第3章 抛体运动
第1节 运动的合成与分解
(时间：60分钟)
知识点
基础
中档
稍难
曲线运动
1、2
3
运动的合成与分解
4、7
5、6、8
综合提升
9、10、11
12
知识点一 曲线运动
1．2011年4月17日，2011F1大奖赛上海站正赛在上海国际赛场举行．假设在弯道上高速行驶的赛车的后轮突然脱离．关于后轮之后的运动情况，以下说法正确的是 ( )．
A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动
B．沿着与弯道垂直的方向飞出
C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动
D．上述情况都有可能
解析 赛车沿弯道行驶，任一时刻，赛车上任何一点的速度方向，都沿赛车运动轨迹上对应点的切线方向．车轮被甩出后，不再受车身的约束，只受到与速度方向相反的阻力作用(重力和地面对车轮的支持力相平衡)，故此后车轮沿其脱离时前进的方向做直线运动．
答案 C
2．物体从M到做减速运动，下列选项图中能正确描述物体运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系的是 ( )．
解析 做曲线运动的物体其速度方向为某点的切线方向，加速度方向即合外力的方向，指向曲线的凹侧，则A、B、C、D四个图中速度和加速度方向符合曲线运动条件的为A、C两项；曲线运动中，当合外力与速度方向成锐角时，物体做加速运动，成钝角时，物体做减速运动，由牛顿第二定律知合外力方向与加速度方向一致，故A、C中符合物体做减速运动规律的为C项．
答案 C
3. 如图3－1－10所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d＝H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体B做 ( )．
A．速度大小不变的曲线运动
B．速度大小增加的曲线运动
C．加速度大小、方向均不变的曲线运动
D．加速度大小、方向均变化的曲线运动
解析 物体B在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上由d＝H－2t2得出物体B做匀变速直线运动．物体B的实际运动是这两个分运动的合运动．对速度和加速度进行合成可知，加速度恒定且与合速度不共线，故B、C正确．
答案 BC
知识点二 运动的合成与分解
4．关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是 ( )．
A．物体的两个分运动是直线运动，则他们的合运动一定是直线运动
B．若不在一条直线上的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动
C．合运动与分运动具有等时性
D．速度、加速度和位移的合成都遵从平行四边形定则
解析 物体的两个分运动是直线运动，它们的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动．若合初速度方向与合加速度方向共线，则为直线运动，否则为曲线运动．
答案 BCD
5．某人站在电动扶梯上不动，经时间t1，由一楼升到二楼．如果自动扶梯不动，人从一楼走到二楼的时间为t2.现在电动扶梯正常运行，人也保持原来的速率沿扶梯向上走，则人从一楼到二楼的时间是 ( )．
A．t2－t1 B.
C. D.
解析 设自动扶梯的速度为v1，人相对静止扶梯走的速度为v2，一楼到二楼的位移为s，由题意得t1＝，t2＝，当扶梯运行，人也走时，人相对于地的速度v＝v1＋v2，从一楼到二楼的时间t＝，由以上各式可得t＝.
答案 C
6．民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射出侧向的固定目标．若运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭的速度为v2，直线跑道离固定目标的最近距离为d.要想射出的箭在最短的时间内射中目标，则运动员放箭处离目标的距离应该为(不计空气和重力的影响) ( )．
A. B.
C. D.
解析 运动员射出的箭参与了两个分运动，一个是马奔驰的速度v1，另一个是静止时射出的箭的速度v2，两个分运动具有独立性和等时性．要想在最短的时间内射中目标，
则必须沿垂直直线跑道的方向射箭，如图所示，利用这个方向的分运动可计算需要的最短时间为tmin＝，所以运动员放箭处离目标的距离s＝v合·tmin＝，B正确．
答案 B
7．若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小．现假设河的宽度为120 m．河中心水的流速大小为4 m/s，船在静水中的速度大小为3 m/s，要使船以最短时间渡河，则 ( )．
A．船渡河的最短时间是24 s
B．在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度为5 m/s
解析 当船头的指向(即船相对于静水的航行方向)始终垂直于河岸时，渡河时间最短，且tmin＝ s＝40 s，A错误、B正确；因河水的流速随距岸边距离的变化而变化，则小船的实际航速、航向都在变化，航向变化引起船的运动轨迹不在一条直线上，C错误；船在静水中的速度一定，则水流速度最大时，船速最大，由运动的合成可知，D正确．
答案 BD
8. 小船横渡一条河，船头方向始终与河岸垂直，若小船相对静水的速度大小不变，运动轨迹如图3－1－11所示，则河水的流速 ( )．
A．由A到B水速一直增大
B．由A到B水速一直减小
C．由A到B水速先增大后减小
D．由A到B水速先减小后增大
解析 由题图可知，合速度的方向与小船的速度方向的夹角越来越小，如图所示．由图知v水＝v船·tan θ，又因为v船不变，故v水一直减小，B正确．
答案 B
9．如图3－1－12所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体的质量分别为m1和m2，且m1＜m2.若将m2从位置A由静止释放，当落到位置B时，m2的速度为v2，绳子与竖直方向的夹角为θ，则这时m1的速度大小v1等于 ( )．
A．v2sin θ B.
