n－1，
则an·bn＝(2n＋2)·2n－1，
以下步骤同选①.
选③，由Sn＋1＝2Sn－1，n∈N*，
当n＝1时，
b1＋b2＝2b1－1，
∴b2＝0，
∴数列{bn}不是等比数列，
∴不能选条件③.
18．解析：(1)由已知及正弦定理得：sin A sin C＝sin C sin ，又B＋C＝π－A，
∴＝－，又sin C≠0，
∴sin A＝cos ，则2sin cos ＝cos ，而0<<，
∴cos ≠0，则sin ＝，故＝，得A＝.
(2)由∠BAC＝，∠BAD＝，则∠DAC＝.
法一：在△ABD中，＝， ①
在△ADC中，＝， ②
∵∠ADB＋∠ADC＝π，
∴sin ∠BDA＝sin ∠ADC， ③
由①②③得：＝，又CD＝3BD＝3，得BD＝1，
∴＝，不妨设c＝2m，b＝3m，
在△ABC中，由余弦定理可得，42＝(2m)2＋(3m)2－2×2m×3m cos ，得m2＝，
所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝×2m×3m×＝.
法二：＝＝＝.
∵△BAD的边BD与△ADC的边DC上的高相等，
∴＝＝，由此得＝，即＝，不妨设c＝2m，b＝3m，
在△ABC中，由余弦定理可得，42＝(2m)2＋(3m)2－2×2m×3m cos ，得m2＝，
所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝×2m×3m×＝.
19．解析：(1)证明：如图，连接BD.
在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形，
因为E为AB的中点，所以DE⊥AB.
因为AB∥CD，所以DE⊥CD.
因为DD1⊥平面ABCD，DE 平面ABCD，所以DD1⊥DE，
而DD1∩DC＝D，所以DE⊥平面CDD1C1.又因为DE 平面DEF，所以平面DEF⊥平面CDD1C1.
(2)设DD1＝AD＝2，以D为原点，以直线DE，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(，0，0)，F(，，1)，C(0，2，0)，所以＝(，0，0)，＝(，，1).
设n＝(x，y，z)为平面DEF的法向量，由得取y＝2，得n＝(0，2，－3).
由(1)DC⊥DE，DC⊥DD1，DE∩DD1＝D，则DC⊥平面D1DE，即＝(0，2，0)为平面D1DE的一个法向量，所以cos 〈n，〉＝＝＝，由图可知二面角D1 DE F为锐角，所以二面角D1 DE F的余弦值为.
20．解析：(1)设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件A，
则P(A)＝(1－)×(1－)×(1－)＝，
即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为.
(2)X的所有可能取值为600，300，0，－300.
因为P(X＝600)＝()3＝，P(X＝300)＝C()2×＝，
P(X＝0)＝C××()2＝，P(X＝－300)＝()3＝，
所以X的分布列为
X 600 300 0 －300
P
所以E(X)＝600×＋300×－300×＝60.
21．解析：(1)P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)证明：设AB：x＝my＋t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2－4my－4t＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，
所以Δ＞0 16m2＋16t＞0 m2＋t＞0，
kPA＝＝＝，同理：kPB＝，
由题意：＋＝2，
∴4(y1＋y2＋4)＝2(y1y2＋2y1＋2y2＋4)，
∴y1y2＝4，
∴－4t＝4，
∴t＝－1，
故直线AB恒过定点(－1，0).
22．解析：(1)(方法一)当m＝2时，f(x)＝x－sin x－ln x＋1，f′(x)＝1－cos x－，
当x∈(π，＋∞)时，f′(x)＝1－cos x－≥1－－＝－>0，
所以当m＝2时，函数f(x)在(π，＋∞)上单调递增．
(方法二)当m＝2时，f(x)＝x－sin x－ln x＋1，f′(x)＝1－cos x－，
由1－cos x－＝0 cos x＝2－，
结合函数y＝cos x与y＝2－图象可知：当x∈(π，＋∞)时，cos x≤1，2－>2－>1，
所以两函数图象没有交点，且2－>cos x.
所以当x∈(π，＋∞)时，f′(x)＝1－cos x－>0.
所以当m＝2时，函数f(x)在(π，＋∞)上单调递增．
(2)证明：不妨设0x1－sin x1－ln x1＋1＝x2－sin x2－ln x2＋1，
∴(ln x2－ln x1)＝x2－x1－(sin x2－sin x1).
设g(x)＝x－sin x，则g′(x)＝1－cos x≥0，故g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴x2－sin x2>x1－sin x1，从而x2－x1>sin x2－sin x1，
∴(ln x2－ln x1)＝x2－x1－(sin x2－sin x1)>(x2－x1)，
∴m>，
要证x1x2，
下面证明：>，即证> ，
令t＝，则t>1，即证明>，只要证明：ln t－<0，
设h(t)＝ln t－，h′(t)＝－<0，则h(t)在(1，＋∞)单调递减，
当t>1时，h(t)，
∴m>，即x1x2一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋3}， UA＝{1}，则a的取值为( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
2．已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为( )
A． B． C．－ D．－
3．为了得到函数y＝sin (4x＋)的图象，只要将y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
4．为了解某地高三学生的期末数学考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这100名学生期末数学成绩的中位数约为( )
A．92.5 B．95 C．97.5 D．100
5．若x6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a6(x＋1)6，则a3＝( )
A．20 B．－20 C．15 D．－15
6. 若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A．若m β，α⊥β，则m⊥α B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
7．若正实数a，b满足a＋b＝1，且a＞b，则下列结论正确的是( )
A．ln (a－b)＞0 B．ab＜ba
C．＋> D．＋>4
8．已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )
A．[－1，2＋1] B. [－1，3＋1]
C．[－1，2＋1] D. [－1，3＋1]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)组成的一个样本，得到回归直线方程为＝2x－0.4，且＝2，去除两个歧义点(－2，1)和(2，－1)后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是( )
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．去除两个歧义点后的回归直线方程为＝3x－3
C．去除两个歧义点后，样本(4，8.9)的残差为－0.1
D．去除两个歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小
10．已知曲线C：＋＝1，则下列说法正确的是( )
A．若曲线C表示双曲线，则k>5
B．若曲线C表示椭圆，则1C．若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线且离心率为，则k＝7
D．若曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点，则k＝4
11.
如图，三棱锥D ABC中，∠CAB＝∠DAB＝∠DAC＝60°，AC＝AB＝1，AD＝2，则下列说法正确的是( )
A．AD⊥BC
B．平面ABC⊥平面BCD
C．三棱锥D ABC的体积为
D．以AB为直径的球被平面ACD所截得的圆在△ACD内的弧的长度为
12. 已知函数f(x)＝ex－ln (x＋a)，a∈R.( )
A．当a＝0时，f(x)没有零点
B．当a＝0时，f(x)是增函数
C．当a＝2时，直线y＝x＋1－ln 2与曲线y＝f(x)相切
D．当a＝2时，f(x)只有一个极值点x0，且x0∈(－1，0)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋4)，则f(－1)＝________．
14. 已知向量＝(sin (α＋)，6)，＝(sin (α＋)，1)，∥，则tan 2α＝________．
15．已知数列{an}满足a1＋a2＝2，an＋2－an＝1＋cos nπ，则数列{an}的前100项的和等于________．
16．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上运动(不与A，B重合)，PA⊥平面ABC，若AB＝2，二面角ABCP等于60°，则三棱锥PABC体积的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BAD＝60°，AD＝2，BD＝5.
(1)求cos ∠ABD；
(2)若BC＝4，求DC.
18．(12分)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n－1)3n＋1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)在an和an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为dn，求数列的前n项和Tn.
19．(12分)第24届北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，被调查的男、女生人数均为100，其中对冬季奥运会项目了解比较全面的男生人数是女生人数的2倍．将频率视为概率，从被调查的男生和女生中各选一人，两人对冬季奥运会项目了解都不够全面的概率为.
(1)完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；
男生 女生 合计
了解比较全面
了解不够全面
合计
(2)用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取3人，记其中对冬季奥运会项目了解比较全面的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
20.
(12分)如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1＝CD＝DD1＝C1D1＝1.
(1)证明：AD⊥平面CC1D1D；
(2)若A1C与平面CC1D1D所成角为，求点D到平面AA1C的距离．
21．(12分)已知抛物线T：y2＝2px(p>0)，点F为其焦点，P为T上的动点，Q为P在动直线x＝t(t<0)上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为16.
(1)求抛物线T的方程；
(2)过x轴上一动点E(a，0)(a>0)作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为AB，CD的中点，求△EHK面积的最小值．
22．(12分)设函数f(x)＝(x＋a)ex，已知直线y＝2x＋1是曲线y＝f(x)的一条切线．
(1)求a的值，并讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x1)＝f(x2)，其中x14.
2023年高考数学押题卷(六)
1．解析：∵A∪( UA)＝U，
∴a2＝1且a＋3＝2，
∴a＝－1.故选C.
答案：C
2．解析：＝＝，若其为实数，
则4a＋6＝0，即a＝－.故选D.
答案：D
3．解析：只要将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (x＋) 的图象，
再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin (4x＋)的图象，即A正确；
将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的是函数y＝sin (x＋)的图象，故B错误；
将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的是函数y＝sin (4x＋)的图象，故C错误；
将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的是函数y＝sin (x＋)的图象，故D错误；故选A.
答案：A
4．解析：因为(0.006＋0.014)×20＝0.4<0.5，(0.006＋0.014＋0.02)×20＝0.8>0.5，
所以这100名学生期末成绩的中位数m∈[90，110).
则(m－90)×0.02＋0.4＝0.5，得m＝95.故选B.
答案：B
5．解析：[(x＋1)－1]6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a6(x＋1)6，a3＝C(－1)3＝－20.故选B.
答案：B
6．解析：对于A，若m β，α⊥β，则m⊥α或m∥α或m α或m与α相交但不垂直，故A错误；
对于B，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β或α与β相交，故B错误；
对于C，若m⊥β，m∥α，则α内有直线垂直于β，易证α⊥β，故C正确；
对于D，若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ或β∥γ或β与γ相交但不垂直，故D错误．故选C.
