第1章 功和功率
第1节 机械功
(时间：60分钟)
知识点
基础
中档
稍难
机械功的理解
2、3、4
1
机械功的计算
5
6、7、8
综合提升
9、10
11、12
知识点一 机械功的理解
1．2011年意大利超级杯足球赛在北京举行．比赛时某足球运动员用20 N的力，把重为5 N的足球踢出10 m远，在这一过程中运动员对足球做的功为( )．
A．200 J B．50 J C．98 J D．无法确定
解析 足球运动员用20 N的力作用在足球上，一瞬间就能把足球踢出去，足球在这个力的作用下的位移不知道，所以无法计算运动员对足球所做的功．故D正确．
答案 D
2．下列说法中正确的是 ( )．
A．功是矢量，正负表示其方向
B．功是标量，正负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系
D．力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量
解析 功是标量，是过程量，功的正负不代表其大小，也不代表其方向，只说明做功的力是动力还是阻力．
答案 BCD
3．关于两物体间的作用力和反作用力的做功情况，下列说法正确的是 ( )．
A．作用力做功，反作用力一定做功
B．作用力做正功，反作用力一定做负功
C．作用力和反作用力可能都做负功
D．作用力和反作用力做的功一定大小相等，且两者代数和为零
解析 比较一对作用力和反作用力的功时，不要只看到力的大小相等，还要分析两力对应的物体的位移情况．作用力和反作用力各自做功，没有必然的联系．故C正确．
答案 C
4．如图1－1－10所示，物体A、B叠放着，A用绳系在固定的墙上，用力F拉着B右移．用F拉、FAB、FBA分别表示绳中拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下面叙述中正确的是 ( )．
A．F做正功，FAB做负功，FBA做正功，F拉不做功
B．F、FBA做正功，FAB、F拉不做功
C．F做正功，FAB做负功，FBA和F拉不做功
D．F做正功，其他力都不做功
解析 由W＝Fscos α知，力F的作用点位移不为零，且位移的方向与F的方向相同，所以F做正功；绳中拉力F拉的作用点位移为零，所以F拉不做功；FBA的作用点位移为零，则FBA不做功；FAB的作用点位移不为零，且位移的方向与FAB的方向相反，所以FAB做负功．故C正确．
答案 C
知识点二 机械功的计算
5．如图1－1－11所示，物体A、B质量相同，与地面间的动摩擦因数相同，在力F作用下一起沿水平地面向右运动位移s，下列说法中正确的是 ( )．
A．摩擦力对A、B做的功一样多
B．A克服摩擦力做功比B多
C．F对A做的功与F对B做的功相同
D．A所受合外力对A做功与B所受合外力对B做功相同
解析 由于力F的作用，A、B对地面的压力不同，因而摩擦力大小也不同，故摩擦力对A、B做功不一样多，显然A的摩擦力做功多，A错误、B正确；由于力F作用在A上，所以力F对B不做功，C错误；由于两物体始终一起运动，加速度相同，位移相同，所以合外力做功一样多，D正确．
答案 BD
6．如图1－1－12所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力 ( )．
A．垂直于接触面，做功为零
B．垂直于接触面，做功不为零
C．不垂直于接触面，做功为零
D．不垂直于接触面，做功不为零
解析 如图所示，斜面对小物块只有垂直于斜面向上的支持力N.小物块沿光滑斜面向下运动，斜面沿光滑水平面向右运动，斜面对小物块的支持力N与小物块位移s间的夹角α＞90°，故N对小物块做负功，做功不为零．
答案 B
7.质量为2 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受到水平拉力F的作用，沿水平方向做匀变速运动，拉力F作用2 s后撤去，物体运动的速度图象如图1－1－13所示，则下列说法正确的是(取g＝10 m/s2) ( )．
A．拉力F做功150 J
B．拉力F做功350 J
C．物体克服摩擦力做功100 J
D．物体克服摩擦力做功175 J
解析 由题图可以求出0～2 s内的加速度a1＝2.5 m/s2，2～6 s内的加速度a2＝－2.5 m/s2，由F＋f＝ma1，f＝ma2，得F＝10 N，f＝－5 N，由题图还可求出前2 s内的位移s1＝15 m，2～6 s内的位移s2＝20 m．所以拉力做功WF＝Fs1＝10×15 J＝150 J；摩擦力做功Wf＝f(s1＋s2)＝－5×(15＋20)J＝－175 J，即物体克服摩擦力做功175 J，故A、D正确．
答案 AD
8. 人在A点拉着绳，通过一定滑轮吊起一质量m＝50 kg的物体，如图1－1－14所示．开始时绳与水平方向间的夹角为60°，在匀速提起物体的过程中，人由A点沿水平方向运动了s＝2 m到达B点，此时绳与水平方向成30°角．求人对绳的拉力做了多少功．(取g＝10 m/s2)
解析 人对绳的拉力的方向时刻在变，是变力，故不能用W＝Fscos α直接求拉力的功．但人对绳的拉力所做的功和绳对物体的拉力所做的功是相等的，物体匀速上升，则绳的拉力恒等于物体的重力．设滑轮距人手的高度为h，则人由A运动到B的过程中，重物上升的高度
Δh＝－；
故人对绳的拉力所做的功W＝mg·Δh，
即W＝mg，代入数据得W≈732 J.
