人教A版必修2高中数学2.1空间中直线与直线之间的位置关系 基础训练（含解析）

空间中直线与直线之间的位置关系
基础练
题组一　空间两条直线的位置关系的判定　　　　　　　　
1.若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是 (　　)
A.相交 B.平行
C.异面 D.平行或异面
2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中,与直线BC1异面的直线的条数为 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
3.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列说法正确的是 (　　)
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.直线AM与BN是平行直线
D.直线AM与DD1是异面直线
题组二　公理4及等角定理的应用
4.若空间两个角α与β的两边分别对应平行,当α=60°时,β等于 (　　)
A.30° B.30°或120°
C.60° D.60°或120°
5.如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,DA,AC的中点,则下列说法不正确的是 (　　)
A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为梯形
6.如图,已知在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:
(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
题组三　异面直线所成的角
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2,BB1=1,AC=2,则异面直线BD与AC所成的角为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
8.(2021湖南长沙雅礼教育集团高二上期中)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是　　　　.
提升练
一、选择题
1.空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.平行 B.异面
C.相交或平行 D.平行或异面或相交
2.设P是直线l外一定点,过点P且与l成60°角的异面直线 (　　)
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.仅有一条
3.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB⊥EF;②AB与CM成60°角;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD,其中正确的是 (　　)
A.①③ B.③④
C.②③ D.①②
二、填空题
4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是　　　　(填序号).
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是　　　　.
三、解答题
6.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长度.
7.正三棱锥S-ABC的侧棱长与底面边长都为a,E,F分别是SC,AB的中点,求异面直线EF和SA所成的角.
参考答案：
基础练
1.D 2.C 3.BD 4.D 5.D
7.C
1.D　因为两直线相交只有一个公共点,两直线平行或异面没有公共点,所以选D.
2.C　在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中,与直线BC1异面的直线有A1B1,AC,AA1,共3条.故选C.
3.BD　∵A,M,C,C1四点不共面,
∴直线AM与CC1是异面直线,故A中说法错误;
直线BN与MB1不同在任何一个平面内,是异面直线,故B中说法正确;
直线AM与BN不同在任何一个平面内,是异面直线,故C中说法错误;
直线AM与DD1不同在任何一个平面内,是异面直线,故D中说法正确.故选BD.
4.D　∵空间两个角α与β的两边分别对应平行,∴这两个角相等或互补,
∵α=60°,∴β=60°或β=120°.故选D.
5.D　由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,由公理4易得MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A中说法正确;根据等角定理,得∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故B、C中说法正确;由三角形的中位线定理及公理4,知MQNP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D中说法不正确.故选D.
6.证明　(1)如图,连接AC,在△ACD中,
M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,
∴MN∥AC,且MN=AC.
由正方体的性质得AC∥A1C1,AC=A1C1,
∴MN∥A1C1,MN=A1C1,即MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1.又ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
7.C　如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD=DE=EB=,所以∠BDE=60°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.故选C.
8.答案　60°
解析　连接AD1,易知AD1∥BC1,∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角,连接CD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AD1=CD1,∴∠CAD1=60°,
即AC与BC1所成角的大小为60°.
提升练
1.D 2.A 3.A
一、选择题
1.D　由图可知AB,CD有相交,平行,异面三种情况,故选D.
2.A　如图:
依题意,设过点P且与直线l平行的平面为α,在α内过P作l的平行线l',
在α内过P作直线m,使m与l'的夹角为60°.
将α绕l'旋转,且使α不过直线l,则m每旋转到一个新位置得到的直线均与l异面,且与l的夹角均为60°,
故选A.
3.A　把纸盒展开图还原成正方体,如图,
连接CM,易知AB∥CM,而CM⊥EF,所以AB⊥EF,即①正确;
因为AB∥CM,所以②错误;
EF与MN是异面直线,所以③正确;
MN与CD是异面直线,所以④错误.
故选A.
二、填空题
4.答案　③
解析　①②中PQ∥RS,④中PQ和RS相交.
5.答案　90°
解析　如图,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME(或其补角)即为异面直线A1M与DN所成的角.
设正方体的棱长为a,则A1M=a,ME=a,A1E=a,
所以A1M2+ME2=A1E2,
所以∠A1ME=90°,
即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
三、解答题
6.解析　连接CD1,AC,
由题意,得A1D1∥BC,A1D1=BC,
所以四边形A1BCD1是平行四边形,
所以A1B∥CD1,
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角,
则∠AD1C=90°,
所以△AD1C是等腰直角三角形.
所以AD1=AC.
又底面ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°,
所以AC=2×sin 60°×2=6,
所以AD1=AC=3,
所以AA1=
==.
7.解析　如图,取SB的中点G,连接EG,GF,SF,CF.
在△SAB中,F,G分别是AB,SB的中点,
∴FG∥SA,且FG=SA.
于是异面直线EF与SA所成的角就是直线EF与FG所成的角.
在△SAB中,SA=SB=a,AF=FB=a,
∴SF⊥AB,且SF=a.
同理可得CF⊥AB,且CF=a.
在△SFC中,SF=CF=a,SE=EC,
∴FE⊥SC,且FE==a.
在△SAB中,FG是中位线,
∴FG=SA=.
在△SBC中,GE是中位线,
∴GE=BC=.
在△EGF中,FG2+GE2==FE2,
∴△EGF是以∠EGF为直角的等腰直角三角形,∴∠EFG=45°.
∴异面直线EF与SA所成的角为45°.