答案：C
7．解析：因为正实数a，b满足a＋b＝1，且a＞b，所以＜a＜1，0＜b＜，
所以0＜a－b＜1，
所以ln (a－b)＜0，故A错误；
由指数函数的性质可得ab＞aa，由幂函数的性质可得aa＞ba，
所以ab＞ba，故B错误；
当a→1时，b→0，则＋→1＜，故C错误；
＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋＞2＋2 ＝4，故D正确．故选D.
答案：D
8．解析：依题意，直线l1：m(x－3)－n(y－1)＝0恒过定点A(3，1)，直线l2：n(x－1)＋m(y－3)＝0恒过定点B(1，3)，
显然直线l1⊥l2，因此，直线l1与l2交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，
其方程为：(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆心N(2，2)，半径r2＝，而圆C的圆心C(0，0)，半径r1＝1，如图：
|NC|＝2>r1＋r2，两圆外离，由圆的几何性质得：
|PM|min＝|NC|－r1－r2＝－1，|PM|max＝|NC|＋r1＋r2＝3＋1，
所以|PM|的取值范围是：[－1，3＋1].故选B.
答案：B
9．解析：对A，因为回归直线的斜率大于0，即相关变量x，y具有正相关关系，故A正确；
对B，将＝2代入＝2x－0.4得＝3.6，则去掉两个歧义点后，得到新的相关变量的平均值分别为＝＝，＝＝，＝－3×＝－3，此时的回归直线方程为＝3x－3，故B正确；
对C，x＝4时，＝3×4－3＝9，残差为8.9－9＝－0.1，故C正确；
对D，斜率3>1，此时随x值增加相关变量y值增加速度变大，D错误．故选ABC.
答案：ABC
10．解析：对于A：若曲线C：＋＝1表示双曲线，则(k－1)(5－k)<0，解得k>5或k<1，故A错误；
对于B：若曲线C：＋＝1表示椭圆，则，解得1对于C：若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线且离心率为，则，
所以c2＝a2＋b2＝2k－6，则e2＝＝＝，解得k＝7，故C正确；
对于D：椭圆＋＝1的焦点为(±，0)，
若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，则，则k>5，则c2＝2k－6＝2，解得k＝4(舍去)；
若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，则1答案：BCD
11．解析：
设O为BC中点，连接AO，DO，由△ACD和△ABD全等，可知DC＝DB，AC＝AB，则DO⊥BC，AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD，∴A正确．
∵BC⊥平面AOD，∴∠AOD为二面角A BC D的平面角．计算可得AO＝，BD＝＝，DO＝＝，AD2≠AO2＋OD2，故∠AOD≠90°，故B错误．
cos ∠DAO＝＝，sin ∠DAO＝.
∴VD ABC＝2VB－ADO＝2×××＝，∴C正确；
S△ACD＝×2×1×＝，
设B到平面ACD的距离为d′，则以AB为直径的球的球心到平面ACD的距离d＝d′，即d′＝2d，∴由VD ABC＝＝VB ACD＝·S△ACD·2d得d＝×＝.
如图所示，设AD交球O1于F，AC交球O1于E，平面ACD截得球的圆为圆O2，设圆O2半径为r，
则O1O2＝d＝，O1E＝＝，
则O2E＝O2F＝r＝＝ ＝，
∴＝∠EO2F·r＝2∠EAF·r＝2××＝π，
∴D错误．故选AC.
答案：AC
12．解析：当a＝0时，f(x)＝ex－ln x，则f′(x)＝ex－，f′(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f′()<0，f′(1)>0，所以f′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点m，则em＝，所以m＝ln ＝－ln m，则f(x)在(0，m)上单调递减，在(m，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(m)＝em－ln m＝em＋m>0，从而f(x)没有零点，故A正确，B错误．
当a＝2时，f(x)＝ex－ln (x＋2)，则f′(x)＝ex－，因为f′(0)＝，f(0)＝1－ln 2，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1－ln 2，所以C正确．
因为f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上为增函数，且f′(－1)<0，f′(0)>0，所以f(x)只有一个极值点x0，且x0∈(－1，0)，所以D正确. 故选ACD.
答案：ACD
13．解析：f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋4)，
∴f(－1)＝－f(1)＝－1×5＝－5.
答案：－5
14．解析：因为＝(sin (α＋)，6)，＝(sin (α＋)，1)且∥.
所以sin (α＋)＝6sin (α＋)，
所以sin αcos ＋cos αsin ＝6(sin αcos ＋cos αsin )
所以sin α＋cos α＝6(－sin α＋cos α)，
所以tan α＝＝.
所以tan 2α＝＝＝.
答案：
15．解析：∵an＋2－an＝1＋cos nπ，a1＋a2＝2，
∴当n＝2k－1(k∈N*)时，有a2k＋1－a2k－1＝1＋cos [(2k－1)π]＝0；
当n＝2k(k∈N*)时，有a2k＋2－a2k＝1＋cos (2kπ)＝2，
∴数列{a2n－1}是每项均为a1的常数列，数列{a2n}是首项为a2，公差为2的等差数列，
∴S100＝50a1＋50a2＋×2＝50(a1＋a2)＋50×49＝100＋2 450＝2 550.
答案：2 550
16．解析：因为C在半圆上，AB为直径，所以AC⊥BC，
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，PA⊥AC，
又因AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，
所以BC⊥PC，所以二面角A BC P的平面角为∠PCA＝60°，
设AC的长度为x(0＜x＜2)，则在直角三角形ABC中，BC＝，同理可得PA＝x，
所以三棱锥P ABC体积VP ABC＝S△ABC·PA＝·x·x＝x2，
令a＝x2(0＜a＜4)，则VP ABC＝a，
令f(a)＝a2(4－a)，(0＜a＜4)，
f′(a)＝8a－3a2，当0＜a＜时，f′(a)＞0，f(a)单调递增；
当＜a＜4时，f′(a)＜0，f(a)单调递减，
所以当a＝时，f(a)取最大值，即a取最大值.
答案：
17．解析：
(1)如图，
由正弦定理，得＝，
所以＝，
解得sin ∠ABD＝，
所以cos ∠ABD＝＝.
(2)因为sin ∠ABD＝，∠ABC＝90°，
所以cos ∠DBC＝，
由余弦定理，得DC2＝BD2＋BC2－2BD·BC cos ∠DBC＝25＋16－2×5×4×＝17，
所以DC＝.
18．解析：(1)因为a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n－1)3n＋1， ①
当n＝1时a1＝1，
当n≥2时，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝(n－2)3n－1＋1， ②
①－②得(2n－1)an＝[(n－1)3n＋1]－[(n－2)3n－1＋1]＝(2n－1)3n－1(n≥2).
所以an＝3n－1(n≥2).
又因为当n＝1时，上式也成立，所以{an}的通项公式为an＝3n－1.
(2)由题可知dn＝＝＝，得＝·，
则Tn＝·＋·＋·＋…＋·＋·， ③
Tn＝·＋·＋·＋…＋·＋·， ④
③－④得Tn＝1＋(＋＋…＋)－·
＝1＋·－·＝－·，
解得Tn＝－.
19．解析：(1)设对冬季奥运会项目了解比较全面的女生人数为n，则对冬季奥运会项目了解比较全面的男生人数为2n.因为从被调查的男生和女生中各选一人，两人都对冬季奥运会项目了解不够全面的概率为×＝，所以n＝40.
男生 女生 合计
了解比较全面 80 40 120
了解不够全面 20 60 80
合计 100 100 200
所以χ2＝＝>10.828，
故有99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关．
(2)从全校学生中随机抽取一人且该学生对冬季奥运会项目了解比较全面的概率P＝＝.
因为随机变量X～B(3，)，
所以P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝C××()2＝，
P(X＝2)＝C×()2×＝，P(X＝3)＝()3＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝3×＝.
20．解析：(1)证明：在梯形CC1D1D中，
因为CC1＝CD＝DD1＝C1D1＝1.
所以∠DD1C1＝，连接DC1，由余弦定理可得DC1＝.
∵DC＋DD＝D1C，∴DC1⊥DD1，
∵平面AA1D1D⊥平面CC1D1D且交于DD1，
DC1 平面CC1D1D，∴DC1⊥平面AA1D1D，
又∵AD 平面AA1D1D，∴AD⊥DC1.
∵AD⊥DC，DC∩DC1＝D，
∴AD⊥平面CC1D1D.
(2)连接A1C1，由(1)可知：A1D1⊥平面CC1D1D，以D1为原点，
以D1A1、D1C1分别为x轴、y轴正半轴，过D1作垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：
∵A1D1⊥平面CC1D1D，
∴∠A1CD1即为A1C与平面CC1D1D所成的角，
∴∠A1CD＝.
在Rt△A1CD1中，因为CD1＝，所以A1D1＝3，
则：D1(0，0，0)，A1(3，0，0)，D(0，，)，C(0，，)，C1(0，2，0).
所以A1C1＝(－3，2，0)，A1C＝(－3，，)，＝(0，1，0).
设平面AA1C1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
则，
令x＝2得n＝(2，3，)，
故点D到平面AA1C的距离为d＝＝＝，
所以点D到平面AA1C的距离为.
21．解析：(1)抛物线T：y2＝2px(p>0)的焦点F(，0)，准线x＝－，
△PQF为等边三角形，则有|PQ|＝|PF|，而Q为P在动直线x＝t(t<0)上的投影，则t＝－，
由S△PQF＝|PF|2sin 60°＝16，解得|PF|＝8，设P，则点Q(－，y0)，
于是由得，解得p＝4，
所以抛物线T的方程为：y2＝8x.
(2)显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为：x＝ty＋a，则直线CD方程为：x＝－y＋a，
由消去x并整理得y2－8ty－8a＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝8t，
于是得弦AB中点H(4t2＋a，4t)，|EH|＝＝4|t|，
同理得|EK|＝4 ＝4 ，
因此，直角△EHK面积S＝|EH|·|EK|＝·4|t|·4
＝8 ＝8 ≥8＝16，当且仅当t2＝，即t＝±1时取“＝”，
所以△EHK面积的最小值为16.