答案 732 J
9．飞机场运送行李的装置可以简化为图1－1－15，行李传送带沿水平方向，传送带在电动机的带动下以v＝2.4 m/s的恒定速率运动．今在传送带左端轻轻地放上质量m＝2.5 kg的行李，经时间t＝1.2 s行李传送到右端，传送距离s＝2.4 m．求行李与传送带之间的动摩擦因数和传送带对行李做的功．
解析 传送带以恒定速率运动，行李在摩擦力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，当两者达到共同速度时，摩擦力立即消失，两者相对静止，其v－t图象如图所示．
图线与t轴所围的面积表示行李的总位移，
即s＝vt′＋v(1.2－t′)，
代入数据得t′＝0.4 s，又v＝at′，所以a＝6 m/s2，
由f＝μmg＝ma，得μ＝＝＝0.6；f＝15 N，
在0～t′时间内行李受到摩擦力作用，
其位移s′＝vt′＝0.48 m，
传送带对行李做的功W＝fs′＝15×0.48 J＝7.2 J.
答案 0.6 7.2 J
10．一辆汽车质量为105 kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍．其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F＝103s＋f，f是车所受的阻力．当车前进100 m时，牵引力做的功是多少？(g＝10 m/s2)．
解析 由于车的牵引力和位移的关系为F＝103s＋f，是线性关系，故前进100 m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功．由题意可知
f＝0.05×105×10 N＝5×104 N
所以前进100 m过程中的平均牵引力为
＝ N＝1×105 N
故W＝s＝1×105×100 J＝1×107 J
答案 1×107 J
11．一辆汽车的质量为1 000 kg.当汽油全部用完时，距加油站还有125 m的距离，不得不用人力把汽车沿直线推到加油站去加油(如图1－1－16所示)．如果一人用绳索在汽车前端沿倾角θ＝10°的方向向前施一800 N的拉力，同时，在汽车后端有两人均用800 N的水平推力向前推汽车．当三人把车推到加油站时，人对汽车共做了多少功？(cos 10°＝0.98)
图1－1－16
解析 汽车前端人做功
W1＝Fscos θ＝800×125×0.98 J＝0.98×105 J.
汽车后端两人做功W2＝2Fs＝2×800×125 J＝2×105 J
则三人对汽车做的总功W＝W1＋W2＝2.98×105 J.
答案 2.98×105 J
12.如图1－1－17所示，质量m＝2 kg的物体静止在水平地面上，受到与水平面成θ＝37°，大小F＝10 N的拉力作用，物体移动了s＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10 m/s2，求：
(1)拉力F所做的功W1；
(2)摩擦力f所做的功W2；
(3)重力G所做的功W3；
(4)弹力N所做的功W4；
(5)合力F合所做的功W.
解析 (1)对物体进行受力分析，如图所示．
W1＝Fscos θ＝10×2×0.8 J＝16 J
(2)N＝G－Fsin θ＝20 N－10×0.6 N＝14 N
f＝μN＝0.3×14 N＝4.2 N
W2＝fscos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J
(3)W3＝Gscos 90°＝0
(4)W4＝Nscos 90°＝0
(5)W＝W1＋W2＋W3＋W4＝7.6 J或由合力求总功
F合＝Fcos θ－f＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N
F合与s方向相同，则W＝F合·s＝3.8×2 J＝7.6 J.