C．v2cos θ D.
解析 m2的实际运动情况是沿杆竖直下滑，这个实际运动是合运动．m1的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于m1的速度v1，合速度v2可分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳的分速度．因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出m1的速度大小为v1＝v2cos θ，故C正确．
答案 C
10．雨点以8 m/s的速度竖直下落，雨中骑自行车的人感到雨点与竖直方向成30°角迎面打来，那么骑自行车的人的速度大小为多少？
解析 人感到的雨点的速度是雨点相对于人的速度，雨点相对于人在竖直方向上的速度是vy＝8 m/s；雨点相对于人在水平方向上的速度vx与人骑自行车的速度大小相等、方向相反，所以雨点相对于人的速度是雨点相对于人在两个方向上的分速度的合速度，如图所示，由三角函数关系得人骑自行车的速度v人＝vx＝vytan 30°＝ m/s.
答案 m/s
11. 某人站在绕竖直轴转动的平台边缘，用玩具枪水平射击轴上的目标，如图3－1－13所示，已知枪口距转轴2 m，子弹射出时速度为20 m/s，枪口所在处随转台转动的速度为10 m/s，若要击中目标，瞄准的方向应与枪口和目标的连线成多大的夹角？子弹射出后经多长时间击中目标？(子弹射出后可视为做匀速运动)
解析 子弹射出后参与两个分运动．沿射击方向(瞄准方向)的匀速运动和沿射击时所在处的切线方向的匀速运动，子弹的合速度v必须指向目标O才能击中目标，如图所示．设瞄准方向与OA的夹角为α，则sin α＝＝＝，故α＝30°；
则v＝v2cos α，所以t＝＝ s≈0.12 s.
答案 30° 0.12 s
12．质量m＝2 kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图象如图3－1－14所示．求：
图3－1－14
(1)物体受到的合外力和初速度；
(2)t＝8 s时物体的速度；
(3)t＝4 s时物体的位移；
(4)物体的运动轨迹方程．
解析 (1)物体在x轴方向有ax＝0，y轴方向有ay＝ m/s2，由牛顿第二定律得F合＝may＝1 N，方向沿y轴正方向；
由图知v0x＝3 m/s，v0y＝0，所以物体的初速度
v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向．
(2)当t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，
所以vt＝ ＝5 m/s，
设速度与x轴的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(3)当t＝4 s时，x＝v0xt＝12 m，y＝ayt2＝4 m，
物体的位移s＝ ＝4 m，
设位移与x轴的夹角为α，则tan α＝＝.
(4)由x＝v0xt＝3t，y＝ayt2＝t2，消去t得y＝.
答案 见解析
第3章 抛体运动
第1节 运动的合成与分解
曲线运动
1. 如图3－1－9所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B.这时突然使它所受的力反向而大小不变(即由F变为－F)，对于在此力作用下物体的运动情况，下列说法正确的是
( )．
A．物体不可能沿曲线a运动
B．物体不可能沿直线b运动
C．物体不可能沿曲线c运动
D．物体不可能沿原曲线由B返回A
解析 物体在A点的速度方向沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动时，F应指向轨迹弯曲的一侧．物体在B点时的速度方向沿B点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线由A运动到B时，若撤去此力F，则物体必须沿直线b的方向做匀速直线运动；若使F反向，则运动轨迹应弯向F方向所指的一侧，可能沿曲线c运动；若物体受力不变，可能沿曲线a运动．故选A、B、D.
答案 ABD
2．在光滑的水平面上有一质量为2 kg的物体，在几个共点力的作用下做匀速直线运动．现突然将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°，则下列关于物体运动情况的叙述正确的是 ( )．
A．物体做速度大小不变的曲线运动
B．物体做加速度为 m/s2的匀变速曲线运动
C．物体做速度越来越大的曲线运动
D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
解析 物体原来所受的合外力为零，当将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°后，其受力相当于如图所示，其中F是Fx、Fy的合力，因Fx＝Fy＝2 N，故F＝2 N，且大小、方向都不变，是恒力，那么物体的加速度为a＝＝ m/s2＝ m/s2.