22．解析：(1)设直线y＝2x＋1与曲线y＝f(x)相切于点(x0，f(x0))，
∵f′(x)＝(x＋a＋1)ex，∴f′(x0)＝(x0＋a＋1)ex0＝2；
又f(x0)＝(x0＋a)ex0＝2x0＋1，∴2－ex0＝2x0＋1，即ex0＋2x0－1＝0；
设g(x)＝ex＋2x－1，则g′(x)＝ex＋2>0，∴g(x)在R上单调递增，
又g(0)＝0，∴g(x)有唯一零点x＝0，∴x0＝0，∴a＋1＝2，解得a＝1；
∴f(x)＝(x＋1)ex，f′(x)＝(x＋2)ex，
则当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)>0；
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：由(1)知：f(x)min＝f(－2)＝－e－2<0；
当x<－1时，f(x)<0；当x>－1时，f(x)>0，∴x1<－2要证x1·x2>4，只需证x1<<－2；
∵f(x)在(－∞，－2)上单调递减，∴只需证f(x1)>f()，
又f(x1)＝f(x2)，则只需证f(x2)>f()对任意x2∈(－2，－1)恒成立；
设h(x)＝f(x)－f()(－2∴h′(x)＝(x＋2)ex＋e＝(x3ex－＋8)；
设p(x)＝x3ex－＋8(－2∴p(x)在(－2，－1)上单调递减，∴p(x)又当－20，
∴h(x)在(－2，－1)上单调递增，∴h(x)>h(－2)＝f(－2)－f(－2)＝0，
即f(x)>f()在x∈(－2，－1)时恒成立，又x2∈(－2，－1)，
∴f(x2)>f()，原不等式得证．2023年高考数学押题卷(三)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{y|y＝2x，x≤1}，则A∩B＝( )
A．{x|－2≤x≤1} B. {x|－2≤x≤2}
C．{x|02．若复数z满足(1＋i)z＝|1＋i|，则z的虚部为( )
A．－i B. － C. D. －
3．如图某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，…，9这10个数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为( )
A. 0.09 B. 0.12 C. 0.18 D. 0.27
4．若3x＝4y＝10，z＝logxy，则( )
A．x>y>z B. y>x>z
C．z>x>y D. x>z>y
5．若(2x＋1)n的展开式中x3项的系数为160，则正整数n的值为( )
A．4 B. 5 C．6 D. 7
6．函数f(x)＝(x－)cos x在其定义域上的图象大致是( )
A． B．
C． D．
7．如图(1)，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，若将正方体绕着体对角线AC1旋转，则正方体所经过的区域构成如图(2)所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的体积为( )
A． B. C. D.
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，P是C上位于第一象限内的一点，若C在点P处的切线与x轴交于M点，与y轴交于N点，则与|PF|相等的是( )
A．|MN| B．|FN| C．|PM| D．|ON|
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是( )
A．P(A)＝ B. 事件A和事件B互为对立事件
C．P(B|A)＝ D. 事件A和事件B相互独立
10．已知函数f(x)＝cos (2ωx－)(ω>0)的最小正周期为，将f(x)的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是( )
A．g(0)＝0 B. g(x)在单调递增
C．g(x)的图象关于x＝－对称 D. g(x)在上的最大值是1
11．椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，点Q在以M(－2，4)为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的离心率为
B．|PF1|·|PF2|的最大值为4
C．过点M的直线与椭圆C只有一个公共点，此时直线方程为15x＋16y－34＝0
D．|PQ|－|PF2|的最小值为 －6
12.
如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则下列说法中正确的有( )
A．平面α截直四棱柱ABCD A1B1C1D1所得截面的形状为四边形
B．平面α截直四棱柱ABCD A1B1C1D1所得截面的面积为
C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25
D．点B到平面α的距离与点A1到平面的距离之比为1∶2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，设向量a，b满足＝a，＝a＋b，则|3a＋b|＝________．
14. 若函数f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)是偶函数，则＋的最小值为________．
15．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位，亿元)与时间t(单位：年)之间的关系为P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0为t＝0时的P值．假定P0＝2，那么在t＝10时，GDP增长的速度大约是________．(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年)注：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln (1＋x)≈x.
16．已知函数f(x)＝，若对 x1，x2∈(1，＋∞)，x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤k|ln x1－ln x2|，则k的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c, 已知a2－c2＝2b(b cos B＋a cos C).
(1)求角B；
(2)若b＝2，＝， 求△ABC的面积．
18．(12分)已知数列{an}满足a1＝1，an·an＋1＝9n，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前2n项和S2n.
19．(12分)如图1，已知等边△ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且满足＝2，＝＋，如图2，将△AMN沿MN折起到△A′MN的位置．
(1)求证：平面A′BM⊥平面BCNM；
(2)给出三个条件：①A′M⊥CN；②平面A′MN⊥平面BCNM；③四棱锥A′ BCNM的体积为，从中任选一个，求平面A′BC和平面A′CN的夹角的余弦值．
20．(12分)在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分．已知某同学在此次考试中，在前两道题中，每道题答对的概率均为，答错的概率均为；对于第三道题，答对和答错的概率均为；对于最后一道题，答对的概率为，答错的概率为.
(1)求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于15分的概率；
(2)设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为X，求X的分布列．
21．(12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx.
(1)当a＝0，b＝1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)(2)若b＝a2，函数f(x)在区间(1，2)上存在极大值，求a的取值范围．
22．(12分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝x，它的右顶点与抛物线Γ：y2＝4x的焦点重合，经过点A(－9，0)且不垂直于x轴的直线与双曲线C交于M、N两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点M是线段AN的中点，求点N的坐标；
(3)设P、Q是直线x＝－9上关于x轴对称的两点，求证：直线PM与QN的交点必在直线x＝－上．
2023年高考数学押题卷(三)
1．解析：因为A＝{x|－2≤x<3}，B＝{y|y＝2x，x≤1}＝{y|0所以A∩B＝{x|0答案：C
2．解析：由(1＋i)z＝|1＋i|＝，得z＝＝＝－i，
所以z的虚部为－.故选B.
答案：B
3．解析：先从3个位置中选1个，从0到9这10个数字中选一个数字放入，剩下的两个位置再从剩下的9个数字中选一个数字放入(两个位置数字相同)，有CCC＝270种方法，所以所求概率P＝＝0.27.故选 D.
答案：D
4．解析：因为3x＝4y＝10，则x＝log310>log39＝2；1＝log44y>1，从而z＝logxyy>z.故选A.
答案：A
5．解析：由二项式定理知：含x3项为C(2x)3·1(n－3)＝8×·x3，
由题意×n(n－1)(n－2)＝160 ，n(n－1)(n－2)＝120 ，
解得n＝6 ，故选C.
答案：C
6．解析：f(－x)＝(－x＋)cos (－x)＝－(x－)cos x＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项A、D，
因为当0又因为x∈(，)时，x－>0，cos x<0，所以f(x)<0，
x∈(，2π)，x－>0，cos x>0，所以f(x)>0，故在区间(0，2π)与x轴有三个交点，故排除B.故选C.
答案：C
7．解析：因为正方体的棱长为1，
所以由题意可得圆锥的底是边长为的等边三角形的外接圆，
所以外接圆的半径为××＝，
圆锥的母线长为正方体的边长，即l＝1，
所以圆锥的高为h＝ ＝ ＝，
所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×()2×＝，故选A.
答案：A
8．解析：
如图，设P(a，)(a>0)，由y＝，得y′＝，
所以C在点P处的切线方程为y－＝(x－a)，
从而M(，0)，N(0，－)，
根据抛物线的定义，得|PF|＝＋；
又F(0，)，|FN|＝－(－)＝＋，所以|PF|＝|FN|>|ON|；
由P(a，)，M(，0)，N(0，－)，得M是PN的中点，则MF⊥PN，从而|PF|>|PM|＝|MN|.故选B.
答案：B
9．解析：对于A，P(A)＝＝，可得A错误；
对于B，事件B第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，
就可以使得两次向下的数字之和为奇数，可知事件A和事件B不是对立事件，
可得B错误；
对于C，由P(AB)＝×＝，可得P(B|A)＝＝＝，
可得C正确；
对于D选项，由P(B)＝×＋×＝，可得P(A)P(B)＝P(AB)，
可知事件A和事件B相互独立，可得D正确；故选CD.
答案：CD
10．解析：由题意＝，ω＝2，所以f(x)＝cos (4x－)，
g1(x)＝cos ＝cos (4x＋)＝－sin 4x，g(x)＝－sin 2x，
g(0)＝0，A正确；
x∈时，2x∈，y＝sin 2x递增，g(x)递减，B错；
g(－)＝－sin (－)＝1是最大值，C正确；
x∈时，2x∈，y＝sin 2x的最小值是－，g(x)的最大值是，D错；故选AC.
答案：AC
11．解析：对于选项A，由椭圆C的方程知a＝2，b＝1，c＝，
所以离心率e＝，故选项A不正确；
对于选项B, 由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤()2＝4，
即当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1|·|PF2|的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C, 当直线的斜率不存在时，所求直线为x＝－2，满足条件，故选项C错误；
对于选项D, 圆M：(x＋2)2＋(y－4)2＝4，
所以|PQ|－|PF2|＝|PQ|－(4－|PF1|)≥|QF1|－4≥|MF1|－2－4＝－6，故选项D正确；故选BD.