答案 (1)16 J (2)－8.4 J (3)0 (4)0 (5)7.6 J
第1章 功和功率
第1节 机械功
机械功的理解
1．下列四幅图片所描述的情景中，人对物体做功的是 ( )．
解析 根据做功的两个必要因素判断，可知A、D正确．
答案 AD
2．一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯对人的支持力的做功情况是 ( )．
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D．始终做正功
解析 在加速、匀速、减速的过程中，支持力的方向与人的位移方向始终相同，所以支持力始终对人做正功，故D正确．
答案 D
机械功的计算
3．如图1－1－8所示，静止在光滑水平面上的物体质量m＝25 kg，在与水平方向成60°角斜向上的力F作用下运动10 s，已知F＝10 N，求在这10 s内力F所做的功．(取g＝10 m/s2)
解析 力F在竖直方向上的分力F1＝Fsin 60°＝10× N＝5 N，而重力G＝mg＝250 N，显然F1＜G，故物体受力情况如图所示，N为水平面对物体的支持力．由牛顿第二定律得物体的加速度
a＝＝ m/s2＝0.2 m/s2，
10 s内物体的位移
s＝at2＝×0.2×102m＝10 m，
10 s内力F所做的功
W＝Fscos 60°＝10×10× J＝50 J.
答案 50 J
4．如图1－1－9所示，一质量为m的木块，放在倾角为θ的斜面体上，且始终与斜面保持相对静止，在两者沿水平方向向右匀速移动距离为s的过程中，作用在木块上的各力对木块做的功各为多少？合外力做的功为多少？
图1－1－9
解析 对木块受力分析如图所示．由力的平衡条件得斜面对木块的支持力N＝mgcos θ，
斜面对木块的静摩擦力f＝mgsin θ，
法一 支持力做的功
WN＝Nscos(90°＋θ)＝－mgscos θsin θ，
摩擦力做的功
Wf＝fscos θ＝mgssin θcos θ，
重力做的功WG＝mgscos 90°＝0.
则合外力做的功等于各个力做功的代数和，即W合＝WN＋Wf＋WG＝0.
法二 由于木块做匀速直线运动，由力的平衡条件得木块受到的合外力F合＝0，
故合外力做的功W合＝F合·scos α＝0.
答案 WN＝－mgscos θsin θ Wf＝mgssin θcos θ
WG＝0 W合＝0
课件30张PPT。第1节 机械功1．理解功的概念，能利用功的一般公式进行功的计算．
2．理解正功和负功及其物理意义．
3．理解总功、能计算多个外力对物体所做的总功．
4．体会科学研究方法对人类认识自然的重要作用，能解决一些与生产和生活相关的做功的实际问题.一、机械功的含义
?含义：作用于物体的____________，该物体沿力的方向运动，经过_______，则F和s的乘积叫机械功，简称功．
?做功的两个不可缺少的因素是：___和物体在力的方向上发生的_______．
?功的一般计算公式W＝________，计算公式的适用条件：只适用于求______所做的功，不能直接用于求_______所做的功．
?单位：在国际单位制中，功的单位是______，符号是J.1 J＝_______．
恒力大小为F位移s力位移Fscos θ恒力变力1 N·m焦耳 思考 如图1－1－1所示，下列人或机械对物体做功的是谁？功的大小与哪些因素有关呢？
图1－1－1
提示 甲图、乙图中，人对物体有力的作用，但物体在力的方向没有位移，故不做功．丙图中起重机对货物做功．物体受到的力和物体在力的方向上发生的位移是做功的两个必要因素．
二、机械功的计算
?正功和负功
(1)当___________时，W＞0，力对物体做___功，力是物体运动的____(动、阻)力．
(2)当α＝______时，W＝0，表示力对物体不做功，力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用．
(3)当____＜α≤ ____时，W＜0，力对物体做___功，或者说物体_______做了功，力是物体运动的___ (动、阻)力．
?功是___ (标、矢)量，功的正负不表示_____．正功表示的是动力对物体做功．负功表示的是阻力对物体做功．一个力对物体做负功．往往说成____________________ (取绝对值)，这两种说法意义等同．
0≤α＜90°90°90°180°克服力阻大小物体克服这个力做了功动负标正?外力做的总功的计算：一个物体同时受到几个力的作用发生位移时，这几个力做的总功等于各个力分别对物体做功的总和，即W总＝W1＋W2＋W3＋W4＋….
