2014年北师大版八年级下第一章三角形的证明导学案

第一章 三角形的证明
主备人 欧阳守敬
§1.1等腰三角形
一、学习目标：
1．经历探索等腰三角形性质的过程．
2．等腰三角形的“三线合一”
3． 会利用等腰三角形的“三线合一”进行相关的线段相等和角相等。
二、学习重点：等腰三角形的“三线合一”。
三、学习难点“三线合一”的应用。
四、教具：多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等
五、预习作业
（1）回忆前面研究过的全等三角形的判定．（SSS ASA AAS SAS）
（2）预习课本P.1-6。
六、学习新知识
[例1]如图，1、如图，△ABC中 AB=AC，
D为BC中点
求证：①△ABD≌△ACD．
②∠BAD=∠CAD
③AD⊥BC
证明：
变式训练：
如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
例2、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D
七、拓展延伸
1、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：
（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．
2、已知如图，A、E、F、C四点共线，
BF=DE， AB=CD.
⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；
⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.
3、 已知：AB =AC, D为△ABC内部一点， 且BD = CD,
连接AD并延长，交BC于点E. 试找出图中的一对全等的三角形，并证明你的结论。
八、小结：
1、证明三角形全等的一般步骤：
①把非直接条件（公共边、公共角、对顶角，平行线，平行四边形等图形中的隐含条件）转化为直接条件（三角形中的对应相等的边或角）
②在△ 与△ 中 ∵ ∴△ ≌△
2、证明不在同一个三角形中的边与角相等时，不要忘记证它们所在的三角形全等
九、作业布置：
1、预习定理：“有两个班角相等的三角形是等腰三角形”。
“三个角都相等的三角形是等腰三角形”。
“有一个角等于600的三角形是等边三角形”。
“在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、P.4.T.1-3.
十、教学反思
1、学习目标完成情况反思：
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
§1.2．1 直角三角形
一、学习目标
进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
了解勾股定理及其逆定理的证明方法
结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立
二、学习重点 ：勾股定理及其逆定理
三、学习难点：结合具体例子了解逆命题的概念
四、教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法
五、教学手段 多媒体课件
六、教学过程设计
（一）预习测评
上学期，我们学习了命题和定理。表示判断的句子就是命题，经过证明的真命题称为定理。
复习练习
每个命题都是由 、 两部分组成。命题“对顶角相等”的条件是 ，结论是 。
“对顶角相等”是 （填“真”、“假”）命题；“我们是小学生” 是 命题。
把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 。
如图，△ABC是Rt△，根据勾股定理可得： 。
七、导入新知识
在八年级上学期，我们学过了勾股定理。这节课，我们将尝试用几何语言证明勾股定理。
1.勾股定理
以前，我们曾经利用图形割补的方法验证了勾股定理，而此处的勾股定理要通过证明推理才能得出其正确性。勾股定理的证明方法有很多，证明过程放在课后的“读一读”。
定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理是在三角形为直角三角形的前提下描绘三边之间关系的，利用勾股定理，已知直角三角形的两边可求第三边。
练习：直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为 。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理的证明方法对学生来说有一定的难度，因此，只要学生能接受证明的方法和过程即可。
如果一个三角形较小两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
练习：如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是 三角形。
讲解例题
如图，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BA∥DC。
分析： 欲证：AB∥DC
就证：∠BAD+∠ADC=900
又 BA⊥DA于A
∴ ∠BAD=900
∴ 只要证：∠ADC =900
因此 只要证⊿ADC是Rt⊿即可。
互逆命题
☆ 议一议 书本P 15 议一议
勾股定理和勾股定理的逆定理中的条件和结论是互换的。
通过几对数学和生活中的命题，让学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，要求学生归纳出它们的共性，以得到互逆命题的概念。
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
注意：
互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题。
一个命题是真，它的逆命题可能是真，可能是假。
练习：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
1、初三（6）班有62位同学； 2、等边对等角； 3、对顶角相等；
4、平行四边形的两组对边相等； 5、正方形的四条边都相等；
互逆定理
☆ 想一想 书本P .16 想一想
这个命题的条件和结论都比较明显、简单，写出其逆命题对学生来说应该没有什么问题，关键是让学生验证逆命题的正确性，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定一致。
一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
练习：找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。
1）矩形是平行四边形 2）内错角相等，两直线平行
3）如果，则 4）全等三角形对应角相等
5）对顶角相等
八、随堂练习
书本 P 16 随堂练习 1
《练习册》 P 4
小结
互逆命题和互逆定理的联系和区别。
作业
1预习作业 ：直角三角形
2、书面作业： P 20 习题1.5 T 1-2
十一、教学反思
1、学习目标完成情况反思：