答案：BD
12．解析：
对A，延长DA，DC交直线EF于P，Q，连接D1P，D1Q，交棱AA1，CC1于M，N，
连接D1M，ME，D1N，NF可得五边形，故A错误；
对B，由平行线分线段成比例可得，AP＝BF＝1，
故DP＝DD1＝3 ，则△DD1P为等腰三角形，由相似三角形可知：
AM＝AP＝1，A1M＝2，则D1M＝D1N＝2，ME＝EF＝FN＝，
连接MN，易知MN＝2，
因此五边形D1MEFN可以分为等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN，
等腰梯形MEFN的高h＝ ＝，
则等腰梯形MEFN的面积为×＝，
又S△D1MN＝×2×＝2，
所以五边形D1MEFN的面积为＋2＝，故B正确；
记平面将直四棱柱分割成上下两部分的体积分别为V1，V2，
则V2＝VD1－DPQ－VM－PAE－VN－CFQ＝××3×3×3－××1×1×1－××1×1×1＝，
所以V1＝VABCD－A1B1C1D1－V2＝12－＝，V1∶V2＝47∶25，故C正确；
对D，因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等，由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1 到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，因此，点A1 到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
13．解析：方法一：＝－＝a＋b－a＝b，则||＝|b|＝1，|a|＝1，而||＝|a＋b|＝1，
两边平方，可得2a·b＝－1，|3a＋b|2＝9＋6a·b＋1＝7，
所以|3a＋b|＝.
方法二：因为|3a＋b|2＝|2a＋a＋b|2＝|2＋|2＝42＋4·＋2＝4＋2＋1＝7，
所以|3a＋b|＝.
答案：
14．解析：由f(x)为偶函数可得f(－x)＝f(x)，即＋＝ax＋bx，
所以(ax＋bx)[(ab)x－1]＝0.
因为x∈R，且a>0，b>0，a≠1，b≠1，
所以ab＝1，
则＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即a＝，b＝2时，＋取最小值4.
答案：4
15．解析：由题可知P(t)＝2(1＋10%)t＝2×1.1t，
所以P′(t)＝2×1.1t ln 1.1，
所以P′(10)＝2×1.110ln 1.1≈2×2.59×0.1＝0.518≈0.52，
即GDP增长的速度大约是0.52.
答案：0.52
16．解析：f′(x)＝－，则当00，
当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
不妨设1f(x2)，ln x1由已知f(x1)－f(x2)≤k(ln x2－ln x1)，即f(x1)＋k ln x1≤f(x2)＋k ln x2，
令g(x)＝f(x)＋k ln x，则g(x)在(1，＋∞)上不存在减区间，
从而当x>1时，g′(x)＝－＋≥0恒成立，即k≥恒成立，
令h(x)＝，则h′(x)＝，当x∈(1，e)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(e)＝，所以k≥.
答案：
17．解析：(1)由a2－c2＝2b(b cos B＋a cos C)得
a2－c2＝2b2cos B＋2ab cos C，
由余弦定理得a2－c2＝2b2cos B＋a2＋b2－c2，
整理得 2b2cos B＝－b2，
所以 cos B＝－，
又 B∈(0，π), 所以 B＝；
(2)由＝整理得，
(sin A＋sin C)＝2(sin A cos C＋cos A sin C)，
(sin A＋sin C)＝2sin (A＋C)，
故(sin A＋sin C)＝2sin B，
由正弦定理得(a＋c)＝2b，
又 b＝2， 所以 a＋c＝4,
则 a2＋c2＋2ac＝16. ①
由余弦定理， 得 b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即 12＝a2＋c2＋ac.②
由①②， 得 ac＝4，
故 S△ABC＝ac sin B＝×4×＝.
18．解析：(1)由题意，当n＝1时，a1a2＝9，可得a2＝9，
因为an·an＋1＝9n，可得an＋1·an＋2＝9n＋1，所以＝9，
所以数列{an}的奇数项和偶数项都是公比为9的等比数列.
所以当n为奇数时，设n＝2k－1(k∈N*)，则an＝a2k－1＝1·9k－1＝32k－2＝3n－1，
当n为偶数时，设n＝2k(k∈N*)，则an＝a2k＝9·9k－1＝9k＝32k＝3n.
因此，an＝.
(2)由(1)得bn＝，
∴S2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)
＝[0－2－4－…－(2n－2)]＋(32＋34＋36＋…＋32n)－n
＝－＋－n＝.
19．解析：(1)证明：等边△ABC中，由＝＋，得－＝2(－)即＝2，
所以AN＝2，NC＝1，
又＝2，得BM＝2，MA＝1，
在△AMN中，AM＝1，AN＝2，∠A＝60°，由余弦定理得MN＝，
∴MN2＋AM2＝AN2，∴MN⊥AB，
∴MN⊥A′M，MN⊥BM，
又BM∩A′M＝M，BM，A′M 平面A′BM，
∴MN⊥平面A′BM,
又MN 平面BCNM，
∴平面A′BM⊥平面BCNM，
(2)若选择条件①A′M⊥CN，
∵A′M⊥CN，A′M⊥MN，CN，MN 平面BCNM，CN∩MN＝N，
∴A′M⊥平面BCNM，又BM 平面BCNM，
∴A′M⊥BM，
结合(1)可知，MA′，MB，MN两两垂直，
以M为坐标原点，MB，MN，MA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：M(0，0，0)，A′(0，0，1)，B(2，0，0)，C，N(0，，0).
设平面A′BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，＝(，，－1)，＝(－，，0)
则，
令y1＝1，则x1＝，z1＝2，即n1＝(，1，2)，
同理，平面A′CN的法向量为n2＝(－，1，)，
设平面A′BC和平面A′CN的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
故平面A′BC和平面A′CN的夹角的余弦值为.
若选择条件②平面A′MN⊥平面BCNM，
∵平面A′MN⊥平面BCNM，平面A′MN∩平面BCNM＝MN，
A′M 平面A′MN，A′M⊥MN，
∴A′M⊥平面BCNM，
∴A′M⊥BM,
以下步骤同选①
若选择条件③四棱锥A′ BCNM的体积为，
容易求得，四边形BCNM的面积为S＝，又四棱锥A′ BCNM的体积为，
所以，四棱锥A′ BCNM的高为h＝1，即点A′到底面BCNM的距离为1，
又因为A′M＝1，
∴A′M⊥平面BCNM，
∴A′M⊥BM，
以下步骤同选①.
20．解析：(1)设“第i(i∈{1，2，3，4})题答对”为事件Ai，设“得分不低于15分”为事件B，
则P(B)＝P(A1A2A34)＋P(A1A23A4)＋P(A12A3A4)＋P(1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)
＝×××＋×××＋×××＋×××＋×××＝；
(2)易知X的取值可能为0，5，10，15，20，
P(X＝0)＝P(1234)＝×××＝，
P(X＝5)＝P(A1234)＋P(1A234)＋P(12A34)＋P(123A4)
＝×××＋×××＋×××＋×××＝；
P(X＝10)＝P(A1A234)＋P(A12A34)＋P(A123A4)＋P(1A23A4)＋P(1A2A34)＋P(12A3A4)
＝×××＋×××＋×××＋×××＋×××＋×××＝＝；
P(X＝15)＝P(A1A2A34)＋P(A1A23A4)＋P(A12A3A4)＋P(1A2A3A4)
＝×××＋×××＋×××＋×××＝；
P(X＝20)＝P(A1A2A3A4)＝×××＝；
则X的分布列为：
X 0 5 10 15 20
P
21.解析：(1)证明：由题意得f(x)＝－x3＋x，则f′(x)＝－3x2＋1，当x>1时，f′(x)<0，
f(x)在x∈(1，＋∞)上是减函数，∴f(x)g(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，
∴g(x)>ln 1＝0，∴当x∈(1，＋∞)时，f(x)(2)f′(x)＝－3x2＋2ax＋a2＝－(3x＋a)(x－a)，且x∈(1，2)，
令f′(x)＝0，得x＝－或a，
①当a＝0时，则f′(x)＝－3x2<0，f(x)单调递减，函数f(x)没有极值；
②当a>0时，当x<－时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当－0，f(x)单调递增；当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
∴f(x)在x＝a取得极大值，在x＝－取得极小值，则1③当a<0时，当x当a0，f(x)单调递增；当x>－时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
∴f(x)在x＝－取得极大值，在x＝a取得极小值，由1<－<2得－6综上，函数f(x)在区间(1，2)上存在极大值时，a的取值范围为(－6，－3)∪(1，2).
22．解析：(1)由题意得，解得，
所以双曲线C的标准方程为－＝1；
(2)设N(x0，y0)，因为M是线段AN的中点，所以M(，)，
则得－＝1，－＝1，
解得x0＝4，y0＝±13，
所以所求点N的坐标为(4，13)或(4，－13)；
(3)证明：由题意可设直线MN的方程为y＝k(x＋9)，
联立方程组，消去y，并整理得
(13－k2)x2－18k2x－3(27k2＋13)＝0(13－k2≠0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－，
又设P(－9，t)，Q(－9，－t)(t≠0)，则直线PM的方程为y－t＝(x＋9)，
直线QN的方程为y＋t＝(x＋9)，两个方程相减得
2t＝(－)(x＋9) ①，
因为－＝－＝，
把它代入①得2＝·(x＋9)，
所以x＝＝＝－，
因此直线PM与QN的交点在直线x＝－上．2023年高考数学押题卷(四)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知复数z＝i(1＋i)，则＝( )
A．－i B. －＋i
C．－i D. －＋i
3．已知f(x)在R上连续，y＝f′(x)是y＝f(x)的导函数，则f′(x0)＝0是x0为函数f(x)极值点的( )
A．充要条件 B. 充分不必要条件
C．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )
A．等边三角形 B. 等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形 D. 其他等腰三角形
5．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥 B. 事件A与B对立
C．事件A与B相互独立 D. 事件A与B既互斥又相互独立
6．已知cos (＋α)＝(－<α<)，则sin (α＋)＝( )
A． B. C． D.
7．已知⊙O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B. (－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－，)
8．函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x)在R上存在导函数f′(x)，且在(0，＋∞)上f′(x)A． B．∪
C． D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是( )
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
10．已知实数m、n和向量a、b，下列结论中正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb B. (m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b D. 若ma＝na(a≠0)，则m＝n
11．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋33n(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
A．{an}是递增数列 B. an＝－2n＋34
C．当n＝16或17时，Sn取得最大值 D. |a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝452
12．已知双曲线C：－＝1的一条渐近线方程为4x－3y＝0，过点(5，0)作直线l交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有( )
A．t＝16或－9
B．该双曲线的离心率为
C．满足＝的直线l有且仅有一条
D．若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线l的斜率的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x，则f(－1)＝________．
14．已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p＝________．
15．已知3a＝5b＝A，则＋＝2，则A等于________．
16．如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16 cm2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为________cm3.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在△ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝－.