在计算几个力的总功时，也可先求______，再应用功的公式求解，即W总＝ __________
思考 当物体受变力作用做曲线运动时，怎样判断该力做功的正负呢？
提示 可看力和速度的夹角大小，当F、v夹角为锐角时，F做正功；F、v夹角为钝角时，F做负功；F、v夹角为直角时，F不做功．
合力F合·scos α.一、机械功
?机械功
两个因素对于功而言缺一不可，因为有力不一定有位移，有位移也不一定有力．例如，搬运工在搬运货物时，若扛着货物站着不动就不做功；扛着货物水平方向匀速前进也不做功；而在他扛着货物向高处走时就做功了．所以力对物体做功必须满足做功的两个因素．
力对物体做功与一段运动过程相联系，功是过程量，描述力对空间的积累效果．
?机械功的公式
(1)当力的方向与物体运动方向一致时，我们就把功定义为力的大小与位移大小的乘积，即W＝Fs.
(2)当力的方向与运动方向成某一角度时，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积，即W＝Fscos α.
温馨提示 (1)式中F一定是恒力．若是变力，中学阶段一般不用上式求功．
(2)式中的s是力的作用点的位移，也是物体对地的位移．α是 F的方向与s的方向间的夹角．
(3)力对物体做的功只与F、s、α三者有关，与物体的运动状态等因素无关．
?功的单位：焦(J)，1 J＝1 N×1 m＝1 N·m.
? 对公式W＝Fscos α的理解
对公式W＝Fscos α可以有两种理解：一种是力F在位移s方向上的分力Fcos α与位移s的乘积；另一种是力F与在力F方向上的位移scos α的乘积．
理解一 如图1－1－2所示．
图1－1－2 理解二 如图1－1－3所示，将位移s沿力的方向和垂直于力的方向分解，则沿力的方向上的位移s1＝scos α，故W＝Fs1＝Fscos α.
图1－1－3二、机械功的计算
?正功和负功
由公式W＝Fscos α可知，力对物体做正功还是做负功，由F的方向和s的方向间的夹角α决定，具体情况见下表：
温馨提示 (1)某力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功(绝对值)．例如，滑动摩擦力对物体做的功为－10 J，也可以说成物体克服摩擦力做的功为10 J.
(2)比较做功多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号．例如，－8 J的功要比5 J的功多．
?功的正负的物理意义
温馨提示 (1)功是标量，所以功的正负既不表示大小也不表示方向，只表示是动力做功还是阻力做功．做功的过程就是能量转化的过程．
(2)不能认为负功的负号表示力与位移方向相反，更不能认为负功的负号表示功与位移方向相反．
三、怎样计算几个力的总功
虽然力、位移都是矢量，但功是标量，物体受到多个力的作用时，计算合力的功(即总功)，要考虑这些力共同的效果，一般有以下两种方法．
(1)先由W＝Fscos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…然后求所有力做功的代数和，即W总＝W1＋W2＋W3＋…
温馨提示 利用此方法时首先判断各个力对物体做正功还是负功，求和时不能丢掉正、负号．
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合·scos α计算总功，此时α为F合的方向与s的方向间的夹角．
温馨提示 物体在整个运动过程中各个力均为恒力才能利用此方法，如果物体在运动过程中各段受力情况不同，则应分段求功，再求和，或先求各力做的功，再求功的代数和．
对公式W=Fscos α的理解和应用【典例1】 如图1－1－4所示，质量分别为M和m的两物块(均可视为质点，且M＞m)分别在同样大小的恒力作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，两力与水平面的夹角相同，两物块经过的位移相同．设此过程中F1对M做的功为W1，F2对m做的功为W2，则 ( )．
图1－1－4A．无论水平面光滑与否，都有W1＝W2
B．若水平面光滑，则W1＞W2
C．若水平面粗糙，则W1＞W2
D．若水平面粗糙，则W1＜W2
解析
答案 A
借题发挥 利用W＝Fscos α计算功时，一定要明确力F的大小，受力物体相对地面的位移s、力和位移间的夹角α.