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
§1.2.2 直角三角形
一、学习目标
进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理
二、学习重点:直角三角形全等“HL”判定定理
三、学习难点：从图中找出隐含条件
四、教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法
五、教学手段：多媒体课件
六、预习作业验收
七、教学过程设计：（导入新知识）
（一）从学生原有的认知结构提出问题
一般三角形全等的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS。
直角三角形是特殊的三角形，证明两个直角三角形全等，也有一种特殊的方法——“斜边、直角边”（“HL”）。
师生共同研究形成概念
直角三角形全等的判定方法
☆ 想一想 书本P 21来 上面
先让学生思考教科书中提出的问题。学生已经知道，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。但如果这个角是直角，那么就可以判定它们全等，这是因为，在直角三角形中，斜边和一条直角边确定，另一条直角边也随之确定。
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边” “HL”
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中
AB = A’B’ AC = A’C’ （或BC = B’C’）
Rt△ABC≌ Rt△A’B’C’
（二）、学法指导
HL是直角三角形所独有的判定方法，对于一般三角形不成立；
证明直角三角形全等时，如果不能利用HL证明，也可利用其他四种方法；
对于直角三角形的判定要善于利用从一般到特殊的学习方法来研究，先研究用一般方法证明两直角三角形全等，然后才考虑用特殊的方法——HL。
直角三角形全等判定方法的应用
☆ 做一做 书本P 22 做一做
书本安排了一个具体的实际问题，让学生利用“HL”定理来解决、选择这个素材是为了让学生体会数学结论在实际中的应用。应要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程书写出来。
☆ 议一议 书本P 22 议一议
这是一个答案不惟一的开放题，需要学生灵活运用所学知识，教学中应鼓励学生积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间相互交流，获得各种不同的答案。
用圆规找出其它直角三角形
为下学期学习圆的有关知识作铺垫。
讲解例题
在Rt△ABC中，∠C = 90°，且DE⊥AB，CD = ED，求证：AD是∠BAC的角平分线。
分析：这是利用“HL”证明两个直角三角形全等，隐含了一条公共边。
如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点。求证：CE = DE。
分析：这里要证明两次三角形全等。
如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD = CD，AB = AC，求证：EB = FC。
如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD = CD。求证EB = FC。
同是一个图，已知条件也基本相同，但解题过程明显不同。究其原因，就是加了一个条件，解题过程就简单了很多。当条件没有说明AB = AC时，我们就不能含糊地用AB = AC这个条件。
随堂练习（课内）
1、书本 P 20 随堂练习 1
2、书本 P 23 习题1.6 1
3、如图，∠B =∠E = 90°，
AC = DF，BF = EC。求证：BA = ED。
九、小结
直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形。
十、作业
书本 P 21 习题1.5 2
十一、教学反思
1、学习目标完成情况反思：
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
§1.3线段的垂直平分线
一、学习目标：1、探究线段垂直平分线的性质定理及逆定理．
2、会用尺规过一点做已知直线的垂线。
3、经历探索线段垂直平分线的性质的过程，培养认真探究、积极思考的能力．
二、学习重点：1、掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理．
2、会用尺规过一点做已知直线的垂线。
三、学习难点：线段垂直平分线的性质定理及逆定理的应学
四、教具使用用：多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等
五、课前预习检查
（1）、阅读课本P22～ 23页，思考下列问题：
（2）线段垂直平分线的性质定理及逆定理是什么？
（3）如何用尺规过一点做已知直线的垂线？
六、导入新知识：
（一）、（检查预习情况）独立思考后我还有那些疑惑：（8分钟）
（二）、合作学习探索新知（约15分钟）
1、小组合作分析问题
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
◆[探究1]
如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？
◆学生活动：
（1）学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…
（2）作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．
★探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…
◆能用我们已有的知识来证明这个结论吗？
学生讨论给出
（三）、归纳总结巩固新知（约15分钟）
1、知识点的归纳总结：
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（2）与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．
2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）
◆例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
已知：直线AB和AB外一点C
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：
（1）在C相对于AB的另一侧任选点K
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于D、E两点。
（3）分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F。
（4）作直线CF。CF就是所求作的垂线。
课本P23随堂练习
课本P23---24页习题1.7第1-4选作两题
（四）、课堂小测（约5分钟）
1、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 相等.