(1)求C；
(2)若c＝2a，求sin B．
18．(12分)已知数列{an}为首项a1＝的等比数列，其前n项和Sn中S3＝，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log|an|，Tn＝＋＋…＋，求Tn.
19.
(12分)如图，四棱锥P ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，BC＝CD＝2AB＝2，PB＝PD＝2，PC＝，AD＝3AM，N为PC中点．
(1)证明：BD⊥PC；
(2)求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．
20．(12分)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出冠军．积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为p(0(1)比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
(2)第10轮比赛中，记张三3∶1取胜的概率为f(p).
①求出f(p)的最大值点p0；
②若以p0作为p的值，这轮比赛张三所得积分为X，求X的分布列及期望．
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(2，0)，M(－1，0)，N(1，0)，点P是平面内的动点，且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆O1内切．
(1)证明|PM|＋|PN|为定值，并求点P的轨迹Ω的方程．
(2)过点A的直线与轨迹Ω交于另一点Q(异于点B)，与直线x＝2交于一点G，∠QNB的角平分线与直线x＝2交于点H，是否存在常数λ，使得＝λ恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
22．(12分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋－5.
(1)证明：f(x)<；
(2)若函数f(x)的图象与g(x)的图象有两个不同的公共点，求实数a的取值范围．
2023年高考数学押题卷(四)
1．解析：由题意，A∩B＝{5，7，11}，故A∩B中元素的个数为3.故选B.
答案：B
2．解析：∵z＝i(1＋i)＝－＋i，
∴|z|＝2，＝－－i，
∴＝－＝－＝－＋i.故选D.
答案：D
3．解析：f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点，还需要在x＝x0两侧的单调性不相同．
x0是f(x)的极值点时，由于f(x)在R上连续，所以f′(x0)＝0.
所以f′(x0)＝0是x0为函数f(x)极值点的必要不充分条件．故选C.
答案：C
4．解析：因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥母线长为，圆锥底半径r＝，所以此圆锥的轴截面是等边三角形．故选A.
答案：A
5．解析：因为P()＝，所以P(A)＝1－P()＝1－＝，
又P(AB)＝，P(B)＝，所以P(AB)＝P(A)·P(B)，则A与B相互独立；
因为P()≠P(B)，所以事件A与B显然不对立，无法确定事件A与B是否互斥．故选C.
答案：C
6．解析：∵cos (＋α)＝－sin α＝，∴sin α＝－，
∴－<α<0，∴cos α＝.
∴sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝.故选A.
答案：A
7．解析：易知点B(a，2)在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线，
设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2，
即kx－y－2＝0，
由d＝＝1，得k＝±，
∴切线方程为y＝±x－2，和直线y＝2的交点坐标分别为(－，2)，(，2)，
故要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).故选B.
答案：B
8．解析：由函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，可知函数为奇函数，
∵f(1－m)－f(m)≥[(1－m)3－m3]，
即f(1－m)－(1－m)3≥f(m)－m3，
构造函数g(x)＝f(x)－x3，
由题意知：在(0，＋∞)上，g′(x)＝f′(x)－x2<0，
故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵f(x)为奇函数，
∴g(－x)＝f(－x)＋x3＝－f(x)＋x3＝－g(x)，
即g(x)为奇函数，
故g(x)在R上单调递减，
因此原不等式可化为：g(1－m)≥g(m)，
即1－m≤m，解得m≥.故选D.
答案：D
9．解析：甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，A正确；s＝191>110＝s，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B正确．
甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误．故选ABC.
答案：ABC
10．解析：对于A选项，m(a－b)＝ma－mb，A对；
对于B选项，(m－n)a＝ma－na，B对；
对于C选项，若ma＝mb，则m(a－b)＝0，所以，m＝0或a＝b，C错；
对于D选项，若ma＝na(a≠0)，则(m－n)a＝0，所以，m－n＝0，即m＝n，D对．
故选ABD.
答案：ABD
11．解析：因为Sn＝－n2＋33n(n∈N*)，
所以Sn－1＝－(n－1)2＋33(n－1)(n≥2)，
两式相减得an＝－2n＋34，
当n＝1时，a1＝32适合上式，
所以an＝－2n＋34，
因为an＋1－an＝－2<0，所以数列{an}是递减数列，
由an＝－2n＋34≥0，解得n≤17，且a17＝0，
所以当n＝16或17时，Sn取得最大值，
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a30|
＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－a30
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋a17＋a18＋a19＋…＋a30)，
＝2×－＝454.故选BC.
答案：BC
12．解析：因为双曲线C：－＝1的一条渐近线方程为4x－3y＝0，
所以＝，解得t＝16，故A错误；
双曲线方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5，
所以该双曲线的离心率e＝，故B正确；
点(5，0)为双曲线的右焦点，
当x＝5时，y＝±，
当A，B两点都在双曲线的右支上时，≥，
因为＝，所以这种情况的直线AB只有一条，且AB与x轴垂直，
当A，B在双曲线的左右两支上时，
可得≥2a＝6，
而>6，可得这样的直线有两条，
综上所述，满足＝的直线l有3条，故C错误；
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
要使A和B分别在双曲线左、右两支上，
则直线l的斜率的取值范围是，故D正确．
答案：BD
13．解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x，则
f(－1)＝－f(1)＝－(12＋2×1)＝－3.
答案：－3
14．解析：抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，)，
将y＝代入x2＝2py可得x＝±p，即有A(p，)，B(－p，)，
所以＝2p，所以S△AOB＝××2p＝18，解得p＝6.
答案：6
15．解析：∵3a＝5b＝A，∴a＝log3A，b＝log5A，A>0.
∴＝logA3，＝logA5.
又∵＋＝2，
∴logA3＋2logA5＝2 logA3＋logA25＝2，
即logA75＝2，∴A2＝75，∵A>0，∴A＝5.
答案：5
16．解析：设圆锥底面圆的半径为R cm，圆柱形冰块的底面圆半径为x cm，高为h cm，由题意可得，×(2R)2＝16，解得R＝4，h≤tan ·(R－x)＝(4－x)(00；当答案：
17．解析：(1)因为cos B＝－，
即2c cos B＝2a－b，由正弦定理可得2sin C cos B＝2sin A－sin B，
又sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)，
即2sin C cos B＝2sin (B＋C)－sin B，
所以2sin C cos B＝2sin B cos C＋2cos B sin C－sin B，
即2sin B cos C＝sin B，因为sin B>0，所以cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为c＝2a，所以sin A＝sin C＝×＝，
因为c>a，所以cos A＝＝，
所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝×＋×＝.
18．解析：(1)若q＝1，则S3＝≠不符合题意，∴q≠1，
当q≠1时，由，得，
∴an＝·(－)n－1＝(－)n＋1.
(2)∵bn＝log|an|＝log＝n＋1，
∴＝＝－，
∴Tn＝＋＋…＋＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－.
19．解析：(1)连接CM交BD于点O，连接PO，
因为AD＝3AM，延长CM交AB于E，
由AB∥CD，则＝＝，可得AE＝1，
四边形EBCD为正方形，则BD⊥CM，且O为BD中点，
由PB＝PD＝2，则BD⊥PO，且CM∩PO＝O，CM，PO 平面PCM，
所以BD⊥平面PCM，PC 平面PCM，则BD⊥PC；
(2)以C为原点，CD为x轴，CB为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则M(，，0)，B(0，2，0)，D(2，0，0)，C(0，0，0)，设P(x，y，z)，
由BD⊥平面PCM，BD 平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PCM，
由PB＝PD＝2，则PO＝，由BC＝CD＝2AB＝2且BC⊥CD，则OC＝，
又PC＝，故△POC为等边三角形，且平面ABCD⊥平面POC，
所以P(，，)，则N(，，)，
综上，＝(－，－，)，＝(2，－2，0)，＝，
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则，令x＝，解得n＝(，，2)，
所以sin θ＝＝＝.
20．解析：(1)比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是p＝＝；
(2)①由题可知f(p)＝Cp3(1－p)＝3p3(1－p)，
f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3×(－1)]＝3p2(3－4p)，
令f′(p)＝0，得p＝，
当p∈(0，)时，f′(p)>0，f(p)在(0，)上单调递增；
当p∈(，1)时，f′(p)<0，f(p)在(，1)上单调递减．
所以f(p)的最大值点p0＝，
②X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝(1－p)3＋Cp(1－p)3＝(1－)3＋C××(1－)3＝；
P(X＝1)＝Cp2(1－p)3＝C×()2×(1－)3＝；
P(X＝2)＝Cp2(1－p)2p＝C()2×(1－)2×＝；
P(X＝3)＝p3＋pCp2(1－p)＝()3＋C()2×(1－)×＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.21.解析：
(1)如图，以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆O1内切，
则|OO1|＝－
＝2－.
连接PN，因为点O和O1分别是MN和PM的中点，所以|OO1|＝.
故有＝2－，即|PN|＋|PM|＝4，
又4>2＝|MN|，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆．
因为2a＝4，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故Ω的方程为＋＝1.
(2)存在λ＝满足题意．
理由如下：设Q(x0，y0)，G(2，y1)，H(2，y2).显然y1y2>0.
依题意，直线AQ不与坐标轴垂直，设直线AQ的方程为x＝my－2(m≠0)，
因为点G在这条直线上，所以my1＝4，m＝.
联立得(3m2＋4)y2－12my＝0的两根分别为y0和0，
则y0＝，x0＝my0－2＝，
所以kQN＝＝＝＝，kNH＝y2.
设∠BNH＝θ，则∠BNQ＝2θ，则kQN＝tan 2θ，kNH＝tan θ，
所以tan 2θ＝＝＝，整理得(y1－2y2)(y1y2＋2)＝0，
因为y1y2>0，所以y1－2y2＝0，即y2＝y1.
故存在常数λ＝，使得＝λ.