【变式1】 如图1－1－5所示，质量为m的物体沿粗糙的固定斜面从顶端匀速滑下．设斜面的倾角为θ，斜面长为L，求物体下滑到底端的过程中，物体受到的各力对物体所做的功．
解析 物体下滑过程中受三个力的作用，重力mg、弹力N、摩擦力f，如图所示．物体的位移沿斜面向下，由W＝Fscos α得重力对物体做的功WG＝mgLsin θ；弹力对物体做的功图1－1－5 WN＝NLcos 90°＝0；因物体匀速下滑，故有f＝mgsin θ，则摩擦力对物体做的功Wf＝fLcos 180°＝－mgLsin θ.
答案 WG＝mgLsin θ WN＝0 Wf＝－mgLsin θ.
【典例2】 质量为M的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块(可视为质点)，以某一速度沿木板上表面从木板的左端滑至右端时，两者恰好达到同样的速度而相对静止．已知木板长为L，滑块与木块间的动摩擦因数为μ，在这一过程中，木板沿水平面前进了距离s，求摩擦力对滑块和木板各做了多少功．
解析 滑块冲上木板后，因受到向左的摩擦力而减速，而木板因受到向右的摩擦力而加速，直至滑块和木板获得共同的速度，此后两者一起匀速运动．两物体的运动情景如图所示．
摩擦力的功 对滑块：受力分析如图甲所示，滑动摩擦力大小f＝μN1＝μmg，方向水平向左，滑块对地位移大小为(s＋L)，方向水平向右，所以W1＝f(s＋L)cos 180°＝－μmg(s＋L)；对木板：受力分析如图乙所示，滑动摩擦力大小f′＝μmg，方向水平向右，木板对地位移大小为s，方向水平向右，所以W2＝f′scos 0°＝μmgs.
答案 －μmg(s＋L) μmgs
借题发挥 作用力和反作用力虽然等大、反向，但在同一过程中作用力和反作用力的功没有关系，它们做功的情况大致有以下几种：①两个力均不做功；②其中一个力做功，另一个力不做功；③其中一个力做正功，另一个力做负功；④两个力均做正功或均做负功，如两异名磁极相互靠近或远离时．
【变式2】 关于摩擦力做功，下列说法中不正确的是( )．
A．滑动摩擦力阻碍物体的相对运动，一定做负功
B．静摩擦力起着阻碍物体相对运动趋势的作用，一定不
做功
C．静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功
D．系统内两物体间相互作用的一对滑动摩擦力做功的总
和恒为负值 解析 功的计算公式W＝Fscos α中的s是指相对于地面的位移，滑动摩擦力(静摩擦力)仅起阻碍物体间的相对运动(相对运动趋势)的作用，它与物体对地“绝对位移”的方向既可能相同也可能相反，所以它可能做正功，也可能做负功，A、C错误；物体间有静摩擦力作用时两物体相对静止，但物体可以相对地面移动，所以静摩擦力也可能做功，B错误；物体间有相对滑动时，伴随着机械能的损耗(转化为内能)，所以一对滑动摩擦力做功的总和恒为负值，D正确．
答案 ABC
【典例3】 如图1－1－6所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角变为β.已知图中的高度h，求绳的拉力T对物体所做的功．(绳的质量、滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦不计)
求变力的功图1－1－6 解析 设绳的拉力T对物体做的功为WT，人的拉力F对绳做的功为WF，由题意知T＝F，WT＝WF
在绳与水平面间的夹角由α变为β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为Δs＝l1－l2.由W＝Fs，得 借题发挥 1.求变力做功有微元法，图象法，有时可通过转换研究对象，转换为恒力的功来计算．
2．滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，物体做曲线运动时，可把运动过程细分，其中每一小段做功为Fs，整个过程中所做的功是力与各小段位移大小之积的和．
【变式3】 如图1－1－7所示，竖直向上抛出质量为m的小球，小球上升的最大高度为h，上升和下降过程中，空气阻力 的大小均为F，则从抛出点至回到出发点的过程中，重力对小球做的功为多少？空气阻力对小球做的功为多少？
解析
答案 0 －2Fh图1－1－7