又因为F与v的夹角θ＜90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒为 m/s2的匀变速曲线运动，故B、C正确．
答案 BC
运动的合成与分解
3．关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法中正确的是 ( )．
A．一定是直线运动
B．一定是曲线运动
C．可能是直线运动，也可能是曲线运动
D．以上说法都不对
解析 两个分运动的初速度合成、加速度合成如图所示，其中v1、v2分别为两个分运动的初速度，a1、a2分别为两个分运动对应的加速度，a、v分别为两个分运动的合加速度和合初速度．当a与v的方向共线时，物体做直线运动；当a与v的方向不共线时，物体做曲线运动．由于题目没有给出两个分运动的加速度和初速度的具体数值及方向，因此以上两种情况均有可能，故A、B、D错误，C正确．
答案 C
4．小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin 37°＝0.6)
解析 (1)因为小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝s＝40 s，小船沿河流方向的位移l＝v水 t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸．
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，则v合＝＝4 m/s
经历时间t＝＝s＝50 s.
又cos θ＝＝＝0.6，即船的航向与岸的上游所成角度为53°.
答案 见解析
课件29张PPT。第1节 运动的合成与分解1．通过实例和实验，知道运动的独立性、合运动与分运动．
2．掌握运动的合成与分解及矢量的运算法则．
3．会用平行四边形定则解决有关位移和速度的合成与分解问题．
一、运动的独立性
?分运动与合运动
如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的_________，我们就把这一物体实际发生的运动叫做这两个运动的_______，这两个运动叫做这一实际运动的_______．
?运动的独立性
一个物体同时参与两个运动，其中的任一个分运动并不因为有其他分运动而有所改变，即两个分运动_________ ，_________，这就是运动的独立性．
效果相同合运动分运动互不影响相互独立?运动的同时性
整体的合运动是各分运动决定的总体效果，物体_____参与两个分运动构成合运动．合运动和分运动_____开始，_____结束，经历相等的时间．这就是运动的同时性．
二、运动的合成与分解的方法
?已知_______求_______，叫做运动的合成．已知_______求_______叫做运动的分解．
?运动的合成与分解遵循的法则是________________．
?一个复杂的运动可以看成是________________________的合运动．
同时同时同时分运动合运动合运动分运动平行四边形定则若干个互不影响的分运动 思考 如何确定一个实际运动过程中的合运动和分运动，合运动进行分解的依据是什么？
提示 合运动是指物体的实际运动，把一个实际运动进行分解时一般要根据运动在各个方向上的实际效果来分解.一、曲线运动
?曲线运动的速度：质点在任一时刻(或任一位置)的瞬时速度的方向与其这一时刻所在位置处的曲线的切线方向一致，并指向物体运动的方向．质点做曲线运动，速度的方向是时刻改变的．
?曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动是一种变速运动．
?物体做曲线运动的条件：当物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动．
?曲线运动的轨迹特点：做曲线运动的物体，总是要受到与运动方向不在同一直线上的力的作用，使其运动轨迹发生改变，其改变后的轨迹处
?力和常见运动模型的关系
图3－1－1在运动方向与合外力方向构成的夹角之间，且向合外力的一侧弯曲，如图3－1－1所示．二、运动的合成与分解的方法
运动的合成与分解包括位移、速度和加速度的合成与分解，这些描述运动状态的物理量都是矢量，对它们进行合成与分解时都要遵从平行四边形定则．
(1)两个同一直线上的分运动的合成
两个分运动在同一直线上，无论是同向的还是反向的，无论是匀速的还是变速的，其合运动一定是直线运动．
(2)两个互成角度的分运动的合成
①两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动，合速度由平行四边形定则求解．
②两个初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动，并且合运动的初速度为零，合加速度由平行四边形定则求解．
③对于一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，当匀速直线运动与匀变速直线运动的速度共线时，其合运动一定是匀变速直线运动，否则，其合运动一定是匀变速曲线运动．合运动的加速度即为分运动的加速度．
④两个匀变速直线运动的合运动，其性质由合加速度方向与合初速度方向的关系决定．当合加速度与合初速度共线时，合运动为匀变速直线运动；当合加速度与合初速度不共线(互成角度)时，合运动为匀变速曲线运动．
(3)两个相互垂直的分运动的合成
如果两个分运动都是直线运动，且互成角度为90°，其分位移分别为s1、s2，分速度分别为v1、v2，分加速度分別为a1、a2，则其合位移s、合速度v和合加速度a，可以运用解直角三角形的方法求得，如图3－1－2所示．
图3－1－2(4)运动的分解方法
理论上讲，一个合运动可以分解成无数组分运动，但在解决实际问题时，常需考虑运动的效果和实际需要进行分解，分解时需注意以下几个问题：
①确认合运动，就是物体实际表现出来的运动．
②明确实际运动是同时参与了哪些分运动的效果，找到参与的分运动．
③正交分解法是运动分解最常用的方法，选择哪两个互相垂直的方向进行分解是求解问题的关键．
温馨提示 运动的合成与分解和力的合成与分解遵从相同的法则，具有类似的规律，需注意方法的合理迁移．
三、小船渡河问题
?条件
河岸为平行直线，水流速度v水恒定，船相对静水的速度
v船大小一定，河宽设为d.