22．解析：(1)证明：要证f(x)<，即证：当x∈(0，＋∞)时，不等式ln x－<0恒成立．
令F(x)＝ln x－，则F′(x)＝－＝，
故当00，F(x)单调递增；
当x>4时，F′(x)<0，F(x)单调递减．
则F(x)max＝F(4)＝ln 4－2<0，故f(x)<.
(2)由f(x)＝g(x)可得a＝＋－＝，
构造函数h(x)＝－，其中x>0，
则h′(x)＝＋＝，
当00，ln x<0，则h′(x)>0，此时函数h(x)单调递增，
当x>1时，4－4x<0，ln x>0，则h′(x)<0，此时函数h(x)单调递减，
所以h(x)max＝h(1)＝3，
令φ(x)＝x ln x＋5x－2，则当x>1时，φ(x)>5x－2>0，
当0作出函数h(x)与y＝a的图象如图所示：
由图可知，当0因此，实数a的取值范围是(0，3).2023年高考数学押题卷(五)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{1，2} ，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a 的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若复数z的共轭复数为，并满足i＝2＋i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
3．命题“ x0>0，x－x0＋3>0”的否定是( )
A． x0>0，x－x0＋3≤0 B． x>0，x2－x＋3≤0
C． x0≤0，x－x0＋3≤0 D． x≤0，x2－x＋3>0
4．已知函数f(x)＝，则f(2 023)＝( )
A． B．2e C． D．2e2
5．已知直线l：(a－1)x＋y－3＝0，圆C：(x－1)2＋y2＝5.则“a＝－1”是“l与C相切”的( )
A．必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．某县扶贫办积极响应党的号召，准备对A乡镇的三个脱贫村进一步实施产业帮扶．现有“特色种养”、“庭院经济”、“农产品加工”三类帮扶产业，每类产业中都有两个不同的帮扶项目，若要求每个村庄任意选取一个帮扶项目(不同村庄可选取同一个项目)，那么这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的概率为( )
A． B． C． D．
7．在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝4，|BC|＝5，M为BC中点，O为△ABC的内心，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A． B． C． D．1
8．已知A，B，C是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC，且＝，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－10，an＋1＝an＋3，则下列说法正确的是( )
A．{an}是递增数列 B．10是数列{an}中的项
C．数列{Sn}中的最小项为S4 D．数列是等差数列
10．将函数y＝sin 2x＋cos 2x＋1的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则下面对函数g(x)的叙述中正确的是( )
A．函数g(x)的最小正周期为 B．函数g(x)图象关于点(－，0)对称
C．函数g(x)在区间内单调递增 D．函数g(x)图象关于直线x＝对称
11．已知实数a、b, 下列说法一定正确的是( )
A．若aB．若b>a>1，则logaba<
C．若a>0，b>0，a＋2b＝1，则＋的最小值为8
D．若b>a>0，则>
12．已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB, AC的中点，将△AMN沿MN折起至△A′MN，在四棱锥A′ MNCB中，下列说法正确的是( )
A．直线MN∥平面A′BC
B．当四棱锥A′ MNCB体积最大时，二面角A′ MN B为直二面角
C．在折起过程中存在某位置使BN⊥平面A′NC
D．当四棱锥A′ MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为39π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．国庆放假期间，4号到7号安排甲乙丙三人值班，其中，乙和丙各值班1天，甲连续值班2天，则所有的安排方法共有________种．
14．曲线y＝ex＋x2－x在x＝0处的切线的倾斜角为α，则sin (2α＋)＝________．
15．已知点A(0，5)，过抛物线x2＝12y上一点P作y＝－3的垂线，垂足为B, 若|PB|＝|PA|，则|PB|＝________.
16．已知函数g(x)＝，则函数g(x)图象的对称中心为________；方程g(x)＝2cos x＋sin 2x在区间[－2π，π]上的实根之和为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.
(1)若数列{an－t}是等比数列，求常数t和数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2(an－1)＋(－1)n·n，求数列{bn}的前2n项的和S2n.
18．(12分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(a＋b)(sin A－sin B)＝(a－c)sin C.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，求a的取值范围．
19．(12分)
如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F.
(1)证明：PB⊥平面EFD；
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为，求AD的长度．
20．(12分)2021年3月5日李克强总理在政府工作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：
方案一；交纳延保金5 000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1 000元；
方案二：交纳延保金6 230元，在延保的5年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；
制造商为制定收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表
维修次数 0 1 2 3
机器台数 20 40 80 60
以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．
(1)求X的分布列；
(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？
21．(12分)已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝r2，圆F2：(x－1)2＋y2＝(4－r)2，0(1)求曲线C的方程；
(2)已知点P(1，)，过曲线C右焦点F2的直线交曲线C于A、B两点，与直线x＝m交于点D，是否存在实数m，λ，使得kPA＋kPB＝λkPD成立，若存在，求出m，λ；若不存在，请说明理由．
22．(12分)已知f(x)＝ex－ax2－x－1.
(1)当a＝时求f(x)的极值点个数；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围；
(3)求证：＋＋…＋<，其中n∈N*.
2023年高考数学押题卷(五)
1．解析：由A∩B＝{1}，而a2＋3≥3，故a＝1.故选B.
答案：B
2．解析：因为i＝2＋i，所以＝＝＝1－2i，所以z＝1＋2i.故选A.
答案：A
3．解析：命题“ x0>0，x－x0＋3>0”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“ x0>0，x－x0＋3>0”的否定是“ x>0，x2－x＋3≤0”．故选B.
答案：B
4．解析：f(2 023)＝f(－2)＝e－2＋ln 2＝.故选C.
答案：C
5．解析：圆C：(x－1)2＋y2＝5的圆心为(1，0)，半径r＝ ，
由直线l和C 相切可得：
圆心到直线的距离d＝＝，
解得2a2－a－3＝0，
解得a＝－1或a＝，
故a＝－1 是a＝－1 或a＝ 的充分不必要条件．故选B.
答案：B
6．解析：
设“特色种养”中的两个帮扶项目为A，B，“庭院经济”中的两个帮扶项目为C，D，“农产品加工”中的两个帮扶项目为E，F，
所以三个村庄总的方案为6×6×6＝216种，
按照题目要求，每个项目仅有一个村庄，则共有8×6＝48种，
所以这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的概率为＝.故选A.
答案：A
7．解析：
由题知，∠A＝，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径OE＝OF＝＝1，四边形AEOF为正方形，
则＝＋＝＋，又
＝＋，
则＝λ＋μ＝(λ＋)＋＝＋，
则，解得则λ＋μ＝＋＝.故选A.
答案：A
8．解析：设双曲线的左焦点为E，连接AE，CE，BE(图略)，
由题意知|BF|＝|AE|，|BE|＝|AF|，BF⊥AC，
∴四边形AEBF为矩形，令|BF|＝|AE|＝m，|BE|＝|AF|＝n，
∵|CE|－|CF|＝|AE|－|AF|＝2a，＝，
∴在Rt△EAC中|AE|2＋|AC|2＝|CE|2，m2＋(n＋n)2＝(2a＋n)2.
将2a＝m－n带入可得m＝6n，
∴n＝a，m＝a，
∴在Rt△EAF中，m2＋n2＝(2c)2，
即(a)2＋(a)2＝(2c)2，
可得e＝＝.故选D.
答案：D
9．解析：∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3，
∴数列{an}为首项为－10，公差为3的等差数列，
则an＝－10＋(n－1)×3＝3n－13，
∵an＋1－an＝3>0，∴{an}为递增数列，A正确；
令10＝3n－13，得n＝，不满足题意，故B错误；
∵a4＝－1<0，a5＝2>0，且{an}为递增数列，
∴数列{Sn}中的最小项为S4，故C正确；
∵Sn＝＝，
∴＝－，则数列是等差数列，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
10．解析：由题意可得：函数y＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin (2x＋)＋1，将其向右平移个单位可得y＝2sin (2x－＋)＋1＝2sin (2x＋)＋1，再将所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可得g(x)＝2sin (4x＋)＋1，
故可得函数g(x)的周期T＝＝，A符合题意；
令x＝－，可得g(－)＝0，故(－，0)不是函数g(x)的一个对称中心，B不符合题意；
当x∈，可得4x＋∈，由正弦函数性质，可得函数g(x)＝2sin (4x＋)＋1在x∈不单调，C不正确；
由g()＝2sin ＋1＝3，可得x＝是函数的对称轴，D符合题意．故选AD.
答案：AD
11．解析：对于A，当a＝0时，()a＝()a，A不符合题意；
对于B，若b>a>1，则1对于C，若a>0，b>0，a＋2b＝1，则＋＝(＋)(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立，C符合题意；
对于D，取a＝1，b＝2，＝＝<＝3，D不符合题意．故选BC.
答案：BC
12．解析：因为MN∥BC，MN 平面A′BC，BC 平面A′BC，所以直线MN∥平面A′BC，A符合题意；
因为四棱锥A′ MNCB底面积为定值，所以当点A′到平面MNCB距离最大时体积最大，故当二面角A′ MN B为直二面角时，满足题意，B符合题意；
对于C，如图，
若BN⊥平面A′NC，则BN⊥AA′，又A′D⊥MN，AD⊥MN，A′D∩AD＝D，可知MN⊥平面A′AD，所以A′A⊥MN，又MN∩BN＝N，所以A′A⊥平面MNCB，这显然不可能，C不符合题意；
当四棱锥A′ MNCB体积最大时，二面角A′ MN B为直二面角，如图，
由∠MBC＝，取BC的中点E, 则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN外心，
作OE⊥平面MNCB, OF⊥平面A′MN，则O是四棱锥A′ MNCB的外接球的球心，且OF＝DE＝，A′F＝.设四棱锥A′ MNCB的外接球半径为R，则R2＝A′F2＋OF2＝，所以球表面积是39π.故选ABD.
答案：ABD
13．解析：甲的安排方法有3种，即4，5两天值班或5，6两天值班或6，7两天值班，再安排乙与丙两人有A＝2种安排方法，所以所有的安排方法共有6种．
答案：6
14．解析：令y＝f(x)，由题得y′＝f′(x)＝ex＋2x－，所以f′(0)＝e0－＝，
所以tan α＝，∴α∈(0，)，∴cos α＝，
所以sin (2α＋)＝cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
答案：
15．解析：
设p(x，y)，|PB|＝|PA|，
可得y＋3＝，
x2－16y＋16＝0，
由x2＝12y，带入可得y＝4，
所以|PB|＝y＋3＝7.