2、与这条线段两个端点 相等的点都在它的垂直平分线上．
3、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
已知：
求作：
作法：
七、 作业布置
1、预习作业：独立完成1.3线段的垂直平分线的性质（二）
2、书面作业：课本P26页习题1.8第2、4题（作业本）
八、课后反思：
1、学习目标完成情况反思：
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
§1.4.1 角平分线
一学习目标：
能够证明角平分线的性质定理、判定定理
能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
二、学习重点：角平分线的性质定理、判定定理
三、学习难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
四、教学方法： 观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法
五、教学手段：多媒体课件
六、教学过程设计：
（一）从学生原有的认知结构提出问题
以前我们曾研究过角平分线上的一些性质，这节课，我们通过证明，得出它的性质，应用这个两个定理解决一些几何问题。
（二）师生共同研究形成概念
1、书本引例
☆ 想一想 书本P 31 上面
学生已经探索过角平分线的性质，此处可先让学生回顾这一性质及其探索过程，并尝试证明。
2、角平分线的性质
点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
角平分线性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
符号语言
∵ 点P在∠AOB的角平分线上，
PE⊥OA，PD⊥OB
∴ PD = PE
3.角平分线的判定
猜想 想一想 书本P 31 中间
学习线段的垂直平分线时，学生已经历了构造其逆命题的过程，因此学生容易类比着来构造角平分线性质定理的逆命题。
定理
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，
在这个角的平分线上
符号语言
∵ PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE
∴ 点P在∠AOB的角平分线上
(三)讲解例题
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，
BE、CD相交于O，且∠1 =∠2。
求证：OB = OC。
分析：要证OB = OC，只需要证明
Rt△BOD≌Rt△COE，为此,还需要证明OD = OE，
可直接用角平分线性质定理证得。
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。
求证：∠1 =∠2。
分析：要证OB = OC，只需要证明Rt△BOD≌Rt△COE，为此,还需要证明OD = OE，可直接用角平分线性质定理证得。
如图，AB = AC，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E。
求证：BE + EC = AB。
分析：此题要运用到线段的垂直平分线的性质，
引导学生把线段等量代换。
（七）随堂练习
如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，
AD⊥ED于D，且∠1 =∠2，CB = CD。
求证：∠3 =∠4。
如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE = BD。求证：P在∠ACB的角平分线上。
如图，E为AB边上的一点，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∠1 =∠C，DE = EC。求证：DA + CB = AB。
小结
角平分线的尺规作法。
作业
1、预习作业：P.31。
2、书本 P 31 习题1.9
九、教学反思
1、学习目标完成情况反思：
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
§1.4.2 角平分线
一、学习目标：
进一步发展学生的推理证明意识和能力
能够利用尺规作已知角的平分线
二、学习重点：角平分线的相关结论
难点：角平分线的相关结论的应用
三、教学方法：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法
四、教学手段：多媒体课件
五、预习验收：
如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，
AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
已知CD = 4cm，求AC的长；
求证：AB = AC + CD。
六、教学过程设计：
（一）从学生原有的认知结构提出问题
在学习线段的垂直平分线时，我们发现，三角形三边的垂直平分线交于一个点。我们看看，三角形的三条角平分线有什么性质。
师生共同研究形成概念
用尺规作角的平分线
以你现在的能力作出一个角的角平分线
☆ 做一做 书本P 32 做一做
与其他尺规作图一样，这里要求学生会写出
“已知”、“求作”、“作法”。此外，还应能
说明所作的射线是角的平分线的理由。
作角平分线的方法：有量角器度量；用三角板作；用尺规作图法作。
讲解例题
用尺规作图法作下列各个角的平分线。
分析：这四个图都很有代表性，让学生通过不同的角，深化作角平分线的方法。
如图，求作一点P，使PC = PD，并且点P到
∠AOB两边的距离相等。
分析：这是一条综合题，两种重要作图都要运用到。
例题讲解
作一个三角形三个内角的平分线。
分析：此例比较复杂，让学生细心一点
作出图形。作出图形后让学生尝试归纳定理。
角平分线的相关推论
归纳总结
通过上面的作图，让学生自己归纳总结结论。
定理
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
符号语言
∵ 点P是△ABC的三条角平分线的交点，且PE⊥BC，PF⊥AC，PD⊥AB
∴ PD = PE = PF
证明
此处内容的引入与前面探讨三角形三边的垂直平分线的位置关系相似，在证明结论时，可引导学生类比三角形三边垂直平分线的位置关系的证明思路和方法进行思考。
随堂练习
P 29
小结
角平分线的作法。
九、作业
1、预习作业：学习画出本章知识网络
2、书本 P 32 习题1.10 第1-3题
十、教学反思
1、学习目标完成情况反思：
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
A
B
C
E
D
演示作图过程，让学生易理解
让学生按照要求作图，并写出解题过程
以AB的中点为圆心，以AB的一半为半径作圆，让学生感受到C、D两点都在圆上