?常见问题
小船渡河问题可以分为四类，即能否垂直于河岸过河、过河时间最短、过河位移最短和躲避障碍，考查最多的是过河时间最短和位移最短．
?处理方法
(1)根据运动的实际效果去分析
小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水流的速度v水)和小船相对水的运动(船在静水中的速度v船)，小船的实际运动是合运动(v合)．
同时可以看出小船若要能垂直于河岸过河，必须使v水、v船和v合构成直角三角形，即满足v船＞v水，也就是小船在静水中的速度要大于水速．
图3－1－3(2)利用正交分解法分析
将小船相对水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸两个方向正交分解，如图3－1－5所示，则v水－v船·cos θ为小船实际沿水流方向的速度，
v船·sin θ为小船垂直于河岸方向的速度．
图3－1－4图3－1－5四、物体斜拉绳(或绳斜拉物体)时物体速度的分解
? 条件：在实际生活中，常见到物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题，如图3－1－6所示．
图3－1－6?规律：因为绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同．
?速度分解的方法：物体的实际运动就是合运动．
(1)把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程求解．(2)以上所说的“速度”沿绳方向的分量指的是“瞬时速度”，而不是“平均速度”．
(3)把图3－1－7中甲、乙两图的速度分解如图3－1－7所示.图3－1－7合运动与分运动关系的理解与应用【典例1】 小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是
( )．
A．水速小时，位移小，时间亦小
B．水速大时，位移大，时间亦大
C．水速大时，位移大，但时间不变
D．位移、时间大小与水速大小无关
解析 小船渡河同时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间取决于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定；水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小，故C正确．
答案 C
借题发挥 分运动和合运动具有等时性和独立性．分运动的独立性表明研究某一个方向的运动效果时，好像另一个方向的运动不存在一样，两分运动的性质是完全独立的；而运动的等时性是运动的合成与分解的基本条件．
【变式1】 关于合运动与分运动的关系，下列说法正确的是
( )．
A．合运动的速度一定不小于分运动的速度
B．合运动的加速度不可能与分运动的加速度相同
C．合运动与分运动没有关系，但合运动与分运动的时间 相等
D．合运动的轨迹与分运动的轨迹可能重合
解析 合运动的速度可以大于、小于或等于分运动的速度，A错误；一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动的加速度与分运动的加速度是相同的，B错误；合运动由分运动决定，C错误；若两直线运动在同一直线上，其合运动的轨迹可与分运动的轨迹重合，D正确．
答案 D
【典例2】 如图3－1－8所示，玻璃生产线上，宽9 m的成型玻璃板以2 m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，切割刀的切割速度为10 m/s.为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，应如何控制切割刀的轨道？切割一次的时间是多长？
对实际运动进行分解的方法图3－1－8解析 切割刀相对地面的速度v＝10 m/s，这一速度产生两个分速度：一是沿玻璃板前进方向的速度v1＝2 m/s.
借题发挥 对实际运动进行分解的方法
(1)先确定合运动的速度方向(物体实际的运动方向就是合速度的方向)，然后确定由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．
(2)也可以先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的方向．
【变式2】 2011年6月松花江湿地旅游文化节开幕式上，水陆空巡演掀起冰城欢庆高潮．假如飞机表演时，飞机的航线要严格地从东到西，如果飞机的飞行速度(即飞机不受风力影响下的自由飞行速度)是80 km/h，风从南面吹来，风的速度为40 km/h，则：
(1)飞机应朝哪个方向飞行？答案 见解析