答案：7
16．解析：g(x)＝＝，易知函数g(x)的图象关于点(－，0)对称；
令h(x)＝2cosx＋sin 2x，h(π－x)＝－2cos x－sin 2x＝－h(x)，所以函数h(x)的图象也关于点(－，0)对称；
h′(x)＝－4sin 2x－2sin x＋2＝－2(sin x＋1)(2sin x－1)，
当sin x∈(－1，)时，h′(x)>0，即h(x)在区间(－2π，－)和(－，)和(，π)上单调递增；当sin x∈(，1)时，h′(x)<0，即h(x)在区间(－，－)和(，)上单调递减．
又h(－2π)＝2，h(－)＝h()＝，h(－)＝h()＝－，h(π)＝－2，
画出h(x)和g(x)的简图如图．
设交点分别为A，B，C，D，则＝－，＝－，
则方程g(x)＝2cos x＋sin 2x在区间[－2π，π]上的实根之和为－2π.
答案：(－，0) －2π
17．解析：(1)由题意，数列{an}满足an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)，
又由a1＝2，可得a1－1＝1，
所以数列{an－1}是首项为1，公比为q＝2的等比数列，
又因为数列{an－t}是等比数列，所以t＝1，
可得an－1＝1·2n－1＝2n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1＋1.
(2)由(1)知：an＝2n－1＋1，可得bn＝2(an－1)＋(－1)n·n＝2n＋(－1)n·n，
所以数列{bn}的前2n项的和为：
S2n＝(2＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…－(2n－1)＋2n)
＝＋{(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]}
＝＋n＝22n＋1＋n－2.
18．解析：(1)因为(a＋b)(sin A－sin B)＝(a－c)sin C，
所以由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(a－c)c，化简得a2＋c2－b2＝ac，
所以由余弦定理得
cos B＝＝＝，
因为B∈(0，)，
所以B＝.
(2)因为B＝，所以A＋C＝π－B＝，
由正弦定理得，＝，
所以a＝·sin A＝＝＝＋，
因为△ABC为锐角三角形，
所以，得所以tan C>，
所以0<<3，所以<＋<4，
所以即a的取值范围为(，4).
19．解析：(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，
∴PD⊥BC，CD⊥BC，
又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC，
∵DE 平面PDC，∴BC⊥DE.
又∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC，
∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB，EF∩DE＝E，∴PB⊥平面EFD.
(2)如图，由题意知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D xyz.设AD＝t，
则D(0，0，0)，B(t，a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a)，E(0，，)，
∴＝(0，0，a)，＝(t，a，0)，
由(1)知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一个法向量，且＝(0，，).
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得即取y＝1，得n＝(－，1，0)，
∴cos ＝＝＝，解得t＝a，即AD＝a.
20．解析：(1)由题意得，X＝0，1，2，3，4，5，6，
P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝××2＝，P(X＝2)＝××2＋×＝，P(X＝3)＝××2＋××2＝，P(X＝4)＝××2＋×＝，P(X＝5)＝××2＝，P(X＝6)＝×＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)选择方案一：所需费用为Y1元，则X≤2时，Y1＝5 000，X＝3时，Y1＝6 000；X＝4时，Y1＝7 000；X＝5时，Y1＝8 000，X＝6时，Y1＝9 000，
∴Y1的分布列为
Y1 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000
P
E(Y1)＝5 000×＋6 000×＋7 000×＋8 000×＋9 000×＝6 860.
选择方案二：所需费用为Y2元，则X≤4时，Y2＝6 230；X＝5时，Y2＝6 230＋t；X＝6时，Y2＝6 230＋2t，则Y2的分布列为
Y2 6 230 6 230＋t 6 230＋2t
P
E(Y2)＝6 230×＋(6 230＋t)×＋(6 230＋2t)×＝6 230＋，
要使选择方案二对客户更合算，则E(Y2)∴6 230＋<6 860，解得t<1 500，即t的取值范围为[0，1 500).
21．解析： (1)由题意可知|PF1|＝r，|PF2|＝4－r，|F1F2|＝2，
所以|PF1|＋|PF2|＝4>|F1F2|，
所以曲线C为以F1、F2为焦点的椭圆，且a2＝22＝4，c2＝1，b2＝4－1＝3，
所以曲线C的方程为＋＝1.
(2)假设存在，由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y整理得，(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以kPA＋kPB＝＋＝＋
＝2k－－＝2k－＝2k－1，
kPD＝＝k－，
因为kPA＋kPB＝λkPD，
所以2k－1＝λk－，所以λ＝2，＝1，得m＝4，
所以存在m＝4，λ＝2使kPA＋kPB＝λkPD成立．
22．解析：(1)当a＝时，f(x)＝ex－x2－x－1，
所以f′(x)＝ex－ex－1，f″(x)＝ex－e，
所以当x<1时，f″(x)<0，f′(x)在(－∞，1)上单调递减；
当x>1时，f″(x)>0，f′(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因为f′(0)＝0，f′(1)＝－1，f′(2)＝e2－2e－1>0，
所以存在x0∈(1，2)，使f′(x0)＝0，所以，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈(0，x0)时，f′(x)<0；x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，所以0和x0是f(x)的极值点，
所以f(x)有两个极值点．
(2)f(x)＝ex－ax2－x－1，f′(x)＝ex－2ax－1，
设h(x)＝f′(x)＝ex－2ax－1(x≥0)，则h′(x)＝ex－2a单调递增，
又h′(0)＝1－2a，
所以当a≤时，h′(x)≥0，h(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(0)＝0，即f′(x)≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(0)＝0，符合题意．
当a>时，令h′(x)＝0，解得x＝ln 2a，
当x∈[0，ln 2a)时，h′(x)<0，h(x)在[0，ln 2a)上单调递减，
f′(x)＝h(x)≤h(0)＝0，
f(x)在(0，ln 2a)上单调递减，
所以x∈(0，ln 2a)时，f(x)所以a的取值范围是.
(3)证明：由(2)可知a＝时，f(x)≥0，x∈[0，＋∞)，即2ex－1≥x2＋2x＋1(x≥0)，
所以2en－1≥n2＋2n＋1>n2＋2n，<，
所以＋＋…＋<＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1＋－－<.2023年高考数学押题卷(一)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数z＝(1＋i)(2－i)(其中i为虚数单位)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．设全集U＝R，若集合A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x||x－2|>2}，则集合A∩( UB)＝( )
A．{1} B．{0，1，3}
C．{－1，5} D．{0，1，2，3}
3．已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0，2)到该抛物线焦点F的距离为，则m＝( )
A．4 B．3 C． D．
4．已知a＝()，b＝()，c＝log23，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
5．已知随机变量ξ服从正态分布，有下列四个命题：
甲：P(ξ1＋a) 乙：P(ξ≤a)＝
丙：P(ξP(ξ>3＋a) 丁：P(a－1<ξ<3＋a)若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．若圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为( )
A． B．π C．2π D．3π
7．已知＝，则tan α＝( )
A．－3 B．－ C． D．3
8．已知函数f(x)的定义域是R，f(1＋x)为偶函数， x∈R，f(4＋x)＝－f(－x)成立，f(1)＝2，则f(2 023)＝( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某同学连续抛掷一枚质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数的( )
A．众数为2和3 B．平均数为3
C．标准差为 D．第85百分位数为4.5
10．已知点A(a，b)，直线l：ax＋by＋c＝0，圆O：x2＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝c2.下列命题中的真命题是( )
A．若l与圆C相切，则A在圆O上 B．若l与圆O相切，则A在圆C上
C．若l与圆C相离，则A在圆O外 D．若l与圆O相交，则A在圆C外
11．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，下列选项正确的有( )
A．AD∥平面A1BC1
B．DB1⊥平面A1BC1
C．三棱锥D A1BC1的外接球的表面积为12π
D．三棱锥D A1BC1的体积为
12．已知函数f(x)＝sin |x|－|cos x|，下列关于此函数的论述正确的是( )
A．2π为函数f(x)的一个周期 B．函数f(x)的值域为[－，]
C．函数f(x)在上单调递减 D．函数f(x)在[－2π，2π]内有4个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线C：－＝1(b>0)的两条渐近线互相垂直，则b＝________．
14．已知函数f(x)，① x∈R，f(2－x)＝f(x)，② x∈R，f(－x－1)＝f(x＋1)，请写出一个同时满足条件①②的函数f(x)的解析式为________．
15．已知向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，(a－b)·(a－c)＝0，|b－c|＝9，则|a|＝________．
16．已知函数f(x)＝ex－b和g(x)＝ln (x＋a)－b3，其中a，b为常数且b>0.若存在斜率为1的直线与曲线y＝f(x)，y＝g(x)同时相切，则的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在等差数列{an}中，已知a1＋a2＝10，a3＋a4＋a5＝30.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an＋bn}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn.
18．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a sin (A＋C)＝b cos (A－).
(1)求角A；
(2)若a＝3，b＋c＝5，求△ABC的面积．
19．(12分)新高考按照“3＋1＋2”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取10名(包含考生甲和考生乙)进行调查．假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．
(1)求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率；
(2)已知抽取的这10名考生中，女生有4名，从这10名考生中随机抽取5名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望．
20．(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，已知平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝4，AE是等边△PAD的中线．
(1)证明：AE∥平面PBC.
(2)若PA＝4，求二面角E AC D的大小．
21．(12分)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点P(2，0)，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，当＋＝1时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由．
22．(12分)已知函数f(x)＝a(ex＋1)－－2(a∈R).
(1)若g(x)＝ex·f(x)，讨论g(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
高考押题专练2023年高考数学押题卷(一)
1．解析：z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，
则对应点的坐标为(3，1)，位于第一象限．故选A.
答案：A
2．解析：因为B＝{x||x－2|>2}＝{x|x－2<－2或x－2>2}＝{x|x<0或x>4}，
所以， UB＝{x|0≤x≤4}，因此，A∩( UB)＝{0，1，3}．故选B.
答案：B
3．解析：由题意，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－，
根据抛物线的定义，可得点(x0，2)到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，
可得2＋＝，解得m＝.故选D.
答案：D
4．解析：c＝log23>log22＝1，
1＝>a＝>＝，
b＝<＝，
因为1>>，
所以c>a>b.故选D.
答案：D
5．解析：首先甲、乙中至少有一个正确，因此x＝a是ξ的均值，从而甲乙两个均正确，
P(ξa＋2)>P(ξ>a＋3)，丙正确，
而P(a<ξ<4＋a)＝P(a<ξ<3＋a)＋P(3＋a<ξ<4＋a)＝P(a<ξ<3＋a)＋P(a－4<ξ答案：D
6．解析：设圆锥的高为h，
因为母线与底面所成的角为，所以tan ＝，解得h＝1.
圆锥的体积V＝×()2×1＝π.故选B.
答案：B
7．解析：＝＝＝＝，
∴tan α＝3.故选D.
答案：D
8．解析：因为f(1＋x)为偶函数，所以f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2＋x)＝f(－x)，
所以f(4＋x)＝－f(－x)＝－f(2＋x)，则f(2＋x)＝－f(x)＝f(－x)，
所以f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的函数，
因为f(4－1)＝－f[－(－1)]＝－f(1)＝－2，f(3)＝－2，
所以f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－2.故选C.
答案：C
9．解析：对于A，因为2和3出现的次数最多，均为3次，所以众数为2和3，所以A正确；
对于B，平均数为×(1＋3×2＋3×3＋4＋5×2)＝3，所以B正确；
对于C，标准差为
s＝＝，所以C错误；
对于D，因为这组数从小到大排列为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，且10×85%＝8.5，所以第85百分位数为第9 个数5，所以D错误．故选AB.
答案：AB
10．解析：若l与圆C相切，则＝|c|，a2＋b2＝1，所以A在圆O上，A正确；
若l与圆O相切，则＝1，a2＋b2＝c2，所以A在圆C上，B正确；
若l与圆C相离，则>|c|，a2＋b2<1，所以A在圆O内，C错误；
若l与圆O相交，则<1，a2＋b2>c2，所以A在圆C外，D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：
如图，对A，因为AD∥BC, BC与平面A1BC1相交于B，故AD与平面A1BC1相交，故A错误；
对B，连接A1C1，B1D1，因为正方体ABCD A1B1C1D1，故A1C1⊥B1D1，A1C1⊥DD1，B1D1∩DD1＝D1，故A1C1⊥平面DBB1D1，故A1C1⊥DB1，同理BC1⊥DB1，又A1C1∩BC1＝C1，故DB1⊥平面A1BC1，故B正确；
对C，三棱锥D A1BC1的外接球即正方体ABCD A1B1C1D1的外接球，易得其直径为DB1＝，故外接球的表面积S＝4π()2＝3π，故C错误；
对D，VD－A1BC1＝1－VA1－ABD－VC1－CBD－VB－A1B1C1－VD－A1D1C1＝1－4×××1×1×1＝，故D正确．故选BD.
答案：BD
12．解析：因为f(－)＝0≠f(2π－)＝－，所以A错误；
函数f(x)定义域为R，并且f(－x)＝f(x)，所以函数为偶函数；因为x∈[0，＋∞)，f(x)＝f(x＋2π)，为周期函数，
故仅需研究函数f(x)在区间[0，2π]上的值域及零点个数即可，因为x∈∪时，f(x)＝sin x－cos x＝sin (x－)；
x∈时，f(x)＝sin x＋cos x＝sin (x＋)；
当x∈∪时，令x－＝t∈∪，
则y＝sin t，t∈∪，可得y∈且仅一个零点；
当x∈时，令x＋＝t∈，则y＝sin t，t∈，
可得y∈[－，1]且仅一个零点；
所以函数f(x)的值域为[－，1]且在[－2π，2π]上有4个零点．故选项B错误，选项D正确；
函数f(x)在上，有f(x)＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，所以x＋∈，则得函数f(x)在该区间上为单调减函数．故选项C正确．故选CD.
答案：CD
13．解析：由题可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，
因为两条渐近线互相垂直，所以－×＝－1，解得b＝2.
答案：2
14．解析：由①知f(x)的图象关于直线x＝1对称，由②知f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故f(x)为周期为2的周期函数，符合该条件的函数可以为f(x)＝cos πx.
答案：f(x)＝cos πx(答案不唯一，只要符合条件即可)
15．解析：由已知可得a＝－b－c，则(a－b)·(a－c)＝(－2b－c)·(－b－2c)＝(2b＋c)·(b＋2c)＝0，
即2b2＋2c2＋5b·c＝0，
因为|b－c|＝9，则b2＋c2－2b·c＝81，所以，b2＋c2＝45，b·c＝－18，
因此，|a|2＝a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2b·c＝9，故|a|＝3.
答案：3
16．解析：f(x)＝ex－b定义域为R，g(x)＝ln (x＋a)－b3的定义域为(－a，＋∞)，
又f′(x)＝ex，g′(x)＝，
设f(x)＝ex－b在切点A(x1，ex1－b)处的切线即为斜率为1的直线，故ex1＝1，所以x1＝0，则A(0，1－b)，
设g(x)＝ln (x＋a)－b3在切点B(x2，ln (x2＋a)－b3)处的切线即为斜率为1的直线，则＝1，则x2＝1－a，
则B(1－a，－b3)，由两点间斜率公式得：＝1，则a＝b3－b＋2，由于b>0，
则＝＝b2＋－1＝b2＋＋－1≥3 －1＝2，当且仅当b2＝，
即b＝1时，此时a＝2等号成立，故的最小值为2.
答案：2
17．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a1＋a2＝10，a3＋a4＋a5＝30，
可得，
解得，
∴an＝4＋2(n－1)＝2n＋2.
(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an＋bn＝3n－1，
又an＝2n＋2，可得bn＝3n－1－2n－2，
所以Sn＝(1＋3＋9＋…＋3n－1)－(4＋6＋…＋2n＋2)
＝－＝－n2－3n－.
18．解析：(1)由正弦定理得sin A sin B＝sin B cos (A－)，
因为00，
所以sin A＝cos (A－)，化简得sin A＝cos A＋sin A，
所以cos (A＋)＝0，因为0(2)因为A＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
又a＝3，b＋c＝5，即9＝25－3bc，解得bc＝，
则△ABC的面积S＝bc sin A＝××＝.
19．解析：(1)考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科， 共有 C＝6种，
其中考生选择了地理作为再选科目， 共有 CC＝3 种，
故考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率P＝×＝.
(2)由题意可得， X所有可能取值为0，1，2，3，4，
P(X＝0)＝＝ ，P(X＝1)＝＝ , P(X＝2)＝＝ ，
P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝.
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
20．解析：(1)证明：如图，取PC的中点F，连接EF，BF.
因为E是棱PD的中点，所以EF∥CD，且EF＝CD.
因为AB∥CD，AB＝CD，所以EF∥AB，EF＝AB，
所以四边形ABFE是平行四边形，所以AE∥BF.
因为AE 平面PBC，BF 平面PBC，
所以AE∥平面PBC.
(2)取AD的中点O，连接PO，
因为△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
所以，以O为坐标原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
因为等边△PAD的边长为4，
所以A(2，0，0)，C(－2，4，0)，E(－，0，)，
＝(－4，4，0)，＝(－3，0，).
设平面ACE的一个法向量为m＝(x，y，z)，
由得
令x＝1，则y＝，z＝，所以m＝(1，，).
又平面ACD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
因为cos 〈m，n〉＝＝＝，
所以二面角E AC D的大小为45°.
21．解析：(1)因为＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点的弦长的最小值为＝2，
所以a＝2，c＝，b＝，所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为m(x－2)＋ny＝1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由椭圆的方程x2＋2y2＝4，得(x－2)2＋2y2＝－4(x－2).
联立直线l的方程与椭圆方程，得(x－2)2＋2y2＝－4(x－2)[m(x－2)＋ny]，
即(1＋4m)(x－2)2＋4n(x－2)y＋2y2＝0，(1＋4m)()2＋4n＋2＝0，
所以＋＝＋＝－＝1，
化简得m＋n＝－，代入直线l的方程得m(x－2)＋(－－m)y＝1，
即m(x－y－2)－y＝1，解得x＝－2，y＝－4，即直线l恒过定点(－2，－4).
22．解析：(1)由题意知，g(x)＝ex·f(x)＝ex·＝aex(ex＋1)－2ex－x，
g(x)的定义域为(－∞，＋∞)，g′(x)＝aex(ex＋1)＋aex·ex－2ex－1＝(2ex＋1)(aex－1).
若a≤0，则g′(x)<0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
若a>0，令g′(x)＝0，解得x＝－ln a.
当x∈(－∞，－ln a)时，g′(x)<0；当x∈(－ln a，＋∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
(2)因为ex>0，所以f(x)有两个零点，即g(x)＝ex·f(x)有两个零点．
若a≤0，由(1)知，g(x)至多有一个零点．
若a>0，由(1)知，当x＝－ln a时，g(x)取得最小值，最小值为g(－ln a)＝1－＋ln a.
①当a＝1时，由于g(－ln a)＝0，故g(x)只有一个零点；
②当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋ln a>0，即g(－ln a)>0，故g(x)没有零点；
③当a∈(0，1)时，1－＋ln a<0，即g(－ln a)<0.
又g(－2)＝ae－2(e－2＋1)－2e－2＋2>－2e－2＋2>0，故g(x)在(－∞，－ln a)上有一个零点．
存在x0∈(ln (－1)，＋∞)，则g(x0)＝aex0(ex0＋1)－2ex0－x0＝ex0(aex0＋a－2)－x0>ex0－x0>0.
又ln (－1)>－ln a，因此g(x)在(－ln a，＋∞)上有一个零点．
综上，实数a的取值范围为(0，1).